Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 4: Phép biến đổi Laplace ngược
Phần 2
Toán tử Laplace
Phép biến đổi Lapalace
Phép biến đổi Lapalace ngược
Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân
Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện
Toán Kỹ Thuật 2014
1
Chương 4 Phép biến đổi Laplace ngược
Định nghĩa
a+ j∞
1
F(s)est d s
−1
f (t) =
L
F(s) =
{ }
∫
2π j a− j∞
F(s) : ảnh Laplace
f(t) : gốc
Định lý Lerch cặp biến đổi f(t) ↔ F(s) là duy nhất
Tính trực tiếp → khó !!
Đơn giản Dùng bảng tra các cặp gốc ảnh thông dụng
Tính chất phép biến đổi Laplace
Toán K ỹ Thuật 2014
2
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
(a1,a2 :caùchaèngsoá)
Tính tuyến tính
−1
L
a F (s) + a F (s) = a f (t) + a f (t)
1 1
2 2
1 1
2 2
Tính dời theo s
−1
F(s + a) = e−at f (t)
(a :soá thöïc)
L
Tính dời theo t
e−st0 F(s) = f (t −t ).u(t −t )
−1
(t0 > 0)
L
0
0
Tính đổi thang đo (đồng dạng)
1 t
−1
L
F(as) = f
{ }
(a > 0)
a a
Toán K ỹ Thuật 2014
3
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược cho các hàm sau
2t3
2 3s
f (t) = −3cos2t
F(s) = −
4 2
3!
2
G(s) = 4e−2s +
H(s) =
g(t) = 4δ (t − 2) + 2e−3t
t
2
h(t) = sin
2
2
Toán K ỹ Thuật 2014
4
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Laplace ngược của đạo hàm ảnh F(s) (nhân gốc cho tn )
(n)
L F s =(−1)ntn f (t)
−1
( )
−1
L
F(n) s
( )
{
}
−1
L
F s =
( )
{ }
(−1)ntn
1
1
s +1
→ F '(s) =
−
Ví dụ
F(s) = ln
→L−1 F '(s) = e−t − et = −2sinh t
L−1 F '(s)
{ }
sinht
→ f (t) = L−1 F(s) =
= 2
{ }
Toán K ỹ Thuật 2014
5
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Laplace ngược của tích phân ảnh F(s) (chia gốc cho t )
+∞
f (t)
−1
L
L
F x dx =
( )
∫
t
s
+∞
−1
−1
F(s) =
{ }
t
L
F s ds
( )
∫
s
s
Ví dụ
F(s) =
(s2 −1)2
+∞
+∞
+∞
xdx
2
−1
1
→ F(x)dx =
=
=
2
2
2(s2 −1)
∫ ∫
( x −1) 2( x −1) s
s
s
1
1
tsinht
→ L−1
= sinht
→ f (t) = L−1 F(s) =
{ }
2(s2 −1) 2
Toán K ỹ Thuật 2014
6
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tích chập (Convolution)
t
−1
L F(s)G(s) = f (t)∗ g(t) = f (τ )g(t −τ )dτ
{
}
∫
0
4
L −1
Ví dụ : tìm
s(s + 2)
Giải
t
1
1
−1
−1
4
t
→ L −1
= 4 u(τ )e−2(t−τ )dτ
L
= u(t) ; L
= e−2
∫
s
s + 2
s(s + 2)
0
t
e−2(t−τ )
t
f (t) = 4
= 2(1 − e−2 )
2
0
Toán K ỹ Thuật 2014
7
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Nhân cho sn (đạo hàm gốc f(t) )
f (0− ) = f '(0− ) = ... = f (n−1) (0− ) = 0
◦ Nếu
−1
L
sn F(s) = f (n) (t)
◦ Thì
dn
dtn
G(s)
−1
−1
L
G(s) =
{ }
L
◦ Hay
sn
Chia cho sn (tích phân gốc f(t) )
t t t
F s
( )
−1
L
= ... f (t)dtn
sn
∫∫ ∫
0−
0 0
t t t
−1
−1
n
L
L
snG(s) d t
G(s) = ∫∫...∫
{ }
{
}
0−
0 0
Toán K ỹ Thuật 2014
8
