Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất - Đoàn Vương Nguyên
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
PHẦN II. LÝ THUYẾT THỐNG KÊ
(Statistical theory)
XÁC SUꢀT & THꢁNG KÊ
Chương 5. Lý thuyết mẫu
Chương 6. Ước lượng khoảng
ĐꢂI HꢃC
Chương 7. Kiểm định Giả thuyết Thống kê
Chương 8. Bài toán Tương quan và Hồi quy
PHÂN PHꢁI CHƯƠNG TRÌNH
Sꢄ tiꢅt: 30
Tài liệu tham khảo
---------------------
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê
và Ứng dụng – NXB Thống kê.
PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
(Probability theory)
2. Nguyễn Thanh Sơn – Lê Khánh Luận
– Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán – NXBTKê.
3. Đậu Thế Cấp – Xác suất – Thống kê –
Lý thuyết và các bài tập – NXB Giáo dục.
Chương 1. Các khái niệm cơ bản của xác suất
Chương 2. Biến ngẫu nhiên
Chương 3. Vector ngẫu nhiên
Chương 4. Định lý giới hạn trong xác suất
ꢀ Bꢈ túc vꢉ Đꢇi sꢄ Tꢈ hꢊp
4. Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê và Ứng dụng
– NXB Giáo dục.
5. Đặng Hấn – Xác suất và Thống kê
– NXB Giáo dục.
6. Phạm Xuân Kiều – Giáo trình Xác suất và Thống kê
– NXB Giáo dục.
1. Tính chất của các phép toán
∩,
∪
a) Tính giao hoán:
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
, .
b) Tính kết hợp:
7. Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất
& Thống kê – NXB Ktế Quốc dân.
8. Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê
– NXB Khoa học & Kỹ thuật.
(A ∩ B)∩C = A ∩ (B ∩C)
(A ∪ B)∪C = A ∪ (B ∪C)
,
.
c) Tính phân phối:
A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B)∪ (A ∩C)
,
.
Biên soꢇn: ThS. Đoàn Vương Nguyên
Download Slide bài giꢆng XSTK_ĐH tꢇi
dvntailieu.wordpress.com
A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B)∩ (A ∪C)
d) Tính đối ngẫu (De–Morgan):
A ∩ B = A ∪ B A ∪ B = A ∩ B
,
.
ꢀ Bꢈ túc vꢉ Đꢇi sꢄ Tꢈ hꢊp
ꢀ Bꢈ túc vꢉ Đꢇi sꢄ Tꢈ hꢊp
2. Quy tắc nhân
4. Phân biệt cách chọn k phần tử từ tập có n phần tử
Có 4 cách chọn ra k phần tử từ tập có n phần tử, n phần
tử này luôn được coi là khác nhau mặc dù bản chất của
chúng có thể giống nhau. Đó là:
ꢀ Chọn 1 lần ra k phần tử và không để ý đến thứ tự của
chúng (Tổ hợp).
• Giả sử một công việc nào đó được chia thành k giai
đoạn. Có n1 cách thực hiện giai đoạn thứ 1,..., có nk
cách thực hiện giai đoạn thứ k. Khi đó ta có:
n = n1…nk cách thực hiện toàn bộ công việc.
• Giả sử có k công việc A ,...,A khác nhau. Có n1 cách
1
k
A A
thực hiện 1,..., có nk cách thực hiện k . Khi đó ta có:
ꢀ Chọn 1 lần ra k phần tử và để ý đến thứ tự của chúng
(Chỉnh hợp).
n = n1…nk cách thực hiện toàn bộ k công việc đó.
ꢀ Chọn k lần, mỗi lần 1 phần tử và không hoàn lại (số
cách chọn như Chỉnh hợp).
3. Quy tắc cộng
• Giả sử một công việc có thể thực hiện được k cách
(trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho n1 kết
quả,…, cách thứ k cho nk kết quả. Khi đó việc thực
hiện công việc trên cho n = n1 +… + nk kết quả.
ꢀ Chọn k lần, mỗi lần 1 phần tử và có hoàn lại (Chỉnh
hợp lặp).
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
1
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Bꢈ túc vꢉ Đꢇi sꢄ Tꢈ hꢊp
ꢀ Bꢈ túc vꢉ Đꢇi sꢄ Tꢈ hꢊp
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu và
tính theo công thức:
a) Tổ hợp
• Tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n) là một nhóm
(bộ) không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau
được chọn từ n phần tử đã cho.
n !
Ank = n(n −1)...(n −k +1) =
.
(n −k)!
Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu và tính
c) Chỉnh hợp lặp
n !
Ck
=
• Chỉnh hợp lặp k của n phần tử là một nhóm (bộ) có thứ
tự gồm phần k tử không nhất thiết khác nhau được
chọn từ n phần tử đã cho.
theo công thức:
. Quy ước: 0! = 1.
n
k ! n −k !
(
)
Tính chất: Cnk = Cnn−k
b) Chỉnh hợp
• Chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n) là một
nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử khác nhau được
chọn từ n phần tử đã cho.
;
Cnk = Cnk−−11 +Cnk−1
.
Số các chỉnh hợp lặp k của n phần tử là nk.
Nhận xét:
Tổ hợp
Chỉnh hợp
Chỉnh hợp lặp
Cnk < Ank = n(n −1)...(n −k + 1)< nk
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
Chương 1. Các khái niệm cơ bản của xác suất
• Biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu A, B, C…
VD 1
§1. Biến cố ngẫu nhiên
§2. Xác suất của biến cố
§3. Công thức tính xác suất
…………………….
• Tung đồng tiền lên là một phép thử, biến cố là “mặt
sấp xuất hiện” hay “mặt ngửa xuất hiện”.
• Chọn ngẫu nhiên một số sản phẩm từ một lô hàng để
kiểm tra là phép thử, biến cố là “chọn được sản phẩm
tốt” hay “chọn được phế phẩm”.
§1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
1.1. Phép thử và biến cố
• Phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm hay quan sát
một hiện tượng nào đó để xem có xảy ra hay không.
Phép thử mà ta không khẳng định được một cách chắc
chắn kết quả trước khi thực hiện phép thử được gọi là
phép thử ngẫu nhiên.
• Gieo một số hạt lúa là phép thử, biến cố là “hạt lúa nảy
mầm” hay “hạt lúa không nảy mầm”.
1.2. Phân loại biến cố
a) Biến cố sơ cấp và không gian các biến cố sơ cấp
• Trong một phép thử, các biến cố không thể phân nhỏ
thành nhiều biến cố được gọi là biến cố sơ cấp (VD 6).
• Hiện tượng có xảy ra hay không trong phép thử được
gọi là biến cố ngẫu nhiên.
Ký hiệu các biến cố sơ cấp bởi các chữ ωi
.
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
1.3. Quan hệ giữa các biến cố
a) Quan hệ kéo theo
• Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu
A ⊂ B, khi và chỉ khi A xảy ra thì suy ra B xảy ra.
• Trong một phép thử, tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp
được gọi là không gian các biến cố sơ cấp. Ký hiệu
không gian biến cố sơ cấp là ꢀ = {ωi , i = 1, 2,...}
.
b) Biến cố chắc chắn và biến cố không thể
• Trong một phép thử, biến cố nhất định xảy ra (chắc
chắn xảy ra) là biến cố chắc chắn, ký hiệu là
VD 3. Theo dõi 4 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày. Gọi:
A
i : “có
: “có nhiều hơn 2 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”.
Ta có: A3
A4 A0 A2
i con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”, i = 0, 4.
ꢀ
.
B
• Biến cố không thể (rỗng) là biến cố không thể xảy ra
khi thực hiện phép thử, ký hiệu
⊂
B
,
⊂
B
,
⊄
B
,
A
⊄
B
,
⊄ B
.
1
∅
.
b) Quan hệ tương đương
• Hai biến cố A và B được gọi là tương đương với nhau,
ký hiệu A = B , khi và chỉ khi A ⊂ B và B ⊂ A
VD 2. Từ một nhóm có 6 nam và 4 nữ chọn ra 5 người.
Khi đó, biến cố “chọn được 5 người nữ” là không thể,
biến cố “chọn được ít nhất 1 nam” là chắc chắn.
.
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
2
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
VD 5. Một người dự thi lấy bằng lái xe máy.
c) Tổng của hai biến cố
Gọi
A
B
: “người đó thi đạt vòng thi lý thuyết”
: “người đó thi đạt vòng thi thực hành” và
• Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố được ký
hiệu A ∪ B hay A + B, biến cố tổng xảy ra khi ít nhất
một trong hai biến cố A và B xảy ra.
C
: “người đó lấy được bằng lái xe máy” thì C = A ∩ B
VD 6. Xét phép thử gieo 2 hạt lúa.
• Gọi là biến cố “hạt thứ nảy mầm” (
Ki là biến cố “hạt thứ không nảy mầm” (
.
VD 4. Người thợ săn bắn hai viên đạn vào một con thú.
Gọi A1: “viên đạn thứ nhất trúng con thú”
A2: “viên đạn thứ hai trúng con thú”
A
i
i
= 1, 2),
= 1, 2).
i
i
i
A: “con thú bị bị trúng đạn” thì A = A ∪ A2
.
Khi đó, các biến cố tích sau đây là các biến cố sơ cấp:
K1 ∩ K2, A ∩ K2, K1 ∩ A2, A ∩ A2
1
1
1
d) Tích của hai biến cố
• Tích của hai biến cố A và B là một biến cố được ký
hiệu A ∩ B hay AB, biến cố tích xảy ra khi và chỉ khi
biến cố A xảy ra và biến cố B xảy ra.
và ꢀ = {K1K2; A K2; K1A2; A A2}.
1 1
• Gọi
B
là biến cố “có 1 hạt nảy mầm” thì biến cố
A K2 K1A2
B
không phải là biến cố sơ cấp vì
B
=
∪
.
1
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
e) Biến cố đối lập
1.4. Hệ đầy đủ các biến cố
a) Hai biến cố xung khắc
• Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu trong
một phép thử, khi A xảy ra thì B không xảy ra và
ngược lại khi B xảy ra thì A không xảy ra.
• Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố được ký
hiệu A \ B, biến cố hiệu xảy ra khi và chỉ khi biến cố
A xảy ra nhưng biến cố B không xảy ra.
• Đối lập của biến cố A là một biến cố được ký hiệu
khi xảy ra thì A không xảy ra. Ta có A = ꢀ \ A
A
,
A
.
VD 8. Một hộp 10 viên phấn có 3 màu đỏ, vàng và xanh.
Chọn ngẫu nhiên 1 viên phấn từ hộp đó.
Gọi A: “chọn được viên phấn màu đỏ”
và B: “chọn được viên phấn màu xanh”
thì A và B là xung khắc.
VD 7. Một người bắn lần lượt 2 viên đạn vào 1 tấm bia.
Gọi i : “có i viên đạn trúng bia” (i = 0, 1, 2)
B: “có không quá 1 viên đạn trúng bia”.
Khi đó: B = A2
A0 = A ∪ A2 và A = A0 ∪ A2
A
Nhận xét
,
.
1
1
Hai biến cố đối lập là xung khắc, ngược lại không đúng.
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
§2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
b) Hệ đầy đủ các biến cố
• Họ các biến cố {Ai} (i = 1,…, n) được gọi là hệ đầ
các biến cố nếu thỏa mãn cả 2 điều sau:
2.1. Định ngh
ĩ
a xác su
ấ
t dạ
ng cổ đ
iển
y
đủ
a) S trường h
ố
ợp
đồng kh
ả
n
ă
ng
• Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng
1) Họ xung khắc, nghĩa là
A
∩
Aj = ∅, ∀
i
≠
j
.
i
xảy ra như nhau được gọi là đồng khả năng.
2) Có ít nhất 1 biến cố của họ xảy ra trong phép thử,
nghĩa là A ∪ A2 ∪ ...∪ An = ꢀ
VD 1. Trong dữ liệu máy tính của trường, ngân hàng đề
có 100 đề thi. Cho máy chọn ngẫu nhiên 1 đề thì
khả năng được chọn của mỗi đề thi là như nhau.
.
1
VD 9. Trộn lẫn 4 bao lúa vào nhau rồi bốc ra 1 hạt.
Gọi i : “hạt lúa bốc được là của bao thứ ”, = 1, 4.
b) Định nghĩa
A
i
i
• Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả
năng, trong đó có m khả năng thuận lợi cho biến cố A
xuất hiện thì xác suất (probability) của A là:
Khi đó, hệ A ; A ; A ; A là đầy đủ.
1
2
3
4
Chú ý
Trong 1 phép thử,
m
n
Soá tröôøng hôïp thuaän lôïi cho A xaûy ra
P(A) =
=
.
A
;
A
là đầy đủ với biến cố A tùy ý.
Soá tröôøng hôïp coùtheå xaûy ra
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
3
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
Nhận xét
0 ≤ P(A)≤ 1, ∀A
VD 4. Một bàn tròn trong một đám cưới có 10 chỗ ngồi.
Giả sử mọi người ngồi vào chỗ một cách ngẫu nhiên
(lấy sân khấu làm chuẩn). Tính xác suất để 1 cặp vợ
chồng xác định trước ngồi cạnh nhau.
;
P(∅) = 0
;
P(ꢀ) = 1.
VD 2. Một số điện thoại cố định tại thành phố H gồm 8
chữ số. Giả sử một người gọi một cách ngẫu nhiên đến
một điện thoại cố định trong thành phố H có hai chữ số
đầu là 83. Tính xác suất người đó gọi được số điện thoại:
1) Chữ số thứ ba là 7 và 5 chữ số còn lại đối xứng.
2) Chữ số thứ ba là 6, 5 chữ số còn lại khác nhau và
chữ số cuối cùng là lẻ.
VD 5. Một lớp có 60 học sinh trong đó có 28 em giỏi
Toán, 30 em giỏi Lý, 32 em giỏi Ngoại ngữ, 15 em vừa
giỏi Toán vừa giỏi Lý, 10 em vừa giỏi Lý vừa giỏi Ngoại
ngữ, 12 em vừa giỏi Toán vừa giỏi Ngoại ngữ, 2 em giỏi
cả 3 môn. Chọn ngẫu nhiên một em học sinh của lớp.
Tính xác suất để:
VD 3. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm.
Chọn ngẫu nhiên (1 lần) từ hộp đó ra 5 sản phẩm.
Tính xác suất để có:
1) Chọn được em giỏi ít nhất 1 môn.
2) Chọn được em chỉ giỏi môn Toán.
3) Chọn được em giỏi đúng 2 môn.
1) Cả 5 sản phẩm đều tốt; 2) Đúng 2 phế phẩm.
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
2.2. Định nghĩa xác suất dạng thống kê
• Thực hiện một phép thử nào đó n lần thấy có m lần
m
biến cố A xuất hiện thì tỉ số
được gọi là tần suất của
n
biến cố
A
. Khi
n
thay đổi, tần suất cũng thay đổi nhưng
m
luôn dao động quanh 1 số cố định p = lim . S
ố
p c
ố
n→+∞
n
định này được g
th ng kê. Trong th
VD 6
ọi là xác su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c
ố
A theo ngh
ĩ
a
m
ố
ự
c t , khi n đủ
ế
l
ớ
n thì P(A) ≈
.
Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa dạng cổ điển
• Ưu điểm: Tính được chính xác giá trị của xác suất mà
không cần thực hiện phép thử.
• Hạn chế: Trong thực tế có nhiều phép thử vô hạn các
biến cố và biến cố không đồng khả năng.
n
• Pearson đã gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất
12000 lần thấy có 6019 lần xuất hiện mặt sấp (tần suất
0,5016); gieo 24000 lần thấy có 12012 lần sấp (tần
suất 0,5005).
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
• Cramer đã nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái ở Thụy Điển
trong năm 1935 và kết quả có 42591 bé gái được sinh
ra trong tổng số 88273 trẻ sơ sinh, tần suất là 0,4825.
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
Gọi A là biến cố: “điểm
M
thuộc miền S ⊂ ꢀ”, ta có:
ñoä ño S
ñoä ño ꢀ
P(A) =
.
Nhận xét
VD 7. Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình tròn nội
tiếp tam giác đều có cạnh 2 cm.
Định nghĩa xác suất theo dạng thống kê chỉ cho giá trị
xấp xỉ và mức độ chính xác tùy thuộc vào số lần thực
hiện phép thử.
Giải. Gọi A: “điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp”.
Diện tích của tam giác là:
2.3. Định nghĩa xác suất dạng hình học (tham khảo)
22. 3
dt(ꢀ) =
=
3cm2
.
• Cho miền
là độ dài, diện tích, thể tích
(ứng với là đường cong,
miền phẳng, khối). Xét điểm
M rơi ngẫu nhiên vào miền
ꢀ. Gọi độ đo của ꢀ
4
Bán kính của hình tròn là:
ꢀ
1 2 3
3
r =
.
=
cm
ꢀ
.
3
2
3
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
4
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
Suy ra
ꢀ là hình vuông và
2
3
π
π
S
là miền gặp nhau. Vậy:
⇒ dt(S) = π
=
⇒ P(A) =
= 0,6046.
3
3
dt(S)
dt(ꢀ)
3
4
3 3
P =
=
= 75%.
VD 8. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại 1 địa điểm xác
định trong khoảng từ 7h đến 8h. Mỗi người đến (và
chắc chắn đến) điểm hẹn một cách độc lập, nếu không
gặp người kia thì đợi 30 phút hoặc đến 8 giờ thì không
đợi nữa. Tìm xác suất để hai người gặp nhau.
Giải. Chọn mốc thời gian 7h là 0.
2.4. Ý nghĩa của xác suất
• Xác suất là số đo mức độ
tin chắc, thường xuyên xảy ra
của 1 biến cố trong phép thử.
2.5. Tính chất của xác suất
Gọi x, y (giờ) là thời gian tương ứng của mỗi người đi
đến điểm hẹn, ta có 0 ≤ x, y ≤ 1 và:
1) Nếu
2) P(∅) = 0
3) P(ꢀ) = 1
4) Nếu A ⊂ B thì P(A)≤ P(B)
A
là biến cố tùy ý thì 0 ≤ P(A)≤ 1.
.
.
x −y − 0,5 ≤ 0
x −y ≤ 0,5
⇔
.
.
x −y + 0,5 ≥ 0
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
§3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
3.1. Công thức cộng xác suất
VD 1. Một hộp phấn có 10 viên trong đó có 3 viên màu
đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn.
• Nếu A và B là hai biến cố tùy ý thì:
Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ.
P(A ∪ B) = P(A)+ P(B)−P(A ∩ B).
VD 2. Có 33 người dự thi lấy bằng lái xe 4 chỗ ngồi qua
2 vòng thi: vòng 1 thi lý thuyết và vòng 2 thi thực hành.
Biết rằng có 17 người thi đỗ vòng 1, 14 người thi đỗ
vòng 2 và 11 người trượt cả 2 vòng thi. Chọn ngẫu nhiên
một người trong danh sách dự thi. Tìm xác suất để người
đó chỉ thi đỗ 1 vòng thi.
• Nếu A và B xung khắc thì:
P(A ∪ B) = P(A)+ P(B).
• Nếu họ {Ai} (i = 1, 2,…, n) xung khắc từng đôi thì:
P A ∪ A ∪ ... ∪ A =P(A )+P(A )+...+P(A ).
1
2
n
1
2
n
Đặc biệt
Giải. Gọi A: “người đó chỉ thi đỗ 1 vòng thi”,
Ai : “người đó thi đỗ vòng thứ i”, i = 1; 2.
P A = 1− P(A); P(A) = P(AB)+ P AB .
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
3.2. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
3.2.1. Định nghĩa
• Trong một phép thử, xét 2 biến cố bất kỳ A và B với
Ta có: P(A) = P(A
∪ A2)−P(A A2)
1
1
= P(A )+ P(A2)− 2P(A A2) (*).
