Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 2: Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (Phần 2)
Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier
2.1 Tích phân Fourier
2.2 Phép biến đổi Fourier
2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier
2.4 Các hàm bất thường và biến đổi Fourier của chúng
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
1
Tích phân Fourier mũ phức
+∞
f (t) = C(ω)ejωtdω
∫
−∞
+∞
1
2π
C(ω) =
f (t)e− jωtdt
∫
−∞
F(ω) = 2πC(ω)
F
Miền ω:
F(ω)
Miền t:
f(t)
F -1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
2
2.2 Biến đổi Fourier
Cặp biến đổi Fourier
f (t) ↔ F(ω)
Biến đổi thuận
+∞
F(ω) =
F
f (t) = f (t)e− jωtdt
{ }
∫
−∞
Biến đổi ngược
+∞
1
2π
−1
f (t) =
F
F(ω) = F(ω)ejωtdω
{ }
∫
−∞
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
3
Ví dụ
−at
e (t > 0)
Tìm biến đổi Fourier phức của hàm
f(t) =
a > 0
0 (t < 0)
Giải
Dùng định nghĩa:
∞
+∞
+∞
e−(aω+)tj
F(ω) = f(t).e− jωtdt = e−(a+ jω)tdt =
∫
∫
−(aω+) j
−∞
0
0
1
F(ω) =
a +ωj
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
4
Ví dụ tìm biến đổi Fourier
at
e (t < 0)
e−at (t > 0)
at
2a
F(ω) =
F(ω) =
f(t) =
a > 0
2
2
aω+
-e (t < 0)
e−at (t > 0)
−2 jω
aω+
f(t) =
a > 0
2
2
f (t)
1
2(1− cosω)
F(ω) =
ω2
t
−1
1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
5
Tính chất của phép biến đổi Fourier
Tính tuyến tính
◦ Nếu
f1(t) ↔ F (ω) ; f2 (t) ↔ F2 (ω)
1
◦ Thì
a1 f1(t) + a2 f2 (t) ↔ a1F1(ω) + a2F2 (ω)
(a1,a2 :caùchaèngsoá)
Tính đối xứng (đối ngẫu thời gian-tần số)
f (t) ↔ F(ω) ⇒ F(t) ↔ 2π f (−ω)
+∞ F(ω)ejωtdω ⇒ f (−t) =
+∞ F(ω)e− jωtdω
−∞
1
1
f (t) =
2π
2π
∫
∫
−∞
+∞
⇒ 2π f (−ω) = F(t)e− jωtdt
∫
−∞
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
6
Tính chất của phép biến đổi Fourier
Đổi thang thời gian (co giãn, đồng dạng)
ω
+∞
+∞
− j
x
( a )
f (at)e− jωtdt = 1a
f (x)e dx = F( a )
ω
1
a
−∞
−∞
ω
+∞
−∞
− j
x
( a )
f (at)e− jωtdt = 1a
f (x)e dx = F( a )
ω
1
−a
1 ω
f (at) ↔ F
a a
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
7
Tính chất của phép biến đổi Fourier
f (t)
1
2(1− cosω)
F(ω) =
ω2
t
−1
1
f1(t)
f2 (t)
2
t
f (t) = f
f1(t) = 2 f (t)
2
2
1
−2
2
t
−1
4(1−1cosω)
(1 − cos 2ω)
F (ω) =
F (ω) =
1
2
ω2
ω2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
8
Tính chất của phép biến đổi Fourier
Dịch chuyển trong miền thời gian (dời thời gian)
f (t −t) ↔ e− jω t0 F(ω)
+∞
+∞
→ F (ω) = f1(t)e− jωtdt = f (t −t0 )e− jωtdt
f1(t) = f (t −t0 )
1
∫
∫
−∞
−∞
+∞
+∞
⇔ F (ω) = f (x)e− jω(x+t )dx =e− jωt
f (x)e− jωxdx = e− jωt0 F(ω)
−∞
0
0
1
∫
∫
−∞
Dịch chuyển trong miền tần số (dời tần số, điều chế AM)
f (t)ejω0 t ↔ F(ω −ω)
f1(t) = f (t)ejω t
0
+∞
+∞
⇒ F (ω) = f1(t)e− jωtdt = f (t)e− j(ω−ω )tdt = F(ω −ω0 )
0
1
∫
∫
−∞
−∞
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
9
Tính chất của phép biến đổi Fourier
g(t)
f (t)
Cho biết
1
1
ωτ
f (t) ↔ F(ω) =τ sinc
2
τ
2
τ
2
t
t
τ
−
Tìm G(ω) ?
