Bài giảng Xác suất và thống kê toán (Nâng cao) - Trần Nhân Tâm Quyền
ĐẠI HỌC DUY TÂN ĐÀ NẴNG
Xác suất và Thống
kê Toán (Nâng Cao)
TS. Trần Nhân Tâm Quyền
Đ
À
N
Ẵ N G , M Ù A T H U N Ă M 2 0 1 3
CHƯƠNG 1: XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ
§1. Biến cố và quan hệ giữa các biến cố
1.1. Phép thử và biến cố:
Viꢀc thꢁc hiꢀn mꢂt nhóm các ꢃiꢄu kiꢀn cꢅ bꢆn ꢃꢇ quan sát mꢀt hiꢁn tꢂꢃng nào ꢄó ꢃưꢈc
gꢉi là mꢂt phép thꢅ còn hiꢀn tưꢈng có thꢇ xꢆy ra hay không trong kꢊt quꢆ cꢋa phép thꢌ
ꢃưꢈc gꢉi là biꢆn cꢇ.
Thí dụ:
1. Tung mꢂt con xúc xꢍc là mꢂt phép thꢌ, còn viꢀc lꢎt lên mꢏt nào ꢃó là biꢊn cꢐ.
2. Bꢍn mꢂt phát súng vào bia thì viꢀc bꢍn súng là phép thꢌ còn viên ꢃꢑn trúng bia (hay
trưꢈc bia) là biꢊn cꢐ.
3. Tꢒ mꢂt lô sꢆn phꢓm gꢔm chính phꢓm và phꢊ phꢓm. Lꢕy ngꢖu nhiên mꢂt sꢆn phꢓm, viꢀc
lꢕy sꢆn phꢓm là mꢂt phép thꢌ; còn lꢕy ꢃưꢈc chính phꢓm (hay phꢊ phꢓm) là biꢊn cꢐ.
Nhꢂ vꢈy ta thꢉy rꢊng mꢀt biꢆn cꢇ chꢋ có thꢌ xꢍy ra khi mꢀt phép thꢅ gꢎn liꢏn vꢐi nó ꢄꢂꢃc
thꢑc hiꢁn.
1.2. Các loại biến cố:
Trong thꢁc tꢊ ta có thꢇ gꢏp các loꢑi biꢊn cꢐ sau ꢃây:
a) Biến cố chắc chắn:
Là biꢊn cꢐ nhꢉt ꢄꢒnh sꢓ xꢍy ra khi thꢁc hiꢀn phép thꢌ. Biꢊn cꢐ chꢍc chꢍn ꢃưꢈc ký hiꢀu là
Ω
.
Thí dụ:
Ω
1. Khi thꢁc hiꢀn phép thꢌ: tung mꢂt con xúc xꢍc, gꢉi
là biꢊn cꢐ xúc xꢎc xuꢉt hiꢁn mꢔt
Ω
có sꢇ chꢉm nhꢕ hơn hoꢔc bꢊng sáu thì
là biꢊn cꢐ chꢍc chꢍn.
là biꢊn cꢐ nꢂꢐc sôi ꢖ nhiꢁt ꢄꢀ 1000C, dưꢗi áp suꢕt 1 atm thì
Ω
Ω
là mꢂt biꢊn cꢐ
2. Gꢉi
chꢍc chꢍn.
b) Biến cố không thể có:
Là biꢊn cꢐ không thꢌ xꢍy ra khi thꢁc hiꢀn phép thꢌ. Biꢊn cꢐ không thꢇ có ꢃưꢈc ký hiꢀu là
∅
.
Thí dụ:
∅
∅
là biꢊn
1. Khi tung mꢂt con xúc xꢍc. Gꢉi
cꢐ không thꢇ có.
là biꢊn cꢐ xuꢉt hiꢁn mꢔt 7 chꢉm, khi ꢃó
2. Biꢊn cꢐ nꢂꢐc sôi ꢖ nhiꢁt ꢄꢀ 500C, vꢗi áp suꢕt 1 atm là biꢊn cꢐ không thꢇ có.
c) Biến cố ngẫu nhiên:
Là biꢊn cꢐ có thꢌ xꢍy ra hoꢔc không xꢍy ra khi thꢁc hiꢀn phép thꢌ. Các biꢊn cꢐ ngꢖu
nhiên thưꢘng ꢃưꢈc ký hiꢀu là A, B, C hoꢏc là A1, A2, …, An, …
Thí dụ:
Khi tung mꢂt ꢃꢔng xu, gꢉi A là biꢊn cꢐ xuꢉt hiꢁn mꢔt Sꢉp thì A là biꢊn cꢐ ngꢖu nhiên.