1
1
P(B)> 0
.
Mặt khác: P(A A ) = 1− P A ∪ A .A
1
2
1
2
Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B đã xảy ra
được ký hiệu và định nghĩa:
= 1− P(A)+ P A .A − P A ∩ A .A
1
2
1
2
P(A ∩ B)
11
2
3
P A B =
.
(
)
⇒ P(A A2) = 1− P(A)−
=
− P(A)
.
P(B)
t nhóm 10 sinh viên g m 3 nam và 7 n
18 tu i. Ch n ng u nhiên
1
33
Thay P(A A2) vào (*) ta được:
VD 3. M
ộ
ồ
ữ trong
1
đ
ó có 2 nam 18 tu
ổ
i và 3 n
ó.
ữ
ổ
ọ
ẫ
17 14
2
13
33
P(A) =
+
− 2. − P(A) ⇒ P(A) =
.
1 sinh viên t
ừ
nhóm đ
33 33
3
Gọ
i
A
B
: “sinh viên được ch
: “sinh viên được ch
ọ
n là n
ữ”,
ọ
n là 18 tuổi”.
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
5
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
3.2.2. Công thức nhân xác suất
a) Sự độc lập của hai biến cố
• A và B là hai biến cố độc lập nếu B có xảy ra hay
không cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A
và ngược lại, nghĩa là:
Hãy tính P(A), P(B), P(A ∩ B), P A B , P B A
?
Nhận xét
1) P(AB) = P(A).P B A = P(B).P A B
.
đã xảy ra, nghĩa là
2) Khi tính P A B với điều kiện
B
ta đã hạn chế không gian mẫu
hạn chế xuống còn A ∩ B
Tính chất
ꢀ
xuống còn B và
P A B = P(A) và P B A = P(B)
.
A
.
Chú ý
Nếu A, B độc lập với nhau thì
A, B độc lập; A, B độc lập và A, B độc lập.
b) Công thức nhân
1) 0 ≤ P A B ≤ 1; P A B = 0 nếu A, B xung khắc
2)
3)
P
P
B B = 1
;
P
ꢀ B = 1
;
P
A B = 1 nếu B ⊂ A
A B = 1 − P A B
(
)
• Cho A và B là hai biến cố tùy ý, ta có:
4) Nếu A1 và A2 xung khắc thì:
P(A ∩ B)= P(B)P A B = P(A)P B A .
P
A
∪
A2
B
= P
A
(
B
+ P A B .
2
(
)
)
(
)
1
1
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
VD 5. Một người nhốt chung 5 con gà mái và 4 con gà
trống trong 1 chiếc lồng đem đi bán. Người bán bắt
ngẫu nhiên ra 1 con gà và bán nó, tiếp đến người bán
cũng bắt ngẫu nhiên ra 1 con khác.
Nếu A và B độc lập thì:
P(A ∩ B) = P(A).P(B).
Tính xác suất người bán bắt được con gà thứ hai là gà
trống nếu:
1) Con gà thứ nhất đã bán là gà mái.
• Mở rộng cho n biến cố A , i = 1,...,n tùy ý, ta có:
i
P A A ...A = P A P A A ...P A A ...A .
n−1
(
)
(
)
1
2
n
1
2
1
n
1
2) Người bán không nhớ đã bán con gà trống hay mái.
VD 4. Một người có 4 bóng đèn trong đó có 2 bóng bị
hỏng. Người đó thử lần lượt từng bóng đèn (không
hoàn lại) cho đến khi chọn được 1 bóng tốt.
VD 6. Một cầu thủ bóng rổ có 4 quả bóng đang ném
từng quả vào rổ. Nếu bóng vào rổ hoặc hết bóng thì cầu
thủ ngừng ném. Biết các lần ném là độc lập và xác suất
vào rổ của quả bóng thứ 1, 2, 3, 4 lần lượt là 90%, 80%,
85%, 70%. Tính xác suất cầu thủ ném được bóng vào rổ.
Tính xác suất để người đó thử đến lần thứ 2.
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
VD 7. Một người nông dân tiến hành phun thuốc trừ sâu
hại lúa 3 lần liên tiếp trong 1 tuần. Xác suất sâu chết sau
lần phun thứ nhất là 0,5. Nếu sâu sống sót thì khả năng
sâu chết sau lần phun thứ hai là 0,7; tương tự, sau lần
phun thứ ba là 0,9. Tính xác suất sâu bị chết sau 3 lần
phun thuốc.
3.2.3. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes.
a) Công thức xác suất đầy đủ
• Cho họ các biến cố A , i = 1; n đầy đủ và B là biến
i
cố bất kỳ trong phép thử, ta có:
n
P(B) =
P(A ) B A
(
)
∑
i
i
VD 8. Trong dịp tết, một người A đem bán 1 cây mai lớn
và 1 cây mai nhỏ. Xác suất bán được cây mai lớn là 0,9.
Nếu bán được cây mai lớn thì xác suất bán được cây mai
nhỏ là 0,7. Nếu cây mai lớn không bán được thì xác suất
bán được cây mai nhỏ là 0,2. Biết rằng người A bán
được ít nhất 1 cây mai, xác suất để người A bán được cả
hai cây mai là:
i=1
= P(A )P B A + ...+ P(A )P B A .
1
1
n
n
VD 9. M
m: 70 bóng màu tr
30 bóng màu vàng v
ch n mua ng u nhiên 1 bóng
Tính xác su để người này mua được bóng
ộ
t c
ử
a hàng bán hai lo
ng v i t
i t
ạ
ỉ
ỏ
i bóng
đ
èn cùng kích c
ng là 1% và
t khách hàng
a hàng này.
èn t t ?
ỡ
g
ồ
ắ
ớ
ớ
l
ệ
bóng h
ng 2%. M
èn từ cử
ỏ
ỉ
l
ệ
h
ộ
ọ
ẫ
đ
ấ
t
đ
ố
A. 0,63; B. 0,6848;
C. 0,4796;
D. 0,87.
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
6
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
ꢀ Chương 1. Các khái niꢋm cơ bꢆn cꢌa xác suꢍt
b) Công thức Bayes
VD 11. Tỉ lệ ôtô tải, ôtô con và xe máy đi qua đường X
có trạm bơm dầu là 5 : 2 : 13. Xác suất để ôtô tải, ôtô
con và xe máy đi qua đường này vào bơm dầu lần lượt
là 0,1; 0,2 và 0,15. Biết rằng có 1 xe đi qua đường X
vào bơm dầu, tính xác suất để đó là ôtô con ?
• Cho họ các biến cố A , i = 1; n đầy đủ và B là
i
biến cố bất kỳ trong phép thử.
Xác suất để xuất hiện sau khi đã xuất hiện B là:
A
i
P(A )P B A
P(A )P B A
(
)
(
)
.
i
i
i
i
VD 12. Một thống kê cho thấy tỉ lệ 1 cặp trẻ sinh đôi
khác trứng có cùng giới tính là 0,495; cặp trẻ sinh đôi
cùng trứng thì luôn có cùng giới tính. Giả sử tỉ lệ cặp
P A B =
=
(
)
i
n
P(B)
P(A )P B A
(
)
∑
i
i
i=1
trẻ sinh đôi cùng trứng là
p (tính trên tổng số các cặp
trẻ sinh đôi). Nếu biết 1 cặp trẻ sinh đôi có cùng giới
tính thì xác suất chúng được sinh đôi cùng trứng là
VD 10. (Xét tiếp VD 9) Giả sử khách hàng chọn mua
được bóng đèn tốt. Tính xác suất để người này mua
được bóng đèn màu vàng ?
50/149, giá trị
p là:
A. p = 0,05; B. p = 0,1; C. p = 0,2; D. p = 0,23
.
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
§1. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
§2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên
§3. Một số luật phân phối xác suất thông dụng
………………………
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 1. Khi tiến hành gieo n hạt đậu ta chưa thể biết có
bao nhiêu hạt sẽ nảy mầm, số hạt nảy mầm có thể có là
0, 1, …, n.
Kết thúc phép thử gieo hạt thì ta sẽ biết chắc chắn có
bao nhiêu hạt nảy mầm. Gọi X là số hạt nảy mầm thì là
X biến ngẫu nhiên và X = {0, 1, 2, …, n}.
§1. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI
1.1. Biến ngẫu nhiên
1.1.1. Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên
a) Khái niệm
• Một biến cố được gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả
của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá
trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các
nhân tố ngẫu nhiên.
b) Phân loại biến ngẫu nhiên
• Biến ngẫu nhiên (BNN) được gọi là rời rạc nếu các giá
trị có thể có của nó lập nên 1 tập hợp hữu hạn hoặc
đếm được.
• Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có
thể có của nó lấp đầy 1 khoảng trên trục số.
• Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu: X, Y, Z, …
các giá trị tương ứng của chúng là x, y, z,…
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
1.1.2. BNN rời rạc, bảng phân phối xác suất
• Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X, X = {x1,x2,...,xn ,...}
VD 2
• Biến X trong VD 1 là BNN rời rạc (tập hữu hạn).
với xác suất tương ứng là P(X = xi ) = pi , i = 1,2,...
Ta có phân phối xác suất của X ở dạng bảng:
• Gọi Y là số người đi qua 1 ngã tư trên đường phố thì
là BNN rời rạc (tập đếm được).
Y
• Bắn 1 viên đạn vào bia, gọi
X (cm) là “khoảng cách từ
x1 x2
…
xn
…
X
điểm chạm của viên đạn đến tâm của bia” thì
X
là
P(X = xi ) p1 p2
…
pn
…
BNN liên tục.
Chú ý
• Gọi
Y là “sai số khi đo 1 đại lượng vật lý” thì Y
là BNN
liên tục.
1) pi ≥ 0
;
p = 1, i = 1, 2,...
i
∑
2) Trong trường hợp các giá trị xi, pi có tính quy luật,
thay cho việc lập bảng ta có thể mô tả bởi đẳng thức:
P(X = xi ) = pi, i = 1,2,...
