Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 8: Phương pháp phần tử hữu hạn (Phần 5)
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Ví dụ: Tính toán hệ thanh
1. Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục
Đi biểu diễn chuyển vị dọc thanh:
U(x) = [N].{q}e
y
q1
q
u
q
i
i
trong đó: {q}e =
≡
1
q j uj
e e
L = a
L = a
Chọn hàm chuyển vị có dạng bậc nhất:
x
L
x
L
[N] = [N1 N2] = [(1- )
],
EF
q2
với biến dạng và ứng suất chỉ có theo
2
phương trục ox:
{ε} ={ε }
x
{σ} ={σx }
d
[∂] =
q3
Ký hiệu:
,
x
dx
[D] = [E] => σx = E.εx
với E - modun đàn hồi Young của vật liệu
D- là ma trận liên hệ giữa ứng suất và biến dạng: [σ] = [D].{ε}
d
dx
x
L
1
0 L
x
L
−1
−1 1
1
L
. (1− )
Ta có: [B] = [∂ ].[N] =
=
= [−1 1]
L
L
L
1
−1
1
EF
L
T
.E. [−1 1].F.dx =
.
e
∫
[K] = [B] .[D].[B].dV = ∫
1
−1
1
L
Ve
Trong trường hợp chỉ có lực phân bố dọc trục p(x) = q, vectơ tải được tính:
x
L
x
L
(1− )
(1− )
L
L
L
1
1
1
1
q.L
2
q.a
2
{Pe } = [N]T .{p(x)}.dx =
.p(x).dx =
.q.dx =
=
∫
∫
∫
x
x
0
o
0
L
L
Ma trận tổng thể (có được khi cộng hai phần tử thanh):
1
−1
(1+1) −1
sym
1
−1
2
sym
EF
a
EF
a
[K] =
−1
=
1
1
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 75
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
R
−
n
Vectơ tải trọng nút:
P
= 0 ,
0
qa
2
+ R
1
R
−
Vectơ tải tổng thể: P =
qa
2
1+1 + 0 =
1
qa
qa
0
2
− − −
Ta có hệ phương trình: K q = P được tính cụ thể như sau:
qa
2
q1
(
+ R)
1
−1
2
0
EF
a
−1 q
=
qa
2
qa
sym
1
q3
2
q1 = 0
Điều kiện biên chuyển vị:
Giải hệ này ta được:
3 qa2
q = .
2
2 EF
4 qa2
q3 =
2 EF
Xác định nội lực:
εx = du / dx
FEM
Chính xác
3qa/2
Chính xác
FEM
σ = Eε = const
,
x
x
3qa2/2EF
4qa2/2EF
u
N
lực dọc:
Nc = F.σx = E.F.εx
qa/2
0
du
dx 1
1 1
a a
3qa
2
2
3 qa
= EF −
.
=
N1 = EF.
2 EF
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 76
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
2
3qa
du
dx
1 1
a a
qa
2
2EF
= EF −
.
=
2
N2 =EF.
4 qa
2
2 EF
2. Phần tử thanh trong dàn phẳng
y
v '=q'
i
i
2j
x
u
2 =q2
y'
vi'i=rii'
j
u '
j =q'2j-1
u1 =q1
e
q' = ui'
2i-1
o
x'
Trong dàn phẳng xem mỗi mắt dàn là một đỉnh nút, mỗi thanh dàn là
một phần tử chiụ biến dạng dọc trục:
q1 = q’2i-1lij + q’2i-mij
q2 = q’2j-1lij + q’2j-mij
Trong đó: lij, mij là cosine chỉ phương của trục phần tử (trục x) đối với hệ
trục tổng thể x’o’y’.
T
e
T
e
Ta có:
{q}e
≡
{
{
u1, u2
}
≡
q1,q2
}
T
T
'
'
'
'
'
'
'
'
{q’}e
}
}
≡ u i , vi ,u j, vj ≡ q 2i−1,q 2i,q 2 j−1,q 2 j
nên: {q}e =[T]e.{q’}e trong đó ma trận chuyển trục,
l
mij
0
0
0
ij
[T]e=
0
lij mij
Vậy ma trận độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể:
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 77
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
lij
mij 0
0
0
l
0
mij 0 0
ij
1
−1
EF
L
’
T
[K ]e =[T] .[K]e.[T] =
×
×
e
0
lij mij
l
−1 1
ij
0 mij
Cuối cùng:
2
− li2j
mi2j − lijmij − mi2j
− lijm
ij
lij lijmij
EF
L
[K’]e =
li2j
lijmij
sym
mi2j
Chú ý:
y'
'
'
x j − xi
lij = cos(x,x’ ) =
y
L
x
yj − yi '
'
y'j
y'i
e
mij = cos(x,y’ ) =
α
L
i
x'i
Với: L = (x' − x'i )2 + (y' j − y'i )2
j
Theo hình vẽ:
o
x'
x'j
lij = cos (α), mij=sin(α)
cosα sinα
0
0
Nên [T]e =
0
0
cosα sinα
σx = Eεx
Nội lực thanh dàn: εx = [B]{q}e ,
, N = σx.F = EF.[B].{q}e
'
'
Nên Ne= EF[B][T] {q'} =[S ]{q'} với: [S ]=EF[B][Te];
e
e
e
e
e
l
0
mij
0
0
0
EF
L
−1 1
ij
'
[Se ] = EF.
