Bài tập lớn môn Mô hình hóa toán học - Đề bài: Mô hình SIR trong dự báo Covid-19
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC - KỸ THUẬT MÁY TÍNH
MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC (CO2011)
Đề bài tập lớn
“Mô hình SIR
trong dự báo COVID-19”
GVHD: Nguyễn Tiến Thịnh
Nguyễn An Khương
SV thực hiện: Nguyễn Văn A – 22102134
Trần Văn B – 88471475
Lê Thị C – 36811334
Phạm Ngọc D – 97501334
Kiều Thị E – 12341334
Tp. Hồ Chí Minh, Tháng 07/2020
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Mục lục
2
2
2
2
3
4
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
10
Đề bài tập lớn môn Mô hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020
Trang 1/10
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
1 Giới thiệu đề tài
1.1 Bối cảnh
Dịch bệnh COVID-19 lần đầu tiên được ghi nhận tại Thành phố Vũ Hán (Trung Quốc) khoảng
cuối năm 2019. Tính đến nay đã hơn 6 tháng trôi qua, dịch bệnh đã liên tục được ghi nhận trên
khắp thế giới với số ca lây nhiễm đáng báo động trong các cộng đồng dân cư. Chỉ tính riêng tại
Mỹ, tính đến ngày 18 tháng 06 năm 2020, số ca mắc COVID-19 là hơn hai triệu ca với hơn một
trăm nghìn ca tử vong đã được xác nhận. Chiếm lần lượt 25.9% và 26.24% số ca mắc và ca tử
vong đã được thông báo trên toàn cầu.
Với tình hình phức tạp đó, các quốc gia trên thế giới đã đồng loại thực hiện nhiều biện pháp
mạnh mẽ nhằm kiểm soát được tình hình lây lan nhanh chóng của dịch bệnh. Hiện nay, biện
pháp được cho là hiệu quả nhất là các biện pháp cách ly với thời gian cách ly 14 ngày. Tuy nhiên,
để nâng cao hiệu quả phòng và chống dịch, nhiều mô hình dự báo đã được đưa ra để tiên đoán
và có biện pháp kịp thời trước các đợt bùng phát dịch bệnh nghiêm trọng có thể xảy ra.
1.2 Mô hình SIR
1.2.1 Phát biểu mô hình
Mô hình SIR (Suspectible - Infectious - Recovered) là một trong các mô hình cách ly cơ bản
được sử dụng nhiều nhất trong quá khứ và hiện tại để mô tả dịch bệnh. Mô hình được lần đầu
nếu đã phục hồi. Mô hình SIR là một hệ động lực gồm ba phương trình vi phân sau
dS
β
=
=
=
−
β
IS,
(1)
(2)
(3)
dt
dI
N
IS − γI,
dt
dR
N
γI,
dt
trong đó tại mỗi thời điểm t ≥ t0 ≥ 0 với t0 là thời điểm đầu ghi nhận,
• S(t): Số người có nguy cơ mắc bệnh;
• I(t): Số người nhiễm bệnh;
• R(t): Số người phục hồi sau bệnh;
• β(t): Tỷ lệ tiếp xúc của mỗi người trong nhóm S(t) với người trong nhóm I(t);
• γ(t): Tỷ lệ hồi phục khi mắc bệnh;
• N(t): Tổng số người trong cộng đồng bị cách ly được tính bằng
N(t) := S(t) + I(t) + R(t).
(4)
Hệ phương trình vi phân trên có thể được hiểu như sau
Đề bài tập lớn môn Mô hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020
Trang 2/10
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
I(t);
với người bệnh nhóm I(t) và trừ đi số người ở nhóm I(t) đã phục hồi với tỷ lệ γI(t);
Ví dụ 1.1. Giả sử có một loại cúm đang lây lan trong một cộng đồng dân cư. Giả sử rằng:
• Cộng đồng này đang bị cách ly, không ai được ra và cũng không ai được vào;
• Loại cúm này có thời gian từ khi phát bệnh cho đến khi hồi phục là 2 tuần không đổi theo
thời gian;
• Một người khi mắc bệnh và hồi phục thì không còn mắc bệnh này lại lần thứ hai;
• Sau một thời gian điều tra, tỷ lệ mắc bệnh khi có tiếp xúc với người bệnh ở mức 0.2% sau
một tuần tiếp xúc và giả sử tỷ lệ này cũng không đổi theo thời gian.