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
7
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 5. Cho hai BNN X, Y độc lập với bảng ppxs như sau:
VD 3. Xác su
lái xe là 0,3. Ngườ
i X là s n ngườ
p b ng phân ph
2) Tính xác su để ngườ
ấ
t
để 1 người thi đạt m
ó thi cho đến khi đạt m
ó d thi (m i l n thi là độc l
i xác su t c a X.
ó ph i thi không ít h
ỗ
i khi thi l
ấ
y b
ằ
ng
p).
n.
0
1
2
1
X
Y
−1
0,4 0,6
i
đ
i
ố
ới thôi.
P(X = xi )
P(Y = yj )
0,3 0,4 0,3
G
1) L
ọ
ậ
ố
l
ầ
đ
ự
ỗ
ầ
ậ
Hãy lập b
ả
ng phân ph i xác su
Giải
• Ta có P(X 2 = xi2 ) = P(X = xi ), suy ra:
ố
ấ
t c
ủ
a
X2
,
X +Y
,
XY
.
ả
ấ ủ
ả
ấ
t
i
đ
ơ
n 3 l
ầ
2
0
1
4
0,3 0,4 0,3
X
P(X 2 = xi2 )
VD 4. Một hộp có 3 viên phấn trắng và 2 viên phấn đỏ.
Một người lấy phấn ngẫu nhiên lần lượt (mỗi lần 1 viên
và không trả lại) từ hộp đó ra cho đến khi lấy được 2
• Ta có (X +Y = −1) = (X = 0) ∩ (Y = −1)
⇒ P(X +Y = −1) = P(X = 0).P(Y = −1) = 0,12
;
viên phấn đỏ. Gọi
X
là số lần người đó lấy phấn.
P(X +Y = 0) = P(X = 1).P(Y = −1) = 0,16
P(X +Y = 1) = P(X = 0).P(Y = 1)
;
Hãy lập bảng phân phối xác suất của
X
?
+ P(X = 2).P(Y = −1) = 0,30;
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
P(X +Y = 2) = P(X = 1).P(Y = 1) = 0,24
P(X +Y = 3) = P(X = 2).P(Y = 1) = 0,18
;
.
VD 6. Cho bảng ppxs đồng thời của hai BNN X và Y:
Y
–1
0
1
0
3
X + Y
P(X +Y = k)
−1
1
2
X
0,12 0,16 0,30 0,24 0,18
1
2
0,10 0,15 0,05
0,30 0,20 0,20
• Ta có P(XY = −2) = P(X = 2).P(Y = −1) = 0,12
;
P(XY = −1) = P(X = 1).P(Y = −1) = 0,16
P(XY = 0) = P(X = 0).P(Y = −1)
;
Hãy lập bảng phân phối xác suất của BNN
1) Z = 2X −Y + 5
2) Z = X2 −Y 2
Giải. 1) (X;Y ) = (1;−1) ⇒ Z = 8, p = 0,1
Z
nếu:
;
.
+ P(X = 0).P(Y = 1) = 0,30;
;
P(XY = 1) = P(X = 1).P(Y = 1) = 0,24
;
(X;Y ) = (1; 0) ⇒ Z = 7, p = 0,15
;
;
P(XY = 2) = P(X = 2).P(Y = 1) = 0,18
.
(X;Y ) = (1; 1) ⇒ Z = 6, p = 0,05
0
XY
−2 −1
1
2
P(XY = k)
0,12 0,16 0,30 0,24 0,18
(X;Y ) = (2;−1) ⇒ Z = 10, p = 0,3
;
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
(X ;Y ) = (2; 0) ⇒ Z = 9, p = 0, 2
;
1.1.3. Biến ngẫu nhiên liên tục, hàm mật độ
• Cho BNN liên tục X. Hàm ), ∈ ℝ được gọi là
hàm mật độ xác suất của X nếu thỏa hai điều kiện:
(X ;Y ) = (2; 1) ⇒ Z = 8, p = 0, 2
Sắp xếp các giá trị của Z và xác suất tương ứng, ta có:
.
f
(x
x
6
0,05 0,15 0,30 0,20 0,30
7
8
9
10
Z
ꢀ
f
(x
)≥ 0, ∀
x
∈ ℝ
;
P(Z = k )
+∞
2) (X ;Y ) = (1;− 1) ⇒ Z = 0, p = 0,1
(X ;Y ) = (1; 0) ⇒ Z = 1, p = 0,15
(X ;Y ) = (1; 1) ⇒ Z = 0, p = 0, 05
(X ;Y ) = (2;− 1) ⇒ Z = 3, p = 0, 3
;
ꢀ
f(x)dx = 1
.
;
∫
−∞
;
b
;
• Khi đó, xác suất P(a < X <b) = f(x)dx
.
∫
(X ;Y ) = (2; 0) ⇒ Z = 4, p = 0, 2
(X ;Y ) = (2; 1) ⇒ Z = 3, p = 0, 2
;
a
Chú ý
.
Sắp xếp các giá trị của
Z
Z và xác suất tương ứng, ta có:
1) Đôi khi người ta dùng ký hiệu fX (x) để chỉ hàm mật
độ xác suất (gọi tắt là hàm mật độ) của X.
0
0,15 0,15 0,50 0,20
3
1
4
P (Z = k )
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
8
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
a
+∞
4) Nếu f(x) thỏa f(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và
f(x)dx = 1
2) Do P(X = a) = f(x)dx = 0 nên ta suy ra:
∫
∫
−∞
a
P(a ≤ X <b)= P(a < X ≤b)= P(a ≤ X ≤b)
thì f(x) là hàm mật độ của BNN
X nào đó.
b
4
x3
,
x
x
∈ (0; 1)
∉ (0; 1)
= P(a < X <b)= f(x)dx.
VD 7. Chứng tỏ
f
(x
) =
là hàm mật độ
∫
0,
a
3) Về mặt hình học,
b
của biến ngẫu nhiên X.
xác suất của BNN
X
P(a ≤ X ≤b) = f(x)dx
∫
VD 8. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:
nhận giá trị trong (a; b)
a
f(x)
0, x < 1
bằng diện tích hình
f(x) =
thang cong giới hạn bởi
x = a, x = b, y = f(x)
k
2 , x ≥ 1.
S
x
và trục Ox
.
Tìm k và tính P(−3 < X ≤ 2)
.
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
Nh
1) Gi
x1 < x2 < x3 < ...< xn
Ta có hàm phân ph i của X :
ận xét
1.2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
1.2.1. Định nghĩa
• Hàm phân phối xác suất (gọi tắt là hàm phân phối) của
ả
s
ử
BNN
X
ch
ỉ
nh
ậ
n các giá tr
ị
trong x1; xn và
,
P(X = xi ) = pi i = 1, n
.
biến ngẫu nhiên
suất để nhận giá trị nhỏ hơn
),
X , ký hiệu F(x) hoặc FX (x), là xác
X
x
∀
(với mọi x ∈ ℝ).
∈ ℝ
ố
F
(x
)
=
P
(X
<
x
x
Nghĩa là:
.
0
neáu x ≤ x1
ꢀ
Nếu biến ngẫu nhiên
X rời rạc với xác suất
p
neáu x1 < x ≤ x2
neáu x2 < x ≤ x3
1
P
(X
=
xi pi thì F(x) =
)
=
p .
∑
i
p + p
xi <x
1
2
F(x) =
...........................................................
ꢀ
Nếu biến ngẫu nhiên
X
liên tục với hàm mật độ
x
p + p + ...+ p
n−1
neáu xn−1 < x ≤ xn
neáu x > xn .
1
2
f
(x
)
thì F(x) = f(t)dt
.
∫
1
−∞
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 9. Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập.
2) Mối liên hệ của F(x) với xác suất và hàm mật độ
xác suất:
Xác suất trong 1 ngày làm việc các máy đó hỏng tương
ứng là 0,1 và 0,2. Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày
làm việc. Lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị.
ꢀ
p = F x
− F x
.
i
i+1
i
ꢀ
Nếu
X là biến ngẫu nhiên liên tục thì hàm F(x)
′
liên tục tại mọi x ∈ ℝ và F (x) = f(x)
.
Đồ thị:
1.2.2. Tính chất cơ bản của hàm phân phối
1) Hàm F(x) xác định với mọi
2) 0 ≤ F(x)≤ 1,∀x ∈ ℝ
F(−∞) = 0;F(+∞) = 1
3) F(x) không giảm: F(x1)≤ F(x2) nếu x1 < x2
x
∈ ℝ
.
;
.
.
4) P(a ≤ X < b) = F(b)−F(a)
.
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
9
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 12. Thời gian chờ phục vụ của khách hàng là BNN
(phút) liên tục có hàm phân phối xác suất:
VD 10. Tuổi thọ X (giờ) của 1 thiết bị có hàm mật độ là:
X
0,
x < 100
f(x) =
0,
x ≤−2
100
,
x ≥ 100.
2
3
x
F(x)= ax + 8a, x ∈(−2; 3]
.
1) Tìm hàm phân phối xác suất của X.
2) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo
dài ít nhất là 400 giờ. Tính tỉ lệ thiết bị loại A.
1,
x > 3.
1) Tìm hàm mật độ xác suất f(x) của
X.
2) Tính P 2 <Y ≤ 5 vớiY = X2 +1
.
π
π
a cosx,− ≤ x ≤
2
2
VD 11. BNN X có f(x) =
π
π
0,x < − &x > .
2
2
Tìm a và hàm phân phối xác suất F(x).
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ
ꢀ
Nếu
Nếu
X
X
rời rạc với xác suất P(X = xi )= pi thì:
§2. CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
• Những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến
ngẫu nhiên giúp ta so sánh giữa các đại lượng với nhau
được gọi là các đặc trưng số.
• Có ba loại đặc trưng số:
ꢀ Các đặc trưng số cho xu hướng trung tâm của BNN:
Kỳ vọng toán, Trung vị, Mode,…
ꢀ Các đặc trưng số cho độ phân tán của BNN:
Phương sai, Độ lệch chuẩn,…
ꢀ Các đặc trưng số cho dạng phân phối xác suất.
EX = x p .