τ
2
− jω
τ
2
ωτ
g(t) = f (t − ) ↔ G(ω) = e τ sinc
2
Tìm H(ω)=F{cos(ω0t)f(t)}
ejω0t + e− jω0t
h(t) =
f (t)
(ω −ω )τ
(ω +ω )τ
τ
2
0
0
h(t) ↔ H(ω) = sinc
+ sinc
2
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
10
Tính chất của phép biến đổi Fourier
dn f (t)
Đạo hàm trong miền t
↔ ( jω)n F(ω)
dtn
+∞
1
2π
f (t) =
F(ω)ejωtdω ⇒
= jω
( ) 2π
+∞ F(ω)ejωtdω
−∞
df (t)
1
∫
∫
−∞
dt
t
F(ω)
jω
f (τ )dτ ↔ π F(0)δ (ω) +
Tích phân trong miền t
∫
dnF(ω)
tn f (t) ↔ jn
dωn
Đạo hàm trong miền ω
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
11
Tính chất của phép biến đổi Fourier
f (t) ↔ F(ω) ; g(t) ↔ G(ω)
Tích chập (convolution)
+∞
f (t)∗ g(t) = f (τ )g(t −τ )dτ ↔ F(ω)G(ω)
∫
−∞
+∞
1
1
f (t)g(t) ↔ F(ω)∗G(ω) = F(x)G(ω − x)dx
∫
2π
2π
−∞
Định lý Parseval
+∞
+∞
1
f 2 (t)dt ↔ F(ω) 2 dω
∫ ∫
2π
−∞
−∞
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
12
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
δ∆ (t)
Hàm Dirac δ(t)
1
1
0 < t < ∆τ
∆τ
δ (t) =
∆τ
∆
0 otherwise
∆τ
t
δ (t) = lim δ∆ (t)
δ (t)
∆τ →0
+∞
∞ t = 0
0 t ≠ 0
δ (t) =
⇒ δ (t)dt =1
∫
−∞
t
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
13
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
f(t)=δ(t):
+∞
+∞
F(ω) = δ (t)e− jωtdt = δ (t)dt =1
∫ ∫−∞
−∞
⇒
δ (t) ↔1
δ (t)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
14
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
f(t)=1:
+∞ 2πδ (ω)ejωtdω =1
1
F(ω) = 2πδ (ω)
⇒ f (t) =
∫
−∞
⇒
1↔ 2πδ (ω)
2πδ (ω)
↔
ω
t
0
0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
15
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
t
rect
f(t) xung cổng đơn vị:
τ
1
0 t >τ / 2
t
r ect =
τ
2
τ
2
1 t <τ / 2
t
−
+τ /2
−τ /2
+∞
τ /2
1
ejωτ /2 − e− jωτ /2
F(ω) = rect(τt )e− jωtdt = e− jωtdt = − ejωt
=
∫
∫
jω
jω
−∞
−τ /2
ωτ
ωτ
sin
j2sin
( )
( )
2
2
ωτ
⇔ F(ω) =
=τ
=τ sinc
( )
2
ωτ
τ
2
jω
( )
2
ω0 =
ω0
π
t
ωτ
ω
⇒
sinc ω t ↔ rect( )
rect ↔
τ
sinc
( )
τ
0
2ω0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
16
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
Hàm bước (nấc thang) đơn vị : u(t)
u(t)
0 t < 0
1
u(t) =
1 t > 0
t
1
u(t) ↔ πδ (ω) +
jω
d
u(t) = δ (t)
dt
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
17
u(t)
e−atu(t)
u(t) = lime−atu(t)
a→0
+∞
1
a − jω
a +ω
⇒ F(ω) = lim e−atu(t)e− jωtdt =lim
= lim
a→0
2
2
∫
−∞
a→0
a→0
a + jω
a
1
1
⇒ F(ω) = lim
+
2
2
Diện tích bằng π
a→0
a +ω jω
a
1
a
⇒ F(ω) = πδ (ω) +
a2 +ω2
jω
u(t) ↔ πδ (ω) +1/ jω
ω
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
18
Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng
sgn(t)
Hàm dấu
1
1 t > 0
sgn(t) =
−1 t < 0
t
−1
sgn(t) = 2u(t) −1
2
sgn(t) ↔ 2πδ (ω) + − 2πδ (ω)
jω
2
sgn(t) ↔
jω
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
19
Các cặp biến đổi Fourier
f(t)
δ(t)
F(ω)
1
2πδ (ω)
1
1
πδ (ω) +
u(t)
jω
2
sgn(t)
jω
1
1
e−atu(t) & eatu(−t) (a > 0)
&
a + jω a − jω
2a
a2 +ω2 a − j
1
1
e−a t (a > 0)
=
+
ω
a + jω
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
20
Tải về để xem bản đầy đủ
23 trang
24500
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 2: Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ky_thuat_chuong_2_tich_phan_fourier_bien_doi.pdf
