Bài tập lớn môn Giải tích 2 - Đề tài 7 - Nguyễn Tấn Cường
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
MATLAB
GIẢI TÍCH 2
Đề tài 7
Nhóm: L42 (XD11XD07)
Giáo viên hướng dẫn: Cô Nguyễn Kiều Dung
Họ và tên
Mã số sinh viên
1. Nguyễn Tấn Cường (Nhóm trưởng) 81100470
2. Nguyễn Hữu Quang
3. Võ Thế Nguyên
4. Phạm Phù Sa
81102718
81102322
81102870
81104149
81104299
81100290
81102177
5. Phan Văn Tự
6. Ngô Đức Vũ
7. Lê Văn Bình
8. Nguyễn Văn Nể
CHI TIẾT PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC
Câu 1: Phan Văn Tự.
Câu 2: Lê Văn Bình.
Câu 3: Nguyễn Tấn Cường + Võ Thế Nguyên.
Câu 4: Nguyễn Hữu Quang.
Câu 5: Nguyễn Văn Nể.
Câu 6: Phạm Phù Sa.
Câu 7: Ngô Đức Vũ.
Câu 1: Tính gần đúng giá trị hàm nhiều biến
Đề bài:
Nhập hàm ꢀ(ꢁ, ꢂ). Nhập điểm ꢃꢄ(ꢁꢄ, ꢂꢄ). Tính gần đúng giá trị ꢀ(ꢁꢄ + ∆ꢁ, ꢂꢄ + ∆ꢂ)
với ∆ꢁ, ∆ꢂ đủ nhỏ theo công thức:
ꢅ
ꢅ
(
)
(
)
(
)
(
ꢇ
)
ꢀ ꢁ, ꢂ ≈ ꢀ ꢁꢄ, ꢂꢄ + ꢀ ꢁꢄ, ꢂꢄ ∆ꢁ + ꢀ ꢁꢄ, ꢂꢄ ∆ꢂ
ꢆ
Cơ sở lý thuyết – giải thuật:
ꢅ
ꢅ
(
)
(
)
(
)
(
ꢇ
)
Giá trị gần đúng của ꢀ ꢁ, ꢂ ≈ ꢀ ꢁꢄ, ꢂꢄ + ꢀ ꢁꢄ, ꢂꢄ ∆ꢁ + ꢀ ꢁꢄ, ꢂꢄ ∆ꢂ. Dựa vào công thức,
ꢆ
ta cần tìm:
+ ꢁꢄ, ꢂꢄ : lấy số nguyên gần nhất của ꢁ, ꢂ. Dùng hàm round(x), round(y).
+ ∆ꢁ = ꢁ − ꢁꢄ , ∆ꢂ = ꢂ − ꢂꢄ
Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm ẩn.
Đề bài:
ꢅ
ꢅ( )
Nhập hàm ꢈ(ꢁ, ꢂ), tìm ꢂ ꢁ ,ꢂ ′ꢁ) biết ꢂ = ꢂ(ꢁ) là hàm ẩn xác định từ phương trình
ꢅ
(
)
ꢈ ꢁ, ꢂ = 0. Vẽ đồ thị minh họa ý nghĩa hình học của đạo hàm ꢂ (ꢁ) tại ꢃ(ꢁꢄ, ꢂꢄ) nhập từ bàn
phím.
Cơ sở lý thuyết:
Hàm ꢈ(ꢁ, ꢂ) = 0 xác định một hàm ẩn ꢂ = ꢂ(ꢁ) sao cho ꢈ(ꢁ, ꢂ(ꢁ)) = 0 với mọi ꢁ thuộc
ꢉꢇ
ꢉꢆ
ꢊꢋ/ꢊꢆ
= −
ꢊꢋ/ꢊꢇ ꢋꢅ
ꢋꢅ
ꢌ
ꢅ( )
ꢅꢅ( )
ꢅ( )
miền xác định của ꢈ. Ta có ꢂ ꢁ =
= −
, ꢂ ꢁ = (ꢂ ꢁ )′.
ꢍ
Giải thuật:
Đạo hàm riêng theo ꢁ của hàm ꢈ : diff(f, x)
Đạo hàm của hàm ẩn: D(F). Chú ý là D(F) trả về 1 biểu thức trong đó có chứa D(x), D(y). Ở đây
D(x) = 1.
Câu 3: cực trị có điều kiện.
| | | |
Đề bài: Nhập hàm ꢀ(ꢁ, ꢂ). Tìm cực trị của hàm với điều kiện ꢁ + ꢂ = 1. Vẽ hình minh họa
trên đó chỉ ra các cực trị nếu có.