∑
i
i
i
liên tục có hàm mật độ f(x) thì:
+∞
EX =
x.f(x)dx.
∫
−∞
Đặc biệt
• Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X = x ; x ;...; x với
2.1. KỲ VỌNG TOÁN (giá trị trung bình)
2.1.1. Định nghĩa
• Kỳ vọng toán (gọi tắt là kỳ vọng – Expectation) của
1
2
n
xác suất tương ứng là p1, p2,..., pn thì:
biến ngẫu nhiên
X , ký hiệu EX hay M(X), là một
EX = x1p1 + x2p2 +...+ xnpn.
con số được xác định như sau:
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 1. Một lô hàng gồm 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm.
VD 3. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất:
X 0 0,1 0,3 0,4 0,7
Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng đó, gọi
sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra.
X
là số
P a 0,2 b 0,2 0,1
Giá trị của tham số a và b để EX = 0,2 là:
Tìm phân phối xác suất và tính kỳ vọng của
X .
A. a = 0,1 và b = 0,1; B. a = 0,4 và b = 0,1;
C. a = 0,2 và b = 0,3; D. a = 0,3 và b = 0,2.
VD 2. Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X có hàm mật
3
4
(x2 + 2x), x ∈ (0; 1)
0, x ∉ (0; 1).
độ xác suất f(x) =
VD 4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:
ax
+
bx2
,
x
x
∈ (0; 1)
∉ (0; 1).
Chú ý
1) Nếu
f(x) =
0,
X
là BNN liên tục trên [a; b] thì EX ∈ [a; b].
2) Nếu X = {x1,...,xn } thì:
EX ∈ [min{x1,...,xn }; max{x1,...,xn }]
1
Cho biết EX = 0,6. Hãy tính P X <
.
.
2
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
10
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
2.1.2. Ý nghĩa của Kỳ vọng
VD 6. Một dự án xây dựng được viện C thiết kế cho cả 2
bên A và B xét duyệt một cách độc lập. Xác suất (khả
năng) để A và B chấp nhận dự án này khi xét duyệt thiết
kế là 70% và 80%. Nếu chấp nhận dự án thì bên A phải
trả cho C là 400 triệu đồng, còn ngược lại thì phải trả
100 triệu đồng. Nếu chấp nhận dự án thì bên B phải trả
cho C là 1 tỉ đồng, còn ngược lại thì phải trả 300 triệu
đồng. Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ đồng và
10% thuế doanh thu. Hỏi trung bình viện C có lãi bao
nhiêu khi nhận thiết kế trên?
• Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình
(theo xác suất) mà X nhận được, nó phản ánh giá trị
trung tâm của phân phối xác suất của X.
• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần chọn
phương án cho năng suất hay lợi nhuận cao, người ta
chọn phương án sao cho năng suất kỳ vọng hay lợi
nhuận kỳ vọng cao.
VD 5. Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống
thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người đó chết
trong vòng 1 năm tới là 0,008. Một công ty bảo hiểm A
đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với
số tiền chi trả là 10000 USD, phí bảo hiểm là 100
USD. Hỏi trung bình công ty A lãi bao nhiêu khi bán
bảo hiểm cho người đó?
Giải. Gọi
X (triệu đồng) là tiền lãi (đã trừ thuế) của C.
• Khi cả A và B đều chấp nhận dự án thì:
X = (400 +1000).0,9−1000 = 260
và xác suất p = 0,7.0,8 = 0,56
.
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 7. Người thợ chép tranh mỗi tuần chép hai bức tranh
độc lập A và B với xác suất hỏng tương ứng là 0,03 và
0,05. Biết rằng nếu thành công thì người thợ sẽ kiếm lời
từ bức tranh A là 1,3 triệu đồng và B là 0,9 triệu đồng,
nhưng nếu hỏng thì bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệu đồng
và do B là 0,6 triệu đồng. Hỏi trung bình người thợ kiếm
được bao nhiêu tiền chép tranh mỗi tuần?
• Khi A chấp nhận và B không chấp nhận dự án thì:
X = (400 + 300).0,9−1000 = −370
và xác suất p = 0,7.0,2 = 0,14
.
• Khi A không chấp nhận và B chấp nhận dự án thì:
X = (100+1000).0,9−1000 = −10
và xác suất p = 0,3.0,8 = 0,24
.
• Khi cả A và B đều không chấp nhận dự án thì:
X = (100+ 300).0,9−1000 = −640
A. 2,185 triệu đồng;
C. 2,116 triệu đồng;
B. 2,148 triệu đồng.
D. 2,062 triệu đồng.
và xác suất p = 0,3.0,2 = 0,06
.
Tiền lãi trung bình (đã trừ thuế) của viện C là:
EX = 260.0,56− 370.0,14 −10.0,24− 640.0,06
= 53 (triệu đồng).
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 7. Tính EY vớiY = ϕ(X) = X2 − 3, biết X có bảng
phân phối xác suất:
2.1.3. Tính chất của Kỳ vọng
1) EC = C, C ∈ ℝ
.
X
P
–1
0
1
2
2) E(CX) = C.EX, C ∈ ℝ
3) E(X ±Y ) = EX ± EY
.
0,1 0,3 0,35 0,25
.
4) E(X.Y ) = EX.EY nếu X,Y độc lập.
5) KhiY = ϕ(X) thì:
2
2 , x ∈ [1; 2]
VD 8. Cho BNN X có hàm f(x) =
.
x
0,
x ∉ [1; 2]
ϕ(x ).p ,
neáu X rôøi raïc
∑
i
i
i
+∞
2
EY =
1) Tính EX;
2) Tính EY vớiY = X5 −
.
X
ϕ(x).f(x)dx, neáu X lieân tuïc.
∫
−∞
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
11
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
Nhận xét
2.3. Trung vị và Mode
2.3.1. Trung vị (tham khảo)
• Trung vị (median) của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu
medX, là số thực m thỏa:
• Nếu có 2 trung vị m1 ≠ m2 thì ∀m ∈ m1; m cũng là
2
trung vị.
• Trung vị là điểm phân đôi xác suất thành 2 phần tương
đối bằng nhau.
1
1
P(X < m)≤ và P(X ≤ m)≥
.
2
2
VD 9. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất:
X
1
2
3
4
5
ꢀ Với X rời rạc thì medX = xi nếu:
P 0,10 0,20 0,15 0,12 0,43
Khi đó ta có medX = 4.
VD 10. Cho BNNX có bảng phân phối xác suất:
1
F(xi )≤ ≤ F(xi+1).
2
ꢀ Với X liên tục thì medX = m nếu:
m
X
–1
0
1
2
F(m) =
f(x)dx = 0,5.
P
0,51 0,19 0,16 0,14
∫
Ta có medX = –1 nhưng quá lệch!
−∞
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
4
Chú ý
5 , x ≥ 1
VD 11. Cho BNN X có hàm mật độ f (x ) =
Tìm medX.
x
• Mode còn được gọi là số có khả năng nhất (xác suất
cao nhất).
0, x < 1.
m
m
dx
x 5
4
Giải.
f (x )dx = 0, 5 ⇒ 4
= 0,5 ⇒ m =
2 .
∫
∫
• Nếu phân phối xác suất của BNN X đối xứng (nghĩa là
pi = pn−i hoặc đồ thị hàm mật độ f(x) đối xứng) và có
1 mode thì cả 3 số đặc trưng: Kỳ vọng, Median và
−∞
1
2.3.2. MODE
Định nghĩa. Mode của biến ngẫu nhiên
mod , là giá trị của thỏa:
Nếu BNN rời rạc thì:
modX = x P(X = x ) max .
X
, ký hiệu
Mode trùng nhau.
X
X
ꢀ
ꢀ
X
• Nếu phân phối xác suất của BNN X đối xứng hoặc gần
đối xứng thì dùng Kỳ vọng để định vị là tốt nhất.
Ngược lại thì dùng Median và Mode để định vị.
0
0
Nếu BNN X liên tục có hàm mật độ f(x) thì:
modX = x f(x ) max .
0
0
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 12. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất:
X
2.4. PHƯƠNG SAI
2.4.1. Định nghĩa
0
0,10 0,20 0,30 0,05 0,25 0,10
1
4
5
8
2
• Phương sai (Variance hoặc Dispersion) của biến ngẫu
nhiên X , ký hiệu VarX hoặc D(X ), là một số thực
P
Khi đó ta có mod X = 2.
không âm được xác định bởi:
VD 13. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất:
2
2
)
VarX = E X − EX = E(X 2)− EX
.
X
1
2
4
5
8
(
)
(
1−3p
p
=
=
P
0,18 0,07 0,25
B. Mod
ꢀ Nếu P(X = xi ) = pi thì:
A. mod
C. mod
X
X
=
=
5;
1; 8;
X
X
5; 8;
1; 5; 8.
2
D. mod
2
VarX =
x
.p −
x .p
.
∑
∑
i
i
i
i
i
VD 14. Tuổi thọ (X: tháng) của một loài côn trùng là
biến ngẫu nhiên có hàm mật độ:
i
ꢀ Nếu
X
có hàm mật độ f (x) thì:
+∞
2
3
x2(4 − x), x ∈ [0; 4]
0, x ∉ [0; 4].
+∞
2
f (x) =
. Tìm modX.
64
VarX =
x .f (x )dx −
x.f (x )dx
.
∫
∫
−∞
−∞
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
12
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
2.4.2. Ý nghĩa của Phương sai
X
P
1
2
3
VD 15. Tính Var X, biết:
• Do X −EX là độ lệch giữa giá trị của X so với trung
bình của nó nên phương sai là trung bình của bình
phương độ lệch đó.
Phương sai dùng để đo mức độ phân tán của X quanh
kỳ vọng. Nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ
nên độ tập trung lớn và ngược lại.
• Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của
thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho
độ rủi ro đầu tư.
0,2 0,7 0,1
Giải.VarX = (12.0,2+ 22.0,7 + 32.0,1)
−(1.0,2+ 2.0,7 + 3.0,1)2 = 0,29
.