Khi đó, với mỗi tuần, ta có thể sử dụng mô hình
dS
=
=
=
−0.002IS,
0.002IS − 0.5I,
0.5I.
(5)
(6)
(7)
dt
dI
dt
dR
dt
1.2.2 Phương pháp xấp xỉ Euler trong giải hệ SIR
Phương pháp Euler là một phương pháp bậc một thường được sử dụng trong việc giải các
phương trình vi phân thường. Phương pháp được đặt tên theo Leonhard Euler, người đã giới
thiệu phương pháp trong quyển sách Institutionum Calculi Integralis cùng tên xuất bản trong
khoảng thời gian 1768 đến 1770.
Giả sử ta có phương trình vi phân bậc nhất
y0 = f(t, y(t)).
Khi đó, ý tưởng của phương pháp Euler là xấp xỉ nghiệm y bằng dãy {yn} sao cho
yn+1 := yn + f(tn, yn)∆t,
(8)
(9)
với ∆t là bước xấp xỉ đủ nhỏ và f(t, y(t)) là độ dốc của đường cong y tính tại thời điểm t.
Ở dạng tổng quát, một hệ phương trình vi phân bậc một được viết dưới dạng
y10
=
=
f1(t, y1, . . . , yN ),
(10)
(11)
.
.
.
yN0
fN (t, y1, . . . , yN ),
Đề bài tập lớn môn Mô hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020
Trang 3/10
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Hình 1: Các điểm tròn màu đỏ chính là giá trị xấp xỉ đường cong y có độ dốc f(t, y) nghĩa là y0 = f(t, y).
Sai khác giữa yn và yn−1 đúng bằng f(tn−1, yn−1)(tn − tn−1
)
trong đó yi là các hàm số thực phụ thuộc vào biến t ≥ 0 và fi là các hàm số thực phi tuyến phụ
thuộc vào biến t ≥ 0 và các yi’s với mọi i ∈ {1, . . . , N}. Phương pháp Euler khi đó được áp dụng
cho từng yi.
Giả sử tại thời điểm ban đầu, số người có khả năng bị nhiễm bệnh là 800 người, số người
mắc bệnh là 5 người và số ca phục hồi khi ấy chưa có. Sử dụng phương pháp Euler, ta sẽ giải
Kết quả thu được cho như dưới bảng sau.
Tuần
Có nguy cơ
800.000000
788.800000
765.609280
718.844763
629.657869
478.282662
275.990740
105.963549
37.290163
Ca nhiễm
7.000000
Ca hồi phục
0.000000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
14.700000
30.540720
62.034877
120.204332
211.477373
308.030609
324.042496
230.694633
3.500000
10.850000
26.120360
57.137799
117.239965
222.978651
376.993955
539.015203
1.2.3 Ước lượng hệ số β và γ
Trong bối cảnh hiện nay, phương án cách ly từng nhóm người đã từng tiếp xúc trực tiếp hoặc
gián tiếp được các quốc gia trên thế giới xem như một cách hữu hiệu nhất để giảm thiểu số ca
mắc bệnh. Như vậy các mô hình cách ly dạng SIR có thể được sử dụng trong trường hợp này.
Tuy nhiên ta sẽ xét các hệ số β và γ có thể biến đổi theo thời gian d
l.
đKhi tình trạng các bệnh viện trở nên quá tải, sự tập trung
của các y bác sĩ cho từng bệnh nhân có thay đổi và dẫn đến
thời gian.
Đề bài tập lớn môn Mô hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020
Trang 4/10
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Hình 2: Số ca mắc bệnh tăng trong khoảng 6 tuần đầu tiên và giảm dần ở 2 tuần tiếp theo
Việc ước lượng các hệ số β và γ phụ thuộc vào dữ liệu về COVID-19 đã được công bố. Cụ
thể là . Ở đây, ta sẽ sử dụng phương pháp suy
luận Bayes. Gọi
• ≥
• |: phân bố xác suất hậu nghim của và khi ó dữ liệu quan sát;
• |
•
s
π(β, γ|X) ∝ π(X|β, γ)π(β, γ).
(12)
Nghĩa là phân bố xác suất hậu nghiệm của β và γ có thể được tính bằng cách lấy phân bố xác
suất của số ca mắc bệnh và số ca phục hồi khi β và γ cho trước nhân với phân bố xác suất tiên
nghiệm của β và γ.
Ví dụ 1.2. Giả sử biến quan sát là độc lập trong các lần đo đạc và có phân bố xác suất
X ∼ Γ(β, γ). Ta cũng giả sử phân bố xác suất tiên nghiệm của các hệ số β và γ là Gamma như
sau
β
γ
∼
∼
Γ(λβ, νβ)
Γ(λγ, νγ)
(13)
(14)
Khi đó, π(β, γ|X) có thể được tính bằng tích của ba phân bố xác suất sau
n
n
γβ
Y
Y
π(X|β, γ) =
f(X(ti)|β, γ) =
X(ti)β−1 exp{−γX(ti)},
(15)
i=1 Γ(β)
i=1
λβ
νβ
π(β) =
βλ −1 exp{−νββ}
(16)
β
Γ(λβ)
Đề bài tập lớn môn Mô hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020
Trang 5/10
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
và
λγ
νγ
γλ −1 exp{−νγγ},
(17)
(18)
γ
π(γ) =
Γ(λγ)
trong đó n là số lần ghi nhận giá trị của biến quan sát X và Γ là hàm Gamma
Z
∞
Γ(y) =
zy−1 exp(−z)dz.
0
Ước lượng này có vai trò rất quan trọng và được thể hiện trên hệ số
β
R0 :=
.
(19)
γ
Khi hệ số R0 < 1 thi không có đợt bùng phát dịch bệnh xảy ra vì tỷ lệ tiếp xúc người mắc bệnh
β nhỏ hơn tốc độ phục hồi. Khi hệ số R0 > 1 thì các đợt bùng phát dịch bệnh sẽ xảy ra trong
tương lai vì tỷ lệ tiếp xúc với người mắc bệnh cao hơn tốc độ phục hồi sau bệnh. Đặc biệt giá
trị trung bình của hệ số này đúng bằng
Z
E(R0) = π(β, γ|X)R0(β, γ)d(β, γ)
(20)
Trong đó X là dữ liệu về số ca mắc bệnh và phục hồi quan sát được. Giá trị trung bình này có
thể ước lượng được vì phân bố xác suất π(β, γ|X) có thể tính được nhờ vào công thức Bayes
Z
Z
m
X
βi
γi
E(R0) = π(β, γ|X)R0(β, γ)d(β, γ) ∝ π(X|β, γ)π(β, γ)R0(β, γ)d(β, γ) ≈
π(X|βi, γi)
,
i=1
(21)
trong đó (βi, γi) được lấy ra dựa trên phân bố xác suất tiên nghiệm π(β, γ) và m là kích cỡ mẫu.
Nghĩa là, chúng ta có thể lấy một mẫu kích cỡ m đủ lớn gồm các giá trị của biến ngẫu nhiên
(β, γ) dựa trên phân phối xác suất tiên nghiệm π(β, γ) và tính tổng các giá trị π(X|β, γ)βγ trên
mẫu này. Thuật toán Metropolis–Hastings khi đó có thể được sử dụng để tạo một mẫu (β, γ)
dựa trên phân bố xác suất π(β, γ).
