Bài tập môn Toán kỹ thuật

Chương 0: Ôn tập về số phức

P0.1: Biểu diễn các số phức sau ở dạng đại số a + ib :

1i

(3i)(1i)

1

e^i

1

1i

1i

f)

c)

e)

a) b)

d)

cid

2i

2i

i

2

c

d

(Ans: a)  ₂b)  i ¹₅c)

i _c₂_d₂d) i e) 1 f)  0.1 0.3i )

c²d²

5

P0.2: Biểu diễn các số phức sau ở dạng mũ r :

a) 1 b) i c) 1 d)  i e) 1 i f) 1 i

i) e²⁺ⁱ

g) 1 i h) 1 i

(Ans: 10; 1/2; 1; 1  /2; 2/4;

2  /4; 23/4; 2  3/4; e²1)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

1

Chương 0: Ôn tập về số phức

P0.3: Biểu diễn các kết quả sau ở dạng đại số :

a) (1 i)²

b) (1 i)¹¹

34i

12i

3

c)

d) 1 i

(Ans : a) 2i b)  32  32i c) 1 2i

d) 1.08  0.291i;0.794  0.794i;0.2911.08i )

P0.4: Biểu diễn kết quả sau ở dạng đại số

348

1 15i



_23i



2¹⁶⁸

(Ans:  64 )

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

2

Chương 0: Ôn tập về số phức

P0.5: Tìm tất cả các số phức z ( dạng r) thỏa mãn:

a) z⁶ 8  0 b) z³ 4  0 c) z⁷1



2

6

2

3

2

7

3

6

(Ans : a) 8 ₆ k b) 4k c) 1k )

P0.6: Tìm nghiệm ( dạng a + ib) của phương trình phức :

a) z⁴16  0 b) z³ 3z² 6z  4  0 c) (z 1)⁵ z⁵

1

(Ans: a)  2;  2i b) 1;1 3i c) ,k 1,2,3,4 )

e

^ik2/51

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

3

Chương 1: Chuổi Fourier

9π (V) (0  t  2T /3)





3π (V) (2T /3  t  T)



u(t) 

P1.1: Cho tín hiệu tuần hoàn:

T 125.66 ms

a) Vẽ dạng u(t) theo t ?

b) Tín hiệu có tính đối xứng không ?

c) Tính tần số cơ bản (theo rad/s và Hz ) ?

d) Xác định các hệ số chuổi Fourier a₀, a_nvà b_n?

(Ans: b) No c) 50 rad/s and 7.958 Hz

6

d) a  21.99V; a  sin ^4nV; b  1 cos ^4nV )

_n



0

n

3

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

4

Chương 1: Chuổi Fourier

P1.2: Tìm chuổi Fourier

dạng sóng hài của tín hiệu

f(t) ?

(Ans: 2  ⁸cost  ¹cos3t  ¹cos5t  ¹cos7t ... )

_





3

5

7

P1.3: Tìm chuổi Fourier dạng mũ phức của tín hiệu tuần hoàn

chu kỳ T = 4s và hàm mô tả trong một chu kỳ :



x(t) t (0t 4)

(Ans: 2

²ⁱe^inπt/2)

 _nπ

,0

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

5

Chương 1: Chuổi Fourier

P1.4: Cho hàm f(t) định nghĩa: f(t) = 0 ( 0 < t < 2) và f(t) = 1

( 2 < t < 4) . Vẽ dạng f(t) và tìm chuổi Fourier côsin biểu diễn

cho f(t) ?

1

(Ans:  ²cos( ^πt)¹cos(3^πt) ¹cos(5^πt)... )

_π





2

4

3

4

5

4

P1.5: Cho hàm f(t) định nghĩa: f(t) = 0 ( 0 < t < 2) và f(t) = 1

( 2 < t < 4) . Vẽ dạng f(t) và tìm chuổi Fourier sin biểu diễn cho

f(t) ?

2

(Ans: sin( ^πt)sin(2^πt)¹sin(3^πt) ¹sin(5^πt)¹sin(6^πt) ¹sin(7^πt)... )

_π





4

3

4

5

4

3

4

7

4

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

6

Chương 1: Chuổi Fourier

P1.6: Tìm chuổi Fourier của tín hiệu

tuần hoàn chu kỳ T = 4s và:

1 (2  t  1)





f(t)  0 (1 t 1)





1 (1 t  2)



(Ans: f(t)   _²[sin ^₂t sin ^2t  ¹₃sin ^3t  ¹₅sin ^5t ...] )

2

i(t), A

P1.7: Xác định hệ số

chuổi Fourier dạng mũ

phức C_ncho tín hiệu f(t)

đối xứng nửa sóng :

8

2

T/2

12

20

28

t(ms)

0

-2

4

36

- 8

(Ans: C_n  ⁴ⁱ[13cos ^nπ]; n odd)

nπ

4

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

7

Chương 1: Chuổi Fourier

P1.8: Cho tín hiệu f(t):

a) Tìm hệ số a₂và b₂của

chuổi Fourier dạng

lượng giác ?

b) Xác định biên độ và pha của thành phần hài có tần số  = 10

rad/s ?

c) Dùng 4 thành phần hài khác 0 đầu tiên trong chuổi Fourier

để tính f(π/2) ?

d) Chứng minh rằng :

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

8

Chương 1: Chuổi Fourier

P1.9: Cho tín hiệu tuần hoàn f(t):

a) Cho biết tính đối xứng của tín hiệu ?

b) Tìm hệ số a₃và b₃của chuổi Fourier dạng lượng giác ?

c) Tìm trị hiệu dụng của tín hiệu dùng 5 hài khác 0 đầu tiên

trong chuổi Fourier của f(t) ?