3
4
(x2 + 2x), x ∈ (0; 1)
x ∉ (0; 1).
f(x) =
VD 16. Tính Var X, biết:
0,
VD 17. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:
• Do đơn vị đo của VarX bằng bình phương đơn vị đo
3
X
nên để so sánh được với các đặc trưng khác,
của
(1−x2), x ≤ 1
x > 1.
người ta đưa vào khái niệm độ lệch tiêu chuẩn
f(x) =
TìmVarY, Y = 2X2
.
4
0,
σ = VarX .
(standard deviation) là:
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 19. Điểm thi hết môn XSTK của lớp X và Y tương
ứng là các BNN X và Y. Từ bảng kết quả điểm thi người
ta tính được:
VD 18. Năng suất của hai máy tương ứng là các BNN X
và Y (đơn vị: sản phẩm/phút), bảng phân phối xác suất:
X 1
2
3
4
Y
2
3
4
5
EX = 6,25
;
VarX = 1,25
;
; .
EY = 5,75 VarY = 0,75
P 0,3 0,1 0,5 0,1
P 0,1 0,4 0,4 0,1
Nếu phải chọn mua 1 trong 2 loại máy này thì ta nên
chọn máy nào?
σ
σx
ꢁx
Ta có:
.100% = 17,89%
;
y .100% = 15,06%
.
ꢁy
Giải. EX =2, 4; VarX =1, 04; EY =3,5; VarY =0,65
.
Vậy lớp Y học đều (ổn định) hơn lớp X.
Do EX < EY , VarX > VarY nên ta chọn máy
Y .
2.4.3. Tính chất của Phương sai
Chú ý. Trong trường hợp EX < EY và VarX <VarY
thì ta không thể so sánh được. Để giải quyết vấn đề này,
1) VarC = 0, C ∈ ℝ
σ
2)Var(CX) = C 2.VarX
3) Nếu X và Y độc lập thì:
trong thực tế người ta dùng tỉ số tương đối .100%
ꢁ
(
ꢁ = EX ) để so sánh sự ổn định của các BNN.
Var(X ±Y ) =VarX +VarY
.
Tỉ số tương đối càng nhỏ thì độ ổn định càng cao.
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
§3. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
THÔNG DỤNG
Trong đó: max{0; n −(N −NA)} ≤ k ≤ min{n; NA}
.
3.1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
3.1.1. Phân phối Siêu bội (Hypergeometric distribution)
VD 1. Trong một cửa hàng bán 10 bóng đèn có 3 bóng
hỏng. Một người chọn mua ngẫu nhiên 5 bóng đèn từ
cửa hàng này. Gọi X là số bóng đèn tốt người đó mua
được. Lập bảng phân phối xác suất của X.
a) Định nghĩa
• Xét tập có N phần tử, trong đó có NA phần tử có tính
chất A. Từ tập đó lấy ra 1 lần n phần tử.
• Gọi X là số phần tử có tính chất A lẫn trong n phần tử
được lấy ra thì X có phân phối Siêu bội với xác suất:
b) Các số đặc trưng
N −n
EX = np; VarX = npq
.
Ck Cn−k
N −1
NA N−NA
pk = P(X = k) =
.
N
CNn
Trong đó p = A , q = 1− p.
N
Ký hiệu: X ∈ H(N,NA,n) hay X ∼ H(N,NA,n).
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
13
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 2. Một rổ mận có 20 trái trong đó có 6 trái bị hư.
3.1.2. Phân phối Nhị thức (Binomial distribution)
a) Công thức Bernoulli
• Dãy phép thử Bernoulli là dãy có n phép thử thỏa 3
điều kiện:
Chọn ngẫu nhiên từ rổ đó ra 4 trái. Gọi
hư chọn phải.
X là số trái mận
1) Lập bảng phân phối xác suất của
X
.
2) Tính EX
,
VarX bằng hai cách: dùng bảng phân phối
1) Các phép thử của dãy độc lập với nhau.
2) Trong mỗi phép thử ta chỉ quan tâm đến 1 biến cố
và công thức.
A, nghĩa là chỉ có A và
A xuất hiện.
3) Xác suất xuất hiện A trong mọi phép thử của dãy
luôn là hằng số p:
C6kC 4−k
C240
4
4
6
5
14
2) Cách 1. EX =
x .p =
k.
=
.
∑
∑
k
k
P(A) = p, P A = 1− p = q, (0 < p < 1)
.
k=0
k=0
2
4
• Cho dãy n phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện k lần
204
95
6
336
475
VarX =
x2p −(EX)2 =
−
=
.
∑
pk =Cnk pkqn−k, p = P(A).
k
k
5
biến cố A là:
k=0
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
b) Định nghĩa phân phối Nhị thức
• Phân phối Nhị thức là phân phối của biến ngẫu nhiên
rời rạc X = {0; 1; 2;...; n} với xác suất tương ứng là:
VD 4. M
xác su
1) Cho máy s
2 ph ph
2) Máy c n s
xác su t có ít nh
ộ
t máy s
ả
n xu
ấ
t l
ph
t ra 10 s
ầ
ẩ
n lượt t
m là 0,01.
n ph
ừ
ng s
ả
n ph
ẩm với
ất có ph
ế
ả
n xu
ấ
ả
ẩ
m, tính xác su
ấ
t có
pk = P(X = k) =Cnk pkqn−k
.
ế
ẩm.
ầ
ấ
ả
n xu
ấ
t ít nh
ấ
t bao nhiêu s
ả
n ph
ẩm
để
Ký hiệu: X ∈ B(n, p) hay
X ∼ B(n, p).
ấ
t 1 ph
ế
ph
ẩm l
ớ
n hơn 3%.
c) Các số đặc trưng
EX = np; VarX = npq;
3
4x , x ∈ (0; 1)
0, x ∉ (0; 1)
VD 5. Cho X có hàm mật độ f(x) =
.
ModX = x0: np −q ≤ x0 ≤ np −q +1.
VD 3. Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con) với
xác suất sinh con trai là 0,51. Gọi X là số con trai trong 2
lần sinh. Lập bảng phân phối xác suất của X.
Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần
nhận giá trị trong khoảng (0,25; 0,5)
X
.
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 6. Một nhà vườn trồng 26 cây lan quý, với xác suất
nở hoa của mỗi cây trong 1 năm là 0,67.
VD 8*. Một lô hàng chứa 20 sản phẩm trong đó có 4 phế
phẩm. Chọn liên tiếp 3 lần (có hoàn lại) từ lô hàng, mỗi
lần chọn ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 lần có
đúng 1 lần chọn có không quá 1 phế phẩm.
1) Giá 1 cây lan nở hoa là 1,2 triệu đồng. Giả sử nhà
vườn bán hết những cây lan nở hoa thì mỗi năm nhà
vườn thu được chắc chắn nhất là bao nhiêu tiền?
2) Nếu muốn trung bình mỗi năm có 37 cây lan quý nở
hoa thì nhà vườn phải trồng tối thiểu mấy cây?
3.1.3. Phân phối Poisson
a) Bài toán dẫn đến phân phối Poisson
• Giả sử các vụ tai nạn giao thông ở vùng
cách ngẫu nhiên, độc lập với nhau và trung bình 1
ngày có vụ tai nạn. Gọi là số vụ tai nạn giao
thông xảy ra trong 1 ngày ở vùng
• Chia 24 giờ trong ngày thành
A xảy ra 1
VD 7. Một nhà tuyển dụng kiểm tra kiến thức lần lượt n
ứng viên, với xác suất được chọn của mỗi ứng viên 0,56.
Biết xác suất để nhà tuyển dụng chọn đúng 8 ứng viên là
0,0843 thì số người phải kiểm tra là bao nhiêu?
λ
X
A
.
n
khoảng thời gian sao
cho ta có thể coi rằng trong mỗi khoảng thời gian có
nhiều nhất 1 vụ tai nạn xảy ra, và khả năng xảy ra
A. 9 người;
C. 12 người;
B. 10 người;
D. 13 người.
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
14
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
tai nạn giao thông trong mỗi khoảng thời gian bằng
λ
λ
. Khi đó, X ∈ B n,
.
n
n
k
n−k
λ
λ
• Ta có: P(X = k) = Ck 1−
n
n
n
λk
1
λ
n
n !
=
=
.
.
. 1−
nk (n −λ)k .n−k
n
n
k ! n −k !
λk n(n −1)...(n −k +1)
λ
. 1− .
.
(n −λ)k
k !
n
λk
n→∞
Suy ra: P(X = k)→ .e−λ
.
k !
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
• Chẳng hạn, số xe qua 1 trạm hoặc số cuộc điện thoại
tại 1 trạm công cộng trong 1 khoảng thời gian nào đó
có phân phối Poisson.
b) Định nghĩa
• Biến ngẫu nhiên
với tham số λ > 0
X
được gọi là có phân phối Poisson
là trung bình số lần xuất hiện
(
λ
biến cố nào đó mà ta quan tâm) nếu
0, 1, 2,…, n,… với xác suất tương ứng:
X
nhận các giá trị
c) Các số đặc trưng
e−λ.λk
EX =VarX = λ; modX = x0: λ −1≤ x0 ≤ λ.
pk = P(X = k) =
.
k !
VD 9. Quan sát tại siêu thị
khách đến mua hàng.
A
trung bình 7 phút có 18
Nhận xét
• Từ bài toán nêu ra ở trên, ta thấy phân phối Poisson
không phải là phân phối xác suất chính xác vì số người
là hữu hạn. Tuy vậy, phân phối Poisson là phân phối
gần đúng rất thuận tiện cho việc mô tả và tính toán.
1) Tính xác suất trong 2 phút có 3 khách đến siêu thị
A
?
2) Tính số khách chắc chắn nhất sẽ đến siêu thị
1 giờ ?
A
trong
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 12. Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300
cuộc gọi trong 1 giờ.
1) Tính xác suất để trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi
trong 1 phút; đúng 5 cuộc gọi trong 3 phút.
2) Tính xác suất để 2 trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút
trạm nhận được nhiều nhất 1 cuộc gọi.
