Bài tập Toán kỹ thuật - Chương 9: Chuỗi hàm phức
Chương 9: Chuổi hàm phức
P9.1: Khai triển hàm f(z) = ez thành chuổi Taylor quanh điểm z
= 1 với hai phương pháp:
a) Theo định nghĩa, tức là dùng f(n)(1) (khi n = 0, 1, 2,… ).
b) Theo phương pháp thế : ez = eu.e với u = z – 1.
c) Cho biết bán kính hội tụ của chuổi.
∞
(z−1)n
(Ans: (a),(b) ez = e
(c) | z −1|< ∞ )
∑
n!
n=0
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
1
Chương 9: Chuổi hàm phức
P9.2: Khai triển hàm f(z) = 1/[z( z – 2i)] thành chuổi Taylor
quanh điểm z = i dùng hai phương pháp:
a) Theo định nghĩa, tức là dùng f(n)(i) cho đến thành phần (z – i)4.
b) Theo phương pháp thế và dùng các chuổi cơ bản.
c) Cho biết bán kính hội tụ của chuổi.
1
(Ans : (a)
=1− (z − i)2 + (z − i)4 +...
z(z−2i)
1
(b)
=1− (z − i)2 + (z − i)4 − (z − i)6 +... (c) | z − i |<1 )
z(z−2i)
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
2
Chương 9: Chuổi hàm phức
P9.3: Khai triển hàm f(z) = 1/(1 – z) thành chuổi Taylor quanh
điểm z = i ? Xác định bán kính hội tụ ?
∞
(z−i)n
(Ans :
;| z − i |< 2 )
n+1
∑
(1−i)
n=0
P9.4: Khai triển hàm f(z) = (z – 1)/(z + 1) thành chuổi Taylor
quanh điểm z = 0 ? Xác định bán kính hội tụ ?
(Ans: −1+ 2z − 2z2 + 2z3 −...; | z |<1 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
3
Chương 9: Chuổi hàm phức
P9.5: Khai triển hàm f(z) = (z – 1)/(z + 1) thành chuổi Taylor
quanh điểm z = 1 ? Xác định bán kính hội tụ ?
2
3
(z−1)
(Ans: − (z−1) + (z−1) −...; | z −1|< 2 )
2
4
8
P9.6: Khai triển hàm f(z) = 1/z thành chuổi Taylor quanh điểm z
= i ? Xác định bán kính hội tụ ?
(Ans : − i + (z − i) + i(z − i)2 − (z − i)3 − i(z − i)4 +...; | z − i |<1 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
4
Chương 9: Chuổi hàm phức
P9.7: Khai triển hàm f(z) = 2i/(4 + iz) thành chuổi Taylor quanh
điểm z = – 3i ? Xác định bán kính hội tụ ?
∞
2i
2(−1)nin+1
(Ans : =
(z + 3i)n ; | z + 3i |< 7 )
7n+1
∑
4+iz
n=0
f (z) = z2e1/ z
P9.8: Cho hàm phức :
Khai triển f(z) thành chuổi Laurent quanh điểm z = 0 bằng cách
dùng chuổi cơ bản ez ? Xác định miền hội tụ của chuổi ?
1
1
4!z2
(Ans : z2 + z + 1 + + +...; 0 <| z |< ∞ )
2
3!z
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
5
Chương 9: Chuổi hàm phức
1
P9.9: Cho hàm phức :
f (z) =
z2 (1+z)
Khai triển f(z) thành chuổi Laurent quanh điểm:
a) z = 0 .
b) z = 1.
Xác định miền hội tụ cho mỗi trường hợp ?
(Ans : (a) − 1 +1− z + z2...;0 <| z |<1
1
z2
z
1
(b) + 2 + 3(z +1) + 4(z +1)2 +...;0 <| z +1|<1 )
z+1
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
6
Chương 9: Chuổi hàm phức
1
P9.10: Cho hàm phức : f (z) =
z2 (1−z)
Khai triển f(z) thành chuổi Laurent quanh điểm z = 0 trong các
miền:
a) Miền 0 < |z| < 1 .
b) Miền 1 < |z| < ∞.
∞
∞
1
z2
1
n
(Ans : (a) + 1 + zn (b) − )
∑ ∑z
z
n=0
n=3
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
7
Chương 9: Chuổi hàm phức
P9.11: Tìm khai triển chuổi (Taylor/Laurent) của hàm f(z) = 1/(2
– z) quanh điểm z = 0 trong các miền :
∞
∞
a) |z| < 2 ?
b) |z| > 2 ?
1
2n
n+1
(Ans: a)
n+1 zn b) −
)
∑2 ∑z
n=0
n=0
P9.12: Tìm khai triển chuổi (Taylor/Laurent) của hàm f(z) = 1/(2
– z) + 1/( 1 – z) quanh điểm z = 0 trong các miền :
3
(Ans : a) + 54 z + 98 z2 +...
a) |z| < 1 ?
b) 1 < |z| < 2 ?
c) |z| > 2 ?
2
b) ...− − 1 + 1 + 1 z + 1 z2 +...
1
z2
z
2
4
8
9
z4
5
z3
3
z2
c) ... − − − − 2 )
z
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
8
Chương 9: Chuổi hàm phức
P9.13: Tìm khai triển chuổi (Taylor/Laurent) của hàm f(z) =
3/(z2 + 5z +4) quanh điểm z = 0 và cho biết miền hội tụ của mỗi
chuổi ?
1
42
1
43
(Ans : a) f(z) = 1− 1 − 1− z + 1− z2 −...;| z |<1
( ) (
) (
)
4
2
b) f(z) = − + +... − − + z −... ;1<| z |< 4
1
1
1
1
z
(
)
z2
z3
42
43
(
)
z
4
2
3
c) f(z) = + 1−4 + −1+4 +... ; |z| > 4 )
3
2
z3
z4
z
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
9
9 trang
25480
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập Toán kỹ thuật - Chương 9: Chuỗi hàm phức", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_toan_ky_thuat_chuong_9_chuoi_ham_phuc.pdf