Thuật toán Metropolis–Hastings được biết đến là một phương pháp xích Markov Monte Carlo
1. Khởi tạo β0 và γ0 từ phân bố xác suất tiên nghiệm π(β, γ).
2. Gán β := β0 và γ := γ0.
3. Khởi tạo β∗ và γ∗ ngẫu nhiên từ phân phối xác suất bất kỳ p(β, γ).
4. Nếu p(β, γ) là đối xứng, nghĩa là p(β∗, γ∗|β, γ) = p(β, γ|β∗, γ∗), gán cho r là xác suất giữ
lại β∗ và γ∗ bằng công thức
ꢀ
ꢁ
π(β∗, γ∗)
π(β, γ)
r := min 1,
(22)
và đi đến Bước 6.
Đề bài tập lớn môn Mô hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020
Trang 6/10
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
5. Nếu không đối xứng, gán
ꢀ
ꢁ
π(β∗, γ∗)p(β, γ|β∗, γ∗)
π(β, γ)p(β∗, γ∗|β, γ)
r := min 1,
(23)
và đi đến Bước 6.
6. Khởi tạo giá trị q ngẫu nhiên từ phân phối đều liên tục U(0, 1) .
7. Nếu q < r, tạo βi+1 := β∗ và γi+1 := γ∗ với i là chỉ số phần tử trong mẫu và đi đến Bước
9.
8. Ngược lại, tạo βi+1 := βi và γi+1 := γi và đi đến bước 9.
9. Lặp lại từ Bước 2 với β := βi và γ := γi cho đến khi đủ kích cỡ mẫu.
1.3 Kết hợp Mô hình Học Máy
1.3.1 Giới thiệu
Bên cạnh các phương pháp ước lượng bằng suy luận Bayes, các mô hình Học Máy cũng được
đưa vào dự đoán tình hình dịch bệnh COVID-19 trong các tháng vừa qua. Điểm nổi bật nhất
của các mô hình Học Máy là khả năng tính toán mạnh mẽ của máy tính để tìm ra các đặc tính
và xu hướng phát triển chứa đựng trong dữ liệu. Một mô hình Học Máy hiện đại có thể được
mô tả tương tự như hình dạng của mạng lưới các tế bào Nơron thần kinh nối liên tiếp với nhau
để rút trích đặc trưng của dữ liệu qua từng lớp của mạng lưới. Học Máy vốn có bắt nguồn từ
Thống kê và lần đầu tiên được Marvin Minsky và Dean Edmonds xây dựng nên vào năm 1951
với sự trợ giúp của các máy tính trong quá trình huấn luyện.
Hình 3: Sơ đồ mạng lưới của một mô hình Học Máy
1.3.2 Khó khăn trong xây dựng mô hình
Học Máy vốn có trọng tâm là các bài toán tối ưu đi cực tiểu hóa các hàm chi phí, dùng để đo
đạc sai số giữa giá trị thực tế và giá trị dự đoán của mô hình. Việc thiết kế xây dựng các hàm
chi phí phù hợp với dữ liệu đầu vào và việc tìm ra các điểm tối ưu của nó là một trong những
vấn đề gặp phải. Tùy vào từng loại dữ liệu mà mô hình được xây dựng rất khác nhau.