VD 10. Gia đình
được thuê trong 1 ngày của gia đình
nhiên có phân phối Poisson P(3)
A
có 5 ôtô cho thuê. Giả sử số ôtô
A
là biến ngẫu
X
.
1) Tính xác suất trong 1 ngày gia đình
được thuê ?
2) Lập bảng phân phối xác suất của
A có 4 ôtô
X
?
VD 11. Quan sát thấy trung bình 1 phút có 3 ôtô đi qua
trạm thu phí. Biết xác suất có ít nhất 1 ôtô đi qua trạm
thu phí trong t phút bằng 0,9. Giá trị của t là:
VD 13*. Quan sát thấy trung bình 1 ngày (24 giờ) có 12
chuyến tàu vào cảng A. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 6 giờ
trong 1 ngày. Tính xác suất để 4 trong 6 giờ ấy, mỗi giờ
có đúng 1 tàu vào cảng A.
A. 0,9082 phút;
C. 0,8514 phút;
B. 0,8591 phút;
D. 0,7675 phút.
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
15
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
3.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
3.2.1. Phân ph i Chu n (Normal distribution)
a) Định ngh
• BNN X được g ố
ꢁ
b) Phân phối Chuẩn đơn giản
ố
ẩ
ĩ
a
X − ꢁ
σ
• Cho X ∈ N ꢁ; σ2 , đặt BNN T =
thì T có
ọ
i là có phân ph
ố
i chu
ẩ
n vớ
i tham s
u hàm m
và σ2 (σ > 0), ký hi
ệu
X ∈ N ꢁ; σ2 , n
ế
ậ
t
T ∈ N 0; 1 .
phân phối chuẩn đơn giản
độ xác su
ất củ
a X có d
ạng:
• Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên T
(x−ꢁ)2
2σ2
−
1
t2
f(x) =
e
, x ∈ ℝ.
e−
.
1
2
σ 2π
f(t)=
2π
Các số đặc trưng
(giá trị hàm Gauss f(t) được cho trong bảng phụ lục A).
modX = MedX = EX = ꢁ; VarX = σ2.
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
(x−ꢀ)2
2σ2
1
• Công thức tính xác suất của phân phối N(0; 1)
f(x) =
e−
b
σ 2π
σ
t2
f(t) =
e−
P(a <T <b)= f(t)dt = ϕ(b)− ϕ(a).
1
∫
2
a
x
2π
Trong đó, hàm ϕ(x) = f(t)dt (x ≥ 0) được gọi là
∫
0
X − ꢁ
T =
hàm Laplace (giá trị được cho trong bảng phụ lục B).
σ
Chú ý
P(T < x) = 0,5 + ϕ(x); P(T > x) = 0,5− ϕ(x).
ꢀ = 0
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 14. Thời gian (X: phút) của một khách chờ được
Tính chất của hàm Laplace (dùng để tra bảng)
1) ϕ(x) không giảm và ϕ(−x) = −ϕ(x) (hàm số lẻ).
2) Nếu x > 5 thì
(x) 0,5
phục vụ tại một cửa hàng là BNN, X ∈ N 4,5; 1,21
.
1) Tính xác suất khách phải chờ để được phục vụ từ 3,5
phút đến 5 phút; không quá 6 phút.
ϕ
≈
.
2) Tính thời gian tối thiểu t nếu xác suất khách phải chờ
vượt quá t là không quá 5%.
c) Xác suất của phân phối Chuẩn tổng quát
• Cho X ∈ N ꢁ, σ2 . Để tính P(a
< X < b) ta đặt:
VD 15. Tốc độ chuyển dữ liệu từ máy chủ của ký túc xá
đến máy tính của sinh viên vào buổi sáng chủ nhật có
phân phối chuẩn với trung bình 60Kbits/s và độ lệch
chuẩn 4Kbits/s. Xác suất để tốc độ chuyển dữ liệu lớn
hơn 63Kbits/s là:
a − ꢁ
b − ꢁ
α =
, β =
σ
σ
⇒ P(a < X <b) = P(α <T < β) = ϕ(β)− ϕ(α).
• Sau đó, tra bảng phụ lục B ta được kết quả.
A. 0,2266;
B. 0,2143;
C. 0,1312;
D. 0,1056.
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
16
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
VD 16. Trong một kỳ thi đầu vào ở trường chuyên A quy
định điểm đỗ là tổng số điểm các môn thi không được
thấp hơn 15 điểm. Giả sử tổng điểm các môn thi của học
sinh là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung
bình 12 điểm. Biết rằng tỉ lệ học sinh thi đỗ là 25,14%.
Độ lệch chuẩn là:
VD 18. Cho BNN X có phân phối chuẩn với EX = 10 và
P 10 < X < 20 = 0,3. Tính P 0 < X ≤ 15
.
VD 19 (tham khảo). Một công ty cần mua 1 loại thiết
bị có độ dày từ 0,118cm đến 0,122cm. Có 2 cửa hàng
cùng bán loại thiết bị này với độ dày là các biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn N(ꢀ, σ2).
Giá bán của cửa hàng I là 300 USD/hộp/1000 cái và cửa
hàng II là 260 USD/hộp/1000 cái.
A. 4 điểm; B. 4,5 điểm; C. 5 điểm; D. 5,5 điểm.
VD 17. Tuổi thọ (X: năm) của 1 loại bóng đèn A là biến
ngẫu nhiên,X ∈ N(4,2; 2,25). Khi bán 1 bóng đèn A thì
lãi được 100 ngàn đồng nhưng nếu bóng đèn phải bảo
hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để có tiền lãi trung bình
khi bán mỗi bóng đèn loại này là 30 ngàn đồng thì cần
phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu?
Chỉ số độ dày trung bình ꢀ (cm) và độ lệch chuẩn σ (cm)
được cho trong bảng:
Cửa hàng ꢀ (cm) σ (cm)
I
II
0,1200 0,0010
0,1200 0,0015
Hỏi công ty nên mua loại thiết bị này ở cửa hàng nào?
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
3.2.2. Phân phối χ2(n) (tham khảo)
• Cho X i ∈ N (0; 1), i = 1, n và các X i độc lập thì
n
Giải. Gọi X, Y (cm) là độ dày thiết bị của cửa hàng I, II.
Ta có: X ∈ N 0,12; 0,0012 vàY ∈ N 0,12; 0,00152
.
X =
X 2 ∈ χ2(n ) với hàm mật độ xác suất:
Tỉ lệ sử dụng 1 thiết bị của mỗi cửa hàng là:
∑
i
i =1
P(0,118 ≤ X ≤ 0,122) = ϕ(2)− ϕ(−2) = 0,9544
P(0,118 ≤Y ≤ 0,122) = 2ϕ(1,33) = 0,8164
Giá trị thực của 1 thiết bị ở cửa hàng I là:
,
0,
x
x ≤ 0
.
n
f (x ) =
.e− 2 x −1, x > 0.
1
2
n
300
n
2
= 0,3143 USD/cái.
2 .Γ
2
0,9544.1000
+∞
Giá trị thực của 1 thiết bị ở cửa hàng II là:
Trong đó: Γ(n ) =
e−x x n −1dx
, Γ(n + 1) = n Γ(n ),
260
∫
= 0,3185 USD/cái.
0
0,8164.1000
1
2
Γ
= π, Γ(1) = 1
.
Vậy công ty nên mua thiết bị của cửa hàng I.
ꢀ Chương 2. Biꢅn ngꢎu nhiên
3.2.3. Phân phối Student T(n) (với n bậc tự do)
• Cho T ∈ N(0; 1) vàY ∈ χ2(n) độc lập thì
T
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
§1. Khái niệm vector ngẫu nhiên
§2. Phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên rời rạc
§3. Phân phối xác suất của vector ngẫu nhiên liên tục
…………………………….
§1. KHÁI NIỆM VECTOR NGẪU NHIÊN
X =
∈T(n) với hàm mật độ xác suất:
Y
n
• Một bộ có thứ tự
gọi là một vector ngẫu nhiên
• Vector ngẫu nhiên chiều là liên tục hay rời rạc nếu
n
biến ngẫu nhiên (X1,…,Xn ) được
n
chiều.
n
n + 1
2
−n+1
Γ
các biến ngẫu nhiên thành phần là liên tục hay rời rạc.
VD. Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm, nếu xét
đến kích thước của sản phẩm được đo bằng chiều dài
2
x2
f(x) =
1+
, x ∈ ℝ.
n
n
nπ.Γ
X
và chiều rộng
chiều (X ,Y ), còn nếu xét thêm cả chiều cao
ta có vector ngẫu nhiên ba chiều (X ,Y ,Z )
• Trong khuôn khổ của chương trình ta chỉ xét vector
ngẫu nhiên hai chiều, thường được ký hiệu là (X ,Y )
Y
thì ta có vector ngẫu nhiên hai
2
Z
nữa thì
Giá trị của t(n) được cho trong bảng C.
• Phân phối T(n) do Willam.S.Gosset đưa ra năm 1908.
.
.
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
17
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
m
n
§2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
CỦA VECTOR NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
2.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời
Y
Trong đó P X = x ;Y = y = p và
p = 1
.
∑∑
i
j
ij
ij
i=1 j=1
VD 1. BNN rời rạc
X
nhận các giá trị 6, 7 và 8. BNNY
yj
y1 y2
yn
…
Tổng dòng
⋯
⋯
nhận các giá trị 1, 2 và 3. Phân phối đồng thời của vector
ngẫu nhiên (X,Y ) cho bởi bảng:
X
p1j
p2j
x1
x2
p11 p12
p21 p22
p1n
p2n
p1•
p2•
…
…
Y
1
2
3
⋯
⋮
X
Tính P X ≥ 7,Y ≥ 2
⋮
xi
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
pi•
6
7
8
0,1 0,05 0,15
0,05 0,15 0,1
0,2 0,1 0,1
và P X = 6
.
(
)
pij
pi1 pi2
pin
…
⋯
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
Giải
pmj
xm
pm1 pm2
pmn
pm•
…
⋯
P X ≥ 7, Y ≥ 2 = 0,15+ 0,1+ 0,1+ 0,1 = 0,45
.
p•
p•1 p•2
p•
Tổng cột
…
1
⋯
j
n
P X = 6 = 0,1+ 0,05+ 0,15 = 0,3
.
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
2.2. Bảng phân phối xác suất thành phần (lề)
Từ bảng phân phối xác suất đồng thời của (X,Y ) ta có:
• Bảng phân phối xác suất của X
VD 2. Xác định phân phối thành phần của biến ngẫu
nhiên
X
,
Y
trong VD 1.
Giải
• Bảng phân phối của
X
• Bảng phân phối củaY
x1 x2
xm
X
⋯
p1• p2•
pm•
6
7
8
1
2
3
P
⋯
X
P
Y
P
0,3 0,3 0,4
0,35 0,30 0,35
Trong đó pi• = pi1 + pi2 +⋯+ pin
(tổng dòng của bảng phân phối xác suất đồng thời).
• Bảng phân phối xác suất của Y
i
2.3. Phân phối xác suất có điều kiện
• Bảng phân phối xác suất của với điều kiệnY = yj
Từ công thức xác suất có điều kiện ta có xác suất
X
:
y1 y2
yn
Y
⋯
p•1 p•2
p•n
P
⋯
P(X=xi ;Y =yj )
P(Y = yj )
pij
Trong đó p•j = p1j + p2j +⋯+ pmj
(tổng cột của bảng phân phối xác suất đồng thời).
P X=x Y =y
=
j
=
,
i = 1,m
.
(
)
i
p•j
j
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
Chú ý
• Hai biến ngẫu nhiên
chỉ khi ∀xi, yj ta có:
Bảng phân phối xác suất của
X với điều kiệnY = yj :
X
vàY được gọi là độc lập khi và
x1 x2
xm
pmj
p•j
X
⋯
⋯
p1j
p2j
P(X = xi ;Y = yj ) = P(X = xi )P(Y = yj )
.
P X=x Y =y
i
j
p•j p•j
VD 3. Xét bảng phân phối đồng thời của (X,Y )
Y
• Bảng phân phối xác suất của
Y
với điều kiện X = xi
:
1
2
3
X
y1 y2
pi1 pi2
pi• pi•
yn
pin
pi•
pij
Y
⋯
6
7
8
0,10 0,05 0,15
0,05 0,15 0,10
0,20 0,10 0,10
P Y =y X=x
⋯
j
i
Ta có:
P X = 6|Y = 2 =
P(X=xi ;Y =yj )
0,05
1
6
P Y =y X=x
=
=
, j = 1,n
.
=
.
(
)
(
)
j
i
P(X = xi )
pi•
0,05+ 0,15+ 0,1
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
18
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
0,15
1
2
1
3
VD 4. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của vector
P X = 7 |Y = 2 =
=
=
.
.
(
)
ngẫu nhiên rời rạc (X,Y )
:
0,05+ 0,15+ 0,1
0,1
Y
0
1
2
P X = 8|Y = 2 =
(
)
X
0,05+ 0,15+ 0,1
1
2
0,20 0,30 0,10
0,15 0,15 0,10
Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y = 2 là:
6
1
6
7
1
2
8
1
3
X
1) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của
2) Tính xác suất P(X +Y = 2)
3) Lập bảng ppxs của với điều kiện X = 2
X
,
Y
.
P X=x |Y =2
.
i
Y
.
Tương tự, bảng phân phối xác suất của Y với
điều kiện X = 8 là:
1
2
X
P
Giải. 1) Bảng phân phối của
X
:
0,60 0,40
1
2
3
Y
0
1
2
Y
P
Bảng phân phối của
Y
:
P Y =y | X =8
0,50 0,25 0,25
j
0,35 0,45 0,20
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
Giải
2) P(X +Y = 2) = P(1; 1)+ P(2; 0) = 0,45
.
4
1
5
3) Bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X = 2 là:
1) P X
−
Y
=
1
=
P(1; 0)
+
P(2; 1)
=
+
=
.
(
)
18 18 18
Y
và là:
0
1
2
Y
2) Bảng phân phối thành phần của
X
Y
P(Y =yj | X=2)
0,375 0,375 0,250
0
1
2
0
1
X
4
7
7
11
7
VD 5. Cho vector ngẫu nhiên rời rạc (X,Y ) có bảng
phân phối đồng thời như sau:
P
P
18 18 18
1) P(X
18 18
1)
3) P(X
>
0 |Y
=
=
=
1|Y
=
(X,Y )
(0; 0) (0; 1) (1; 0) (1; 1) (2; 0) (2; 1)
4
7
1
3
4
3
6
1
+P(X = 2 |Y = 1) =
.
pij
18
18
18
18
18
18
4) Bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X = 1 là:
1) Tính xác suất P X −Y = 1
.
(
)
0
4
7
1
3
7
Y
2) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của
3) Tính xác suất P(X
4) Lập bảng ppxs của
X
,
Y
.
P(Y =yj | X=1)
>
0 |Y
với điều kiện
= 1)
.
Y
X = 1.
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
P X = 2; Y = 0
(
)
0,02
0,07
2
= .
7
VD 6. Bảng phân phối đồng thời của số lỗi vẽ màu
số lỗi đúc
X
và
Giải. 1) P Y = 0| X = 2 =
=
(
)
Y
của một loại sản phẩm nhựa ở một
P X = 2
(
)
công ty cho bởi:
2) T
ỉ
l
ệ
các s
ản ph
ẩ
m bán ra thị trường là:
Y
P X +Y ≤ 2; Y ≤ 1 = P X = 0; Y = 0
)
(
)
(
0
1
2
1) Nếu ta biết trên
X
sản phẩm có 2 lỗi vẽ
màu thì xác suất để
không có lỗi đúc là
bao nhiêu.
2) Nếu tổng số lỗi
không vượt quá 2 và
số lỗi đúc không
+ P X = 1; Y = 0 + P X = 2; Y = 0
)
(
(
)
(
0
1
2
3
0,48
0,06
0,02
0,02
0,10
0,05
0,04
0,01
0,06
0,05
0,01
0,10
+ P X = 0;Y = 1 + P X = 1;Y = 1 = 0,75.
)
(
)
VD 7. Chi phí quảng cáo (X: triệu đồng) và doanh thu
(Y: triệu đồng) của một cửa hàng có bảng phân phối
đồng thời bên dưới. Nếu doanh thu là 700 triệu đồng
thì chi phí quảng cáo trung bình là:
vượt quá 1 thì hàng có thể bán ra thị trường.
Tìm tỉ lệ các sản phẩm bán ra thị trường.
A. 60,5 triệu đồng;
C. 51,6667 triệu đồng; D. 76,25 triệu đồng.
B. 48,3333 triệu đồng;
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
19
dvntailieu.wordpress.com
Monday, July 05, 2010
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
§3. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA VECTOR
NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
Y
500
700
900
X
(400 – 600) (600 – 800) (800 – 1000)
3.1. Phân phối xác suất đồng thời
a) Định nghĩa
30
50
80
0,10
0,15
0,05
0,05
0,20
0,05
0
0,05
0,35
• Hàm hai biến f(x,y)≥ 0 xác định trên ℝ2 được gọi là
hàm mật độ của vector ngẫu nhiên (X,Y ) nếu:
+∞ +∞
Giải. Bảng ppxs của X với điều kiện Y = 700 là:
f(x,y)dxdy = 1.
∫ ∫
30
1
50
2
80
1
X
−∞ −∞
• Với mọi tập D ⊂ ℝ2 thì xác suất:
P X=x |Y =700
2
i
6
3
6
P
(
X
,Y
)
(x,y)dxdy.
∈ D = ∫∫ f
1
1
6
155
3
⇒ EX = 30. + 50. + 80.
=
⇒C
.
D
6
3
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
3.2. Phân phối xác suất thành phần
VD 1. Cho vector ngẫu nhiên (X,Y ) có hàm mật độ
• Hàm mật độ của
X
:
• Hàm mật độ của
Y
:
10x2y, khi 0 <
y
<
x
< 1,
+∞
+∞
đồng thời:
f
(x
,
y
) =
0, nôi khaùc.
fX
(x
) =
f
(x
,
y
)dy
.
f (y) =
f(x,y)dx.
∫
∫
Y
−∞
−∞
1
2
Chú ý
1) Tính xác suất P Y >
X
.
• Hai biến ngẫu nhiên
X
vàY được gọi là độc lập khi và
2) Tìm hàm mật độ của
X , Y .
chỉ khi f(x,y) = fX (x)fY (y)
.
3) Tìm hàm mật độ có điều kiện fX (x |y)
,
fY (y |x).
3.3. Phân phối xác suất có điều kiện
• Hàm mật độ của
X
• Hàm mật độ của
với điều kiện X = x
Y
1
1
4
4) Tính xác xuất P Y < X =
.
với điều kiệnY = y
:
:
8
f(x,y)
f(x,y)
fX (x |y) =
.
fY (y |x) =
.
fY (y)
fX (x)
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
ꢀ Chương 3. Vector ngꢎu nhiên
Giải
x
2) • Hàm mật độ của X. Ta có:
1) Đặt D = (x,y):y >
.
2
D = 0 < x < 1, 0 < y < x
Do hàm f(x,y) = 10x2y
+∞
trên 0 < y < x < 1 nên:
⇒ f (x) =
f(x,y)dy
∫
−∞
x
X
x
D = 0 < x < 1, < y < x
2
=
10x2ydy = 5x4 với
0
< x <
1
.
∫
1
2
X = ∫∫
⇒ P Y >
f (x,y)dxdy
0
D
5
x4, khi 0 < x < 1,
0, nôi khaùc.
1
x
3
4
⇒ fX (x) =
=
5x 2dx 2ydy =
.
∫
∫
0
x
2
Xác suꢀt - Thꢁng kê Đꢂi hꢃc
20
Tải về để xem bản đầy đủ
38 trang
22400
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác suất - Đoàn Vương Nguyên", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_1_cac_khai_niem_co_ban_cu.pdf