Cơ sở lý thuyết:
Định nghĩa cực trị có điều kiện:
(
)
Hàm ꢀ(ꢁ, ꢂ) đạt cực đại chặt tại ꢃꢄ(ꢁꢄ, ꢂꢄ) với điều kiện ꢎ ꢁ, ꢂ = 0 nếu
(
)
(
)
( )
∃ꢏ ꢃꢄ, ꢐ : ∀ꢃ ∈ ꢏ ꢃꢄ, ꢐ ∩ ꢑꢒ, ꢃ ≠ ꢃꢄ: ꢀ ꢃ < ꢀ(ꢃꢄ)
(
)
và thỏa điều kiện ràng buộc ꢎ ꢁ, ꢂ = 0.
Định nghĩa tương tự với cực đại chặt, cực đại không chặt và cực tiểu không chặt có điều kiện.
ꢅ
ꢅ
(
)
( )
( )
ꢇ
Điểm ꢃꢄ(ꢁꢄ, ꢂꢄ) được gọi là điểm kì dị của đường cong ꢎ ꢁ, ꢂ = 0 nếu ꢎ ꢃ = 0, ꢎ ꢃ =
ꢆ
0.
Điều kiện cần của cực trị có điều kiện:
Điểm ꢃꢄ(ꢁꢄ, ꢂꢄ) thỏa các điều kiện:
(
)
1. ꢃꢄ(ꢁꢄ, ꢂꢄ) không là điểm kì dị của đường cong ꢎ ꢁ, ꢂ = 0.
(
)
2. ꢀ ꢁ, ꢂ , ꢎ(ꢁ, ꢂ)và đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục trong lân cận của điểm ꢃꢄ(ꢁꢄ, ꢂꢄ).
(
)
3. Hàm ꢀ(ꢁ, ꢂ) với điều kiện ꢎ ꢁ, ꢂ = 0 đạt cực trị tại ꢃꢄ(ꢁꢄ, ꢂꢄ). Khi đó tồn tại ꢓ sao cho:
ꢀꢅ ꢃꢄ + ꢓꢎ′ꢆ ꢃꢄ = 0
(
)
(
)
ꢆ
ꢀꢅ ꢃꢄ + ꢓꢎ′ꢇ ꢃꢄ = 0
(
)
(
)
ꢔ
ꢇ
(
)
ꢎ ꢃꢄ = 0
Số ꢓ được gọi là nhân tử Lagrange.
(
)
(
)
Hàm ꢖ = ꢀ ꢁ, ꢂ + ꢓꢎ ꢁ, ꢂ được gọi là hàm Lagrange.
Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện:
(
)
Giả sử ꢀ ꢁ, ꢂ , ꢎ(ꢁ, ꢂ) khả vi liên tục đến cấp 2 trong lân cận của ꢃꢄ(ꢁꢄ, ꢂꢄ)
Trong lân cận của ꢃꢄ các thỏa các điều kiện trong định lý điều kiện cần.
ꢘ
(
)
ꢗ ꢖ ꢃꢄ > 0: Cực tiểu có điều kiện.
ꢘ
(
)
ꢗ ꢖ ꢃꢄ < 0: Cực đại có điều kiện.
ꢘ
(
)
ꢗ ꢖ ꢃꢄ không xác định dấu – không tồn tại cực trị.
Giải thuật:
Với |x| + |y| = 1, ta có được 4 đoạn thẳng
ꢗꢙ = ꢁ − ꢂ − 1, ꢗꢘ = ꢁ + ꢂ − 1, ꢗꢚ = − ꢁ − ꢂ − 1, ꢗꢛ = − ꢁ + ꢂ − 1
Tìm cực trị có điều kiện trên mỗi đoạn theo cơ sở lý thuyết.
Ở đỉnh của hình: tìm các lân cận của biên trên mỗi đoạn.
Câu 4: Tích phân kép.
Đề bài: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: ꢁꢘ + ꢂꢘ = 2ꢂ, ꢁꢘ + ꢂꢘ = 6ꢂ, ꢂ ≥ 3ꢁ, ꢁ ≥ 0.
√
Vẽ hình miền phẳng đã cho.
Xác định cận lấy tích phân.
