Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 7: Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 2

Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa.

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)

[email protected]n

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khái niệm chuỗi số.

– Chuỗi không âm.

Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối.

- Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn Leibnitz.

Chuỗi luỹ thừa. Bán kính và miền hội tụ.

h nghĩa chuỗi không âm

uỗi số không âm là chuỗi



a , (n)a  0,



n

n1

ận xét

i chuỗi không âm, dãy tổng riêng là dãy không g

S_n

y chuỗi không âm hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên.

u chuẩn so sánh 1



a , b

chuỗi

thoả điều kiện

0  a_n b_n,n  n₀

 

n

n1



Nếu chuỗi hội tụ, thì chuỗi hội tụ.

b

a



n

n1



Nếu chuỗi a phân kỳ, thì chuỗi a phân kỳ.



n

n1

 

b_n

Chuỗi

hội tụ nên dãy tổng riêng bị chặ

S_n



n 1



n

S^' a  b S

a

dãy tổng riêng củ



n

 

n

n1

k0

bị chặn trên, vậy chuỗi hộ

u chuẩn so sánh 2



a (1) , b (2)

chuỗi

thoả

0  a_n b_n,n  n₀

 

n

n1

a_n

K  lim

n

b_n

Nếu chuỗi (2) hội tụ, thì chuỗi (1) hội tụ.

K



0

:

hữu hạn, : Chuỗi (1) và (2) cùng HT hoặc cùng

K



0

Nếu chuỗi (1) HT, thì chuỗi (2) HT.

K

 



:

cos n

 a

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

dụ

_{n(n 1)}

n

n1

cos²n 1 1

Chuỗi dương



n²

n(n 1) n(n 1)



1

 b

Chọn chuỗi số

 

_n1n²

n

n1

a_n

im 1

hữu hạn, khác không.



b_n



a , b

Suy ra hai chuỗi

cùng tính chất hội tụ.

 

n

n1



n1



1

b 

Vì chuỗi

hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ

 

n

²



5 3(1)

 a

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

dụ

 

2^n3

n1

5 3(1)ⁿ8 1

uỗi dương

0 

 

2

^n3

1

2

^n3

2

ⁿ



1

chuỗi

hội tụ, nên chuỗi đã cho hội t

_n, |q | 1

₂

2

n1

eⁿ n³



 a

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

 

_n12ⁿ ln³n

n1

n

eⁿ n³eⁿe

 

huỗi dương

 

 

2ⁿ ln³n 2ⁿ

2

 

FK, nên chuỗi đã cho FK.

n



e

 

huỗi

, |

q

|





1



 



^{ln(1 sin(1/n)}



 a

Khảo sát sự hội tụ

dụ

n

n  ln²n

n1

ln(1 sin(1/n) 1/n 1

uỗi dương

 

n



ln

²

n

²

n



_n¹

chuỗi

hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.

2

n1





n









n cosh 1  a

dụ Khảo sát sự hội tụ



n





n1

 ²













 n^{1/ 2} 1 1 

 n cosh 1















2n²

2n^{3/ 2}

n

 ²



huỗi

H

T

,

n

ên chuỗi đã cho H

T

.



_2
n_{3/ 2}



n 1ln cosh(1/n)  a





Khảo sát sự hội tụ

dụ



n1

1

 n ln(11/(2n²))

 n 1ln cosh(1/ n)







2

n

^{3/ 2}



1

chuỗi

hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.



_n12n^{3/ 2}

2



^{arctan(n  2n)}



 a

dụ Khảo sát sự hội tụ

n

3ⁿ n²

n1

arctan(n² 2n)

 /2  1

 



n

3

ⁿ

3

ⁿ



n

²

2





₃¹_n

huỗi

H

T

,

n

ên chuỗi đã cho H

T

.

