Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 1: Chuỗi Fourier (Phần 1)
Phần 1: Giải tích Fourier
Chương 0 : Ôn tập số phức
Chương 1 : Chuỗi Fourier
Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier
Bài giảng Toá n Kỹ Thuật 2012
1
Chương 1 Chuỗi Fourier
1.1 Hàm tuần hoàn
1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier
1.4 Khai triển bán kỳ
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
2
1.1 Hàm tuần hoàn
Định nghĩa 1.1
hàm f(t) gọi là tuần hoàn
nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho
f(t+T) = f(t)
với mọi t trong miền xác định của f(t)
T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bàn )
Phân loại:
f(t) tuần hoàn sin
f(t) tuần hoàn không sin
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
3
Ví dụ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
4
1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
Chuỗi Fourier của haøm tuaàn hoaøn f(t) chu kyø T laø :
+∞
a0
f (t) = + (a cos nω t + b sin nω t)
∑
n
0
n
0
2
n=1
Vôùi : n = 1,2 …
ω0 = 2π/T = taàn soá cô baûn
a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier .
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
5
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Giaù trò caùc tích phaân xaùc ñònh
T
T
2
2
cos(mω0t) = sin(nω0t)dt = 0 ∀m,n
∫
∫
T
T
−
−
2
2
T
2
cos(mω0t)sin(nω0t)dt = 0
∀m,n
∫
T
−
2
T
0
m ≠ n
m = n
m ≠ n
m = n
2
cos(mω t)cos(nω t)dt =
T
2
0
0
∫
T
−
2
T
0
2
sin(mω0t)sin(nω0t)dt =
T
2
∫
T
−
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
6
Caùc heä soá khai trieån Fourier
+∞
a0
f (t) = + (a cos nω t + b sin nω t)
∑
n
0
n
0
2
n=1
T
T
2
2
cos(mω0t) = sin(nω0t)dt = 0 ∀m,n
∫ ∫
T
−
T
−
2
2
T
2
2
a0 = f (t)dt
∫
T
T
−
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
7
Caùc heä soá khai trieån Fourier
+∞
a0
f (t) = + (a cos nω t + b sin nω t)
∑
n
0
n
0
2
n=1
T
2
cos(mω0t)sin(nω0t)dt = 0
∀m,n
∫
T
−
2
T
0
m ≠ n
m = n
T
2
cos(mω t)cos(nω t)dt =
0
0
∫
T
−
2
2
T
2
2
an = f (t)cos(nω0t)dt
∫
T
T
−
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
8
Caùc heä soá khai trieån Fourier
+∞
a0
f (t) = + (a cos nω t + b sin nω t)
∑
n
0
n
0
2
n=1
T
2
cos(mω0t)sin(nω0t)dt = 0
∀m,n
∫
T
−
2
T
0
m ≠ n
m = n
T
2
sin(mω t)sin(nω t)dt =
0
0
∫
T
−
2
2
T
2
2
bn = f (t)sin(nω0t)dt
∫
T
T
−
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
9
Điều kiện tồn tại
. Định lý 1.1: (Định lý Dirichlet)
Nếu hàm f tuần hoàn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet
trên một khoảng I
Thì chuỗi Fourier của f hội tụ về :
●
●
nếu f liên tục tại t.
f (t)
1
+
−
f (tk ) + f (tk )
nếu f gián đoạn tại t.
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
10
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
a) Xác định chuổi Fourier ?
b) Kiểm lại dùng MATLAB ?
Giải
Chu kỳ và tần số cơ bản:
Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2,
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
11
Ví dụ tì m chuỗi Fourier
pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1;
w0 = 2*pi/T;
t = linspace(0,2*T,600);
for n=1:N
a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3);
b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3));
end
for i=1:length(t)
f(i) = a0;
for n=1:length(a)
f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) +
b(n)*sin(n*w0*t(i));
end
end
plot(t,f,'black');
xlabel('t(s)');
ylabel('f(t)');
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
12
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
. Tìm chuỗi Fourier của các hàm sau
0 −π ≤ t ≤ 0
sint 0 ≤ t ≤ π
b) f (t) = 4 −t2 − 2 ≤ t ≤ 2 ; T = 4
a) f (t) =
;T = 2π
+∞
1 sint 2 cos 2nt
a) f (t) = + −
∑
π 2 π 4n2 −1
n=1
n+1
. Kết quả
+∞
8 16 (−1)
nπt
b) f (t) = +
cos
∑
3 π 2
n2
2
n=1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
13
1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier
Bước nhảy của một hàm:
f(t)
f(t2-)
f(b-)
b
f(a+)
a
t
t1
f(t1-)
t2
f(t2+)
f(t1+)
Định nghĩa :
+
-
Jk = f(tk ) – f(tk )
Bước nhảy của một hàm f tại tk là:
Nếu f(t) gián đoạn tại tk thì Jk ≠ 0
Nếu f(t) liên tục tại tk thì Jk = 0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
14
Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier
Định lý 1.2:
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet
và có m bước nhảy J1, J2, …, Jm tại m điểm giá n đoạn
t1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T)
thì :
m
−1 1
nω0 nπ
an = bn' −
J sin(nω t )
∑
k
0 k
k=1
( n = 1, 2, … )
( bn’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
15
Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier
Định lý 1.3:
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet
và có m bước nhảy J1, J2, …, Jm tại m điểm giá n đoạn
t1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T)
thì :
m
1
1
bn = an' +
J cos(nω t )
∑
k
0 k
nω0 nπ
k=1
( n = 1, 2, … )
( an’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’)
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
16
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Xác định các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn mà
định nghĩa trong 1 chu kỳ là
f(t)
−1 − 2 < t < −1
0 −1< t < 0
1 0 < t <1
0 1< t < 2
1
f (t) =
-2
-1
0
1
2
t
-1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
17
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
f'(t)
f(t)
1
-2
-1
0
1
2
t
-2
-1
0
1
2
t
-1
Bảng các điểm gián đoạn tk và bước nhảy Jk
k 1 2 3 4
tk
-2 -1 0 1
Jk
-1 1 1 -1
f’(t) = 0 ⇒ an’ =bn’=0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
18
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
k 1 2 3 4
tk
Jk
m
-2 -1 0 1
-1 1 1 -1
−1
nω0
1
an =
bn =
bn' −
an' +
J sin(nω t )
∑
k
0 k
nπ
k=1
m
1
1
J cos(nω t )
∑
k
0 k
nω0
nπ
k=1
−2
nπ
1
nπ
1
nπ (−2)
nπ (−1)
nπ (0)
nπ (1)
an = bn' −
(−1) sin
+ (1) sin
+ (1) cos
+ (1) sin
+ (−1) sin
2
nπ (−2)
2
2
2
2
2
nπ (−1)
2
nπ (0)
nπ (1)
bn = an' +
(−1) cos
+ (1) cos
+ (−1) cos
nπ
nπ
2
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
19
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
2
nπ
2
an = sin
(n = 2k +1)
(n = 2k +1)
nπ
2
bn =
nπ
Đối với a0 ta tính trực tiếp
1
−1
1
a = (−1)dt + (1)dt = 0
0
∫ ∫
2
−2
0
Chuỗi Fourier của f(t) là :
+∞
2 1 nπ nπt
nπt
f (t) =
sin cos + sin
∑
π
n 2
2
2
n=1
n=2k+1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
20
Tải về để xem bản đầy đủ
31 trang
23440
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 1: Chuỗi Fourier (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ky_thuat_chuong_1_chuoi_fourier_phan_1.pdf
