Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 8: Phương pháp phần tử hữu hạn (Phần 2)
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
8.3 Tích phân số
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
8.3.1 Liên hệ giữa các hệ toạ độ tổng thể và hệ toạ độ địa phương
Với phương pháp phần tử hữu hạn miền tính toán Ω được chia nhỏ
thành nhiều miền con, phương pháp biến phân trọng số xây dựng trên các
miền con này. Do đó dẫn đến tích phân hàm dạng trên miền con.
Nếu tích phân hàm dạng bậc cao với sử dụng hệ toạ độ tổng thể
(x,y,z, global coordinate) thì thông thường sẽ xuất hiện các biểu thức đại số
rất phức tạp khi phần tử là hai, ba chiều (Irons and Ahmad, 1980).
Thay vào đó nếu chúng ta thực hiện chúng trong hệ toạ độ địa phương
(ξ,η,ζ, local coordinate) hay còn gọi là toạ độ chuẩn hay toạ độ tự nhiên
(normal coordinate hay natural coordinate) thì sẽ đơn giản hơn rất nhiều
(Taig, 1961); bởi lẽ nó thuận lợi trong việc xây dựng hàm nội suy, tích phân
số dùng được cách thiết lập của Gauss-Legendre (phổ biến nhất).
y
Phần tử thực
η
τe
Phần tử chiếu
X k
0,1
1→ xi
2 → x j
3→ xk
3
ve
xi
vr
2
1
Xj
ξ
0,0
1,0
x
Hinh3.3: Biểu thị phần tử chiếu Vr vào phần tử thực Ve
Với phần tử đẳng tham số (isoparametric), ta có thể viết công thức biến đổi
toạ độ cho
phần tử tứ giác tuyến tính có bốn điểm nút như sau:
4
x = N x = N x + N x + N x + N x
∑
i
i
1
1
2
2
3
3
4
4
i=1
4
y =
N x = N x + N x + N x + N x
(3.10)
(3.11)
∑
j
j
1
1
2
2
3
3
4
4
j=1
Với phần tử tam giác tuyến tính có ba điểm nút:
3
x = N x = N x + N x + N x
∑
i
i
1
1
2
2
3 3
i=1
3
y =
N y = N y + N y + N y
∑
j
j
1
1
2
2
3
3
j=1
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 62
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
ở đây Ni, Nj là hàm dạng hay còn gọi là hàm nội suy (shape function hay
interpolation function).
Từ luật đạo hàm đạo hàm riêng phần, ta có:
∂
∂ξ
∂
∂x ∂y
∂ξ ∂ξ
∂x ∂y
∂η ∂η
∂
∂x
∂
∂
∂x
∂
=
= J
(3.12)
∂y
∂y
∂η
∂
∂ξ
∂
∂
∂x
∂
−1
Hay:
= J
(3.13)
∂y
∂η
ở đây J là ma trận Jacobian biến đổi toạ độ. Định thức của ma trận nầy, det
J , cũng phải được ước lượng bởi lẽ nó được dùng trong các tích phân biến
đổi như sau:
+ Cho phần tử tứ giác tuyến tính:
1 1
(3.14)
(3.15)
∫∫dxdy = ∫ ∫det J dξ dη
+ Cho phần tử tam giác tuyến tính:
ωe
−1−1
1−ξ
1
∫∫dxdy = ∫ ∫det J dη dξ
ωe
0
0
2
2
3
4
3
4
1
1
Hình 3.4: Phần tử tứ giác có ma trận Jacobian không xác định
Trong một số trường hợp, ví dụ như ở Hình 3.4, phần tử tứ giác có 4 điểm
nút. Nếu dạng hình học như vậy, ma trận Jacobian trở nên không xác định;
để nó có giá trị tốt, các hình dạng phần tử như cạnh và góc của nó cần phải
đều đặn hơn (ví dụ tam giác đều, tứ giác đều ≡ hình vuông, đây là các dạng
phần tử lý tưởng).
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 63
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
8.3.2 Tích phân số
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Một số tích phân của các loại bài toán hai chiều (2D), ba chiều (3D), theo
phương pháp phần tử hạn hạn có thể được ước lượng bằng giải tích, nhưng
nó không thực dụng cho các hàm số phức tạp, đặc biệt trong trường hợp tổng
quát khi ξ,η là toạ độ cong. Trong thực hành (3.14), (3.15) được ước lượng
( )
bằng số, gọi là tích phân số (numerical integration hay còn gọi là numerical
quadrature). Dùng tích phân số của Gauss, với phần tử tứ giác, miền hai
chiều ta có:
1 1
n
n
(
ξ,η
)
dξdη ≅
(
)
(3.16)
∑∑w w f ξ ,η
∫∫ f
i
j
i
j
i=1 j=1
−1−1
Với phần tử tam giác:
1−ξ
1
n
1
2
f
(
ξ,η
)
dηdξ ≅
w f
(
ξ i ,ηi
)
(3.17)
∑
i
∫ ∫
i=1
0
0
Với phần tử tứ giác thì wi, wj là hệ số trọng số và ξi ,η j là các vị trí toạ độ
bên trong phần tử, cho ở Bảng 2 (xem Kopal 1961); còn với phần tử tam
giác, tương tự như phần tử tứ giác, nhưng các điểm tích phân là các điểm
mẫu (sampling points), Bảng 1.
Thông thường người ta muốn các tích phân số đạt độ chính xác cao,
nhưng có những trường hợp đặc biệt lại không cần thiết. Ở tích phân Gauss
(3.16), với n = 2, sẽ chính xác khi hàm f là cubic (bậc 3), còn ở tích phân
(3.17), n = 1, sẽ chính xác khi đa thức f bậc nhất, còn n = 3 sẽ chính xác
khi đa thức f bậc hai.
Bảng 1: Điểm tích phân cho phần tử tam giác
theo công thức (3.17)
ξi
1/ 3
ηi
1/ 3
n
1
wi
1
1/ 2
1/ 2
0
1/ 2
0
1/ 3
1/ 3
1/ 3
3
1/ 2
Bảng 2: Trọng số và điểm tích phân Gauss – Legendre
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 64
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
theo công thức (3.16)
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Trọng số wi
Điểm tích phân Số điểm tích
ξi
phân r
0.0000000000
± 0.5773502692
0.0000000000
± 0.7745966692
± 0.3399810 435
± 0.8611363116
0.0000000000
± 0.5384693101
± 0.9061798459
± 0.2386191861
± 0.6612093865
± 0.9324695142
Một điểm
Hai điểm
Ba điểm
2.0000000000
1.0000000000
0.8888888889
0.5555555555
0.6521451548
0.3478548451
0.5688888889
0.4786286705
0.2369268850
0.4679139346
0.3607615730
0.1713244924
Bốn điểm
Năm điểm
Sáu điểm
8.4 Các bước tính toán cơ bản và kỹ thuật lập trình cho máy tính số
theo phương pháp phần tử hữu hạn
Để áp dụng cách giải bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn
người ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát
Chia miền khảo sát V thành ne miền con V(e) hay các phần tử có
dạng hình học nhất định.
ne
Ta có: V = V(e) ,
(3.18)
∑
e=1
Với cách chia miền tính toán V bằng tổng các miền con V(e) , mô hình thực
tế được thay bằng mô hình tính toán với ne phần tử hữu hạn được liên kết
với nhau bởi các điểm nút và tại mỗi điểm nút tồn tại các đại lượng thể hiện
sự tác động qua lại của các phần tử kề nhau, như vậy bài toán hệ liên tục có
bậc tự do vô hạn được thay bằng bài toán tính hệ có bậc tự do hữu hạn đơn
giản hơn nhiều.
Ví dụ với các bài toán thấm thường có các dạng sơ đồ sau:
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 65
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
- Một chiều:
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Mưa
Nút
Lớp không thấm
Phần tử
- Hai chiều:
Mặt đất
Mực nước
Phần tử
Phần tử
Phần
- Ba chiều:
- Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp
Phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng ở đây thường là phương pháp
Galerkin- gọi tắt là phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin.
Để tìm được nghiệm trên các miền con điều quan trọng là phải chọn
(e)
hàm toạ độ Np ( hay còn gọi là hàm nội suy, hàm dạng) đảm bảo sự liên
tục của các đại lượng cần tìm giữa các phần tử trong miền D.
-Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử
Miền V được chia thành ne phần tử (miền con V(e) ) bởi R điểm nút. Tại một
nút có s bậc tự do, thì số bậc tự do của cả hệ là: n = R.s
Gọi {q } là véc-tơ ẩn của toàn hệ, {q }e là véc-tơ ẩn của mỗi phần tử; giả sử
mỗi phần tử có r nút, thì số bậc tự do của mỗi phần tử là: r. s
Ta có liên hệ {q }e = [L]e . {q }
(3.19)
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 66
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
(ne.1) = (ne.n) x (n .1)
Với [L]e được gọi là ma trận định vị.
Ứng với mỗi phần tử, ta có phương trình ma trận:
[K]e{q }e = {C}e
(3.20)
[K]e ma trận phần tử , {C]e vectơ vế phải phần tử
{q}e là tập hợp các giá trị cần tìm tại các nút của phần tử
-Bước 4 : Ghép nối các phần tử
Tập hợp cho tất cả các phần tử trong miền V, ta có:
ne
ne
[K]e {q }e =
{C}e
∑
∑
e=1
e=1
Viết lại:
[ ].{q } = {C }
(3.21)
ne
ne
Trong đó:
[ ] =
[K]e =
[L]eT[K]e[L]e
∑
∑
e=1
e=1
ne
ne
{
C
}
=
[L]eT{C}e
{ }
C =
∑
∑
e
e=1
e=1
- Ma trận tổng thể
K
{ }
- Vectơ tập hợp tổng các ẩn cần tìm tại các nút (tổng bậc tự do
q
tại các nút)
{C } Vectơ các số hạng tổng thể ở vế phải
Như vậy việc sử dụng ma trận định vị [L]e để tính [ ] và {C }, thực chất
là sắp xếp các phần tử [K]e , {C}e vào vị trí của nó ở trong [ ] và {C }. Tuy
nhiên trong thực hành người ta không dùng cách nầy.
Sau đây, sẽ giới thiệu một cách ghép nối trực tiếp để thiết lập ma trận
tổng thể và vectơ vế phải tổng thể mà không cần xử dụng ma trận định vị
[L]e .
Giả sử xét bài toán thấm có áp trong miền Ω (A B C D E F), miền
được chia thành 8 phần tử tam giác (ne =8), có 9 điểm nút (R =9), tại mỗi
điểm nút có s bậc tự do (số ẩn số tại nút ), ở đây s =1 là cột nước thấm, mỗi
phần tử tam giác có 3 điểm nút (r = 3); thì số bậc tự do của mỗi phần tử là:
r ×s = 3×1 = 3 (xem Hình 3.5).
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 67
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Y(m)
Vn = 0
k
F
E
D
3
9
6
8
6
4
2
3
1
7
5
Ω
i
8
2
1
5
j
4
7
X(m)
A
B
C
Vn = 0
Hình 3.5: ụ bài toán thấm có áp miền tính toán
Nếu cũng với phần tử tam giác có ba điểm nút nầy r = 3, tại mỗi nút có ba ẩn
h, u, v như bài toán dòng chảy hở hai chiều ngang s = 3, thì số bậc tự do của
mỗi phần tử là r. s = 3x3 = 9, ta sẽ được ma trận phần tử (9,9). Để đơn giản
ta xét phần tử tam giác tại mỗi nút có một bậc tự do. Mỗi phần tử (ở đây là
tam giác) được đánh số các nút (i,j, k), theo chiều được qui ước (chẳng hạn
ngược chiều kim đồng hồ), nút i được qui ước là nút ở bên trái và thấp
nhất. Với mỗi phần tử bất kỳ ne ta có ma trận phần tử [K]e và vectơ vế phải
C e như sau:
{ }
e
e
e
Kii Kij K e
ci
ik
[
]
K
= K eji K ejj K ejk
,
{C}e = ce
j
e
e
e
e
e
Kki Kkj Kkk
ck
Với cách đánh số nút và phần tử như trên ta có 8 phần tử với các nút tương
ứng (i,j,k) như sau: e1(1,4,5), e2(1,5,2), e3(2,5,6), e4(2,6,3), e5(4,7,8),
e6(4,8,5), e7(5,8,9), e8(5,9,6)
Ví dụ phần tử:
e4(i,j,k) ≡ e4 (2,6,3)
4
4
4
K22 K26 K 4
c2
23
[K]e=4 = K642 K646 K643
,
và
{C}e=4
=
c4
6
4
4
4
4
K32 K36 K33
c3
e
Mỗi hệ số Kij
chử e chỉ số trên, chỉ hệ số nầy thuộc ma trận phần tử
nào; i là hàng nào trong ma trận tổng thể, j là cột nào trong ma trận tổng thể.
4
Ví dụ K62 đây là hệ số của ma trận phần tử e = 4, nằm trong hàng 6 cột
2 của ma trận tổng thể.và ma trận tổng thể:
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 68
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
ne
8
[ ] =
[
K
]
=
[
K
]
=
[X]
e
∑
e
∑
e=1
e=1
1
2
2
k
12
3
4
5
6
7
8
9
1
2
1
1
2
1
k +k
k
k +k
11
11
14
15
15
2
2
3
4
4
2
3
3
4
2
k
k +k +k k
k +k
k +k
21
22
22
22
23
25
25
26
26
4
4
4
3
k
k
k
32
33
36
1
1
5
6
1
6
5
5
6
4
k
k +k +k
k +k
k
k +k
41
44
44
44
45
45
47
48
48
=
8
1
2
2
3
1
6
1
2
3
6
7
8
3
8
6
7
7
[X] 5
k +k k +k
k +k k +k +k +k +k +k k +k
k +k
k +k
51
51
52
52
54
54
55
55
55
55
55
55
56
56
58
58
59
59
3
4
4
3
8
3
4
8
8
6
k +k
k
k +k
k +k +k
k
62
62
63
65
65
66
66
66
69
5
5
5
7
k
k
k
74
77
78
5
6
6
7
5
5
6
7
7
8
k +k
k +k
k k +k +k
k
84
84
85
85
87
88
88
88
89
8
7
8
8
7
7
9
k +k
k
k
k +k
99
95
95
96
98
99
…..(3.22)
Cọng một cách tương tự cho vectơ vế phải {C }, với chú ý phép cọng nầy
giống cọng các số hạng trên đường chéo chính của ma trận tổng thể [ ]:
ne
{C } =
{C}e
(3.23)
∑
e=1
Ta thấy ở ma trận tổng thể các phần tử khác không có dạng đường chéo
(hay còn gọi là dạng Band). Để tiết kiệm bộ nhớ và thời gian tính của máy
tính, người ta chỉ lưu trữ các phần tử khác không nầy và thuật toán cũng chỉ
tính toán với các phần tử khác không.
Người ta phải lưu trữ cả ma trận dạng band nầy khi ma trận band có
chiều rộng Band hẹp (liên quan đến cách đánh số nút của các phần tử),
không đối xứng (Hình 3.6). Chỉ cần lưu trữ một nữa band khi ma trận đối
xứng. Khi chiều rộng Band lớn và trong các hàng của Band còn nhiều phần
tử bằng không, người ta có thể dồn ma trận lại thành ma trận Band hẹp hơn,
như vậy sẽ cần thêm ma trận định vị nữa. Tuy nhiên với cách lưu trữ ma trận
Band dù theo kiểu nào, thì trong Band vẫn còn một số hệ số phần tử bằng
không; do đó để loại bỏ các phần tử bằng không ở trong Band, người ta còn
có cách lưu trữ các phần tử khác không nầy ở dạng vectơ gọi là kỷ thuật
frontal method.
Thiết lập ma trận tổng thể của bài toán ở dạng ma trận Band
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 69
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Ở đây ma trận tổng thể được lưu trữ ở dạng Band, ví dụ ma trận tổng thể
không đối xứng, nên lưu trữ cả hai Band (KIJ ≠ K J I )
b
[VK]
KII
KII
[K]=
n
2b+1
Hình 3.6: Cách lưu trữ ma trận dạng Band
Ta có
Với
KIJ = V Ki j
(3.24)
i
=
=
I
j
J - I + 1 + b
( Nếu ma trận đối xứng chỉ cần lưu trữ một Band, lúc đó j = J - I + 1 )
Sau đây là thuật toán theo phương pháp khử Gauss, viết cho ma trận Band
đối xứng, chỉ lưu trữ một Band có chiều rộng b:
Ước lượng thuận
Thế ngược
- Bước 5: áp đặt các điều kiện biên của bài toán ta sẽ nhận được hệ
phương trình để giải như sau:
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 70
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Cách áp đặt điều kiện biên
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Sau khi có được ma trận hệ thống ở dạng Band, để việc lập chương trình
được đơn giản, kích thước ma trận thổng thể của bài toán được cố định khi
có số điều kiện biên là bất kì.
Cách làm như sau:
Dạng phương trình [ K ].{ q } = { c }
Nếu ẩn số thứ i = r được biết là αi , tức là:
qr = αi
(3.25)
thì các hệ số của ma trận hệ thống được biến đổi như sau:
1
[VK] =
[K]=
n
2b+1
Hình 3.7: Cách áp đặt điều kiện biên
Krj = 0
Kir = 0
Krr = 1
nếu j ≠ r
nếu i ≠ r
(3.26)
(3.27)
Vec-tơ vế phải của hệ thống sẽ là:
c1 −k1r• αi
c2 − k2r • αi
M
αi
M
{
C
}
=
c
− kn r • αi
n
Cũng có thể đưa điều kiện biên vào bằng cách nhân hệ số trên đường chéo
chính của ma trận [VK] với một số rất lớn (từ 108 - 1015), khi ma trận [K]
có tính chất trội hoặc không xấu (các hệ số kii là không quá bé so với các hệ
số khác).
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 71
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
- Bước 6:
Giải hệ phương trình đại số
*
*
*
(3.28)
{
K
}{
q
}
=
{ }
C
Cách giải hệ phương trình ở dạng ma trận (3.28) nầy tuỳ theo từng loại bài
toán (dừng hoặc không dừng), tính chất của ma trận lưu trữ, cách lưu trữ ma
trận tổng thể mà chọn cách giải thích hợp; chẳng hạn khử Gauss trực tiếp,
phép tách LU hay Cholexski hoặc giải lặp Gauss-seidel có hệ số giảm dư
hay lặp theo phương pháp gradient liên hợp,… (xem N.T. Hùng, 2000)
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 72
11 trang
21740
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 8: Phương pháp phần tử hữu hạn (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_chuyen_de_phuong_phap_tinh_chuong_8_phuong_phap_ph.pdf
