Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

---------------------------------------------------------------

Đại số tuyến tính

Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)

www.tanbachkhoa.edu.vn

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

II – Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính.

Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có

dạng:

a x  a x    a x  b



11 1

12 2

1n n

1



a x  a x    a x  b



21 1

22 2

2n n

2





        





a x  a x    a x  b

m1 1

m2 2

mn m

m

a₁₁, a₁₂, …, a_mnđược gọi là hệ số của hệ phương trình.

b₁, b₂, …, b_mđược gọi là hệ số tự do của hệ phương trình.

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa hệ thuần nhất.

Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả

các hệ số tự do b₁, b₂, …, b_mđều bằng 0.

Định nghĩa hệ không thuần nhất.

Hệ phương trình tuyến tính được gọi là không thuần nhất nếu ít

nhất một trong các hệ số tự do b₁, b₂, …, b_mkhác 0.

Nghiệm của hệ là một bộ n số c₁, c₂, …, c_msao cho khi thay

vào từng phương trình của hệ ta được những đẳng thức đúng.

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Một hệ phương trình tuyến tính có thể:

1. vô nghiệm,

Hệ không tương thích

2. có duy nhất một nghiệm

3. Có vô số nghiệm

Hệ tương thích

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng cùng

chung một tập nghiệm.

Để giải hệ phương trình ta dùng các phép biến đổi hệ về

hệ tương đương, mà hệ này giải đơn giản hơn.

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa phép biến đổi tương đương

Một phép biến đổi được gọi là tương đương nếu biến một hệ

phương trình về một hệ tương đương.

Có 3 phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình.

1. Nhân hai vế của phương trình với một số khác không.

2. Cộng vào một phương trình một phương trình khác đã

được nhân với một số tùy ý.

3. Đổi chổ hai phương trình.

Chú ý: Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng các phép biến

đổi trên là các phép biến đổi tương đương.

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

x  y

 0







2x  y  3z  3

x  2y  z  3

Giải hệ phương trình:





x  y

 0







2h h₂

1



 3y  3z  3

 3y  z  3

h h₃

1





x  y

 0

 3y  3z  3

 4z  0





^^h²^^h³







Phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1; y = -1; z = 0

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 0









2 1 3

Ma trận hệ số:

1 2 1









1 1 0 0

2 1 3 3

1 2 1 3









Ma trận mở rộng:









I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 0 0

2 1 3 3

1 2 1 3

















1 1 0 0









2h h₂

1

 0 3 3 3

h h₃



1

0 3 1 3









1 1 0 0









h₂h₃

 0 3 3 3



0 0 4 0









I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Định nghĩa ẩn cơ sở và ẩn tự do.

Ẩn cơ sở là ẩn tương ứng với cột chứa phần tử cơ sở.

Ẩn tự do là tương ứng với cột không có phần tử cơ sở.

1 1 1 2 1

2 2 3 5 6

1 1 1 2 1

0 0 1 1 4

0 0 0 6 8















 _{BĐSC HÀNG}



3 3 4 1 1

















x₁, x₃, x₄: là các ẩn cơ sở

x₂: ẩn tự do

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Nếu hai ma trận mở rộng của hai hệ phương trình tuyến tính

tương đương hàng với nhau thì hai hệ đó tương đương.

Định lý Kronecker Capelli

r ( A | b)  r ( A)

Nếu

, thì hệ AX = b vô nghiệm.

r(A|b)  r(A)

, thì hệ AX = b có nghiệm.

r(A|b)  r(A)

Nếu

= số ẩn, thì hệ AX = b có nghiệm duy

nhất.

r(A|b)  r(A)

Nếu

< s, thì hệ AX = b có vô số nghiệm.

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để giải hệ

1. Lập ra ma trận mở rộng

A  (A| b)

2. Dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận mở rộng

về ma trận dạng bậc thang. Kiểm tra hệ có nghiệm hay

không

3. Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang

4. Giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm ẩn x_n, sau đó

x_n-1,… ., x₁.

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Giải các hệ phương trình sau đây với các ma trận mở rộng cho

trước.

1 5 2 6

1 1 1 3

















a. 0 4 7 2 ,

b. 0 1 2 4 ,









0 0 5 0









0 0 0 5









1 1 1 0





1 1 1 0











c. 0 1 2 5 ,

c. 0 3 1 0 .









0 0 0 0









0 0 0 0









I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Giải hệ phương trình:

x  5y  2z  1







x  4y  z  6

x  3y  3z  9





I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Giải hệ phương trình

y  z  3







3x  5y  9z  2

x  2y  3z  3





I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình

3x₂ 6x₃ 6x₄ 4x₅ 5

3x  7x  8x  5x  8x  9









1

2

3

4

5

3x  9x  12x  9x  6x  15



1

2

3

4

5

x₁, x₂, x₅

x₃, x₄

ẩn cơ sở:

ẩn tự do:

x  24  2  3





1

x₂ 7  2  2



Nghiệm tổng quát:

x 





4





3

x₄

x 





5

I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trân mở rộng

1 1 1 1









2 3 4 1



3 4 2 1









I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng

1 1 2 0

2 1 5 0

3 4 5 0

















I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng

1 1 1 1 2

2 1 3 0 1

3 4 2 2 5

2 3 1 1 3

















I. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng

1 1 2 0 1

2 3 1 2 4

3 4 5 1 3

1 2 3 1 0

















Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính - Đặng Văn Vinh