Cơ sở lý thuyết:
Diện tích miền D được tính bằng công thức: ꢜꢝ = ꢝ 1ꢗꢁꢗꢂ
∬
Cách tính tích phân kép:
1. Giả sử miền D xác định bởi:
ꢟ ≤ ꢁ ≤ ꢠ
ꢞ
( )
ꢂꢙ ꢁ ≤ ꢂ ≤ ꢂꢘ(ꢁ)
2. Thì ꢡ = ꢝ ꢀ ꢁ, ꢂ ꢗꢁꢗꢂ = ꢤ ꢗꢁ
∫
( )
ꢇ
ꢣ
ꢇ (ꢆ)
ꢢ
(
)
( )
ꢀ ꢁ, ꢂ ꢗꢂ
∬
∫
ꢥ
ꢆ
(tương tự khi đổi thứ tự lấy tích phân)
Dùng tọa độ cực:
ꢁ = ꢐꢦꢧꢨ(ꢎ)
ꢂ = ꢐꢨꢩꢪ(ꢎ)
ꢞ
Đặt:
[
]
ꢎꢙ ≤ ꢎ ≤ ꢎꢘ ( ꢎ ∈ 0, 2ꢫ )
ꢐꢙ ≤ ꢐ ≤ ꢐꢘ
ꢞ
Miền D được xác định trong tọa độ cực:
ꢭ
ꢬ
ꢢ
ꢢ ꢗꢎ
∫
ꢬ
(
)
(
( )
ꢀ ꢐꢦꢧꢨ ꢎ , ꢐꢨꢩꢪ(ꢎ) ꢐꢗꢐ
ꢢ
)
Thì tích phân được tính như sau: ꢡ = ꢝ ꢀ ꢁ, ꢂ ꢗꢁꢗꢂ =
∬
∫
ꢭ
ꢣ
Giải thuật:
Vẽ hình miền D, ta thấy có biên là cung tròn =>> dùng tọa độ cực.
Câu 5: Tích phân bội 3.
ꢀ(ꢁ, ꢂ, ꢮ) ꢗꢁꢗꢂꢗꢮ
∭
ꢯ
Đề bài: Nhập hàm ꢀ(ꢁ, ꢂ, ꢮ). Tính tích phân bội 3: ꢡ =
với E là vật thể giới
hạn bởi: ꢮ = ꢁꢘ + ꢂꢘ, ꢮ = 2 + ꢁꢘ + ꢂꢘ, ꢁꢘ + ꢂꢘ = 1. Vẽ hình vật thể E và hình chiếu của E
xuống ꢰꢁꢂ, từ đó xác định lấy tích phân.
Cơ sở lý thuyết
Tích phân bội 3 với tọa độ trụ:
ꢁ = ꢐꢦꢧꢨ(ꢎ)
ꢱ
ꢂ = ꢐꢨꢩꢪ(ꢎ)
ꢮ = ꢮ
ꢲ = ꢐ
(
)
( )
ꢳ ꢀ(ꢐꢦꢧꢨ ꢎ , ꢐꢨꢩꢪ ꢎ , ꢮ)ꢐꢗꢐꢗꢎꢗꢮ
∭
( )
Tích phân tính bằng: ꢴ ꢀ ꢁ, ꢂ, ꢮ ꢗꢁꢗꢂꢗꢮ =
∭
Ở đây, Ω nằm trong miền ꢐ ≥ 0, 0 ≤ ꢎ ≤ 2ꢫ, − ∞ < ꢮ < + ∞
Giải thuật:
Vẽ hình vật thể E, từ đó xác định cận tính tích phân.
Đổi về tọa độ trụ để tính tích phân trên Ω.
Câu 6: Tích phân đường.
Đề bài:
ꢌ
ꢍ
ꢷ
ꢆ
ꢆ
(
)
(
)
( )
Cho: ꢵ ꢁ, ꢂ = ꢁꢶ + 1, ꢸ ꢁ, ꢂ = 1 − ꢇ . Tìm hàm ꢹ ꢺꢇꢻ thỏa ꢹ 0 = 1 và biểu thức
ꢆ
ꢆ
(
)
(
)
ꢹ ꢺꢇꢻ ꢵ ꢁ, ꢂ ꢗꢁ + ꢹ ꢺꢇꢻ ꢸ ꢁ, ꢂ ꢗꢂ là tích phân toàn phần của hàm ꢼ(ꢁ, ꢂ) nào đó.
ꢆ
ꢆ
Với ꢹ ꢺꢆꢇꢻ vừa tìm, tính ꢡ = ꢹ ꢺ ꢻ ꢵ ꢁ, ꢂ ꢗꢁ + ꢹ ꢺ ꢻ ꢸ ꢁ, ꢂ ꢗꢂ . Với L là đường cong
(
)
(
)
∫
ꢽ
ꢇ
ꢇ
ꢙ
ꢙ
( )
ꢂ = cosh ꢁ − ꢛ, từ ꢾ ꢺ0, ꢛꢻ đến ꢏ(ln 2, 1). Vẽ đường lấy tích phân L và A, B.