.
=
[
]
− lij − mij lij mij
lij mij
L
L
EF
'
[Se ] =
L
− cosα − sin α cosα sin α
[ ]
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 78
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
KHUNG PHẲNG
y
y
x
v2 ≡q3
2
v1 ≡q1
x
θ2≡q4
1
L,EJ
θ1≡ q2
o
Z
y
dv/dx
A
y
dv/dx
v
B'
A
y
B
X
u=-y.dv/dx
Ta có vectơ chuyển vị nút phần tử:
e
T
T
e
{
q
}
θ =
=
dv
dx
{
v1 θ1 v2 θ2
}
=
q1 q2 q3 q4
}
e
Với góc xoay:
Quan hệ giữa chuyển vị dọc trục u và độ võng v là:
dv
U = -y.
dx
Trong đó y là khoảng cách từ điểm xét tới trục trung hòa.
Khi đó biến dạng dọc trục:
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 79
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
du
dx
d2 v
dx2
εx =
= −y.
, với: v = [N].{q}e
Với: [N] là ma trận hàm dạng
[N] = [N1 N2 N3 N4]
x2
x3
L3
x
L
x2
L2
Với: N1(x) = 1-3 + 2
,
N2(x) = x.(1-2
+
)
L2
x2
x3
x
x2
N3(x) = 3. − 2
,
N4(x) = x.(−
+
)
L2
L3
L
L2
d2 N
d2
dx2
Viết lại: εx = −y.
{q}e = [B]{q}e , trong đó: [B] = -y
[N]
dx2
− 6
x − 4
+12 )(
L3
x
6 12x − 2 6x
)( )
Hay: [B] = -y (
+ 6 )(
−
+
L2
L
L2 L2 L3
L
L2
σ = E.ε
Ứng suất tại mọi điểm của dầm chịu uốn:
ma trận: {σ} = [D].{ε } , ở đây: [D] = [E]
x , biểu diễn dạng
x
Ma trận phần tử của dầm chịu uốn: [K]e = [B]T [D][B]dV = E [B]T [B]dF.dX
∫
∫∫
Ve
LF
Tính cụ thể được:
12 6L −12 6L
4L2 − 6L 2L2
12 − 6L
EJZ
[K]e =
L3
,
sym
4L2
với Jz = y2dF : Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục z.
∫
F
Vectơ tải {P}e tính theo công thức:
na
nM
dN
{P}e= [N]T q(x)dx + [N(x )]T .Q + [ (xMi )]T .Mi
∑
∑
Qi
i
∫
i=1
i=1 dx
L
Với q(x): tải trọng phân bố; Qi : Lực tập trung (có hoành độ xQi), Mi :
Mômen tập trung có hoành độ xMi, nQ, nM số lực tập trung và số mômen tập
trung.
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 80
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
3x2
L2
x
qL
3
1−
+ 2
L3
2
P
1
2x2 x3
qL2
x −
+
L2
12
P
2
L
−
x2 x3
L
{P}e =
=
qdx =
3x2 2x3
∫
qL
L
P3
L2
−
L3
2
P4
2
− qL
+
12
L2
3a2 2a
3
1−
+
L2
L3
P
2a2 a3
1
a −
+
L
L2
P
2
T
{P}e=
= [N(a)] .Q = Q.
3a2 2a3
P3
−
L2
L3
P4
− a a3
+
L
L2
Mômen uốn:
Y
d2 v
d2
M = EJ.
= EJ
[N]{q}e
dx2
dx2
M = EJ[N'' ]{q}e
Lực phân bố
P3
P1
q
Với:
i
x
d2
P4
[
N,,
]
]
=
[N]
P2
dx2
L
[
N,,
= [N''1 N'' N'' N'' ]
2
3
4
P1
P3
M(tai nut1)
M(tai nut 2)
Gọi {M}e=
là mômen uốn tại
P2
P4
đầu nút phần tử
M
1
{M}e=
M2
Có lực tập trung Q
đặt ở toạ độ x
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 81
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
''
N (x = 0)
N'' (x = L)
{
M
}
= EJ.
.{q}e
e
{
M
}
= [S]e{q}e
e
2
− 6L − 4L 6L − 2L2
"
EJ
L3
[N (0)]
Vậy: [S]e=EJ
=
6L 2L2
− 6L 4L2
[N" (L)]
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 82
8 trang
22140
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 8: Phương pháp phần tử hữu hạn (Phần 5)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_chuyen_de_phuong_phap_tinh_chuong_8_phuong_phap_ph.pdf
