›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng - Đặng Văn Vinh

Download
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh  
Bộ môn Toán Ứng dụng  
-------------------------------------------------------------------------------------  
Đại số tuyến tính  
Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng  
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008)  
dangvvinh@hcmut.edu.vn  
Nội dung  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
7.2 – Chéo hóa ma trận.  
7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao.  
7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.  
7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.  
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
2
   
1  
3 2  
   
v   
u   
A   
Ví dụ.  
   
   
1
1
   
   
1 0  
Av  
Au  
Tính  
và . Hãy cho biết nhận xét.  
Av  
u
v
Au  
Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác  
không, sao cho Ax
x.  
Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A  
tương ứng với trị riêng .  
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Ví dụ  
Giải  
1 6 6 24  
6
      
   
Au   
 4  4.u  
      
   
5 2 5 20  
      
5  
   
Ta có  
là véctơ riêng  
u
 
Au
 
4.
u  
1 6 3 9  
      
Av   
      
5 2 2 11  
      
Av
v  
Không tồn tại số để  
không là véctơ riêng  
v
 
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Ví dụ.  
Giải. Xét hệ phương trình  
Ax 1x  
4x 4x 0  
x
x
1
3 4  
      
   
1
1
2
 1  
     
   
x
x
6x 6x 0  
6 5  
   
      
2
2
1
2
Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không,  
1
   
ví dụ  
x   
khi đó  
Ax 1x.  
   
1  
   
Vậy là trị riêng.  
1  
2  
Kiểm tra tương tự thấy  
không là trị riêng.  
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
 x0 0: Ax0 0x0  
Giả sử là trị riêng của ma trận A  
0
Ax0 0x0 0  
(A 0I )x0 0  
Hệ thuần nhất có nghiệm khác không  
det(A 0I ) 0  
được gọi là phương trình đặc trưng của  
det(A I ) 0  
ma trận vuông A.  
Đa thức  
gọi là đa thức đặc trưng của A.  
PA () det(A I )  
Vậy  
trình đặc trưng.  
là trị riêng khi và chỉ khi  
là nghiệm của phương  
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n.  
Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm của  
phương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại.  
Bước 3. Tìm VTR của A tương ứng TR (chẳng hạn)  
1  
bằng cách giải hệ phương trình  
(A1I)X 0.  
Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứng  
.  
với trị riêng  
1
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Định nghĩa  
Định nghĩa  
(A 1I )X 0  
E
không gian con riêng ứng với TR , ký hiệu  
1  
1  
Định nghĩa  
là các VTR ứng với các TR khác nhau  
E x , x ,..., x  
m
  
1 2  
là các trị riêng tương ứng.  
1,2,...,m  
E
r  
Giả sử hạng của bằng  
Có thể giả sử  
là họ véctơ ĐLTT cực đại của E.  
x1, x2,..., xr  
xr1  
x1, x2,..., xr  
Khi đó  
là tổ hợp tuyến tính của  
r
r
x   x  
r1  
i i  
A  I x A  I x  
r1  
r1  
r1  
i i  
i1  
i1  
r
0     x  
i   
r1 i  
x1, x2,..., xr  
vì  
ĐLTT nên  
i
i1  
vô lý vì là VTR.  
xr1 0  
i,i 0  
dim() r  E e ,e ,...,e  
r
  
là cơ sở của KGCR.  
0
1 2  
K
n  
e ,e ,...,e ,...,e  
n
  
Bổ sung vào E để có cơ sở của  
là  
1 2  
r
Đặt  
P  e1 ,e2 ,..., en   
1  
1   
1   
P A
P
P Ae , Ae2 ,..., Aen P 0e1 ,0 e2 ,..., Aen  
1
0 0 * *  
0 0 *   
  0  
0
P1AP   
   
P
1
AP  
đồng dạng với A.  
0   
*
*
0 0 0  
Bội đại số  
r  
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của  
các kgian con riêng ứng.  
Lập phương trình đặc trưng của A:  
det(A I ) 0  
31 1  
(2)2(6)1 0  
2 42 0  
1 1 3  
BHH chưa biết?  
BHH = 1  
2  
Trị riêng  
Trị riêng  
BĐS = 2  
BĐS = 1  
1
6  
2
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với  
1 2.  
32 1 1 x  
   
1
   
2 42 2 x2 0  
(A1I)X 0  
   
   
1 1 32 x  
   
3
Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát  
là cơ sở của kgian  
x
   
1
1
0
1 0  
     
     
con riêng  
   
     
     
EE2  
x2 x1 0 x2 1  
0 , 1  
1
       
     
     
