›
›

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Ứng dụng đạo hàm

Download
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh  
Bộ môn Toán Ứng dụng  
-------------------------------------------------------------------------------------  
Giải tích 1  
Chương 2: Ứng dụng Đạo hàm  
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)  
[email protected]  
Nội dung  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
1 – Taylor Maclaurint.  
2 – Qui tắc Lôpital.  
3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.  
II. Qui tắc Lôpital  
Định lý 1  
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:  
f (x ) g(x )  
1) Xác định trong lân cận của điểm x0 và  
.
0
0
f '(x0 ), g'(x0 ) 0.  
f '(x)  
2) Tồn tại đạo hàm hữu hạn  
f (x)  
lim lim  
Khi đó:  
g'(x)  
xx0  
xx0  
g(x)  
f (x) f (x0 )  
x x0  
xx0 g(x) g(x0 )  
f '(x)  
g'(x)  
f (x)  
lim lim  
lim  
xx0  
xx  
g(x)  
0
x x0  
II. Qui tắc Lôpital  
0
Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )  
0
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:  
1) Khả vi trong khoảng (a,b).  
x(a,b): g'(x) 0.  
2)  
lim f (x) lim g(x) 0  
3) Tồn tại  
4) Tồn tại  
xa  
xa  
f '(x)  
lim  
hữu hạn hay vô hạn.  
'
xa  
g (x)  
f (x) f '(x)  
lim lim  
f (x)  
lim  
Khi đó tồn tại  
và  
'
xa  
xa  
xa  
g(x)  
g(x)  
g (x)  
II. Qui tắc Lôpital  
Chứng minh  
II. Qui tắc Lôpital  
Định lý 2 (Qui tắc Lôpital )  
Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa:  
1) Khả vi trong khoảng (a,b).  
x(a,b): g'(x) 0.  
2)  
lim f (x) lim g(x)    
3) Tồn tại  
xa  
xa  
f '(x)  
lim  
4) Tồn tại  
hữu hạn hay vô hạn.  
'
xa  
g (x)  
f (x) f '(x)  
lim lim  
f (x)  
lim  
Khi đó tồn tại  
và  
'
xa  
xa  
xa  
g(x)  
g(x)  
g (x)  
II. Qui tắc Lôpital  
Chứng minh  
II. Qui tắc Lôpital  
Dạng vô định:  
0
  
f
0
0
dạng  
dạng  
f g   
f 0  
1/ g  
g    
f
f g   
1/ g  
0
0
Các dạng vô định:  
  , 1 , , 0  
Các dạng vô định trên đều đưa về dạng vô định 
0.
 
III. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  
Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:  
1) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.  
y'(x)  
2) Tìm đạo hàm cấp 1:  
y''(x)  
3) Tìm đạo hàm cấp hai  
4) Tìm tiệm cận. Khảo sát khi x ra vô cùng.  
5) Lập bảng biến thiên.  
6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ.  
Ví dụ.  
Tìm cực trị của hàm  
cho bởi p/trình tham số  
t3  
t3 2t2  
x , y   
t
2
1
t
2
1  
t2 (t2 3)  
(t2 1)2  
y'(t) (t 1)(t2 t 4)  
x'(t)   
0  
y'(x)    
x'(t)  
t 0  
   
t(t2 3)  
y'(x) 0 t 1  
Tồn tại hai điểm tới hạn:  
1
x 0 (t 0);x (t 1)  
2
y'(x)  
đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0: hàm đạt  
cực đại tại x = 0.  
y'(x)  
đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1/2: hàm đạt  
cực tiểu tại x = 1/2.  
Ví dụ.  
y y(x)  
Tìm điểm uốn của hàm  
cho bởi p/trình tham số  
cos(2t)  
x 1cot(t), y   
,0 t  
si
n
t  
y''(t)x'(t) x''(t)y'(t)  
y''(x)   
3
x'(t)  
   
3  
y''(x) 0 t   t   
4 4  
3  
t   t   
4 4  
y''(x)  
đổi dấu khi qua  
(2,0)  
0,0  
Vậy hàm có hai điểm uốn: và  
   
(ứng với hai giá trị của t ở trên)  
Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)  
x x0  
lim f (x)    
là tiệm cận đứng.  
Tiệm cận đứng:  
xx0  
Tìm tiệm cận đứng tại những điểm gián đoạn của hàm.  
f (x)  
y ax b  
a lim  
x  
x
Tiệm cận xiên:  
là tiệm cận xiên  
b lim f (x) ax  
x  
Nếu a = 0, thì y = b là tiệm cận ngang.  
Ví dụ.  
Tìm tiệm cận của đồ thị  
arctan2x  
x(1x)  
y   
Tiệm cận đứng: có hai điểm gián đoạn x = 0 và x = 1.  
arctan2x  
x = 0 không là tiệm cận đứng.  
x = 1 là tiệm cận đứng.  
lim  
2  
   
0  
x0  
x(1x)  
arctan2x  
x(1x)  
lim  
x1  
arctan 2x  
y = 0 là tiệm cận ngang.  
lim  
x  
x(1x)  
Hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t):  
Nếu x(t): hàm chẳn, y(t): hàm lẻ, thì đồ thị đối  
xứng qua Ox.  
Nếu x(t): hàm lẻ, y(t): hàm chẵn, thì đồ thị đối  
xứng qua Oy.  
Nếu x(t) và y(t) cùng lẻ, thì đồ thị đối xứng qua  
gốc O.  
Tiệm cận của đường cong tham số x = x(t), y = y(t):  
lim x(t) a  
tt  
0
x
a  
, thì là tiệm cận đứng  
Nếu  
Nếu  
x a  
y b  
lim y(t)    
tt  
0
lim x(t)    
tt  
0
y b  
, thì là tiệm cận ngang  
lim y(t) b  
tt  
0
y(t)  
lim x(t)    
lim a  
tt  
tt0  
x(t)  
0
và  
Nếu  
thì  
lim y(t)    
lim y(t) ax(t) b  
tt  
tt  
0
0
y ax b  
là tiệm cận xiên.  
Các bước vẽ đường cong tham số x = x(t), y = y(t):  
1) Khảo sát hàm một biến x = x(t) theo t.  
2) Khảo sát hàm một biến y = y(t) theo t.  
3) Lập trên cùng bảng biến thiên hai hàm x(t) và y(t).  
4) Tìm tiệm cận và một số điểm đặc biệt của x(t), y(t).  
5) Vẽ. Dựa vào bảng biến thiên: từ trái qua phải, xét x  
biến thiên và y biến thiên trên từng đoạn.  
Ví dụ.  
y y(x)  
Khảo sát vẽ đồ thị hàm  
cho bởi p/trình tham số  
x t2, y t3 3t  
x'(t) 0 t 0  
x'(t) 2t  
y'(t) 3t2 3 0 t 1t  1  
Tiệm cận xiên: không có.  
x'(t) 2t  
y'(t) 3t2 3  
1  
  
  
t
3
3
0
0
  
  
1
3  
   
x'(t)  
3
1
x(t)  
1
0
y'(t)  
0
2
0
  
y(t)  
0
0
0
  
2  
Ví dụ.  
y y(x)  
, y   
Khảo sát vẽ đồ thị hàm  
cho bởi p/trình tham số  
t2  
t3  
x   
4(1t) 8(t 1)  
t(2 t)  
x'(t)   
x'(t) 0 t 0t 2  
4(1t)2  
t2 (2t 3)  
2
y'(t)   
0 t 0t   
8(t 1)2  
3
Điểm đặc biệt:  
Tải về để xem bản đầy đủ
pdf 53 trang Mãnh Khiết 15/01/2024 12200 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Ứng dụng đạo hàm", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_1_chuong_2_ung_dung_dao_ham.pdf