Tꢕt cꢆ các biꢊn cꢐ ta gꢏp trong thꢁc tꢊ ꢃꢄu thuꢂc mꢂt trong ba loꢑi biꢊn cꢐ trên. Tuy nhiên
biꢊn cꢐ ngꢖu nhiên là loꢑi biꢊn cꢐ thưꢘng gꢏp hꢅn cꢆ.
1.3. Mối quan hệ giữa các biến cố:
Định nghĩa 1:
A và B ꢃưꢈc gꢉi là hai biꢊn cꢐ tưꢅng ꢃưꢅng nꢊu A xꢆy ra thì B cꢙng xꢆy ra và ngưꢈc lꢑi.
Ký hiꢀu:
A = B
Thí dụ:
Khi tung mꢂt con xúc xꢍc, gꢉi A là biꢊn cꢐ xuꢉt hiꢁn mꢔt 6 chꢉm, B là biꢊn cꢐ xuꢉt hiꢁn
mꢔt chꢗn lꢐn hơn 4. Ta thꢕy nꢊu A xꢆy ra thì B cꢙng xꢆy ra và ngưꢈc lꢑi nꢊu B xꢆy ra thì
A cꢙng xꢆy ra. Vꢎy A = B.
Định nghĩa 2:
Biꢊn cꢐ C ꢃưꢈc gꢉi là tꢘng cꢙa hai biꢆn cꢇ A và B nꢊu C xꢆy khi và chꢚ khi có ít nhất
một trong hai biꢊn cꢐ A, B xꢆy ra. Ký hꢀu
C = A∪ B
C = A + B hoꢏc
.
Thí dụ:
Chꢉn ngꢖu nhiên tꢒ 2 lꢗp A, B mꢛi lꢗp 1 sinh viên. Gꢉi A là biꢊn cꢐ bꢚn chꢛn tꢜ lꢐp A là
nam, B là biꢊn cꢐ bꢚn chꢛn tꢜ lꢐp B là nam và C là biꢊn cꢐ chꢛn ꢄꢂꢃc sinh viên nam. Rõ
ràng biꢊn cꢐ C xꢆy ra khi có ít nhꢕt mꢂt trong hai biꢊn cꢐ A và B xꢆy ra. Vꢎy C = A + B.
Định nghĩa 3:
Biꢊn cꢐ A ꢃưꢈc gꢉi là tꢜng cꢋa n biꢊn cꢐ: A1, A2, …, An nꢊu A xꢆy ra khi và chꢚ khi có ít
nhất một trong n biꢊn cꢐ ꢃó xꢆy ra. Ký hiꢀu là:
A = A ∪ A2 ∪...∪ An.
A = A1 + A2 + … +An hoꢏc
1
Định nghĩa 4:
Biꢊn cꢐ C ꢃưꢈc gꢉi là tích cꢋa hai biꢊn cꢐ A và B nꢊu C xꢆy ra khi và chꢚ khi cꢆ A và B
cùng ꢄꢝng thꢞi xꢍy ra. Ký hiꢀu:
C = A∩ B
C = A.B hoꢏc
.
Thí dụ:
Hai lꢗp A, B ꢃꢄu có sinh viên sꢐng tꢑi ꢝà Nꢞng. Chꢉn ngꢖu nhiên mꢛi lꢗp 1 sinh viên.
Gꢉi A là biꢊn cꢐ chꢛn ꢄꢂꢃc sinh viên sꢇng ꢖ ꢟà Nꢗng ꢖ lꢐp A, B là biꢊn cꢐ chꢛn ꢄꢂꢃc
sinh viên sꢇng ꢖ ꢟà Nꢗng ꢖ lꢐp B, C là biꢊn cꢐ cꢍ hai sinh viên sꢇng ꢖ ꢟà Nꢗng. Rõ ràng
C xꢆy ra khi và chꢚ khi cꢆ A và B cùng xꢆy ra. Vꢎy C = A.B
Định nghĩa 5:
Biꢊn cꢐ A ꢃưꢈc gꢉi là tích cꢋa n biꢊn cꢐ A1, A2, …, An nꢊu A xꢆy ra khi và chꢚ khi tꢕt cꢆ
n biꢊn cꢐ ꢕy ꢃꢔng thꢘi xꢆy ra. Ký hiꢀu là:
A = A ∩ A2 ∩...∩ An.
A = A1.A2 …An hoꢏc
1
Thí dụ:
Xét phép thꢌ lꢕy ngꢖu nhiên lꢟn lưꢈt ra 4 con hꢑc giꢕy tꢒ hꢂp có 10 con hꢑc (trong ꢃó có
4 con hꢑc màu trꢍng). Gꢉi Ai là biꢊn cꢐ lꢠn thꢡ i lꢉy ꢄꢂꢃc lꢉy ꢄꢂꢃc hꢚc trꢎng (i =
1,2,3,4). A là biꢊn cꢐ lꢕy ꢃưꢈc 4 con hꢑc trꢍng. Ta thꢕy A xꢆy ra khi và chꢚ khi cꢆ 4 biꢊn
cꢐ A1, A2, A3 và A4 ꢃꢔng thꢘi xꢆy ra. Vꢎy: A = A1.A2.A3.A4.