Giải thuật:
+ Giải tìm ꢹ ꢺꢆꢇꢻ: do tích phân toàn phần không phụ thuộc đường đi, dựa vào tính chất
ꢌ
ꢍ
ꢌ
ꢍ
(
)
(
)
ꢊꢿꣀꢺ ꢻꣁ ꢆ,ꢇ ꣂ
ꢊꢿꣀꢺ ꢻꣃ ꢆ,ꢇ ꣂ
=
ꢊꢆ
ꢊꢇ
( )
Ta có dược một phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: ꢹ’ = ꣄ ꢼ ꢹ
()ꢉ
Phương trình này có nghiệm: ꢹ(ꢼ) = ꣅꢶ∫
.
Ở bài này, ꢼ = ꢆꢇ, dùng matlab giải ra ꢹ = ꢹ′. Suy ra ꣄(ꢼ)= 1.
ꢌ
ꢍ
Hàm ꢹ = ꢶ
ꢆ
ꢇ
ꢆ
ꢆ
(
)
( )
ꢹ ꢺ ꢇ ꢻ ꢵ ꢁ, ꢂ ꢗꢂ
+ Tính tích phân: ꢡ =
ꢹ ꢺ ꢻ ꢵ ꢁ, ꢂ ꢗꢁ +
∫
∫
ꢆ
ꢇ
ꢇ
Câu 7: Tích phân mặt
Đề bài:
Tính tích phân:
(
)
(
)
(
)
2ꢁ + ꢂ ꢗꢂꢗꢮ + 2ꢂ + ꢮ ꢗꢮꢗꢁ + 2ꢮ + ꢁ ꢗꢁꢗꢂ với S là mặt phẳng
∬
ꢁ + ꢂ + ꢮ = 3 nằm trong hình trụ ꢁꢘ + ꢂꢘ = 2ꢁ, phía dưới hướng theo trục ꢰꢮ. Vẽ mặt cong ꢜ,
pháp véctơ với mặt cong vẽ tại ꢃ(ꢁꢄ, ꢂꢄ, ꢮꢄ).
Cơ sở lý thuyết + giải thuật:
1.Mặt định hướng
Nếu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía còn lại là âm thì mặt S được gọi là mặt
định hướng.
Cách xác định pháp vector của mặt định hướng
Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì pháp véctơ đi từ chân lên đầu.
Ở bài này, góc tạo bởi véctơ pháp tuyến có cosγ < 0. Dùng hàm if để kiểm tra.
2.Tích phân mặt loại 2
ꢵ(ꢁ, ꢂ, ꢮ), ꢸ(ꢁ, ꢂ, ꢮ), ꣄(ꢁ, ꢂ, ꢮ) xác định trên mặt định hướng ꢜ.
Pháp véctơ đơn vị của mặt S là: ꢪ꣎⃗ = (cos꣏ , cos ꣐ , cosγ), có độ dài là 1 đơn vị.
Tích phân mặt loại một: ꢡ =
(Pcos ꣏ + Qcos꣐ + ꣄cosγ)dS được gọi là tích phân mặt
∬
loại hai của P, Q, R trên mặt định hướng S, ký hiệu:
꣑
ꢡ =
ꢵꢗꢂꢗꢮ + ꢸꢗꢁꢗꢮ + ꣄ꢗꢁꢗꢂ
Cách tính tích phân mặt loại 2:
Vì tích phân mặt loại hai là tích phân mặt loại một nên ta có thể sử dụng cách tính tích
phân mặt loại một.
Chuyển về tích phân mặt loại 1 bằngcách:
Pháp véctơ đơn vị của mặt S là: ꢪ꣎⃗ = (cos꣏ , cos ꣐ , cosγ)
Tích phân mặt loại một:ꢡ =
(Pcos꣏ + Qcos ꣐ + ꣄cosγ)dS
∬
Hay tích phân 1 loại 1 có dạng
ꢅ
ꢘ
ꢅ ꢘ
(
)
(
)
꣓
ꢀ ꢁ, ꢂ, ꢮ ꢗꢜ= ꢀ(ꢁ, ꢂ, ꢮ ꢁ, ꢂ ) (ꢮ ) + (ꢮ ) + 1ꢗꢁꢗꢂ với D là hình chiếu của S lên Oxy.
