Bài giảng Các tập hợp số
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN
BÀI GIẢNG
CÁC TẬP HỢP SỐ
QUẢNG NGÃI – 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN
BÀI GIẢNG
CÁC TẬP HỢP SỐ
Người soạn: Lê Văn Thuận
QUẢNG NGÃI – 2014
LỜI NÓI ĐẦU
Hiện nay có nhiều giáo trình, tài liệu tham khảo viết về lí thuyết các tập hợp số. Tuy
nhiên, chưa có giáo trình chính thức viết về các tập hợp số dành cho sinh viên ngành giáo
dục tiểu học; hơn nữa với phương thức đào tạo theo hệ thống tín chỉ hiện nay có những
đặc thù riêng, đòi hỏi thời gian sinh viên tự học và nghiên cứu nhiều hơn.
Chúng tôi biên soạn bài giảng “các tập hợp số” trên cơ sở đề cương chi tiết, tham khảo
các tài liệu và sắp xếp một cách có hệ thống, nhằm giúp người học có thể dễ dàng tự học
và nghiên cứu. Đây là một học phần trong chương trình đào tạo giáo viên tiểu học có
trình độ cao đẳng.
Bài giảng này có thời lượng 30 tiết trên lớp, 2 tín chỉ và nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Cấu trúc đại số.
Chương 2: Số tự nhiên.
Chương 3: Tập số hữu tỉ và tập số thực.
Vì thời lượng chỉ gồm 2 tín chỉ nên bài giảng không thể khai thác sâu hết được một số
kiến thức, người học có thể tham khảo thêm học phần này trong [1] , [2], [3] và [4].
Lần đầu tiên bài giảng được biên soạn với phương thức đào tạo theo hệ thống tín chỉ;
chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Chúng tôi rất mong nhận được ý
kiến đóng góp của bạn đọc.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.
Tháng 5 năm 2014
Lê Văn Thuận
1
Chương 1
CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
MỤC TIÊU
Kiến thức:
- Giúp sinh viên nắm vững cấu trúc cơ bản về: nửa nhóm, nhóm, vành và trường.
- Hình thành cho sinh viên những ý tưởng để tiếp cận với toán học hiện đại và nhận
thức sâu sắc về cấu trúc đại số của các tập hợp số ở bậc Tiểu học.
Kĩ năng:
- Kiểm tra một “phép toán” hai ngôi trên một tập hợp.
- Kiểm tra một tập hợp với các phép toán là: nửa nhóm, nhóm, con nhóm, vành và
trường.
Thái độ:
- Sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về cấu trúc đại số của các tập hợp.
- Sinh viên có liên hệ thực tế với chương trình môn toán bậc Tiểu học.
1.1. PHÉP TOÁN HAI NGÔI
1.1.1. Khái niệm
Cho X là một tập khác rỗng. Một phép toán hai ngôi trên tập X là một ánh xạ
T : X X X
(a;b) aTb .
Phần tử
được gọi là cái hợp thành hay còn được gọi là kết quả của phép toán T
aTb X
thực hiện trên hai phần tử a và b.
Như vậy một phép toán hai ngôi T trên tập X là một quy tắc đặt tương ứng mỗi cặp phần
tử (a; b) thuộc X X một phần tử xác định duy nhất aTb thuộc X.
Ví dụ 1.1:
1) Phép cộng thông thường các số là phép toán hai ngôi trên các tập:
tập các số nguyên, tập các số hữu tỉ và tập các số thực.
các số tự nhiên,
2) Phép nhân thông thường các số là phép toán hai ngôi trên tập
3) Cho tập * các số tự nhiên khác 0. Ánh xạ:
các số tự nhiên…
2
*: * * *
(a;b) a*b ab
là một phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên khác 0, còn được gọi là phép nâng lên
lũy thừa.
4) Cho tập các số nguyên, phép trừ là một phép toán hai ngôi trên , vì quy tắc sau
là một ánh xạ:
:
(a;b) a b .
