Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 3: Phép biến đổi Laplace
Phần 2
Toán tử Laplace
Phép biến đổi Lapalace
Phép biến đổi Lapalace ngược
Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân
Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
1
Từ Fourier đến Laplace
Một số hàm đặc biệt có tích phân vô hạn phân kỳ (t→∞)
0
t < 0
Hàm phụ g(t) với
g(t) =
thừa số hội tụ e-at
e−at f (t) t > 0
+∞
+∞
G(ω) = g(t)e− jωt dt = f (t)e−(a+ jω)t dt
∫
∫
0
0
+∞
1
f (t) = eat g(t) = eatF −1 G(ω) =
G(ω)e(a+ jω)t dω
{ }
∫
2π
−∞
+∞
d(a + jω) ds
1
s = a + jω → dω =
=
f (t) =
f (t) =
F(a + jω)e(a+ jω)t dω
j
j
∫
2π
−∞
ω = ±∞→ s = a ± j∞
a+ j∞
+∞
1
F(s)est ds
F(s) = f (t)e−st dt
∫
∫
2π j a− j∞
0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
2
Chương 3 Phép biến đổi Laplace
Định nghĩa
f(t) là hàm (có thể phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho
tích phân hội tụ ít nhất với một số phức s = a + jb
Ảnh của hàm f(t) qua biến đổi Laplace là hàm F(s) được
định nghĩa
+∞
F(s) = L f (t) = f (t)e−st d t
{ }
∫
0−
F(s) : ảnh Laplace
f(t) : gốc
F(s) f (t)
f (t) F(s)
hay
Ký hiệu khác
Lưu ý trong phạm vi giáo trình ta chỉ xét các giá trị s trong
khoảng tích phân là hội tụ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
3
Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
Hàm bước (nấc thang) đơn vị : u(t)
u(t)
0 t < 0
1
u(t) =
1 t > 0
t
+∞
+∞
+∞
e−st
1
F(s) = u(t)e−st dt = e−st dt =
=
∫
∫
−s
s
0−
0+
0
1
L u(t) =
{ }
Miền hội tụ Re{S} > 0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
4
Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
Hàm dirac : δ(t)
δ (t)
d
δ (t) = u(t)
∞ t = 0
0 t ≠ 0
δ (t) =
t
+∞
+∞
F(s) = δ (t)e−st dt = δ (t)e0dt =1
∫
∫
0−
0−
L δ (t) =1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
5
Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
Hàm mũ : e-at (a > 0)
f (t) = e−atu(t)
Sau này viết là f(t)=e-at ẩn đi u(t)
+∞
+∞
+∞
e−(s+a)t
1
F(s) = e−atu(t)e−st dt = e−(s+a)t dt =
=
∫
∫
−(s + a) 0 s + a
0−
0+
1
L e−at =
Miền hội tụ Re{S} > -a
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
6
Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
Hàm lượng giác : f1(t) = cos(at)
s
L cos(at) =
{
}
s2 + a2
Miền hội tụ Re{S} > 0
Hàm lượng giác : f2(t) = sin(at)
a
L sin(at) =
{ }
s2 + a2
Miền hội tụ Re{S} > 0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
7
Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
Hàm lũy thừa : f(t) = tn (n = 0,1, 2, 3, … )
+∞
+∞
+∞
tne−st
e−st
n +∞
F(s) = tne−st dt =
− ntn−1
dt = tn−1e−st dt
∫
∫
∫
−s
−s s
0
0
0
0
n
n (n −1)
s s
⇒ L tn = L tn−1 =
L tn−2
{ }
{ }
{ }
s
n (n −1) (n − 2)
n!
=
L tn−3 = ... = L t0
n
n!
n+1
L tn =
Miền hội tụ Re{S} > 0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
8
Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
f(t)
u(t)
δ (t)
e−at
F(s)
Miền hội tụ
1
Re s > 0
1
1
Re s > −a
s + a
s
Re s > 0
cos(at)
2 2
a
Re s > 0
sin(at)
2 2
n!
tn
Re s > 0
sn+1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
9
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tính tuyến tính
◦ Nếu
L
f (t) = F (s) ;
L
f (t) = F (s)
1
1
2
2
◦ Thì
L
a f (t) + a f (t) = a F (s) + a F (s)
1 1
2 2
1 1
2 2
(a1,a2 :caùchaèngsoá)
+∞
L
a f (t) + a f (t) = a f (t) + a f (t) e−st d t
{
} (
)
1 1
2 2
1 1
2 2
∫
0−
+∞
+∞
= a1 f1(t)e−st dt + a2 f2 (t)e−st dt = a1F1(s) + a2F2 (s)
∫
∫
0−
0−
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
10
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace cho các hàm sau
4!
