Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ

Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ  
Huỳnh Quang Vũ  
y
3
2
1
0
-3  
-2  
-1  
0
1
2
3
x
2
Tập bài giảng này về tích phân Riemann của hàm nhiều biến và Giải tích vectơ cho sinh viên  
ngành toán ở trường Đại học Khoa học Tnhiên Thành phố Hồ Chí Minh. Nội dung bài giảng  
tương ứng với những phần cuối trong các giáo trình vi tích phân phổ biến hiện nay như của J.  
Stewart [Ste12], có chú ý tới đặc thù là cho sinh viên ngành toán, có yêu cầu cao hơn về tính chính  
xác và hàm lượng lý thuyết. Đối với sinh viên khá giỏi bài giảng hướng tới trình độ ở các phần  
tương ứng trong các giáo trình giải tích kinh điển như [Rud76], [Lan97].  
Dấu X ở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có ích hoặc quan trọng,  
nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn, không bắt buộc. Có thể giáo trình này  
vẫn còn được đọc lại sau khi môn học kết thúc, khi đó những phần * này sẽ thể hiện rõ hơn ý nghĩa.  
Để làm một số bài tập cần dùng một phần mềm máy tính chẳng hạn như Matlab hay Maxima.  
Huỳnh Quang Vũ  
Địa chỉ: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí  
Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh, Email: hqvu@hcmus.edu.vn  
Tài liệu này sẽ được tiếp tục sửa chữa và bổ sung. Bản mới nhất có trên web ở địa chỉ:  
This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see  
http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative  
Commons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.  
Mục lục  
1
Tích phân bội  
5
5
1.1 Tích phân trên hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
1.2 Sự khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11  
1.3 Tích phân trên tập tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  
1.4 Công thức Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  
1.5 Công thức đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  
1.6 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  
1.7 * Thay thế tích phân Riemann bằng tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 50  
2
Giải tích vectơ  
53  
2.1 Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  
2.2 Công thức Newton–Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62  
2.3 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69  
2.4 Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77  
2.5 Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86  
2.6 Công thức Gauss–Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91  
2.7 Vài ứng dụng của Giải tích vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97  
2.8 * Công thức Stokes tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100  
3
4
MỤC LỤC  
Chương 1 Tích phân bội  
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tích phân Riemann trong không gian nhiều chiều.  
1.1 Tích phân trên hình hộp  
Tích phân trên không gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phân một chiều. Do đó  
các ý chính đã quen thuộc và không khó, người đọc có thể xem lại phần tích phân một chiều để dễ  
theo dõi hơn.  
Cho I là một hình hộp, và f : I R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm f trên hình hộp I. Ta  
chia nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con nhỏ hơn. Ta hy vọng rằng trên mỗi hình hộp nhỏ  
hơn đó, giá trị của hàm f sẽ thay đổi ít hơn, và ta có thể xấp xỉ f bằng một hàm hằng. Ta hy vọng  
rằng nếu ta chia càng nhỏ thì xấp xỉ càng tốt hơn, và khi qua giới hạn thì ta sẽ được giá trị đúng  
của tổng giá trị của f .  
Sau đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm f là không âm, ta muốn tìm “thể  
tích” của khối bên dưới đồ thị của hàm f bên trên hình hộp I. Ta sẽ xấp xỉ khối đó bằng những  
hình hộp với đáy là một hình hộp con của I và chiều cao là một giá trị của f trong hình hộp con  
đó. Ta hy vọng rằng khi số hình hộp tăng lên thì ta sẽ gần hơn giá trị đúng của thể tích.  
Hình hộp và thể tích của hình hộp  
Dưới đây ta bắt đầu làm chính xác hóa các ý tưởng ở trên.  
Trong môn học này khi nói đến không gian Rn, n Z+, thì ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn,  
khoảng cách, và tích trong Euclid, cụ thể nếu x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn thì chuẩn (tức chiều dài) của  
x là  
kxk = (x12 + x22 +···+ xn2)1/2  
,
khoảng cách giữa x y = (y , y , ..., yn) ∈ Rn là  
1
2
1/2  
2
2
2
kx yk = (x1 y ) +(x2 y ) +···+(xn yn)  
,
1
2
5
6
CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI  
và tích trong giữa x với y là  
hx, yi = x1y + x2y +···+ xnyn.  
1
2
Ta định nghĩa một hình hộp n-chiều trong Rn là một tập con của Rn có dạng [a1, b1]×[a2, b2]×  
···×[an, bn] với ai < bi với mọi 1 i n, tức là tích của nđoạn thẳng. Ví dụ một hình hộp 1-chiều  
là một đoạn thẳng trong R.  
Để khởi đầu về thể tích của hình hộp, chúng ta hãy xét trường hợp một chiều. Chiều dài của  
đoạn thẳng [a, b] bằng bao nhiêu?  