Tuy nhiên, phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trên tập hợp các số tự nhiên . Vì
ta có 2 và 4 thuộc
nhưng
.
2 4
5) Cho X là một tập hơp bất kì và P(X) là tập các tập con của X. Các phép toán: hợp,
giao và hiệu của hai tập hợp đều là những phép toán hai ngôi trên tập P(X). Tức ta có các
ánh xạ sau:
Phép toán hợp: : P(X ) P(X ) P(X )
(A;B)
A B
Phép toán giao: : P(X ) P(X ) P(X )
(A;B) A B
Phép toán hiệu: \ : P(X ) P(X ) P(X )
(A;B)
A \ B
6) Cho tập hợp X và Hom(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X vào chính nó. Phép lấy hợp
thành hai ánh xạ là một phép toán hai ngôi trên tập Hom(X, X).
Thật vậy, vì với hai ánh xạ f và g bất kì từ X đến X. Nên ta có ánh xạ:
Hom(X, X ) Hom(X, X ) Hom(X, X )
( f ; g)
fg
7) Cho tập X 0,1,2 , ta có phép toán hai ngôi xác định trên X như sau:
T : X X X
(a;b) r
trong đó r là dư của phép chia a + b cho 3.
Có thể mô tả phép toán T trong bảng sau:
3
T
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
1.1.2. Các tính chất của phép toán hai ngôi
Định nghĩa 1.1. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Ta nói rằng phép toán T có
tính chất giao hoán nếu và chỉ nếu với mọi a, b thuộc X thì aTb = bTa.
- Ta dễ nhận thấy các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 1), 2), 5), 7) trong Ví dụ 1.1.
là những phép toán có tính chất giao hoán.
- Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 3), 4) không có tính chất giao hoán, ví dụ 6)
không có tính chất giao hoán nếu tập X có nhiều hơn một phần tử.
Định nghĩa 1.2. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Ta nói rằng phép toán T có
tính chất kết hợp nếu và chỉ nếu với mọi a, b, c thuộc X thì (aTb)Tc = aT(bTc).
Ta dễ nhận thấy các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 1), 2), 5), 6), 7) trong ví dụ 1.1.
là những phép toán có tính chất kết hợp.
Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 3), 4) trong ví dụ 1.1. là những phép toán có tính
chất kết hợp.
1.1.3. Những phần tử đặc biệt
Định nghĩa 1.3. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Phần tử
được gọi là
e X
phần tử trung lập đối với phép toán T nếu và chỉ nếu với mọi a thuộc X thì eTa = aTe = a.
Định lí 1.1. Nếu tập X có phần tử trung lập đối với phép toán T thì phần tử trung lập đó
là duy nhất.
Ví dụ 1.2:
1) Số 0 là phần tử trung lập đối với phép cộng thông thường các số tự nhiên (cũng như
đối với các phép cộng thông thường các số nguyên, số hữu tỉ và số thực).
2) Số 1 là phần tử trung lập đối với phép nhân thông thường các số tự nhiên (cũng như
đối với các phép cộng thông thường các số nguyên, số hữu tỉ và số thực).
3) Tập
là phần tử trung lập đối với phép lấy hợp các tập hợp trên tập P(X)
4
4) Tập X là phần tử trung lập đối với phép toán giao các tập hợp trên tập P(X)
5) Ánh xạ đồng nhất idx : X X ;
.
x x
là phần tử trung lập đối với phép hợp thành các ánh xạ trên tập Hom(X, X)
Định nghĩa 1.4. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T và e là phần tử trung lập
của X đối với phép toán T;
. Phần tử
được gọi là phần tử đối xứng của a đối
b X
a X
với phép toán T nếu bTa = aTb = e.
Định lí 1.2. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T có tính chất kết hợp, có phần
tử trung lập e. Nếu b và b' là hai phần tử đối xứng của a thì b' = b.
+) Đối với phép cộng các số tự nhiên chỉ có số 0 có phần tử đối xứng và phần tử đối
xứng của 0 là 0.
eX
+) Một cách tổng quát: Nếu
phần tử đối xứng của chính nó.
là phần tử trung lập đối với phép toán T thì e là
+) Đối với phép cộng các số nguyên, mỗi phần tử
có phần tử đối xứng là
.
a
a
+) Đối với phép nhân các số hữu tỉ thì mỗi phần tử q , q khác 0 đều có phần tử đối
1
xứng là
.
q
+) Đối với phép nhân ánh xạ trong tập Hom(X, X), mỗi song ánh f : X X đều có
phần tử đối xứng là f 1 : X X (ánh xạ ngược của f).
Chú ý: Trong thực tế, hai phép toán hai ngôi thường gặp là phép cộng (+) và phép nhân
(x).
- Đối với phép cộng : Giả sử + là một phép toán hai ngôi trên tập X thì cái hợp thành a
+ b được gọi là tổng của a và b. Phần tử trung lập (nếu có) được gọi là phần tử khộng và
kí hiệu là 0. Nếu phép cộng có tính chất kết hợp và phần tử
có phần tử đối xứng là
a X
b thì khi đó b được xác định duy nhất và được gọi là phần tử đối của a và kí hiệu là –a.
- Đối với phép nhân : Giả sử là một phép toán hai ngôi trên tập X thì cái hợp thành a
x b (còn được viết là ab hoặc a.b) được gọi là tích của a và b. Phần tử trung lập (nếu có)
được gọi là phần tử đợn vị và kí hiệu là e (hoặc 1 nếu không có sự nhầm lẫn với các số).
Nếu phép nhân có tính chất kết hợp và phần tử
có phần tử đối xứng là b thì khi đó
a X
b được xác định duy nhất và được gọi là phần tử nghịch đảo của a và kí hiệu là b a1 .
5
1.1.4. Phép toán cảm sinh
Định nghĩa 1.5. Cho T là một phép toán hai ngôi trên X và A là một tập con khác rỗng
của X. A được gọi là tập con ổn định đối với phép toán T nếu với mọi a, b thuộc A thì cái
hợp thành aTb thuộc A. Tức là: a,b A aTb A.
Ví dụ 1.3:
1) Tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên đối với phép
toán cộng.
2) Tập hợp các số tự nhiên
là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép
cộng và phép nhân. Nhưng nó không ổn định đối với phép trừ..
3) Tập hợp các số nguyên mà là bội của số nguyên m cho trước là tập con ổn định của
tập các số nguyên đối với phép cộng và phép nhân.
4) Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định đối với phép nhân các số nguyên; nhưng nó
không ổn định đối với phép cộng các số nguyên.
5) Tập S(X) các song ánh từ tập X đến tập X là tập con ổn định của Hom(X, X) đối với
phép nhân ánh xạ.
Định nghĩa 1.6. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T và A là một tập con ổn
định của X đối với phép toán T. Khi đó ánh xạ:
cảm sinh ánh xạ:
.
T : X X X
T : A A A
(a;b) aTb
(a;b) aTb .
là phép toán hai ngôi trên A và được gọi là phép toán cảm sinh của phép toán T trên tập
hợp A.
Ví dụ 1.4:
1) Phép cộng các số tự nhiên chẵn là phép toán cảm sinh của phép cộng các số tự
nhiên.
2) Phép cộng các số nguyên mà là bội của một số nguyên m cho trước là phép toán
cảm sinh của phép cộng các số nguyên.
3) Cho S(X) là tập các song ánh từ X đến X; phép hợp thành các song ánh trên tập
S(X) là phép toán cảm sinh của phép hợp thành các ánh xạ trên Hom(X, X).
6
1.2. NỬA NHÓM VÀ NHÓM
1.2.1. Nửa nhóm
Định nghĩa 1.7. Ta gọi là nửa nhóm một tập khác rỗng X cùng với phép toán hai ngôi T
trên X có tính chất kết hợp. Nếu trong nửa nhóm X có phần tử trung lập đối với phép
toán T thì X được gọi là một vị nhóm. Nếu phép toán T có tính chất giao hoán thì nửa
nhóm X được gọi là nửa nhóm giao hoán.
Như vậy, một nửa nhóm là một cấu trúc đại số bao gồm một tập hợp trên đó có một phép
toán hai ngôi thỏa mãn tiên đề:a,b,c X,(aTb)Tc aT(bTc) .
Để chỉ một nửa nhóm ta viết (X, T) trong đó X là tập nền, T là kí hiệu của phép toán
hai ngôi. Trong nhiều trường hợp, nếu không sợ nhầm lẫn ta có thể viết X thay cho (X,
T).
Ví dụ 1.5:
1) Tập hợp các số tự nhiên
với phép cộng thông thường là một vị nhóm giao hoán,
phần tử trung lập là 0. Và nó được gọi là vị nhóm cộng các số tự nhiên.
2) Vị nhóm cộng các số nguyên ( , +) trong đó là tập các số nguyên, + là phép cộng
thông thường các số. Đó là một vị nhóm giao hoán.
3) Vị nhóm nhân các số tự nhiên ( , .).
4) Vị nhóm nhân các số nguyên ( , .).
5) Hom(X, X) tập các ánh xạ từ X đến chính nó cùng với phép hợp thành các ánh xạ là
một vị nhóm (nếu X có nhiều hơn một phần tử thì vị nhóm này không giao hoán).
1.2.2. Nhóm
Định nghĩa 1.8. Ta gọi là nhóm một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi T thỏa mãn
các tiên đề sau:
(i) (X, T) là một nửa nhóm, tức là a,b,c X,(aTb)Tc aT(bTc) .
(ii) Trong X tồn tại phần tử trung lập e đối với phép toán T, tức là
sao cho
e X
với mọi
.
eTa aTe a
a X
(iii) Mọi phần tử x thuộc X đều có phần tử đối xứng, nghĩa là tồn tại x, X sao cho
x,Tx xTx, e .
7
Nếu phép toán T có tính chất giao hoán thì nhóm X được gọi là một nhóm giao hoán
hay nhóm Aben.
Nếu X là tập hữu hạn, có n phần tử thì X được gọi là nhóm có cấp n. Nếu X là một tập
hợp vô hạn thì X được gọi là nhóm có cấp vô hạn.
Nhận xét: Mọi nhóm X là một vị nhóm mà mọi phần tử thuộc X đều có phần tử đối xứng
trong X.
Ví dụ 1.6:
1) Tập các số nguiyên với phép cộng là một nhóm Aben.
2) Tập các số hữu tỉ với phép cộng là một nhóm Aben.
3) Tập * các số hữu tỉ khác 0 với phép nhân là một nhóm Aben.
4) Tập S(X) tất cả các song ánh từ X đến X là một nhóm với phép nhân ánh xạ.
Tính chất1.1: Cho X là một nhóm với phép toán là phép nhân, khi đó ta có:
1) Vì một nhóm là một vị nhóm nên nó có đầy đủ các tính chất của một vị nhóm.
2) a,b,c X,ab ac b c (luật giản ước bên trái)
và a,b,c X,ba ca b c (luật giản ước bên phải).
3) Với mọi a, b thuộc X, các phương trình
và ya b có nghiệm duy nhất trong
ax b
X.
Định lí 1.3. Cho X là một nửa nhóm nhân. X là một nhóm khi và chỉ khi với mọi a, b
thuộc X các phương trình
và ya b có nghiệm duy nhất trong X.
ax b
1.2.3. Nhóm con
Định nghĩa 1.9. Cho X là một nhóm. A là một tập con của X ổn định đối với phép toán
trong X. Nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm thì A được gọi là nhóm con
của X.
Chú ý: Nếu e là phần tử trung lập của X và A là nhóm con của X thì
tử trung lập của A.
cũng là phần
e A
Định lí 1.4. Cho A là một tập con của nhóm X. Khi đó ba tính chất sau đây là tương
đương với nhau:
(i) A là nhóm con của X.
8
(ii) Phần tử trung lập
(iii) Phần tử trung lập
Ví dụ 1.7:
và với mọi a, b thuộc A, ta có
và a1 A.
e A
e A
ab A
và với mọi a, b thuộc A, ta có ab1 A .
1) Mọi nhóm cộng các số nguyên là một nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỉ
.
2) Tâp các số nguyên chẵn 2 là một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên .
3) Tâp các số nguyên là bội của số nguyên m là một nhóm con của nhóm cộng các số
nguyên ..
4) Tập A 1,1 là một nhóm con của nhóm nhân các số hữu tỉ khác 0.
5) Với mỗi nhóm X bất kì đều có hai nhóm con đó là X và e , trong đó e là phần tử
trung lập của X.
1.3. VÀNH VÀ TRƯỜNG
1.3.1. Định nghĩa vành và trường
Định nghĩa 1.10. Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai phép toán cộng và nhân
thỏa mãn các tiên đề sau:
1. (X, +) là một nhóm Aben.
2. (X, .) là một nửa nhóm.
3. Có luật phân phối hai bên của phép nhân đối với phép cộng, tức là với mọi
a,b,c X . Ta có: a(b c) ab ac;(b c)a ba ca.
- Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì X được gọi là vành giao hoán.
- Nếu trong X có phần tử trung lập đối với phép nhân thì X được gọi là vành có đơn
vị.
Ví dụ 1.8:
1) Tập hợp các số nguyên cùng với phép cộng và nhân thông thường là một vành
giao hoán có đơn vị.
2) Tập các số hữu tỉ cùng với phép cộng và nhân thông thường là một vành giao
hoán có đơn vị
9
3) Tập
cùng với hai phép toán cộng và nhân cho trong bảng sau là một
X 0,1,2,3
vành giao hoán có đơn vị.
+
x
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
0
1
2
3
0
1
2
3
Tính chất 1.2:
Cho X là một vành. Theo định nghĩa (X, +) là một nhóm Aben nên nó có đầy đủ các
tính chất của một nhóm cộng giao hoán. Cụ thể là:
1) Phần tử không của nhóm X là duy nhất. Ta kí hiệu nó là 0 và cũng gọi là phần tử
không của vành X.
2) Mỗi phần tử a thuộc X có một phần tử đối duy nhất là – a.
3) Với mọi a thuộc X, phương trình x + a = b (và a + y = b) có nghiệm duy nhất là b –
a
Ngoài ra, trong vành X còn có các tính chất sau:
4) Với mọi a thuộc X, a0 = 0a = 0.
5) Với mọi a, b, c thuộc X ta có: a(b c) ab ac .
6) Với mọi a, b thuộc X ta có: (a)b a(b) ab;(a)(b) ab.
Định nghĩa 1.11. Cho X là một vành giao hoán, phần tử
được gọi là ước của 0 nếu
a X
và tồn tại b X ,b 0 sao cho ab = 0.
a 0
Định lí 1.5. Cho X là một vành giao hoán. Các khẳng định sau đây là tương đương với
nhau:
(i) a,b X,ab 0 a 0 hoặc
(ii) X không có ước của 0.
.
b 0
(iii) a,b,c X (a 0 và ab ac) b c.
1.3.2. Miền nguyên
10
Định nghĩa 1.12. Một vành giao hoán, có đơn vị khác 0 và thỏa mãn một trong ba điều
kiện tương đương trong định lí 1.5 được gọi là một miền nguyên.
Ví dụ 1.9:
1) Vành các số nguyên là một miền nguyên.
2) Vành X trong ví dụ 1.8 không phải là miền nguyên.
1.3.4. Trường
Định nghĩa 1.13. Một vành giao hoán, có đơn vị khác 0 và trong đó mọi phần tử khác
không đều có nghịch đảo được gọi là một trường.
Nhận xét: Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị khác 0. X là một trường khi và chỉ khi
tập X* các phần tử khác 0 của X lập thành một nhóm Aben. Nhóm này được gọi là nhóm
nhân các phần tử khác không của trường X.
Ví dụ 1.10:
1) Vành các số hữu tỉ , vành các số thực là những trường.
2) Tâp
với hai phép toán sau là một trường.
X 0,1,2
x
+
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
0
0
1
2
1
1
2
0
2
0
1
2
0
1
2
2
0
1
3) Vành số nguyên không phải là một trường.
Định lí 1.6. Mọi trường đều là miền nguyên.
Bài tập chương 1
1.1. Phép toán hai ngôi
1. Cho
là tập các số tự nhiên, là tập các số nguyên, là tập các số hữu tỉ, là
tập các số hữu tỉ dương.
a) Phép toán nào trong bốn phép tính: cộng, trừ, nhân, chia là phép toán hai ngôi
trên mỗi tập kể trên.
11
b) Trong trường hợp là phép toán hai ngôi, hãy cho biết tính chất và các phần tử đặc
biệt của các phép toán đó.
2. Cho tập hợp X 0,1,2 . Phép toán
được cho bởi bảng sau:
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
0
1
2
Hãy cho biết các tính chất của phép toán
và chỉ ra các phần tử đặc biệt của nó.
3. Cho tập hợp Y a,b,c . Phép toán * được cho bởi bảng sau:
*
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
a
b
c
Hãy cho biết các tính chất của phép toán * và chỉ ra các phần tử đặc biệt của nó.
4. Cho * là tập các số tự nhiên khác 0, phép toán T được xác định như sau:
T : * * *
(a;b) ab .
Phép toán T có tính chất giao hoán, kết hợp không? Trong * có phần tử trung lập
không?
5. Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là những phép toán hai ngôi. Hãy
chỉ ra các tính chất của các phép tính đó:
a) x* y x y xy với mọi x, y thuộc
b)
c)
với mọi m, n thuộc
m n m 2n
với mọi a, b thuộc \ 1 .
a b a b ab
6. Cho A là tập các số nguyên chẵn, B là tập các số nguyên lẻ. Các tập nào trên hai tập
trên ổn định đối với phép toán sau:
12
a) Phép cộng các số nguyên.
b) Phép nhân các số nguyên.
7. Các tập sau đây, tập nào ổn định đối với phép cộng các phân số:
a
a) B ;a,b, a là số lẻ, b 0 .
b
a a
;
b) C
là phân số thập phân .
b b
1.2. Nửa nhóm và nhóm
1. Cho X là tập các số nguyên chia hết cho 5.
a) Chứng minh rằng X là một vị nhóm với phép cộng thông thường các số.
b) Chứng minh rằng X là một nửa nhóm nhưng không phải là môt vị nhóm với
phép nhân thông thường các số.
2. Cho * là tập các số tự nhiên khác 0. Ta định nghĩa
m,n*
với mọi
m n m n 1
a) Tìm:
;
;
.
21
45
55
b) Chứng minh rằng * là một vị nhóm giao hoán với phép toán
.
3. Giả sử X là một tập hợp tùy ý. Xét phép toán hai ngôi:
*: X 2 X
(x; y) x* y x
Chứng minh X là một nửa nhóm với phép toán hai ngôi trên. Nửa nhóm đó có giao hoán,
có đơn vị không?
4. Chứng minh các tập hợp sau với phép toán thông thường lập thành một nhóm:
a) Tập hợp các số thực có dạng a b 3,a,b với phép cộng
b) Tập hợp các số thực có dạng a b 3,a,b,a2 b2 0 với phép nhân.