Định nghĩa 6:
Hai biꢊn cꢐ A và B ꢃưꢈc gꢉi là xung khꢎc nhau nꢊu chúng không ꢄꢝng thꢞi xꢍy ra trong
mꢂt phép thꢌ. Nghꢠa là
A.B = ∅
vꢗi
∅
là biꢊn cꢐ không thꢇ xꢆy ra.
Thí dụ:
Xét phép chꢉn ngꢖu nhiên 1 sinh viên trong lꢗp. Gꢉi A là biꢊn cꢐ sinh viên ꢄꢂꢃc chꢛn là
nam và B là biꢊn cꢐ sinh viên ꢄꢂꢃc chꢛn là nꢢ thì A và B là hai biꢊn cꢐ xung khꢍc.
Định nghĩa 7:
Nhóm n biꢊn cꢐ A1, A2, …, An ꢃưꢈc gꢉi là xung khꢎc tꢜng ꢄôi nꢊu hai biꢊn cꢐ bꢕt kꢡ
trong n biꢊn cꢐ này xung khꢍc vꢗi nhau. Nghꢠa là
A .Aj = ∅, ∀i ≠ j.
i
Thí dụ:
Trong mꢂt thùng hàng có 3 sꢆn phꢆm loꢑi I, 4 sꢆn phꢓm loꢑi II và 5 sꢆn phꢓm loꢑi III. Lꢕy
ngꢖu nhiên 2 sꢆn phꢓm tꢒ thùng hàng. Gꢉi A là biꢊn cꢐ lꢉy ꢄꢂꢃc 2 sꢍn phꢣm loꢚi I, B là
biꢊn cꢐ lꢉy ꢄꢂꢃc 2 sꢍn phꢣm loꢚi II, C là biꢊn cꢐ lꢉy ꢄꢂꢃc 2 sꢍn phꢣm khác loꢚi. Khi ꢃó
A, B, C là 3 biꢊn cꢐ xung khꢍc tꢒng ꢃôi.
Định nghĩa 8:
Các biꢊn cꢐ A1, A2, …, An ꢃưꢈc gꢉi là nhóm biꢆn cꢇ ꢄꢠy ꢄꢙ nꢊu chúng xung khꢍc tꢒng
ꢃôi và tꢜng cꢋa chúng là biꢊn cꢐ chꢍc chꢍn. Nghꢠa là
A .Aj = ∅, ∀i ≠ j,
i
A + A2 +...+ An = Ω
1
Thí dụ:
Xét phép thꢌ tung mꢂt con xúc xꢍc. Gꢉi Ai (i = 1,…,6) là biꢊn cꢐ xuꢉt hiꢁn mꢔt i chꢉm.
Các biꢊn cꢐ A1, A2, …, A6 tꢑo nên mꢂt nhóm các biꢊn cꢐ ꢃꢟy ꢃꢋ vì chúng xung khꢍc tꢒng
A + A +...+ A = Ω
ꢃôi mꢂt và tꢜng cꢋa 6 biꢊn cꢐ ꢃó là biꢊn cꢐ chꢍc chꢍn
.
1
2
6
Định nghĩa 9:
Biꢊn cꢐ A và B gꢉi là hai biꢊn cꢐ ꢄꢇi lꢈp nhau (hay phꢙ ꢄꢒnh nhau) nꢊu chúng tꢑo nên
mꢂt nhóm biꢊn cꢐ ꢃꢟy ꢃꢋ.
A
A
lꢎp thành mꢂt nhóm ꢃꢟy
Biꢊn cꢐ ꢃꢐi lꢎp cꢋa biꢊn cꢐ A ꢃưꢈc ký hiꢀu là . Vꢎy A và
ꢃꢋ các biꢊn cꢐ.
Thí dụ:
Khi tung mꢂt con xúc xꢍc. Gꢉi A là biꢊn cꢐ xuꢉt hiꢁn mꢔt chꢗn, B là biꢊn cꢐ xuꢉt hiꢁn
B = A
mꢔt lꢤ. Rõ ràng B là biꢊn cꢐ ꢃꢐi lꢎp cꢋa biꢊn cꢐ A hay
.
Luật Demorgan:
A + A2 +...+ An = A .A2...An ,
1
1
A .A2...An = A + A2 +...+An
.
1
1
Nhận xét:
A+B = B+A; A.B = B.A
A+A = A; A.A = A
A.(B + C) = A.B + A.C
∅
Ω Ω
∅ ∅
=
Ω
= A
A+
A+
= A; A.
=
; A.