∬
∬
ꢆ
ꢇ
꣒
ꢝ
Code câu 1 + Ví dụ
reset():
f:= input("Nhap vao ham f(x, y):", f):
[a, b]:= input("Nhap vao gia tri cua x, y:"):
print(Unquoted, NoNL, "Ham f nhap vao la: f="): print(Typeset, f):
c:= a - round(a): d:= b - round(b):
f0:= subs(f, x= round(a), y= round(b)):
fxy:= f0 + c*subs(diff(f, x), x= round(a), y= round(b))+
d*subs(diff(f, y), x= round(a), y= round(b)):
print(Unquoted, "Tai x= ".a, "y= ".b, "f(x, y)~ ". float(fxy)):
print(Unquoted, "So voi gia tri thuc, f= ". subs(f, x= a, y= b)):
Ham f nhap vao la: f= x2 + y3
Tai x= 1.02, y= 1.97, f(x, y)~ 2.946666667
So voi gia tri thuc, f= 2.947163552
Code câu 2:
Tìm đạo hàm:
reset():
f:= input("Nhap vao ham f(x, y)", f):
yx:= -diff(f, x)/diff(f, y):
yxx:= subs(D(yx), D(y)= yx, D(x) = 1):
print(Unquoted, NoNL, "Ham F(x, y)= "): print(Typeset, f):
print(Unquoted, NoNL, "y'(x)= "):
print(Typeset, yx):
print(Unquoted, NoNL, "y''(x)= "):
print(Typeset, yxx):
Ham F(x, y)= x2 + y2 - 4
x
y'(x)=
y''(x)=
Vẽ hình:
-
y
x2
1
-
-
y3
y
M:= input("Nhap toa do cua M"):
hsg:= subs (yx,[x= M[1], y= M[2]]):
plot(f= 0, y - M[2]= hsg*(x- M[1]),
(plot::Point2d(M, Title= "M (".M[1].",".M[2].")",
TitlePosition = [M[1] + 0.15, M[2] + 0.15],
TitleAlignment = Left))):
print(Unquoted, "Y nghia hinh hoc cua y'(x) tai M".
" la he so goc cua tiep tuyen tai M")
y
5
4
3
M (1,3^(1/2))
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
x
Y nghia hinh hoc cua y'(x) tai M la he so goc cua tiep tuyen tai M
Code câu 3 + Ví Dụ
Minh họa điều kiện của cực trị:
plot(abs(x) + abs(y) = 1, x= -2..2)
y
2
1
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
-1
-2
Tìm cực trị ở các đoạn thẳng:
reset():
f:= input("Nhap vao ham f(x, y)", f):
print(Unquoted, NoNL, "Ham f nhap vao la "): print(Typeset, f):
dk[1]:= x - y -1: dk[2]:= x + y -1: dk[3]:= - x + y -1: dk[4]:= - x - y -1: m:= 0:
for i from 1 to 4 do
L[i]:= f + lamda*dk[i]:
dLx[i]:= diff(L[i], x):
dLy[i]:= diff(L[i], y):
dLxx[i]:= diff(dLx[i], x):
dLxy[i]:= diff(dLx[i], y):
dLlamda[i]:= diff(L[i], lamda): dLyy[i]:= diff(dLy[i], y):
stop[i]:= solve ([dLx[i]= 0, dLy[i]= 0, dLlamda[i]]= 0, [x, y, lamda], Real, IgnoreSpecialCases):
for j from 1 to nops(stop[i]) do
if is(length(type(stop[i]))= 1) then
DD:= stop[i][j]:
if is(subs(abs(x) + abs(y),DD)=1 and subs(abs(x),DD) <1 and subs (abs(y), DD)<1) then
A[i][j]:= subs(dLxx[i], DD): B[i][j]:= subs(dLxy[i], DD): C[i][j]:= subs(dLyy[i], DD):
dphi[i][j]:= dx*diff(dk[i], x) + dy*diff(dk[i], y):
d2l[i][j]:= A[i][j]*dx^2 + 2*B[i][j]*dx*dy + C[i][j]*dy^2:
tem[i][j]:= solve(dphi[i][j]=0, dy): signd2l[i]:= subs(d2l[i][j], dy= tem[i][j][1], dx= 1):
m:= m+ 1: CTpoint[m]:= subs(x, DD), subs(y, DD), subs(f, DD):
if is(signd2l[i] >0) then
print(Unquoted, "Cuc tieu ".DD[1].", ".DD[2]. " ung voi ".DD[3]):
CTtext[m]:= "Cuc tieu":
else if is(signd2l[i] <0) then
print(Unquoted, "Cuc dai ".DD[1].", ".DD[2]. " ung voi ".DD[3]):
CTtext[m]:= "Cuc dai":
else print(Unquoted, "Khong la cuc tri khi x= ".DD[1]." ". DD[1]." ung voi".DD[3]):
CTtext[m]:= "Khong la cuc tri":
end_if: end_if: end_if: end_if: end_for:
delete j:
end_for: delete i:
if m= 0 then print(Unquoted, "Ham nhap vao khong co cuc tri voi dieu kien da cho"): end_if
2
Ham f nhap vao la x4 - x + y + y4
Cuc dai x = 1/2, y = -1/2 ung voi lamda = -1/2
Cuc tieu x = 1/2, y = 1/2 ung voi lamda = 3/2
Cuc dai x = -1/2, y = 1/2 ung voi lamda = -1/2
Cuc tieu x = -1/2, y = -1/2 ung voi lamda = 3/2
Xét cực trị ở 4 đỉnh
dinh[1]:= [1, 0, subs(f, x= 1, y= 0)]:
dinh[2]:= [0, 1, subs(f, x= 0, y= 1)]:
dinh[3]:= [-1, 0, subs(f, x= -1, y= 0)]:
dinh[4]:= [0, -1, subs(f, x= 0, y= -1)]:
for i from 1 to 4 do
c:= 0:
for j from 1 to 100 do
r:= random(10^5..10^6): n:= 1/r():
if dinh[i][1] <> 0 then
a:= subs(f, x= dinh[i][1] - sign(dinh[i][1])*n, y= n)- dinh[i][3]:
b:= subs(f, x= dinh[i][1] - sign(dinh[i][1])*n, y= -n)- dinh[i][3]:
end_if:
if dinh[i][2] <> 0 then
a:= subs(f, y= dinh[i][2] - sign(dinh[i][2])*n, x= n)- dinh[i][3]:
b:= subs(f, y= dinh[i][2] - sign(dinh[i][2])*n, x= -n)- dinh[i][3]:
end_if:
if a*b > 0 then
c:= c+ 1: end_if:
end_for:
if (a > 0) and (c= 100) then
m:= m+ 1: CTtext[m]:= "Cuc tieu": CTpoint[m]:= dinh[i][1], dinh[i][2], dinh[i][3]:
print(Unquoted, "Cuc tieu x = ".dinh[i][1]." y= ".dinh[i][2]):
else if (a < 0) and (c= 100) then
m:= m+ 1: CTtext[m]:= "Cuc dai": CTpoint[m]:= dinh[i][1], dinh[i][2], dinh[i][3]:
print(Unquoted, "Cuc dai x = ".dinh[i][1]." y= ".dinh[i][2]):
else
print(Unquoted, "Khong la cuc tri khi x = ".dinh[i][1]." y= ".dinh[i][2]):
m:= m+ 1: CTtext[m]:= "Khong la cuc tri": CTpoint[m]:= dinh[i][1], dinh[i][2], dinh[i][3]:
end_if: end_if:
end_for:
if m= 0 then print(Unquoted, "Ham nhap vao khong co cuc tri voi dieu kien da cho"): end_if
Khong la cuc tri khi x = 1 y= 0
Khong la cuc tri khi x = 0 y= 1
Khong la cuc tri khi x = -1 y= 0
Khong la cuc tri khi x = 0 y= -1
Vẽ hình
pointext:= ():
for j from 1 to m do
pointext:= pointext, plot::Point3d([CTpoint[j]], Title= CTtext[j]):
end_for:
graphf:=plot::Function3d(piecewise([(abs(x) + abs(y)) > 1 , f]),
x = -1.1.. 1.1 , y = -1.1.. 1.1, Color= RGB::Green.[0.001]):
dieukien:= piecewise([(abs(x) + abs(y)) < 1 , f]):
plot(dieukien, graphf, pointext , #3D, x= -1.1..1.1, y=-1.1..1.1, z= 0..4 ):
Code câu 4
Vẽ hình miền phẳng:
reset():
a:= x^2 + y^2 - 2*y:
b:= x^2 + y^2 - 6*y:
c:= 3^(1/2)*x:
M:= solve(subs(a, y= c), x):
N:= solve(subs(b, y= c), x):
A:= solve(a, y):
B:= solve(b, y):
f:= piecewise([N[1]<= x and x<= N[2], B[1]]):
g:= piecewise([M[1]<= x and x<= M[2], A[1]],[M[2]<= x and x <= N[2], c]):
plot(plot::Function2d(f, LineWidth= 1.5),
plot::Function2d(g, LineWidth= 1.5),
plot::Line2d([0, 2], [0, 6], LineWidth= 1.5),
a= 0,b =0, c=y, x= 0, x= -4..4, y= -1..7):
print(Unquoted, "Mien D gioi han boi: "):
print(Typeset, a= 0, b= 0, y>= c, x>= 0):
y
7
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
Mien D gioi han boi:
x2 + y2 - 2 y = 0, x2 + y2 - 6 y = 0, 3 x £ y, 0 £ x
Tính diện tích
Dientich:= int(int(1, y=A[1]..B[1]), x=M[1]..M[2])
+ int(int(1, y=c..B[1]), x= M[2]..N[2])
4 p
3
+ 2
3
Dùng tọa độ cực:
x:= r*cos(t): y:= r*sin(t):
d:= Simplify(a=0): e:=Simplify(b= 0):
print(Unquoted, "Duong tron duoc gioi han boi 2 cung"):
print(Typeset, d[1], e[1]):
print(Unquoted, "Voi t tu ".arctan(c/x)." den PI/2")
Duong tron duoc gioi han boi 2 cung
r = 2 sint, r = 6 sint
Voi t tu PI/3 den PI/2
Diện tích (theo tọa độ cực)
Dientich:= int(int(r, r= d[1][2]..e[1][2]), t= arctan(c/x)..PI/2)
4 p
3
+ 2
3
Code câu 5 + Ví dụ
reset():
a:= x^2 + y^2 =z: b:= x^2 + y^2 + 2 =z: c:= x^2 + y^2 = 1:
f:= input("Nhap vao ham f(z, y, z)", f):
print(Unquoted, "Tinh tich phan cua ham f= ".f):
print(Unquoted, "Vat the E gioi han boi"):
print(Typeset, a, b, c)
Tinh tich phan cua ham f= x^3 + y^2 - z
Vat the E gioi han boi
x2 + y2 = z, x2 + y2 + 2 = z, x2 + y2 = 1
Chuyển về tọa độ trụ
x:= r*cos(phi): y:= r*sin(phi):
print(Unquoted, "Vat the E gioi han boi"):
print(Simplify(a), Simplify(b), Simplify(c))
Vat the E gioi han boi
r2 = z, r2 + 2 = z, r2 = 1
C:= plot::Cylindrical([1, phi, z], phi = 0..2*PI, z = 1..3, Color= RGB::Green.[0.001]):
A:= plot::Cylindrical([r, phi, r^2], r = 0..1, phi = 0..2*PI):
B:= plot::Cylindrical([r, phi, 2 + r^2], r = 0..1, phi = 0..2*PI):
F:= plot::Cylindrical([r, phi, 0], r = 0..1, phi = 0..2*PI):
G:= plot::Cylindrical([1, phi, z], z = 0..1, phi = 0..2*PI, Filled= FALSE):
plot(A, B, C, F, G):
Tính tích phân
print(Unquoted, "Can cua tich phan"):
0 <=`ϕ` <= 2*PI; 0<=r<=1; Simplify(a)[1]<= z<= Simplify(b)[1]
Can cua tich phan
0 £ j £ 2 p
0 £ r £ 1
r2 £ z £ r2 + 2
print(Unquoted, NoNL, "Gia tri cua tich phan tinh duoc: "):
TichPhan:= int(int(int(f*r, z= Simplify(a)[1]..Simplify(b)[1]),
r=0..Simplify(c)[2]), phi= 0..2*PI)
5 p
2
Gia tri cua tich phan tinh duoc:
-
Code câu 6:
Tìm G
reset():
P:= x*exp(-x/y)+ 1: Q:= 1 - x/y: v:= x/y:
H:= g*diff(Q, x) + dg*diff(v, x)*Q - (g*diff(P, y) + dg*diff(v, y)*P):
i:= solve(H, g, IgnoreSpecialCases):
G:= C*E^(int(i[1]/dg, u)): C:= solve(subs(G, u =0)= 1, C):
G:= subs(G, u= v)[1]: print(Unquoted, NoNL, "Ham G la"):
print(Typeset, G):
Ham G laexy
Tìm tích phân
A:= [0, 3/4]: B:= [ln(2), 1]:
GP:= subs(G*P, y= A[2]): GQ:= subs(G*Q, x=B[1]):
simplity(GP):simplify(GQ):
L:= cosh(x) - 1/4:
integral:= int(GP, x= A[1].. B[1]) + int(GQ, y= A[2]..B[2]):
print(Unquoted, NoNL, "Gia tri cua tich phan tinh duoc: "):
print(Typeset, integral)
2
ln2
5
4
Gia tri cua tich phan tinh duoc:
+
2
Đồ thị minh họa:
pointA:= plot::Point2d(A, Title= "A", TitlePosition = [A[1] + 0.05, A[2]],
TitleAlignment = Left):
pointB:= plot::Point2d(B, Title= "B", TitlePosition = [B[1] + 0.05, B[2]],
TitleAlignment = Left):
lineL1:= plot::Function2d(L, x= -0.5..1):
lineL2:= plot::Function2d(L, x= A[1]..B[1], LineWidth= 1, Color= RGB::Red):
plot(pointA, pointB, lineL1, lineL2, plot::Point2d(0, 0, PointSize= 0.1))
y
1.2
B
1.0
0.8
A
0.6
0.4
0.2
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
Câu 6 (Tùy chỉnh)
Tìm G
reset():
P:= input("Nhap vao P: "):
Q:= input("Nhap vao Q: "):
v:= input("Nhap vao u: "):
H:= g*diff(Q, x) + dg*diff(v, x)*Q - (g*diff(P, y) + dg*diff(v, y)*P):
i:= solve(H, g, IgnoreSpecialCases):
G:= C*E^(int(i[1]/dg, u)): C:= solve(subs(G, u =0)= 1, C):
G:= subs(G, u= v)[1]: print(Unquoted, NoNL, "Ham G la"):
print(Typeset, G):
Ham G laexy
Tìm tích phân
A:= input("Nhap vao toa do diem A: "):
B:= input("Nhap vao toa do diem B: "):
GP:= subs(G*P, y= A[2]): GQ:= subs(G*Q, x=B[1]):
simplity(GP):simplify(GQ):
L:= input("Nhap vao duong lay tich phan"):
integral:= int(GP, x= A[1].. B[1]) + int(GQ, y= A[2]..B[2]):
print(Unquoted, NoNL, "Gia tri cua tich phan tinh duoc "):
print(Typeset, integral)
2
ln2
5
4
Gia tri cua tich phan tinh duoc
+
2
Đồ thị minh họa:
pointA:= plot::Point2d(A, Title= "A", TitlePosition = [A[1] + 0.05, A[2]],
TitleAlignment = Left):
pointB:= plot::Point2d(B, Title= "B", TitlePosition = [B[1] + 0.05, B[2]],
TitleAlignment = Left):
lineL1:= plot::Function2d(L, x= -0.5..1):
lineL2:= plot::Function2d(L, x= A[1]..B[1], LineWidth= 1, Color= RGB::Red):
plot(pointA, pointB, lineL1, lineL2, plot::Point2d(0, 0, PointSize= 0.1))
y
1.2
B
1.0
0.8
A
0.6
0.4
0.2
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x
Code câu 7 + Ví dụ
Tìm véctơ pháp tuyến
reset():
a:= x^2 + y^2 - 2*x:
mp1:= piecewise([ a<= 0, 3 - (x + y)]):
mp2:= piecewise([ a> 0, 3 - (x + y)]):
s:= 3 - x - y -z:
P:= 2*x + y: Q:= 2*y + z: R:= 2*z + x:
i:= diff(s, x): j:= diff(s, y): k:= diff(s, z):
n:= [i, j, k]/sqrt(i^2 + j^2 + k^2):
if is(n[3] > 0) then
n:= - n
end_if:
print(Unquoted, NoNL, "Phap vecto n la "), print (Typeset, n)
3
3
3
3
3
3
Phap vecto n la
-
, -
, -
Vẽ hình
M:= input("Nhap vao M"):
print(Unquoted, "Toa do M nhap vao la ".M):
pointM:= plot::Point3d(M, Title= "M", TitlePosition= M + [0, 0, 0.3]):
vectoM:= plot::Arrow3d(M, M + n, Color= RGB::Black.[1]):
mattru:= plot::Implicit3d(x^2 + y^2 =2*x,
x= -0.5..2.5, y= -1.5..1.5, z = -1..5,
LineColor= RGB::Red.[0.1], Filled= FALSE):
mats1:= plot::Function3d(mp1, FillColor = RGB::Blue):
mats2:= plot::Function3d(mp2, x= -0.5..2.5, y= -1.5..1.5,
FillColor= RGB::Red.[0.01]):
matS:= plot::Scene3d(mats1, mats2, pointM, vectoM):
plot(pointM, vectoM, mats1, mats2, mattru):
Toa do M nhap vao la [1, 0, 2]
Tính tích phân:
c:= solve (s, z)[1]:
S:= subs((P*n[1] + Q*n[2] + R*n[3]), z = c)
*sqrt(1 + (diff(c, x))^2 + (diff(c, y))^2):
S:= simplify(S):
x:= r*cos(t): y:= r*sin(t):simplify(a=0):
R:= simplify(solve(a= 0, r, IgnoreSpecialCases)):
print(Unquoted, NoNL, "Gia tri cua tich phan la"):
integal:= int(int(S*r,r= R[1]..R[2] ), t= 0..PI)
Gia tri cua tich phan la - 9 p
17 trang
28300
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập lớn môn Giải tích 2 - Đề tài 7 - Nguyễn Tấn Cường", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_lon_mon_giai_tich_2_de_tai_7_nguyen_tan_cuong.pdf
