Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008)

[email protected].vn

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

0.2 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

0.3 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn

0.4 – Đạo hàm theo hướng

0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint

0.6 – Ứng dụng của đạo hàm riêng

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa đạo hàm riêng theo x.

M (x , y )

Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm

Xét hàm một biến F(x) = f(x,y₀) theo biến x.

Đạo hàm của hàm một biến F(x) tại x₀được gọi là đạo hàm riêng theo x

cố định.

0 0 0

M (x , y )

của f(x,y) tại

, ký hiệu

0 0 0

f (x₀, y₀)

F(x₀ x)  F(x₀)



x

 f_x^'(x₀, y₀)  lim

x0



x

f (x₀, y₀)  f (x₀, y₀)

 lim

x0



x

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa đạo hàm riêng theo y.

M (x , y )

Cho hàm hai biến f = f(x,y) với điểm

Xét hàm một biến F(y) = f(x₀,y) theo biến y.

Đạo hàm của hàm một biến F(y) tại y₀được gọi là đạo hàm riêng theo y

cố định.

0 0 0

M (x , y )

của f(x,y) tại

, ký hiệu

0 0 0

f (x₀, y₀)

y

F(y₀ y)  F(y₀)

y

 f_y^'(x₀, y₀)  lim

y0

f (x₀, y₀ y)  f (x₀, y₀)

 lim

y0

y

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ghi nhớ.

M₀(x₀, y₀)

Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại

một biến f = f(x,y₀).

theo x là đạo hàm của hàm

theo y là đạo hàm của hàm

Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại

một biến f = f(x₀,y).

Qui tắc tìm đạo hàm riêng.

Để tìm đạo hàm riêng của f theo biến x, ta coi f là hàm một biến x, biến

còn lại y là hằng số.

f(x,y) biễu diễn bởi mặt S (màu xanh)



Giả sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c) S.

Cố định y = b. Đường cong C₁là

giao của S và mặt phẳng y = b.

Phương trình của đường cong C₁

là g(x) = f(x, b).

Hệ số góc của tiếp tuyến T₁với

đường cong C₁là

g^'(a)  f_x^'(a,b)

Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T₁với đường

cong C₁tại P(a,b,c).

Tương tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T₂

với đường cong C₂tại P(a,b,c).

'

f (x, y)  4  x² 2y

đạo hàm riêng này.

Ví dụ. Cho hàm

². Tìm

và biễu diễn hình học của

f_x(1,1)

f_x^'(x, y)  (4  x² 2y²)^'_x 2x

 f_x^'(1,1)  2.1 2

Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh.

Mặt phẳng y = 1 cắt ngang được

đường cong C₁.

Tiếp tuyến với C₁tại (1,1,1) là

đường thẳng màu hồng.

Hệ số góc của tiếp tuyến với C₁

tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.

f_x^'(1,1) vôùi f (x, y)  4  x² 2y²

Biễu diễn hình học của

f ^'(1,1)

và biễu diễn hình học của

f (x, y)  4  x² 2y

đạo hàm riêng này.

Ví dụ. Cho hàm

². Tìm

y

f_y^'(x, y)  (4  x² 2y²)^'_y 4y

 f_y^'(1,1)  4.1 4

Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh.

Mặt phẳng x = 1 cắt ngang được

đường cong C₂.

Tiếp tuyến với C₂tại (1,1,1) là

đường thẳng màu hồng.

Hệ số góc của tiếp tuyến với C₂

tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.

f_y^'(1,1) vôùi f (x, y)  4  x² 2y²

Biễu diễn hình học của

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của đạo hàm riêng

Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm

riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến.

1) ( f )^'_x  f_x^'

2) ( f  g)^'_x f_x^' g_x^'

'

gf_x^' fg_x^'

'

3) f  g  f ^' g  f  g^'

f

 

 

_x

4)



x

 

g²

g

 _x

Hàm một biến: hàm liên tục tại x₀khi và chỉ khi hàm có đạo hàm cấp 1 tại x₀.

Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x₀,y₀) nhưng

không liên tục tại điểm này. Giải thích!