s
f (t) = 2t4 −3cos(5t)
L
L
f (t) = 2 −3
{ }
s5 s2 + 52
1
g(t) = 4δ (t) − 6e−2t
g(t) = 4 − 6
{ }
s + 2
scos π3 − 6sin π3
2 2
h(t) = 3cos(6t + π
)
L
h(t) = 3
{ }
3
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
11
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tính dời theo s
◦ Nếu
L
f (t) = F(s)
L e−at f (t) = F(s + a)
◦ Thì
(a :soá thöïc)
+∞
L
e−at f (t) = e−at f (t)e−std t
{
}
∫
0−
+∞
= f (t)e−(s+a)tdt = F(s + a)
∫
0−
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
12
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace cho các hàm sau
f (t) = 2e−6tt4 −3e−2t cos(5t)
4!
s + 2
L
f (t) = 2
{ }
−3
(s + 6)5 (s + 2)2 + 52
g(t) = 3e−10t cos(6t + π
)
3
(s +10)cos π3 − 6sin π3
(s +10)2 + 62
L
g(t) = 3
{ }
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
13
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tính dời theo t
0 t < t
0
◦ Nếu
u(t −t ) =
L
f (t) = F(s)
0
1 t > t0
L
f (t −t )u(t −t ) = e−st0 F(s)
(t0 > 0)
◦ Thì
0
0
+∞
L
f (t −t )u(t −t ) = f (t −t )e−std t
{
}
0
0
0
∫
t0
+∞
+∞
−st0
−st0
= f (x)e−s(x+t dx = e f (x)e dx =e F(s)
)
−sx
0
∫
∫
0
0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
14
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Hệ quả dời theo t
◦ Nếu
L
f (t) = F(s)
L
f (t −t ).u(t −t ) = e−st0 F(s)
(t0 > 0)
◦ Thì
◦ Và
0
0
f (t).u(t −t ) = e−st L{ f (t +t0 )}
0
L
0
f (t).u(t −t0 ) = f (t + t0 −t0 ).u(t −t0 ) = g(t −t0 ).u(t −t0 )
→ g(t) = f (t + t0 )
L
f (t).u(t −t ) =
L
g(t −t ).u(t −t ) = e−st
L
g(t)
{ }
0
{
} {
}
0
0
0
f (t).u(t −t ) = e−st
L
f (t + t )
0
→
L
0
0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
15
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace cho các hàm sau
3
s2
L
f (t) =
{ }
f (t) = 3t.u(t)
3 6
f (t) = −
L
{ }
f1(t) = 3(t − 2).u(t
)
1
s2 s
3e−2s
f2 (t) = 3(t − 2).u(t −2)
L
L
f (t) =
{ }
2
s2
f (t) = e−2s
L
3(t + 2)
{ }
{
}
3
3 6
+
f3 (t) = 3t.u(t −2)
= e−2s
s2 s
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
16
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace cho các hàm sau
t
f (t) = e−2 t.u(t − 4)
1
4
L
f (t) = e−4sL e−2(t+4) (t + 4) = e−4(s+2)
+
{ }
{
}
(s + 2)2 s + 2
g(t) = 3e−10t cos(6t − π3 ).u(t − 1π8
)
−π
(s+10)
(s +10)
L
g(t) = 3e18
{ }
(s +10)2 + 62
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
17
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tính đổi thang đo (đồng dạng)
◦ Nếu
L
f (t) = F(s)
1 s
L
f (at) = F
a > 0
{ }
◦ Thì
a a
+∞
t
L
f (at) = f (at)e−s dt
{ }
∫
0−
x
x
dx 1 +∞
1 s
+∞
= f (x)e−s
= f (x)e d x= F
−s
a
a
∫
∫
a a
a a
0−
0−
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
18
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Đạo hàm gốc f(t)
◦ Nếu
L
L
f (t) = F(s)
f '(t) = sF s − f (0− )
◦ Thì
+∞
+∞
+∞
f '(t)e−std t= s f (t)e−std t+ f (t)e−st = sF(s) − f (0− )
0−
∫
∫
0−
0−
L
f ''(t) = s2F s − sf (0− ) − f '(0− )
L
f (n) (t) = sn F s − sn−1 f (0− ) − sn−2 f '(0− ) −...− f (n−1) (0− )
( )
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
19
Ví dụ
Cho f(t) như hình vẽ tìm biến đổi Laplace của f ”(t)
0
t < 0
f (t)
2
t
0 < t < 2
f (t) =
−2t + 6 2 < t < 3
0
f (t)
2
2
3
3
t
0
3 < t
d
dt
f (t) = t u(t) −u(t − 2) + (−2t + 6) u(t − 2) −u(t −3)
[
]
[
]
1
= t.u(t) −3(t − 2).u(t − 2) + 2(t −3).u(t −3)
0
t
d
f (t) = u(t) −3u(t − 2) + 2u(t −3)
-2
f (t)
dt
d2
dt2
d2
dt2
2
1
f (t) = δ (t) −3δ (t − 2) + 2δ (t −3)
2
0
2
3
t
d
L
f (t) =1−3e−2s + 2e−3s
dt2
-3
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
20
Tải về để xem bản đầy đủ
34 trang
25220
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 3: Phép biến đổi Laplace", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ky_thuat_chuong_3_phep_bien_doi_laplace.pdf