Đề bài tập lớn môn Mô hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020
Trang 7/10
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Hình 4: Mô hình Học Máy kết hợp SIRD được công bố bởi Luca Luca Magri và Nguyen Anh Khoa Doan
1.3.3 Mô hình dự báo COVID-19 có Học Máy
Một mô hình Học Máy có kết hợp các mô hình cách ly cổ điển sẽ được thiết kế như sau. Thứ
nhất, khởi tạo SIR hay SIRD với các hệ số đầu vào ban đầu β (hệ số lây nhiễm), γ (hệ số phục
hồi) và µ (hệ số tử vong nếu là SIRD) để tính ra số ca mắc bệnh dự đoán I(t), số ca phục hồi
dự đoán R(t) và số ca tử vong dự đoán D(t) tại thời điểm t ≥ t0. Sau đó sử dụng một mạng lưới
Nơron và dùng các số liệu đã xác nhận từ các quốc gia về số ca mắc bệnh, số ca tử vong và số
ca phục hồi thật sự tại các quốc gia đó để ước tính lại các chỉ số hồi phục γ, chỉ số lây nhiễm
β và chỉ số tử vong µ tại mỗi thời điểm công bố của dịch bệnh COVID-19. Mô hình và hàm chi
1.4 Dữ liệu COVID-19
Trong khuôn khổ của bài tập lớn này, ta sẽ sử dụng dữ liệu đã được công bố tập hợp tại
https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19. Dữ liệu dạng chuỗi thời gian có thể lấy từ
đường dẫn “COVID-19/csse_covid_19_data/csse_covid_19_time_series/”.
2 Hướng dẫn và yêu cầu
2.1 Hướng dẫn
SV có thể chia nhóm giữa các lớp L01-04 với nhau chứ không nhất thiết cùng
một lớp. Mỗi nhóm từ 3-5 người.
2.2 Yêu cầu
• Hạn nộp bài: 24/7/2020. Đối với mỗi câu hỏi, yêu cầu sinh viên trình bày bố cục rõ ràng,
mạch lạc.
• Viết báo cáo theo đúng bố cục như trong file mẫu bằng LaTeX.
• Mỗi nhóm khi nộp bài cần phải nộp theo file log (nhật ký) ghi rõ: tiến độ công việc,
phân công nhiệm vụ, trao đổi của các thành viên,...
Đề bài tập lớn môn Mô hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020
Trang 8/10
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
2.3 Nộp bài
• SV chỉ nộp bài qua hệ thống BK-eLearning: nén tất cả các file cần thiết (file .tex, file
.py, . . . ) thành một file tên là “BTL-CO2011-MT192-Cac-MSSV.zip” và nộp trong mục
Assignment trên trang BK-eLearning.
• Lưu ý: mỗi nhóm chỉ cần một thành viên là nhóm trưởng nộp bài.
3 Đề bài
Sinh viên thực hiện các yêu cầu sau.
Bài toán 1 (Bắt buộc). Trình bày lại chi tiết cách xây dựng mô hình SIR (cả trường hợp rời
rạc lẫn liên tục) hoặc mở rộng của nó và những vấn đề liên quan.
Bài toán 2 (Bắt buộc). Viết chương trình sử dụng thuật toán Euler tìm nghiệm của hệ SIR
hoặc mở rộng của nó với biến t, các , h
hvà đ
. Giá trị trả về là mảng chứa số người nhiễm
bệnh I(t) và số người đã hồi phục R(t) tính tại thời điểm t ≥ t0. Cho một số ví dụ về điều kiện
đầu và các hệ số trong mô hình và dùng chương trình đã viết để tìm nghiệm xấp xỉ. Biểu diễn
nghiệm xấp xỉ bằng cách vẽ đồ thị. Trường hợp là hệ SIR mở rộng như SIRD thì cần trả về I(t),
R(t) và D(t) là số ca tử vong tại thời điểm t ≥ t0.Trình bày chi tiết kết quả trong báo cáo.
Bài toán 3 (Bắt buộc). Viết chương trình theo ngôn ngữ tự chọn để lấy mẫu sử dụng thuật toán
Metropolis–Hastings với tham số đầu vào là phân bố áấtπ(β, γ) cho trước. Giá
trị trả về là một mẫu gồm các cặp β và γ có π(β, γ). Vẽ biểu đồ thể hiện quá
trình chọn mẫu.Trình bày chi tiết kết quả trong báo cáo.