Ta muốn khái niệm chiều dài toán học mô phỏng khái niệm chiều dài vật lý thường dùng  
trong đời sống từ xưa. Như vậy trước hết chiều dài của một đoạn thẳng [a, b] là một số thực  
không âm. Vì chiều dài vật lý không phụ thuộc vào cách đặt hệ tọa độ, nếu ta tịnh tiến đoạn  
thẳng thì chiều dài không thay đổi, vậy nếu kí hiệu chiều dài của đoạn [a, b] |[a, b]| thì cần  
|[a + c, b+ c]| = |[a, b]|. Nếu n là số nguyên dương, thì vì đoạn thẳng [0,na] gồm n đoạn thẳng  
[0,a],[a,2a],[2a,3a], ...,[(n1)a,na], nên ta muốn có tính chất “cộng tính” thể hiện qua |[0,na]| =  
1
n|[0,a]|. Điều này dẫn tới |[0,a]| = n|[0, n1 a]|, hay |[0, n1 a]| = |[0,a]|. Do đó với m,n là số nguyên  
n
dương thì |[0, mn a]| = n |[0,a]|. Trong trường hợp riêng, ta có |[0, mn ]| = n |[0,1]|. Vì mọi số thực a  
là giới hạn của một dãy các số hữu tỉ, nên nếu như ta muốn chiều dài có “tính liên tục” thì ta cần  
|[0,a]| = a|[0,1]|, do đó phải có |[a, b]| = |[0, ba]| = (ba)|[0,1]|. Để chuẩn hóa ta thường lấy  
|[0,1]| = 1, và như thế |[a, b]| = (ba).  
m
m
Như vậy quan trọng hơn là chiều dài có những tính chất như mong muốn như ở trên, còn giá  
trị cụ thể được xác định duy nhất do cách chọn chiều dài đơn vị, giống như việc chọn đơn vị đo  
trong vật lý.  
Lý luận tương tự cho số chiều cao hơn, ta có thể đưa ra định nghĩa ngắn gọn sau:  
Định nghĩa. Thể tích (volume) n-chiều của hình hộp [a1, b1] × [a2, b2] × ··· × [an, bn] được định  
nghĩa là số thực (b1 a1)(b2 a2)···(bn an).  
Ta thường dùng kí hiệu |I| để chỉ thể tích của I. Khi số chiều n = 1 ta thường thay từ thể tích  
bằng từ chiều dài (length). Khi n = 2 ta thường dùng từ diện tích (area).  
Đối với khái niệm tổng, lý luận tương tự như đối với khái niệm thể tích, ta có thể đi đến kết  
luận là tổng của một hàm hằng c trên hình hộp I c|I|.  
Chia nhỏ hình hộp  
Một phép chia, hay một phân hoạch (partition) của một khoảng [a, b] là một tập con hữu hạn của  
khoảng [a, b] mà chứa cả a b. Ta có thể đặt tên các phần tử của một phép chia là x0, x1, ..., xm  
với a = x0 < x1 < x2 < ··· < xm = b. Mỗi khoảng [xi1, xi] là một khoảng con của khoảng [a, b]  
tương ứng với phép chia.  
Î
n
Một phép chia của hình hộp I = i=1[ai, bi] là một tích Descartes của các phép chia của các  
Î
n
khoảng [ai, bi]. Cụ thể nếu mỗi Pi là một phép chia của khoảng [ai, bi] thì P = i=1 Pi là một phép  
chia của hình hộp I. Xem ví dụ ở hình 1.1.1.  
Một hình hộp con ứng với một phép chia P của một hình hộp I là một tích các khoảng con  
Î
n
của các cạnh của hình hộp I. Cụ thể một hình hộp con của hình hộp I có dạng i=1 Ti trong đó Ti  
là một khoảng con của khoảng [ai, bi] ứng với phép chia Pi. Đặt SR(P) là tập hợp tất cả các hình  
hộp con ứng với phép chia P. Người đọc có thể hình dung các trường hợp 1, 2, 3 chiều để dễ theo  
dõi.  
Tích phân trên hình hộp  
Cho I là một hình hộp, và f : I R. Với một phép chia P của I, thành lập tổng Riemann1  
1
Bernard Riemann là người đã đề xuất một định nghĩa chặt chẽ cho tích phân vào khoảng năm 1854, mặc dù tích  
phân đã được dùng trước đó.  
1.1. TÍCH PHÂN TRÊN HÌNH HỘP  
7
y
d
R
c
x
a
b
Hình 1.1.1: Một phép chia của hình chữ nhật [a, b]×[c, d] gồm những điểm mà các tọa độ thứ nhất  
tạo thành một phép chia của [a, b] và các tọa độ thứ hai tạo thành một phép chia của [c, d].  
Õ
f (xR)|R|  
RSR(P)  
ở đây tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con R của P, và xR là một điểm bất kì thuộc R. Đây là  
một xấp xỉ của “tổng giá trị” của f trên I. Nếu f 0 thì đây là một xấp xỉ của “thể tích” của khối  
bên dưới đồ thị của f bên trên I.  
“Giới hạn” của tổng Riemann khi phép chia “mịn hơn” sẽ là tích phân của hàm f trên I, kí  
hiệu là f .  
I
Vậy f đại diện cho“tổng giá trị”của hàm f trên I. Nếu f 0 thì f đại diện cho “thể tích”  
I
I
của khối bên dưới đồ thị của f bên trên I.2  
Để làm chính xác ý tưởng trên ta cần làm rõ quá trình qua giới hạn. Chúng ta sẽ dùng một cách  
trình bày do Jean Gaston Darboux đề xuất năm 1870.  
Khi nói về tích phân Riemann ta chỉ xét hàm bị chặn. Nhớ lại rằng cho tích phân của hàm  
một biến để xét tích phân của hàm không bị chặn cần lấy giới hạn của tích phân để thu được “tích  
phân suy rộng”, một khái niệm mà ta không khảo sát trong môn học này. Vậy giả sử f bị chặn.  
Í
Gọi L( f, P) = RSR(P)(infR f )|R|, trong đó tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con ứng  
với phép chia P, là tổng dưới hay xấp xỉ dưới ứng với P.  
Í
Tương tự, U( f, P) = RSR(P)(supR f )|R| tổng trên hay xấp xỉ trên ứng với P.  
Cho P P0 là hai phép chia của hình hộp I. Nếu P P0 thì ta nói P0 mịn hơn P.  
Bổ đ(chia mịn hơn thì xấp xỉ tốt hơn). Nếu phép chia P0 là mịn hơn phép chia P thì L( f, P0) ≥  
L( f, P) U( f, P0) ≤ U( f, P).  
Đây một ưu điểm quan trọng của xấp xỉ trên và xấp xỉ dưới bởi vì ta có thể thấy với tổng  
Riemann thì chia mịn hơn không nhất thiết dẫn tới xấp xỉ tốt hơn, xem bài tập 1.1.7.  
Chứng minh. Mỗi hình hộp con R0 của P0 nằm trong một hình hộp con R của P. Ta có infR f ≥  
0
infR f . Vì thế  
Õ
Õ
Õ
(inf f )|R0| ≥  
(inf f )|R0| = inf f  
|R0| = (inf f )|R|.  
R0  
R
R
R
R0 R,R0 SR(P0)  
R0 R,R0 SR(P0)  
R0 R,R0 SR(P0)  
Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức trên theo tất cả hình hộp con R của P ta được L( f, P0) ≥  
L( f, P).  
2
Kí hiệu do Gottfried Leibniz đặt ra khi xây dựng phép tính vi tích phân vào thế kỉ 17. Nó đại diện cho chữ cái  
“s” trong chữ Latin “summa” (tổng).  
8
CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI  
z
f (xR, yR)  
z = f (x, y)  
y
(xR, yR)  
R
I
x
Hình 1.1.2: Xấp xỉ Riemann.  
Bổ đ(xấp xỉ dưới xấp xỉ trên). Nếu P P0 là hai phép chia bất kì của cùng một hình hộp thì  
L( f, P) ≤ U( f, P0).  
Chứng minh. Với hai phép chia P P0 bất kì thì luôn có một phép chia P00 mịn hơn cả P lẫn P0,  
Î
Î
Î
n
n
n
chẳng hạn nếu P = i=1 Pi P0 = i=1 P0 thì có thể lấy P00 = i=1 Pi00 với Pi00 = Pi Pi0. Khi đó  
L( f, P) ≤ L( f, P00) ≤ U( f, P00) ≤ U( f, P0).i  
Một hệ quả là chặn trên nhỏ nhất của tập hợp tất cả các xấp xỉ dưới supP L( f, P) và chặn dưới  
lớn nhất của của tập hợp tất cả các xấp xỉ trên infP U( f, P) tồn tại, và supP L( f, P) ≤ infP U( f, P).  
Định nghĩa (tích phân Riemann). Cho hình hộp I. Hàm f : I R khả tích (integrable) nếu  
f bị chặn và supP L( f, P) = infP U( f, P). Nếu f khả tích thì tích phân (integral) của f được định  
nghĩa là số thực supP L( f, P) = infP U( f, P), và được kí hiệu là f .  
I
Ví dụ. Nếu c là hằng số thì I c = c|I|.  
Khi số chiều n = 1 ta có tích phân của hàm một biến quen thuộc từ trung học và đã được khảo  
f (x) dx. Như vậy ta thừa hưởng tất  
cả các kết quả về tích phân hàm một biến đã có trong Giải tích 1, chẳng hạn như công thức  
b
sát trong môn Giải tích 1, với  
f thường được viết là  
[a,b]  
a
Newton–Leibniz để tính tích phân.  
Khi n = 2 ta có tích phân bội hai, thường được viết là  
n = 3 ta có tích phân bội ba, thường được viết là  
f (x, y) dA hay  
f (x, y) dxdy. Khi  
I
I
f (x, y, z) dV hay  
f (x, y, z) dxdydz.  
I
I
Ghi chú. Hiện giờ dx, dxdy, dxdydz, dA, dV chỉ là kí hiệu để chỉ loại tích phân, không có ý nghĩa  
độc lập.  
1.1. TÍCH PHÂN TRÊN HÌNH HỘP  
9
xấp xỉ trên  
supR  
f
f
tổng Riemann  
f (xR)  
infR  
f
xấp xỉ dưới  
xR  
R
Hình 1.1.3: Xấp xỉ dưới xấp xỉ Riemann xấp xỉ trên.  
1.1.4 Mệnh đề. Cho f bị chặn trên hình hộp I. Khi đó f là khả tích trên I nếu và chỉ nếu với mọi  
ꢀ > 0 có phép chia P của I sao cho U( f, P)L( f, P) < ꢀ.  
Như vậy hàm khả tích khi và chỉ khi xấp xỉ trên và xấp xỉ dưới có thể gần nhau tùy ý.  
Chứng minh. () Cho f khả tích. Cho ꢀ > 0, có phép chia P P0 sao cho  
¹
L( f, P) > +  
f
I
và  
¹
U( f, P0) < ꢀ + f .  
I
Lấy P00 mịn hơn cả P P0. Khi đó  
U( f, P00)L( f, P00) ≤ U( f, P0)L( f, P) < 2ꢀ  
() Giả sử với ꢀ > 0 cho trước bất kì có phép chia P sao cho U( f, P) − L( f, P) < ꢀ. Bất  
đẳng thức này dẫn tới U( f, P) < supP L( f, P) + , do đó infP U( f, P) < supP L( f, P) + , hay 0 ≤  
infP U( f, P)sup L( f, P) < ꢀ với mọi ꢀ > 0. Do đó infP U( f, P) = supP L( f, P).  
Tính chất của tích phân  
Ta có những tính chất tương tự trường hợp một biến:  
1.1.5 Mệnh đề. Nếu f g khả tích trên hình hộp I thì:  
(a) f +g khả tích và ( f +g) = f + I g.  
I
I
(b) Với mọi số thực c thì c f khả tích và I c f = c f .  
I
(c) Nếu f g thì f I g.  
I
Chứng minh. Ta chứng minh phần (a), các phần còn lại được để ở phần bài tập.  
Với một phép chia P của I, trên một hình hộp con R ta có infR f +infR g f (x)+g(x), x R.  
Suy ra infR f +infR g infR( f +g). Do đó L( f, P)+ L(g, P) ≤ L( f +g, P).  
10  
CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI  
Cho ꢀ > 0, có phép chia P sao cho L( f, P) > f và có phép chia P0 sao cho L(g, P0) >  
I
I g . Lấy phép chia P00 mịn hơn cả P P0 thì L( f, P00) ≥ L( f, P) > f L(g, P00) ≥  
I
L(g, P0) > I g . Suy ra  
¹
¹
L( f +g, P00) ≥ L( f, P00)+ L(g, P00) >  
f + g 2.  
I
I
Tương tự, có phép chia Q sao cho  
¹
¹
U( f +g,Q) ≤ U( f,Q)+U(g,Q) <  
f + g +2.  
I
I
Lấy phép chia Q0 mịn hơn cả P00 Q thì ta được  
¹
¹
¹
¹
f + g 2ꢀ < L( f +g,Q0) ≤ U( f +g,Q0) <  
f + g +2.  
I
I
I
I
Hệ thức này dẫn tới U( f +g,Q0)L( f +g,Q0) < 4, do đó f +g khả tích, hơn nữa  
¹
¹
¹
¹
¹
f + g 2ꢀ < ( f +g) <  
f + g +2ꢀ, ꢀ > 0,  
I
I
I
I
I
do đó ( f +g) = f + I g.  
I
I
* Đọc thêm  
Có thể định nghĩa tích phân Riemann như sau. Ta nói f là khả tích trên I nếu có một số thực, gọi  
là tích phân của f trên I, kí hiệu là f , có tính chất là với mọi ꢀ > 0 δ > 0 sao cho nếu tất cả  
các cạnh của các hình chữ nhật con cIủa P đều có chiều dài nhỏ hơn δ thì với mọi cách chọn điểm  
Í
x thuộc hình hộp con R của P ta có  
R
f (xR)|R| − f < . Có thể chứng minh rằng định nghĩa  
R
I
này tương đương với định nghĩa của Darboux.  
Có thể hỏi nếu ta dùng những cách xấp xỉ khác thì có mang tới cùng một tích phân hay không?  
