Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ta nói A khả nghịch nếu tồn tại
ma trận vuông B cấp n sao cho
AB = BA = In.
B gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu là A−1
.
ꢀ
ꢁ
ꢀ
ꢁ
−2
1
1
3
2
4
Ví dụ: Cho A =
và B =
. Ta có
3
2
1
−
2
AB = BA = I2
nên A khả nghịch và A−1 = B
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
2 / 6
Nhận xét
Nếu A khả nghịch thì ta còn nói A không suy biến. Ngược lại, A là
ma trận suy biến.
Ma trận nghịch đảo (nếu có) là duy nhất.
Nếu A khả nghịch thì A−1 khả nghịch và (A−1 −1
= A.
)
Nghịch đảo của tích hai ma trận
(AB)−1 = B−1.A−1
Nghịch đảo của ma trận chuyển vị
(AT )−1 = (A−1 T
)
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
3 / 6
Điều kiện khả nghịch
Cho A là ma trận vuông cấp n
A khả nghịch ⇐⇒ det(A) = 0
ꢀ
ꢁ
1
3
2
4
Ví dụ: ma trận A =
khả nghịch vì det(A) = −2 = 0.
2
1
3
−1
3
Ví dụ: ma trận C =
m
−2 suy biến khi
−1
4
det(C) = 3 − m = 0 ⇐⇒ m = 3.
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
4 / 6
Tìm ma trận đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
phép b. đ. s. c
[ A In ] −−−−−−−→ [ In B ] =⇒ A−1 = B
trên dòng
ꢀ
ꢁ
1
4
−3
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của ma trận A =
(nếu có)
5
ꢀ
ꢁ
ꢀ
ꢀ
ꢁ
1
4
−3
1
0
0
1
1
0
−3
1
0
1
→
→
5
17 −4
ꢁ
5
3
1
0
0
1
17
17
−4
1
17
17
ꢀ
ꢁ
5
3
Vậy A−1
=
17
17
−4
1
17
17
0
1
−1
−1
1
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của B =
0
1
−1
0
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
5 / 6
Tìm ma trận đảo bằng định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu A khả nghịch thì
T
C11 C12 · · · C1n
C21 C22 · · · C2n
· · · · · · · · · · · ·
1
A−1
=
det(A)
Cn1 Cn2 · · · Cnn
|
{z
}
PA
với Cij là phần bù đại số của phần tử aij , được xác định bởi
Cij = (−1)i+j det(Mij ).
Ta gọi PA là ma trận phụ hợp của A
2
1
3
−1
−3
−2
3
2
1
Ví dụ: Tìm nghịch đảo của ma trận A =
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
6 / 6
6 trang
15/01/2024
13820
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Ma trận nghịch đảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_3_ma_tran_nghich_dao.pdf