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Hàm hữu tỷ
bmsm + bm−1sm−1 +...+ b s + b0
P(s)
1
F(s) =
=
Q(s) sn + an−1sn−1 +...+ a1s + a0
P(s)
F(s) =
(m < n)
(s − s1)(s − s2 )...(s − sn )
Nghiệm đơn
kn
k1
k2
F(s) =
+
+...+
(s − s1) (s − s2 )
(s − sn )
Nghiệm bội
n−r
a0
ki
a1
a2
ar−1
F(s) =
+
+
+...+
+
∑
(s − s0 )r (s − s0 )r−1 (s − s0 )r−2
(s − s ) (s − s )
i=1
0
i
Toán K ỹ Thuật 2014
9
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Phương pháp hàm tường minh (Clearing Fraction)
s2 − 2
s2 − 2
s(s +1)(s + 2) s s +1 s + 2
k1 k2
= +
k3
F(s) =
→ F(s)=
+
s3 + 3s2 + 2s
s2 − 2 = k1(s +1)(s + 2) + k2s(s + 2) + k3s(s +1)
s2 → k1 + k2 + k3 =1
s → 3k1 + 2k2 + k3 = 0
s0 → 2k1 = −2
1 1 1
F(s)= − + +
−1
f (t) = L F(s) = (−1+ e−t + e−2t )u(t)
Toán K ỹ Thuật 2014
10
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Phương pháp hàm tường minh (Clearing Fraction)
s2 − 2s − 7
s2 − 2s − 7
(s +1)(s +1+ j2)(s +1− j2)
s → k1 + k2 + k3 =1
F(s) =
→ F(s) =
(s +1)(s2 + 2s + 5)
2
k3
k1
k2
s → 2k + (2 + j2)k + (2 − j2)k = −2
F(s)=
F(s)=
+
+
1
2
3
s +1 s +1− j2 s +1+ j2
s0 → 5k1 + (1 + j2)k2 + (1 − j2)k3 = −7
−1 1+ j 1− j
+
+
s +1 s +1− j2 s +1+ j2
−1
f (t) = L F(s) = −e−t + (1 + j)e−(1− j2)t + (1 − j)e−(1+ j2)t
f (t) = e−t (−1+ 2cos2t − 2sin 2t)
Toán K ỹ Thuật 2014
11
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Phương pháp hàm tường minh (Clearing Fraction)
s2 − 2s − 7
F(s) =
(s +1)(s2 + 2s + 5)
2
s → A+ B =1
A
Bs + C
s → 2A+ B + C = −2
s0 → 5A+ C = −7
→ F(s)=
+
s +1 s2 + 2s + 5
−1
2s − 2
−1
(s +1) − 2
F(s)=
+
=
+ 2
s +1 s2 + 2s + 5 s +1 (s +1)2 + 22
f (t) = e−t (−1+ 2cos2t − 2sin 2t)
Toán K ỹ Thuật 2014
12
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Phương pháp Heviside (Heviside Cover up)
2s2 + 9s −11
(s +1)(s − 2)(s + 3)
k1
k2
k3
F(s) =
→ F(s)=
→ k1 =
+
+
2(−1)2 + 9(−1) −11
(−1− 2)(−1+ 3)
2s2 + 9s −11
(s − 2)(s + 3)
= 3
F(s) =
F(s) =
S=−1
S=2
2(2)2 + 9(2) −11
2s2 + 9s −11
(s +1) ((s + 3)
→ k2 =
=1
(2 +1)(2 + 3)
2(−3)2 + 9(−3) −11
(−3+1)(−3− 2)
2s2 + 9s −11
(s +1) (s − 2)
→ k3 =
= −2
F(s) =
S=−3
Toán K ỹ Thuật 2014
13
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Phương pháp Heviside (Heviside Cover up)
s2 − 2s − 7
s2 − 2s − 7
F(s) =
→ F(s) =
(s +1)(s2 + 2s + 5)
(s +1)(s +1+ j2)(s +1− j2)
(−1)2 − 2(−1) − 7
A
Bs + C
→ A =
= −1
→ F(s)=
+
(−1)2 + 2(−1) + 5
s +1 s2 + 2s + 5
Làm tắt (Short Cuts) tìm B & C
s2 − 2s − 7
−7 A C
5 1 5
F(0) =
= = + → C = −2
(s +1)(s2 + 2s + 5)
s=0
s(s2 − 2s − 7)
(s +1)(s + 2s + 5)
lim sF(s) = lim
s→+∞
=1 = A+ B → B = 2
(
)
2
s
→+∞
Toán K ỹ Thuật 2014
14
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Phương pháp Heviside (Heviside Cover up)