Nếu ta muốn tích phân có những tính chất thường dùng, gồm chẳng hạn tính tuyến tính, thì thực ra  
chỉ có duy nhất một loại tích phân thỏa các tính chất đó, xem [Lan97, tr. 575].  
Bài tập  
1.1.6. Một hồ nước hình chữ nhật kích thước 4m×8m có độ sâu không đều. Người ta đo được chiều sâu tại  
một số điểm trên hồ như trong bảng sau. Ví dụ trong bảng này độ sâu tại điểm cách bờ trái 5m và bờ trên  
1m là 4,6m. Hãy ước lượng lượng nước trong hồ.  
vị trí  
1
3
1
3
5
7
3,1 4,5 4,6 4.,0  
3,7 4,1 4,5 4,4  
1.1.7. Hãy cho một ví dụ minh họa rằng xấp xỉ Riemann ứng với một phép chia mịn hơn không nhất thiết  
tốt hơn.  
1.1.8. X Chứng minh các tính chất ở 1.1.5.  
1.1.9. Hãy cho một ước lượng cho giá trị của tích phân (nghĩa là cho biết tích phân có thể có giá trị từ đâu  
tới đâu)  
º
x2y3  
e
dxdy.  
[0,1]×[1,2]  
1.1.10. Điều sau đây là đúng hay sai, giải thích:  
º
(x2 + y)sin(xy2) dA = 10.  
[0,1]×[1,4]  
1.1.11. Giả sử f liên tục trên hình hộp I f (x) ≥ 0 trên I. Chứng minh rằng nếu f = 0 thì f = 0 trên I.  
I
1.2. SỰ KHẢ TÍCH  
11  
1.2 Sự khả tích  
Qua ý của tích phân, ta thấy việc xấp xỉ dựa trên một giả thiết: nếu biến thay đổi ít thì giá trị của  
hàm thay đổi ít. Như vậy sự khả tích phụ thuộc chặt chẽ vào sự liên tục.  
Đây là một điều kiện đủ cho sự khả tích mà ta sẽ dùng thường xuyên:  
1.2.1 Định lý (liên tục thì khả tích). Một hàm liên tục trên một hình hộp thì khả tích trên đó.  
Chứng minh. Chứng minh chủ yếu dựa vào tính liên tục đều của của hàm. Ta dùng các kết quả sau  
trong Giải tích 2 (xem chẳng hạn [Lan97, tr. 193]):  
(a) Một tập con của Rn là compắc khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.  
(b) Một hàm thực liên tục trên một tập con compắc của Rn thì liên tục đều.  
(c) Một hàm thực liên tục trên một tập compắc thì bị chặn.  
Giả sử f : I R là một hàm liên tục trên hình hộp I. Khi đó f liên tục đều trên I, do đó cho trước  
ꢀ > 0, có δ > 0 sao cho kx yk < δ f (x)f (y) < ꢀ.  
Lấy một phép chia P của I sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong một hình hộp con  
là nhỏ hơn δ. Điều này không khó: nếu chiều dài mỗi cạnh của một hình hộp nhỏ hơn α thì chiều  
dài của một đường chéo của hình hộp đó nhỏ hơn nα.  
Với hai điểm x, y bất kì thuộc về một hình hộp con R thì f (x) − f (y) < ꢀ. Suy ra supR f −  
infR f . Vì thế  
Õ
Õ
U( f, P)L( f, P) =  
(sup f inf f )|R| ≤ ꢀ  
|R| = |I|  
R
R
R
R
Theo tiêu chuẩn 1.1.4 ta có kết quả.  
Tập có thể tích không  
Ví dụ sau cho thấy một hàm không liên tục vẫn có thể khả tích.  
Ví dụ. Cho f : [0,1] → R,  
(
1
0, x ,  
2
f (x) =  
1
1, x = .  
2
Với phép chia P bất kì của [0,1] sao cho chiều dài của các khoảng con nhỏ hơn thì sai khác giữa  
2
1
U( f, P) L( f, P) nhỏ hơn . Vì thế hàm f khả tích. Chú ý rằng f không liên tục tại .  
2
Ví dụ. Cho f : [0,1] → R,  
(
1, x Q  
f (x) =  
0, x < Q.  
Với bất kì phép chia P nào của khoảng [0,1] ta có L( f, P) = 0 and U( f, P) = 1. Do đó f không khả  
tích. Chú ý rằng f không liên tục tại bất kì điểm nào.  
1.2.2 Định nghĩa. Một tập con C của Rn được gọi là có thể tích (n-chiều) không (of content zero)  
Ð
m
nếu với mọi số ꢀ > 0 có một họ hữu hạn các hình hộp n-chiều {U1,U2, ...,Um} sao cho i=1 Ui C  
Í
m
i=1|Ui | < ꢀ.  
Nói cách khác, một tập con của Rn là có thể tích không nếu ta có thể phủ tập đó bằng hữu hạn  
hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho trước bất kì.  
Khi n = 2 ta thay từ “thể tích không” bởi từ “diện tích không”.  
Ví dụ. (a) Tập rỗng có thể tích n-chiều không với mọi n 1.  
12  
CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI  
(b) Tập hợp gồm một điểm trong Rn có thể tích n-chiều không với mọi n 1.  
(c) Một đoạn thẳng nằm ngang hay thẳng đứng trong R2 có diện tích không.  
(d) Hội của hai tập có thể tích không là một tập có thể tích không.  
1.2.3 Mệnh đề. Đồ thị của một hàm khả tích trên một hình hộp trong Rn có thể tích không trong  
Rn+1  
.
Chứng minh. Cho f khả tích trên hình hộp I Rn. Cho trước ꢀ > 0 có phép chia P của I sao cho  
Í
U( f, P) − L( f, P) = R(supR f infR f )|R| < ꢀ. Đồ thị của hàm f , tập {(x, f (x)) | x I}, được  
phủ bởi họ tất cả các hình hộp R×[infR f,supR f ].  
supR  
f
supR f infR f < ꢀ  
infR  
f
R
Í
Tổng thể tích của các hình hộp này chính là R(supR f infR f )|R|, nhỏ hơn .  
Ví dụ. Đồ thị của một hàm liên tục trên một khoảng đóng có diện tích không trong R2. Vậy một  
đoạn thẳng, một đoạn parabola, một đường tròn thì có diện tích không.  
1.2.4 Định lý (liên tục trừ ra trên tập có thể tích không thì khả tích). Một hàm thực bị chặn  
trên một hình hộp và liên tục trên hình hộp đó trừ ra một tập có thể tích không thì khả tích trên  
hình hộp đó.  
Chứng minh. Giả sử f là một hàm thực bị chặn trên hình hộp I, do đó có số thực M sao cho  
| f (x)| ≤ M với mọi x I. Cho C là tập hợp các điểm thuộc I mà tại đó hàm f không liên tục. Giả  
thiết cho C có thể tích không.  
Ý của chứng minh là dùng hữu hạn hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn để phC và dùng tính  
bị chặn của f đối với phần này. Trên phần của hình hộp còn lại thì f liên tục đều, ta sử dụng lập  
luận như trong phần chứng minh của 1.2.1. Để dễ theo dõi hơn người đọc có thể tiến hành cho một  
ví dụ cụ thể như ở hình 1.2.5.  
Cho ꢀ > 0, có một họ các hình hộp {Ui}1im phủ C và có tổng thể tích nhỏ hơn . Có thể  
giả sử mỗi hình hộp Ui là một hình hộp con của I, bằng cách thay Ui bởi Ui I nếu cần. Ta muốn  
tách rời C khỏi các hình hộp ngoài họ này. Mở rộng mỗi hình hộp Ui thành một hình hộp Ui0 chứa  
trong I có thể tích không quá hai lần thể tích của Ui sao cho phần trong của U0 chứa Ui (ở đây ta  
xét phần trong tương đối với I, nghĩa là các tập được xét được coi là tập con icủa không gian I.)  
Như vậy ta có được một họ mới {Ui0}1im các hình hộp con của I với tổng thể tích nhỏ hơn 2,  
Ð
m
hội các phần trong của các hình hộp này chứa C. Đặt T = I \ i=1 Ui0 thì T rời khỏi C do đó f liên  
tục trên T.  
Bây giờ ta làm tương tự như ở 1.2.1. Gọi P là phép chia của I nhận được bằng cách lấy tọa độ  
đỉnh của các hình hộp Ui0 làm các điểm chia trên các cạnh của I. T là compắc nên f liên tục  
đều trên T, do đó ta có thể lấy được một phép chia P0 mịn hơn P sao cho với bất kì hình hộp con  
R của P0 chứa trong T thì supR f infR f < ꢀ. Khi đó với P0 ta có  
Õ
Õ
(sup f inf f )|R| < ꢀ  
|R| ≤ |I|.  
R
R
RT  
RT  
1.2. SỰ KHẢ TÍCH  
13  
T
C
Ui0  
Hình 1.2.5: Một trường hợp: C là một đoạn thẳng.  
Nếu hình hộp con R của P0 không chứa trong T thì R chứa trong một hình hộp Ui0 nào đó, do  
đó  
m
Õ
Õ
Õ
Õ
(sup f inf f )|R| ≤  
2M|R| = 2M  
|R| = 2M  
|Ui0| < 2M2.  
R
R
R*T  
R*T  
R*T  
i=1  
Kết hợp hai đánh giá trên ta có U( f, P0)L( f, P0) < (|I| +4M). Tđó ta kết luận hàm f khả  
tích.  
1.2.6 Định lý. Giả sử f g là hàm bị chặn trên một hình hộp I f (x) = g(x) trên I trừ ra  
một tập con có thể tích không. Khi đó f khả tích trên I khi và chỉ khi g khả tích trên I, và khi đó  
f = I g.  
I
Vậy giá trị của một hàm bị chặn trên một tập có thể tích không không ảnh hưởng đến  
tích phân.  
Chứng minh. Đặt h = g f thì h bị chặn, và h(x) = 0 trừ ra trên một tập C có thể tích không. Ta  
chỉ cần chứng minh h khả tích và I h = 0, sau đó dùng 1.1.5. Ta tiến hành giống như cách chứng  
minh 1.2.4.  
Cho trước ꢀ > 0, ta có một họ {Ui}1im các hình hộp con của I với tổng thể tích nhỏ hơn và  
m
i=1  
hội các phần trong (tương đối với không gian I) của các hình hộp này chứa C. Đặt T = I \Ui  
thì T rời khỏi C do đó h = 0 trên T.  
Gọi P là phép chia của I nhận được bằng cách lấy tọa độ đỉnh của các hình hộp Ui làm các  
điểm chia trên các cạnh của I. Trên T thì  
Õ
Õ
(sup f )|R| =  
(inf f )|R| = 0.  
R
R
RT  
RT  
Do h bị chặn nên có số M > 0 sao cho |h(x)| ≤ M với mọi x I. Nếu hình hộp con R không  
chứa trong T thì R chứa trong một hình hộp Ui nào đó, do đó  
m
Õ
Õ
Õ
Õ
(suph)|R| ≤  
M|R| = M  
|R| = M  
|Ui | < M.  
R
R*T  
R*T  
R*T  
i=1  
Tương tự:  
m
Õ
Õ
Õ
Õ
(inf h)|R| ≥  
M|R| = M  
|R| = M  
|Ui | > M.  
R
R*T  
R*T  
R*T  
i=1  
14  
CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI  
Vậy Mꢀ < L(h, P) ≤ U(h, P) < M.  
Từ đây ta có thể kết luận hàm h khả tích và I h = 0.  
Điều kiện cần và đủ cho sự khả tích  
Trong phần này chúng ta sẽ trả lời hoàn chỉnh vấn đề khả tích. Nếu người đọc thấy quá khó hoặc  
không có đủ thời gian thì chỉ cần nắm được phát biểu kết quả chính là 1.2.8.  
1.2.7 Định nghĩa (độ đo không). Một tập con C của Rn là có độ đo không (of measure zero) nếu  
Ð∞  
Í∞  
với mọi số ꢀ > 0 có một họ các hình hộp (U1,U2, ...,Un, ...) sao cho i=1 Ui C n=1|Un| < ꢀ.  
Nói cách khác, một tập con của Rn là có độ đo không nếu ta có thể phủ tập đó bằng một họ  
đếm được các hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho trước bất kì.  
Ví dụ. Một tập có thể tích không thì có độ đo không.  
Một mệnh đề P(x) được gọi là đúng hầu như khắp nơi (hầu khắp) (almost everywhere) nếu  
nó đúng với mọi x trừ ra trên một tập có độ đo không, tức là tập hợp tất cả x sao cho P(x) không  
đúng có độ đo không. Đối với tích phân thì có thể hiểu sơ lược tập có độ đo không là tập “không  
đáng kể”.  
Dưới đây là câu trả lời hoàn chỉnh cho vấn đề khả tích, thường được gọi là điều kiện khả tích  
Lebesgue:  
1.2.8 Định (khả tích = bị chặn + liên tục hầu khắp). Một hàm thực bị chặn trên một hình hộp  
là khả tích trên hình hộp đó khi và chỉ khi tập hợp những điểm tại đó hàm không liên tục có độ đo  
không.  
1.2.9 Ví dụ. Sau đây là một ví dụ kinh điển về một hàm khả tích có tập hợp các điểm không liên  
tục có độ đo không nhưng không có thể tích không.  
Cho f : [0,1] → R,  
(
p
q
1
,
x = , p,q Z, q > 0, gcd(p,q) = 1  
q
f (x) =  
0, x < Q.  
Rõ ràng f không liên tục tại các số hữu tỉ. Mặt khác có thể chứng minh là f liên tục tại các số vô  
tỉ (bài tập 1.2.16). Tập hợp các số hữu tỉ trong khoảng [0,1] có độ đo không nhưng không có thể  
tích không (bài tập 1.2.17).  
Hóa ra hàm f khả tích. Thực vậy, cho ꢀ > 0, gọi Clà tập hợp các số hữu tỉ x trong [0,1] sao  
p
q
1
1
cho nếu x = ở dạng tối giản thì . Vì 0 p q , nên tập Clà hữu hạn. Ta phủ Cꢀ  
q
bằng một họ U gồm hữu hạn các khoảng con rời nhau của khoảng [0,1] có tổng chiều dài nhỏ  
hơn . Các điểm đầu mút của các khoảng này sinh ra một phép chia P của khoảng [0,1]. Ta có  
Í
Í
p
q
RU(supR f )|R| ≤ RU |R| < ꢀ. Trong khi đó nếu số x = ở dạng tối giản không thuộc Cthì  
Í
Í
1
< ꢀ, do đó R<U(supR f )|R| < ꢀ R<U |R| ≤ . Vậy U( f, P) < 2. Tđây ta kết luận f khả tích,  
q
hơn nữa  
f = 0.  
[0,1]  
* Chứng minh 1.2.8  
Cho f là một hàm bị chặn trên miền xác định là D Rn. Ta định nghĩa dao động (oscillation) của  
f tại x D là số thực  
 
!
 
!
o( f, x) = inf  
sup f inf f = lim  
sup f inf f .  
δ>0  
δ0  
B(x)∩D  
B(x)∩D  
B(x)∩D  
B(x)∩D  
Rõ ràng o( f, x) được xác định và không âm.  
1.2. SỰ KHẢ TÍCH  
15  
1.2.10 Bổ đề. Hàm f liên tục tại x khi và chỉ khi o( f, x) = 0.  
Chứng minh. () Giả sử o( f, x) = 0. Cho trước ꢀ > 0, có δ > 0 sao cho supB(x) f infB(x) f < ꢀ.  
Suy ra f (y)f (x) < ꢀ f (x)f (y) < ꢀ, vì thế | f (y)f (x)| < ꢀ với mọi y B(x,δ)D. Vậy f  
liên tục tại x.  
() Giả sử f liên tục tại x. Cho ꢀ > 0, có δ > 0 sao cho | f (y)− f (x)| < ꢀ với mọi y B(x,δ)∩D.  
Vì vậy với mọi y, z B(x,δ)D ta có | f (y)f (z)| < 2. Suy ra supB(x) f infB(x) f 2. Vậy  
o( f, x) = 0.  
Chứng minh phần điều kiện đủ của 1.2.8. Phần này được phát triển từ chứng minh của 1.2.4, dùng  
kĩ thuật trong 1.2.9.  
Giả sử | f (x)| ≤ M với mọi x trong hình hộp I. Gọi C là tập các điểm trong I tại đó f không  
liên tục, và giả sử C có độ đo không.  
Cho trước ꢀ > 0. Đặt C= {x I | o( f, x) ≥ }. Khi đó theo 1.2.11, Clà một tập compắc,  
chứa trong C, do đó theo 1.2.12 Ccó thể tích không. Như trong phần chứng minh của 1.2.4, có  
một họ hữu hạn các hình hộp (U1, U2, ...,Um), mỗi hình hộp này chứa trong I, sao cho Cđược  
Ð
Í
m
m
phủ bởi họ các phần trong đối với I của các Ui, nghĩa là C i=1 Ui, và i=1|Ui | < ꢀ.  
Ð
m
Đặt T = I \ i=1 Ui. Khi đó T rời khỏi C. Với mỗi x T thì o( f, x) < ꢀ. Có hình hộp Rx là  
lân cận của x trong I sao cho supR f infR f < ꢀ. T compắc, mọi phủ mở có một phủ con  
x
x
hữu hạn (xem chẳng hạn [Lan97, tr. 203]), nên họ {Rx | x T} phủ T có một phủ con hữu hạn  
{Rj | j = 1,2, ..., k}.  
Các hình hộp Ui Rj, 1 i m 1 j k sinh ra một phép chia P của I, được tạo ra từ  
các tọa độ đỉnh của các hình hộp.  
Nếu hình hộp con R của P nằm trong T thì R Rj nào đó, vì thế supR f infR f < ꢀ. Do đó  
Õ
Õ
(sup f inf f )|R| < ꢀ  
|R| < |I|.  
R
R
RT  
RT  
Nếu hình hộp con R của P không chứa trong T thì R Ui nào đó. Do đó  
m
Õ
Õ
Õ
Õ
(sup f inf f )|R| ≤  
2M|R| = 2M  
|R| = 2M  
|Ui | < 2Mꢀ  
R
R
R*T  
R*T  
R*T  
i=1  
Từ hai đánh giá trên ta có U( f, P)L( f, P) < (|I| +2M). Ta kết luận hàm f khả tích.  
Trong chứng minh trên ta đã dùng các bổ đề sau:  
1.2.11 Bổ đề. Với mọi ꢀ > 0, tập {x D | o( f, x) ≥ } là tập đóng trong D.  
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng A = {x D | o( f, x) < } là tập mở trong D. Giả sử x A. Có  
δ > 0 sao cho supB(x)∩D f infB(x)∩D f < ꢀ. Lấy y B(x,δ)D. Lấy δ0