1 nsin(1/n)







dụ Tìm để chuỗi HT



n1



1 1 ^

1











 1 n 



a  1 nsin(1/ n)







n



3!n^{3 }

6

^

n

^2

n







1

huỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi

 

2





1 1



_^

lnsin  ln

dụ



Tìm để chuỗi HT



n n

_n1



1 ^

 1 1

1 ^

1













 ln   ln



 ln 1









6n³





6

^

n

^2



6n^{2 }

n









1

huỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi







^__

1

 cos(1/n)



dụ Tìm để chuỗi HT



nsin(1/n)

n1





^

1







a_n

 1











n(1/n 1/6n³) 2n²





 1

1 ^





 1







11/6n²

2n^{2 }









2^1

 

 1

1 ^







a_n 1  1





3

^

n

^2

6n²

2n^{2 }









1

Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi

 

2

e  11/ n



 







dụ Tìm để chuỗi HT



2

1 cos(1/ n)



n1



n

n(1/ n1/ 2n²)

1

 

 1  e  e^{nln(11/ n)}



e



e

^{11/ 2n}



e



e

 

n

 

e

1

 

e



e

.

e

^{1/ 2n} e  e 1



 

2

n

2n

 

e^/ 2^n^

e^

1

4

n

²

2

1 cos(1/n) 





 a_n



4

n

²

2

^{ 2}

n

^2

Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi

2







1







1

u chuẩn d'Alembert



a_n1

uỗi dương

. Giả sử

a

lim  D



n

n

a_n

n1

chuỗi hội tụ. 2) chuỗi phân kỳ.

D



1:

D



1:

: không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK

D



1

u chuẩn Cô si



lim ⁿa_n C

uỗi dương

. Giả sử

a



n

n

n1

chuỗi hội tụ. 2) chuỗi phân kỳ.

C



1:

C



1:

: không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc P

C



1

3 n!

 a

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

dụ

 

n

nⁿ

n1

3^n1(n 1)!

(n 1)^n1

33ⁿn!

33ⁿ(n 1)n!

(n 1)ⁿ(n 1)

_n1



(n 1)ⁿ

a_n133ⁿn! nⁿ

a_n

3

ⁿ^ 1





Phân

(11/n)ⁿ

(n 1)ⁿ3ⁿn!

e

n



3n  2

 

n⁵



dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi



 

4n  3

 

n1

n

3n  2

4

n



3

 ⁿn⁵

m ⁿa_n

HT theo t/c Cô si.

 lim

 1

4



n



a



n

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

dụ

n1

258(3n 1)

a_n

1611(5n  4)

258(3(n 1) 1) 258(3n  2)

1611(5(n 1)  4) 1611(5n 1)

_1



258(3n 1)(3n  2)

1611(5n  4)(5n 1)

(3n  2)

(5n 1)



 a_n

a_n1

 lim  lim

3n  2

5n 1

3

 1

5

n

a_n

Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d'Alembert.

a



n

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

dụ

n1

258(3n  2)

a_n

2ⁿ(n 1)!

258(3(n 1)  2) 258(3n  5)

_1



2^n1(n 11)!

2ⁿ2(n  2)!

258(3n  2)(3n  5)

2ⁿ2(n 1)!(n  2)

(3n  5)

 a_n



2(n  2)

a_n1

 lim  lim

3n  5

2n  4

3

 1

n

a_n

2

Chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn d'Alembert.

n

_{(ln(n 1))}_{n/ 2}

n1

, 

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

ụ

n^

1

n

 lim

 0 1

m a_n lim

(ln(n 1))^{n/ 2}

n



n

ln(n 1)

uỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si với mọi



3

ⁿ



1

_^

cos

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi





n

_n1



n³

n²

2n²







1

 

ⁿa_n lim ⁿcos

1

2n²







 lim cos



 

_n 

 lim 1

n

n



_n





n

 

Hội tụ theo Cô si.

1









1/ 2

 1

e



n 1

n 1

 

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

ụ



 

_n1 

2 n⁴3n

n³3n1



(n1)

n1

n











n 1

 

ⁿ 

m ⁿa_n lim

2







1

 lim 1



n









n 1

 

n



n 1

e



uỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si.

dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

n²



n  2

 

3^n1



 

n  3

 

n1

1

n3

n

(n3)









1







3

n



m ⁿa_n lim3 3  1

 1







Phân



n





n  3

e

h nghĩa hội tụ tuyệt đối



a

uỗi gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

hội

a



n



n

n1

h lý



ếu chuỗi

hội tụ, thì chuỗi

hội tụ.

a



n

n1

eo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.

ệnh đề ngược lại không đúng: có những chuỗi hội tụ

nhiên chuỗi của trị tuyệt đối không hội tụ.