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

f (x, y)  ln(x² 2y²)

f_x^'(1,2), f_y^'(1,2)

Tìm đạo hàm riêng

, biết

'

f ^'(x, y)  ln(x² 2y²)

Giải.





x

2x

x² 2y²

2

f_x^'(x, y) 

 f_x^'(1,2) 

9

'

f ^'(x, y)  ln(x² 2y²)





y

4y

x² 2y²

8

f_y^'(x, y) 

 f_y^'(1,2) 

9

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Tìm đạo hàm riêng

f (x, y)  (x  2y)^y

f_x^'(1,2), f_y^'(1,2)

, biết

'

f ^'(x, y)  (x  2y)^y

Giải.





x

f_x^'(x, y)  y(x  2y)^y1 f_x^'(1,2) 10

ln f  yln(x  2y)

f_y^'

2

Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có

 ln(x  2y)  y 

f

x  2y

2







 f_y^'(x, y)  (x  2y)^yln(x  2y)  y 



x  2y





4

 f_y^'(x, y)  25(ln5  )

5

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho

f (x, y)  x² y³

.

f_y^'(0,0)

f_x^'(1,1)

f_x^'(0,0)

1) Tìm

Giải.

3) Tìm

2) Tìm

'

1

x

 f_x^'(1,1) 

f ^'(0,0)

1) f_x^'(x, y)  x² y³





x² y³

2

x

2) Không thể thay (0,0) vào công thức để tìm

. Ta sử dụng định nghĩa

x

(x)² 0  0



x

f (0  x,0)  f (0,0)

| x |

x

f_x^'(0,0)  lim

 lim

x0



x

Không tồn tại giới hạn này vì giới hạn trái và giới hạn phải không bằng nhau.

(y)³ 0

f (0,0  y)  f (0,0)

f_y^'(0,0)  lim

 lim

Tương tự



0

y0

y

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

x²y²

2

f (x, y) 

e^tdt

Cho

Tìm



1

f_x^'(x, y), f_y^'(x, y).

Giải.

2

x²y²

2



^'

'

t

2

x



 e^

 x² y²

'

 e^{x y}







f_x(x, y) 

e dt







x² y²



x

1

_x

Vì biểu thức đối xứng đối với x và y nên, đổi chỗ x và y cho nhau ta

được đạo hàm riêng theo y.

2

y

 f_y^'(x, y)  e^{x y}

x² y²

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

2

^{1/(x y )}, neáu x² y² 0





e

Cho

f (x, y) 



0,

neáu x² y² 0





f_x^'(0,0).

Tìm

Giải.

1/(x)²

e

f (0  x,0)  f (0,0)



x

f_x^'(0,0)  lim

 lim

x0



x

1

Đặt

, suy ra

t

 

.

t 



x

2

 f_x^'(0,0)  limte^t



0

(sử dụng qui tắc Lopital)

t

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho hàm hai biến f = f(x,y).

Đạo hàm riêng theo x và theo y là những hàm hai biến x và y:

'

Ta có thể lấy đạo hàm riêng của hàm

:

f_x(x, y)

²f

xy

²f

'

f ^'(x, y)  f ^''(x, y)  (x, y)





x

xy





x

xx



x

²

y

x

f ^'(x, y)

Tương tự có thể lấy đạo hàm riêng của hàm

:

y

²f

yx

'

f ^'(x, y)  f ^''(x, y)  (x, y)





y

yy





y²

y

yx

y

x

Tiếp tục quá trình, ta có khái niệm các đạo hàm cấp cao.

Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm

riêng cấp cao cũng tương tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng

công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng.

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chú ý.

²f

xy

²f

yx

Nói chung

, nên khi lấy đạo hàm riêng cấp

(x₀, y₀)

(x₀, y₀) 

cao ta phải chú ý đến thứ tự lấy đạo hàm.

Định lý

f_x^', f_y^', f_x^''_y, f_y^''_x

Cho hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng

xác định trong lân

cận của và liên tục tại điểm này. Khi đó

(x₀, y₀)

²f

xy

²f

yx

(x₀, y₀)  (x₀, y₀)

Chứng minh:

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Chứng tỏ rằng hàm

f (x, y)  e^xsin y

thỏa phương trình Laplace

²f ²f

  0

x²y²

''

f  e^xsin y

f_x^'(x, y)  e^xsin y

f_y^'(x, y)  e^xcos y

Giải.

xx

''

f  e^xsin y

yy

²f ²f

   e^xsin y  e^xsin y  0

x²y²

Hàm f = f(x,y) thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa.

Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết fluid flow, heat

conduction, electric potential,….

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Chứng tỏ rằng hàm

u(x,t)  sin(x  at)

thỏa phương trình sóng

²u ²u

 a²



t

²



x

²

''

u_t^'(x,t)  acos(x  at)

u_x^'(x,t)  cos(x  at)

²u ²u

u  a²sin(x  at)

Giải.

tt

''

u  sin(x  at)

xx

  a²



t

²

 a²sin(x  at)



x

²

Phương trình sóng mô tả sự chuyển động của các loại sóng: sóng biển,

sóng âm thanh hay sóng chuyển động dọc theo một sợi dây rung.