5. Cho tập hợp A 0,1,2 . Chứng minh rằng A là một nhóm Aben với phép toán
cho trong bảng sau:
13
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
0
1
2
6. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên là một nhóm Aben với phép toán sau:
, với mọi a, b thuộc .
a b a b 1
7. Cho X là một nhóm với đơn vị là e. Chứng minh rằng nếu x2 e với mọi
thì
x X
X là một nhóm Aben.
8. Giả sử a và b là hai phần tử của một nhóm X sao cho ab = ba. Chứng minh
(ab)n anbn với mọi số tự nhiên n > 1.
Nếu a và b là hai phần tử sao cho (ab)2 a2b2 thì ta có suy ra ab = ba được không?
1.3. Vành và trường
1. Gọi X và Y là tập các số nguyên chia hết cho 3 và 5. Chứng minh rằng X và Y cùng
với hai phép toán cộng và nhân thông thường đều là những vành giao hoán. Các vành này
có đơn vị không?
2. Đặt C100 a :a chẵn, a 1} và B a : a 100 . Các tập C và B cùng
100
100
100
với phép cộng và phép nhân thông thường có lập thành một vành không? Giải thích tại
sao?
3. Cho (,,) là một vành, với a,b ta định nghĩa:
rằng phép toán x thỏa mãn tính chất sau:
. Chứng minh
aa ab ba
a)
aa 0.
b) ab (b)a.
c) [(ab)c][(bc)a][(ca)b] 0 .
4. Chứng minh rằng nếu vành X thỏa mãn a2 0 với mọi
a,b.
thì
với mọi
ab ba
a
5. Cho k là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng (k ,,) là một vành giao
hoán có đơn vị, trong đó k và các phép toán , được cho bởi quy tắc sau:
14
và
với c là dư của phép chia a + b cho k;
với d là dư
a b d
0,1,...,k 1
a b c
k
của phép chia ab cho k.
6. Chứng minh rằng (k ,,) với
là một trường khi và chỉ khi k là một số
k 2
nguyên tố.
7. Cho
. Chứng minh rằng X cùng với phép cộng và phép nhân
X a b 2 a,b
thông thường là một trường.
15
Chương 2
SỐ TỰ NHIÊN
MỤC TIÊU
Kiến thức: Trang bị cho người học những kiến thức về:
- Tập hợp tương đương và bản số của tập hợp.
- Xây dựng tập các số tự nhiên bằng lí thuyết tập hợp.
- Xây dựng các phép toán cộng và nhân trên tập các số tự nhiên bằng phép toán trên các
bản số.
- Xây dựng quan hệ thứ tự trên tập các số tự nhiên.
- Nguyên lí quy nạp và phương pháp chứng minh quy nạp.
- Biểu diễn số tự nhiên và các dấu hiệu chia hết.
Kĩ năng:
- Giải toán trong tập các số tự nhiên.
- Vận dụng vào việc giảng dạy toán ở các lớp bậc Tiểu học.
Thái độ:
Đậy là phần mang tính lí thuyết và liên quan nhiều nội dung môn toán ở bậc Tiểu học,
do đó người học cần thoát khỏi những gì đã được biết về các số thông thường. Đồng thời
người học cần thấy được ý nghĩa của việc xây dựng tập số tự nhiên, trên cơ sở giúp cho
họ giảng dạy tốt hơn môn toán bậc Tiểu học.
2.1. BẢN SỐ CỦA TẬP HỢP
2.1.1. Tập hợp tương đương
Định nghĩa 2.1. Cho hai tập hợp A và B. Ta nói rằng A tương đương với B, kí hiệu
A B , nếu tồn tại một song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.
Ví dụ 2.1:
1) Cho A a,b,c ; B , , . Khi đó A B vì có song ánh
f : A B,a ;b ;c .
2) Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm của cạnh
AB tương đương với tập các điểm của cạnh AC.
16
A
Thật vậy:
x'
Đặt [AB] là tập các điểm của cạnh AB;
[AC] là tập các điểm của cạnh AC.