     
   
dim(E) 2  
x
1 1  
1 1  
       
     
3
1
Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con  
riêng ứng với trị riêng  
2 6.  
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Tìm trị riêng; cơ sở, chiều  
của các kgian con riêng ứng  
của ma trận vuông cấp n.  
det(A I ) 0  
Xét phương trình đặc trưng:  
Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằng  
.
1 0  
Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng  
1, ta có thừa số chung là  
suy ra n là trị riêng thứ 2.  
(n )  
2
(A I )X 0  
Tương ứng với TR  
xét hệ thuần nhất  
1 0  
1
Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của  
TR này bằng n – 1, suy ra BĐS của lớn hơn hoặc bằng n -1.  
1
Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa!  
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Ví dụ. Cho là trị riêng của ma trận vuông A.  
0
0m  
1) Chứng tỏ  
là trị riêng của ma trận Am.  
1
2) Giả sử A khả nghịch, chứng tỏ  
là trị riêng của A-1.  
0  
 x0 0:Ax0 0x0  
1) là trị riêng của A  
0
Amx0 A.A...Ax0 A.A....A0x0 ... 0mx0  
m
Chứng tỏ là trị riêng của Am.  
0  
7.2 Chéo hóa ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Định lý  
(P) P1AP B.  
Giả sử hai ma trận A và B đồng dạng, tức là  
det(B I ) det(P1AP I ) det(P1AP P1IP)  
det(P1(A I )P) det(P1).det(A I ).det(P)  
Vậy A và B cùng đa thức đặc trưng.  
det(A I )  
Chú ý.  
7.2 Chéo hóa ma trận  
------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Định nghĩa  
P
1
AP
D  
Tức là tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho  
trong đó D là ma trận chéo.  
Không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được.  
Chéo hóa ma trận A là tìm ra ma trận khả nghịch P và ma  
trận chéo D.  
Ta phân tích cấu trúc của ma trận P và cấu trúc ma trận D.  
7.2 Chéo hóa ma trận  
------------------------------------------------------------------------------------------  
Giả sử ma trận vuông A chéo hóa được bởi ma trận P và D.  
0 0  
0 2 0  
     
1
a a  
A
    
1n   
11  
D   
a a  
nn   
n1  
0 0   
n   
p p  
P
    
1n   
11  
P P P  
*n
  
*1 *2  
p p  
nn   
n1  
Trong đó  
tương ứng của ma trận P.  
là các cột thứ 1, thứ 2, …., thứ n  
P ,P ,...,P  
*1 *2  
*n  
7.2 Chéo hóa ma trận  
------------------------------------------------------------------------------------------  
P
1
AP
D  
Ta có  
AP
PD  
Cột thứ nhất của AP là:  
a a p p  
1n   
1n   
11  
11  
  
AP    
   
AP  
*1  
  
  
a a p p  
nn   
nn   
n1  
n1  
Cột thứ nhất của PD là  
p p   
1n   
11  
1
  
PD     
1P*1  
  
  
p p 0  
nn   
n   
n1  
Vậy  
AP P  
Hay là trị riêng của A.  
1
*1 1 *1  
P
.  
là véctơ riêng của A tương ứng với trị riêng  
*1  
1
7.2 Chéo hóa ma trận  
------------------------------------------------------------------------------------------  
Hoàn toàn tương tự ta thấy:  
Tất cả các cột của ma trận P là các véctơ riêng của A.  
Các phần tử nằm trên đường chéo của D là các trị riêng của A.  
Vì P là ma trận khả nghịch nên tất cả các cột (các véctơ riêng  
của A) độc lập tuyến tính.  
Định lý  
Hệ quả 1.  
7.2 Chéo hóa ma trận  
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  
Hệ quả 2 (thường sử dụng trong bài tập)  
(2)2(3)1 0  
Giả sử phương trình đặc trưng của A là  
Bội đại số = 1  
Bội đại số = 2  
Bội hình học = 1  
Bội hình học = ?  
1  3  
2 2  
2 2  
Để tìm BHH của TR  
riêng (khgian nghiệm) tương ứng của hệ  
ta tìm chiều của không gian con  
(A 2I )X 0.  
Nếu BHH của  
bằng 2, thì BHH của cả hai trị riêng bằng  
2 2  
BĐS của chúng, suy ra A chéo hóa được để tạo nên ma trận P.  
Trong trường hợp này, ta chọn đủ 3 VTR độc lập tuyến tính: 1  
VTR ứng với và 2 VTR ứng với .  
1  
2
Tải về để xem bản đầy đủ
pdf 63 trang Mãnh Khiết 15/01/2024 11820 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng - Đặng Văn Vinh", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_7_tri_rieng_vecto_rieng_d.pdf