Bài toán 4 (Bắt buộc). Mỗi nhóm hãy tự chọn lấy một khu vực gồm một số quốc gia, dùng
Bài toán 5 (Nâng cao và là bắt buộc đối với hệ kỹ sư tài năng, tùy chọn đối với hệ CQ). Sử
vẽ đồ thị. Trình bày chi tiết kết quả trong báo cáo.
4 Cách đánh giá và xử lý gian lận
4.1 Đánh giá
Mỗi bài làm sẽ được đánh giá như sau.
4.2 Xử lý gian lận
Bài tập lớn phải được sinh viên (nhóm) TỰ LÀM. Sinh viên (nhóm) sẽ bị coi là gian lận nếu:
Đề bài tập lớn môn Mô hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020
Trang 9/10
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính
Nội dung
Tỉ lệ điểm (%)
Các chương trình được viết gọn gàng và thực thi được
Phân tích mạch lạc, có tính hệ thống, đúng trọng tâm câu hỏi
Biểu đồ và đồ thị đúng, rõ ràng và trực quan
Trình bày kiến thức chuẩn bị rõ ràng, phù hợp
Trình bày văn bản đẹp, đúng chuẩn
30%
30%
20%
15%
5%
• Có sự giống nhau bất thường giữa các bài thu hoạch (nhất là phần kiến thức chuẩn bị).
Trong trường hợp này, TẤT CẢ các bài nộp có sự giống nhau đều bị coi là gian lận. Do
vậy sinh viên (nhóm) phải bảo vệ bài làm của mình.
• Sinh viên (nhóm) không hiểu bài làm do chính mình viết. Sinh viên (nhóm) có thể tham
khảo từ bất kỳ nguồn tài liệu nào, tuy nhiên phải đảm bảo rằng mình hiểu rõ ý nghĩa của
tất cả những gì mình viết.
Bài bị phát hiện gian lận thì sinh viên sẽ bị xử ý theo quy định của nhà trường.
Tài liệu
[Bro+11] Steve Brooks et al. Handbook of Markov Chain Monte Carlo. CRC press, 2011.
[EG96]
Hairer Ernst and Wanner Gerhard. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff
and Differential-Algebraic Problems. Springer, 1996.
[ESG93] Hairer Ernst, P. Nørsett Syvert, and Wanner Gerhard. Solving Ordinary Differential
Equations I: Nonstiff Prolemns. Springer, 1993.
[GFH13] Frank Giordano, William P Fox, and Steven Horton. A first course in mathematical
modeling. Nelson Education, 2013.
[Has70]
W. K. Hastings. “Monte Carlo Sampling Methods Using Markov Chains and Their
Applications”. In: Biometrika 57 (1) (1970), pp. 97–109.
[JKG20] T. Wu Joseph, Leung Kathy, and Leung Gabriel. “Nowcasting and forecasting the
potential domestic and international spread of the 2019-nCoV outbreak originating
in Wuhan, China: a modelling study”. In: 395 (2020).
[KM27]
[LM05]
[MD20]
[SL04]
William Ogilvy Kermack and A. G. McKendrick. “A contribution to the mathematical
theory of epidemics”. In: Proc. R. Soc. Lond. A 115 (1927), pp. 700–721.
Luca Magri and Nguyen Anh Khoa Doan. “First-principles Machine Learning for
COVID-19 Modeling”. In: arXiv preprint arXiv:2004.09478 (2020).
Boyd Stephan and Vandenberghe Lieven. Convex Optimization. Cambridge University
Press, 2004.
Đề bài tập lớn môn Mô hình hóa Toán học (CO2011), HK2, Năm học 2019-2020
Trang 10/10
11 trang
32520
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập lớn môn Mô hình hóa toán học - Đề bài: Mô hình SIR trong dự báo Covid-19", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_lon_mon_mo_hinh_hoa_toan_hoc_de_bai_mo_hinh_sir_tron.pdf