Ta có song ánh f :[AB] [AC]
x
C
B
xác định bởi f(A) = A; f(B) = C và nếu x[AB]
mà x A, x B thì f (x) x' , trong đó x' [AC] mà xx' // BC.
Tính chất 2.1:
1) Với mỗi tập hợp A ánh xạ đồng nhất idA : A A là một song ánh, nên ta có A A
2) Cho hai tập hợp A và B, nếu A B tức là có một song ánh f : A B . Khi đó ánh xạ
ngược f 1 : B A cũng là một song ánh nên suy ra B A.
3) Cho ba tập hợp A, B, C, nếu A B và
, tức là có các song ánh f : A B và
B C
g : B C . Khi đó gf : A C cũng là một song ánh, suy ra
.
A C
Vậy quan hệ có ba tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Do tính chất đối xứng của
quan hệ nên, nếu A B (hoặc B A) thì ta cũng nói hai tập hợp A và B tương đương
nhau..
2.1.2. Định lí Cantor
Với hai tập hợp A và B bất kì, bao giờ cũng xảy ra một trong hai trường hợp sau:
1) Có một đơn ánh từ tập A đến tập B.
2) Có một đơn ánh từ tập B đến tập A.
Nếu cả hai trường hợp trên cùng xảy ra thì có một song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.
Nhận xét: Cho hai tập hợp A và B. Nếu có một đơn ánh f từ tập A đến tập B thì có một
song ánh từ A đến f(A) và khi đó A tương đương với f(A) là một bộ phận của B. Và
ngược lại, nếu A tương đương với một bộ phận B' của B thì có một song ánh g : A B'
và g có thể kéo dài thành một đơn ánh g' từ A đến B.
g' : A B
a g' (a).
17
Vì vậy, định lí Cantor còn có thể phát biểu cách khác là:
Cho hai tập hợp A và B bất kì, bao giờ cũng xảy ra một trong hai trường hợp sau:
1) A tương đương với một tập con của B.
2) B tương đương với một tập con của A.
Nếu cả hai trường hợp trên cùng xảy ra thì A tương đương với B.
2.1.3. Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn
Định nghĩa 2.2. Tập hợp A được gọi là tập hợp hữu hạn nếu A không tương đương với
bất kì tập con thực sự nào của A.
Một tập không phải là tập hợp hữu hạn được gọi là tập hợp vô hạn. Nói cách khác, tập
hợp A được gọi là tập hợp vô hạn nêu có một tập con thực sự của A mà tương đương với
A.
Ví dụ 2.2:
1) Tập rỗng là một tập hợp hữu hạn, vì không có một tập con thực sự nào.
2) Tập x là một tập hữu hạn, vì x chỉ có một tập con thực sự là tập rỗng , mà
không tương đương với x .
3) Tập các điểm trên đoạn AB (A B) là một tập vô hạn. Thật vậy, gọi C là trung điểm
của AB khi đó [AC] [AB] và [AC] [AB], đồng thời có thể chỉ ra rằng [AC] [AB].
Định lí 2.1.
- Tập hợp tương đương với tập hữu hạn là một tập hữu hạn.
- Tập con của một tập hợp hữu hạn là một tập hữu hạn.
2.1.2. Bản số
2.1.2.1. Khái niệm về bản số
Để mở rộng khái niệm “số” phần tử của một tập hợp hữu hạn. Cantor đã đưa ra khái
niệm bản số của một tập hợp để đặt trưng cho “số lượng” các phần tử của tập hợp.
Mỗi tập hợp có một bản số. Bản số của tập hợp A kí hiệu A hoặc cardA; hai tập hợp có
bản số bằng nhau khi và chỉ khi chúng tương đương nhau (bản số của hai tập hợp A và B
là bằng nhau, A B khi và chỉ khi A và B tương đương với nhau, nghĩa là có một song
ánh từ tập A đến tập B).
18
Tải về để xem bản đầy đủ
71 trang
15/01/2024
3520
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Các tập hợp số", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_cac_tap_hop_so.pdf