Nghiệm đơn
P(s)
kn
k1
k2
ki = (s − si )F(s) =
F(s) =
+
+...+
s=si
Q'(s) s=s
(s − s1) (s − s2 )
(s − sn )
i
Nghiệm bội
n−r
a0
ki
a1
a2
ar−1
F(s) =
+
+
+...+
+
∑
(s − s0 )r (s − s0 )r−1 (s − s0 )r−2
(s − s ) (s − s )
i=1
0
i
a0 = (s − s0 )r F(s)
s=s0
1 di
i! dsi
d
a = (s − s )r F(s)
ai =
(s − s )r F(s)
(
)
(
)
→
0
1
0
ds
s=s0
s=s0
Toán K ỹ Thuật 2014
15
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Phương pháp Heviside (Heviside Cover up)
4s3 +16s2 + 23s +13
(s +1)3 (s + 2)
a0
a1
a2
k
→ F(s) =
+
+
+
F(s) =
(s +1)3 (s +1)2 s +1 s + 2
4s3 +16s2 + 23s +13
k =
a0 =
a1 =
a2 =
=1
(s +1)3 (s + 2)
S
=−2
4s3 +16s2 + 23s +13
(s +1)3 (s + 2)
= 2
S
=−1
3
2
d 4s +16s + 23s +13
=1
ds (s +1)3 (s + 2)
S
=−1
2
3
2
1 d 4s +16s + 23s +13
= 3
2! ds2
(s +1)3 (s + 2)
S
=−1
Toán K ỹ Thuật 2014
16
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Phương pháp hỗn hợp (Hybrid Method)
4s3 +16s2 + 23s +13
F(s) =
(s +1)3 (s + 2)
2
a1
a2
+ +
1
→ F(s) =
+
(s +1)3 (s +1)2 s +1 s + 2
(s +1)3 (s + 2)F(s) =
= 4s3 +16s2 + 23s +13
= 2(s + 2) + a1(s +1)(s + 2) + a2 (s +1)2 (s + 2) + (s +1)3
s3 → a2 +1= 4 → a2 = 3
13
1
F(0) = = 2 + a1 + 3+ → a1 =1
Toán K ỹ Thuật 2014
17
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Hàm hữu tỷ
bmsm + bm−1sm−1 +...+ b s + b0
P(s)
1
(m < n)
F(s) =
=
Q(s) sn + an−1sn−1 +...+ a1s + a0
Nghiệm đơn (thực)
n
n
ki
f (t) = L −1 F(s) = k esit
F(s) =
{ }
∑
∑
i
i=1 (s − s)
i=1
Nghiệm đơn (có cặp phức liên hiệp
)
s1,2 = −α ± jβ
n
n
ki
f (t) = 2Re
k
es1t + k esit
F(s) =
∑
∑
1
i
i=1 (s − s)
i=3
∗
s1 = −α + jβ
k1 = k2 = k∠ϕ
Toán K ỹ Thuật 2014
18
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Ví dụ
s2 − 2s − 7
s2 − 2s − 7
(s +1)(s +1+ j2)(s +1− j2)
F(s) =
→ F(s) =
(s +1)(s2 + 2s + 5)
−1
1+ j
1− j
F(s)=
+
+
s +1 s +1− j2 s +1+ j2
−1
f (t) = L F(s) = −e−t + 2Re 2∠450 e(−1+ j2)t
{ }
−
t
−
t
0
f (t) = −e + 2 2 e cos(2t + 45 ) u(t)
f (t) = e−t (−1+ 2cos2t − 2sin 2t)
Toán K ỹ Thuật 2014
19
Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ
Hàm hữu tỷ
bmsm + bm−1sm−1 +...+ b s + b0
P(s)
1
(m < n)
F(s) =
=
Q(s) sn + an−1sn−1 +...+ a1s + a0
Nghiệm bội
n−r
a0
ki
a1
a2
ar−1
F(s) =
+
+
+...+
+
∑
(s − s0 )r (s − s0 )r−1 (s − s0 )r−2
(s − s ) (s − s )
i=1
0
i
n−r
0
a0
(r −1)! (r − 2)!
a1
ar−1
t
t
f (t) =
tr−1 +
tr−2 +...+ t es0 + k esi
∑
i
0!
i=1
Toán K ỹ Thuật 2014
20
Tải về để xem bản đầy đủ
28 trang
18860
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 4: Phép biến đổi Laplace ngược", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ky_thuat_chuong_4_phep_bien_doi_laplace_nguoc.pdf