(Ans: a) lẻ b) 0 , – 0.04503 c) 0.383 )

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

9

Chương 1: Chuổi Fourier

P1.10: Đối với mỗi tín hiệu sau, xác định các hệ số chuổi Fourier

dạng lượng giác ? Vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu ?

(Đáp số: xem trang sau)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

10

Chương 1: Chuổi Fourier

(Đáp số: P1.10)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

11

Chương 1: Chuổi Fourier

P1.11: Cho tín hiệu tuần hoàn chu kỳ 2 có hàm mô tả trong chu

kỳ: f(t) = t ( –  < t < ).

a) Tìm chuổi Fourier phức của f(t) ?

b) Tìm chuổi Fourier dạng lượng giác của f(t) ?

c) Dùng câu b) chứng tỏ rằng:



π

(1)^n1

 _(2n1)

n1



4



i(1)ⁿ

2(1)^n1

(Ans: (a)

e^int(b)

sin(nt) )

 

n

,0

1

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

12

Chương 1: Chuổi Fourier

P1.12: Cho tín hiệu tuần hoàn chu kỳ T = 2 có hàm mô tả trong

chu kỳ: f(t) = 1 – t²( – 1 < t < 1).

a) Tìm chuổi Fourier dạng lượng giác của f(t) ?

b) Tìm chuổi Fourier phức của f(t) ?



2

4

π²

(1)^n1

(Ans: (a) 

cos(nπt) )

n²



3

1

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

13

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.1: Dùng bảng tra và các tính chất

của biến đổi Fourier, tính F() :

(a) f(t) = u(t – 1 ) – u(t – 2)

(b) f(t) = 4(t + 2)

e

^{ iω}e^{ i 2ω}

jω

(Ans: (a)

(c) f(t) = e^–4tu(t)

(b) 4e^i2ω

(d) f(t) = e^–4tu(t – 2)

(e) f(t) = 2cos²(t)

1

(c)

(4iω)

e^8

i2ω

(d)

e

(4iω)

(e) 2 ()

  (  2)

  (  2) )

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

14

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.2: Dùng định nghĩa biến đổi Fourier, xác định F() cho các

tín hiệu :

A ( / 2  t  0)





a) f(t)  A (0  t  / 2)





0 (elsewhere)



0 (t  0)

te^at(0  t); a  0







b) f(t) 

1

(Ans: a) i ^2A[1 cos ^ω] b)

)

(aiω)²

ω

2

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

15

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.3: Dùng định nghĩa biến đổi Fourier

và cách biểu diễn tín hiệu không tuần

hoàn thành tổng các hàm unit step , xác

định E() ?

e(t)

E_m

0

– /2

/2

t

(Ans: E_mτ ^sin(ωτ/2)

)

(ωτ/2)

P2.4: Dùng định nghĩa biến đổi Fourier

và cách biểu diễn tín hiệu không tuần

hoàn thành tổng các hàm unit step, xác

định E() ?

e(t)

10

- 4 - 2

t(s)

2 4

- 10

0

20[cos(2ω)cos(4ω)]

(Ans:

)

iω

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

16

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.5: Cho tín hiệu f(t) như hình vẽ.

f(t)

1

a) Xác định f’(t) ?

t(s)

b) Tìm biến đổi Fourier của f’(t) ?

c) Suy ra F() = F{f(t)} ?

– 1

0

1

1cos

(Ans: (c) F(ω)  2

)





ω²

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

17

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.6: Cho 2 tín hiệu như hình vẽ.

f₁(t)

0,5

a) Xác định F{f₁(t)} ?

t(s)

b) Tìm f₂’(t) và biến đổi

Fourier của nó ?

c) Suy ra F₂() = F{f₂(t)} ?

– 2

0

2

f₂(t)

1

sin2

(Ans: (a) F (ω) 

 

1

– 2

ω

0

2

sin 2

(b)  2cos(2) 

 

-1

ω

i

ω²

(c) F (ω)  2 cos2 sin 2 )





2

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

18

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.7: Cho tín hiệu tuần hoàn f(t) :

f(t)

1

…

a) Biểu diễn f(t) ở dạng chuổi

…

t(s)

Fourier phức ?

b) Tìm biến đổi Fourier:

c) Suy ra F() = F{f(t)} ?

F{e^inω⁰^t}

–3T–2T

3T

–T 0 T 2T



1

(Ans: a) f(t)  e^{inω t}

0

_T



b) F{e^inω⁰^t}  2. (  n₀)



c) F()    (  n ) )

₀

0



Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

19

Chương 2: Biến đổi Fourier

P2.8: Cho R₁= 1, R₂= 3, L = 1H, j(t) = 50cos(3t) A, xác định

hàm truyền trong miền tần số H(j) = I()/J() ? Dùng biến đổi

Fourier tìm dòng điện i(t) ? Kiểm tra lại kết quả nếu dùng

phương pháp vectơ biên độ phức ?

(Ans: 10cos(3t – 36.9^o) A)

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

20