A.A = ∅
A+ A = Ω
;
§2. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Quan sát các hiꢀn tưꢈng tꢁ nhiên ta thꢕy có nhꢢng hiꢀn tưꢈng thưꢘng xꢆy ra, có nhꢢng
hiꢀn tưꢈng ít xꢆy ra. Xác suꢕt là mꢂt ꢃꢑi lưꢈng thꢇ hiꢀn mꢣc ꢃꢂ xꢆy ra (thưꢘng xuyên hay
ít khi) cꢋa mꢂt biꢊn cꢐ. Trong lꢤch sꢌ Toán hꢉc ꢃã có nhiꢄu ꢃꢤnh nghꢠa cho khái niꢀm xác
suꢕt. Trong phꢟn này, ta sꢥ xem xét mꢂt sꢐ ꢃꢤnh nghꢠa tiêu biꢇu.
2.1. Định nghĩa xác suất cổ điển
a) Định nghĩa
Xác suꢕt xuꢕt hiꢀn biꢊn cꢐ A là tꢥ sꢇ giꢢa sꢇ các trꢂꢞng hꢃp thuꢈn lꢃi ꢄꢌ biꢆn cꢇ A xꢍy ra
và sꢇ trꢂꢞng hꢃp cùng khꢍ nꢦng có thꢌ xꢍy ra khi thꢁc hiꢀn phép thꢌ.
Nꢊu ký hiꢀu P(A) là xác suꢕt cꢋa biꢊn cꢐ A, m là sꢐ trưꢘng hꢈp thuꢎn lꢈi cho biꢊn cꢐ A, n
là sꢐ trưꢘng hꢈp cùng khꢆ nꢦng có thꢇ xꢆy ra thì ta có công thꢣc:
m
P(A) =
.
n
Thí dụ 1:
Tꢒ 1 lô hàng có 13 chính phꢓm và 7 phꢊ phꢓm có kích thưꢗc và hình dꢑng như nhau, lꢕy
ngꢖu nhiên 1 sꢆn phꢓm.
Gꢉi A là biꢊn cꢐ lꢉy ꢄꢂꢃc chính phꢣm, ta có
13
P(A) =
.
.
20
Gꢉi B là biꢊn cꢐ lꢉy ꢄꢂꢃc phꢆ phꢣm, ta có
P(B) =
7
20
Thí dụ 2:
Mꢂt bꢂ bài có 52 quân, rút hú hꢉa 3 quân. Tìm xác suꢕt ꢃꢇ trong 3 quân rút ra có duy nhꢕt
mꢂt quân Cꢅ.
Giꢆi: Mꢛi cách rút 3 quân tꢒ 52 quân là mꢂt tꢜ hꢈp chꢎp 3 tꢒ 52 phꢟn tꢌ, do ꢃó sꢐ trꢂꢞng
hꢃp cùng khꢍ nꢦng xꢍy ra là:
n = C532
.
Gꢉi A là biꢊn cꢐ xꢍy ra mꢀt quân Cơ và 2 quân còn lꢚi không là quân Cơ khi rút 3 quân.
Sꢐ trưꢘng hꢈp thuꢎn lꢈi cho A xꢆy ra là:
m = C113C329.
Vꢎy
38.39
13.
m C113C329
2
P(A) =
=
=
= 0,4359.
n
C532
50.51.52
6
Thí dụ 3:
Mꢂt lô hàng có 10 sꢆn phꢓm, trong ꢃó có 8 chính phꢓm và 2 phꢊ phꢓm. Lꢕy ngꢖu nhiên tꢒ
lô sꢆn phꢓm ꢃó 3 sꢆn phꢓm. Tìm xác suꢕt ꢃꢇ:
a) Cꢆ 3 sꢆn phꢓm lꢕy ra ꢃꢄu là chính phꢓm.
b) Trong 3 sꢆn phꢓm lꢕy ra có 2 chính phꢓm.
Giꢆi: Gꢉi A là biꢊn cꢐ lꢉy ꢄꢂꢃc 3 chính phꢣm. Sꢐ kꢊt quꢆ cùng khꢆ nꢦng xꢆy ra trong
phép thꢌ là:
n = C130 =120.
Sꢐ kꢊt quꢆ thuꢎn lꢈi cho biꢊn cꢐ A xꢆy ra là
mA = C83 = 56.
Do ꢃó
56
P(A) =
= 0,4667.
120
Gꢉi B là biꢊn cꢐ trong ba sꢍn phꢣm lꢉy ra có 2 chính phꢣm. Sꢐ kꢊt quꢆ thuꢎn lꢈi cho B
xꢆy ra là:
mB = C82C21 = 56.
Do ꢃó
56
P(B) =
= 0,4667.
120
Thí dụ 4:
Mꢂt lô hàng 12 sꢆn phꢓm trong ꢃó có 3 sꢆn phꢓm bꢤ hