›
›

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân đường

Download
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh  
Bộ môn Toán Ứng dụng  
-------------------------------------------------------------------------------------  
Giải tích hàm nhiều biến  
Chương 5: Tích phân đường  
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008)  
[email protected].vn  
Nội dung  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
I –Tích phân đường loại 1  
II –Tích phân đường loại hai  
II.1 – Định nghĩa, cách tính  
II.2 – Công thức Green  
II.3 – Tích phân không phụ thuộc đường đi.  
I. Tích phân đường loại một.  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
An  
Mn   
  
An1  
A2  
M2   
A  
M1 1  
A0  
I. Tích phân đường loại một.  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
f f (x, y)  
xác định trên đường cong C.  
Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm  
L , L ,..., Ln.  
A0, A1,..., An.  
Độ dài tương ứng  
1 2  
A A  
Trên mỗi cung  
lấy tuỳ ý một điểm  
Mi (xi, yi ).  
i i1  
n
Lập tổng Riemann:  
I f (M )L  
n
i
i
i1  
I I  
n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi  
lim  
n  
I f (x, y)dl  
C
được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C.  
I. Tích phân đường loại một  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Tính chất của tích phân đường loại một  
L(C) 1dl 3) fdl fdl 4) ( f g)dl fdl gdl  
2)  
C
C
C
C
C
C
5) Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.  
6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:  
fdl fdl fdl  
C
C1  
C2  
7)  
(x, y)C, f (x, y) g(x, y) fdl gdl  
C
C
8) Định lý giá trị trung bình. Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài  
L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho  
fdl f (M0)L  
C
Cách tính tích phân đường loại một  
Cung C cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t),  
t1 t t2  
n
f (x, y)dl   
f (M )L  
lim  
n   
i   
i
i1  
C
Li là độ dài cung nhỏ AiAi+1:  
ti1  
2
2
2
2
ti ti ti1  
L   
x'(t) y'(t) dtx'(t ) y'(t ) t  
     
     
i
i
i
i
ti  
Chọn điểm trung gian M có tọa độ x(t ), y(t )  
i
i
i
n
2
2
f (x, y)dl   
f x(t ), y(t ) x'(t ) y'(t ) t  
lim  
n   
     
i
i
i
i
i   
i1  
C
Cách tính tích phân đường loại một  
a
x
b  
Cung C cho bởi phương trình: y = y(x),  
t1 t t2  
Phương trình tham số của C là :x = x(t), y = y(t),  
t2  
2
2
f (x, y)dl f (x(t), y(t))x'(t) y'(t) dt  
     
C
t1  
2
'
t2  
   
y (t)  
f (x(t), y(t))1  
x'(t)dt  
   
x'(t)  
t1  
   
b
2
f (x, y)dl f (x, y(x))1y'(x) dx  
   
C
a
c y d  
Tương tự, Cung C cho bởi phương trình: x = x(y),  
d
2
f (x, y)dl f (x(y), y)1x'(y) dy  
   
C
c
I. Tích phân đường loại một.  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường trong không gian.  
f f (x, y, z) xác định trên đường cong C trong không gian.  
x x(t)  
y y(t), t t t  
C cho bởi phương trình tham số:  
1
2
z z(t)  
I f (x, y, z)dl  
C
Ví dụ  
b
2
3
3
3
58  
15  
I f (x, y(x))1y'(x) dx  
x3 1(y'(x))2 dx  
2
   
x 1x dx  
a
0
0
Ví dụ  
C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2).  
1
2
2
2
2x1y'(x) dx 2x(y)1x'(y) dy  
I 2xdl 2xdl 2xdl  
   
   
0
1
C
C1  
C2  
1
2
5 5 1  
2
2x14x2 dx 2110 dy  
   
2  
6
0
1
Ví dụ  
b
2
Có thể dùng công thức I f (x, y(x))1y'(x) dx  
   
a
nhưng việc tính toán phức tạp.  
Viết phương trình tham số cung C.  
Đặt  
Vì  
x r cost; y rsint  
x2 y2 1  
, nên r = 1.  
x cost  
y sint  
; 0 t  
Phương trình tham số của nửa trên cung tròn:  
2
2
(2 cos2t sint)dt  
2
I (2 cos2t sint) x'(t) y'(t) dt  
  2  
     
0
3
0
Ví dụ  
Viết phương trình tham số cung C.  
x r cost  
y rsint  
Đặt  
2
2
r
2
c
o
s
t  
, nên  
Vì  
x y 2x  
Phương trình tham số của C:  
x 2cost cost 1cos2t  
y 2cost sint sin 2t  
4
4
; - t   
/ 4  
I (2 2cos2t) (2sin 2t)2 (2cos2t)2 dt  
/4  
Ví dụ  
Viết phương trình tham số cung C.  
x r cost  
y rsint  
Đặt  
2
2
r
4  
Vì  
, nên  
x y 16  
x 4cost  
y 4sint  
2
2
Phương trình tham số của C:  
;   t   
/2  
2
/ 2  
46  
6
4
I 4cost 44 sin4 t (4sint)2 (4cost)2 dt  
4 cost sin tdt  
5
/2  
/ 2  
Ví dụ  
x r cost  
Đặt  
y rsint  
z 4 r cost  
x2 y2 4, x z 4  
r
2  
, nên  
Vì  
Phương trình tham số của C:  
x 2cost  
y 2sint  
; 0 t 2  
z 4 2cost  
I 24cost (2sint)2 (2cost)2 (2sint)2 dt  
0  
0
Ví dụ  
Viết phương trình tham số cung C.  
x y 2 r cost  
z 2rsint  
Đặt  
x2 y2 z2 4, y x  
r
1  
, nên  
Vì  
Phương trình tham số của C:  
x y 2 cost  
z 2sint  
; 0 t 2  
I 22cost 2 cost (2 sint)2 (2 sint)2 (2cost)2 dt  
0
Ví dụ  
Viết phương trình tham số cung C phức tạp.  
I x2dl y2dl z2dl  
C
C
C
1
I x2 y2 z2 dl  
3C  
4
I dl  
3 C  
4
   
độ dài cung C (chu vi đường tròn)  
3
4
16  
I 4  
3
3
Ví dụ  
x2 y2 9  
Khi t thay đổi từ thì cung C là đường cong nằm  
trên hình trụ.  
4  
2
2
2
I (3cost t) x'(t) y'(t) z'(t) dt  
       
0
I 4(3cost t) 10dt  
82 10  
0
II. Tích phân đường loại hai.  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
P P (x, y),Q Q(x, y)  
xác định trên đường cong C.  
Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm  
A0 (x0, y0), A (x , y ),..., An (xn, yn ).  
1 1 1  
Ak Ak1  
Trên mỗi cung  
lấy tuỳ ý một điểm  
Mk (xk , yk ).  
n
Lập tổng Riemann:  
I P(M )(x x ) Q(M )(y y )  
n
k
k
k1  
k
k
k1  
i1  
I I  
n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi  
lim  
n  
I P(x, y)dx Q(x, y)dy  
C
được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C.  
II. Tích phân đường loại hai  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Tính chất của tích phân đường loại hai  
1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.  
Pdx Qdy   Pdx Qdy  
AB  
BA  
2) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:  
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy  
C
C1  
C2  
Giải thích.  
Cách tính tích phân đường loại hai  
t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung.  
1) C: x = x(t), y = y(t),  
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy  
C
C
C
n
P(x, y)dx lim P(x , y )x  
k k  
k
n  
k1  
C
a t0 t1 t2 tn b  
Chia [a,b] thành n đoạn:  
ñònh lyùLagrange  
x'(tk )tk  
xk xk xk1 x(tk ) x(tk1)  
M x(t ),y(t )  
Chọn điểm trung gian  
k
  
k
k
bP x(t),y(t) x'(t)dt  
n
P(x,y)dx lim P x(t ), y(t ) x'(t )t  
k
k
k
k
k1  
C
a
Cách tính tích phân đường loại hai  
Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C.  
2) C: y = y(x), x = x1 là hoành độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung.  
x2  
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y(x)) Q(x, y(x))y'(x) dx  
C
x1  
3) C: x = x(y), y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung.  
y2  
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x(y), y)x'(y) Q(x(y), y) dy  
C
y1  
Tải về để xem bản đầy đủ
pdf 45 trang Mãnh Khiết 15/01/2024 10600 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân đường", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_ham_nhieu_bien_chuong_5_tich_phan_duong.pdf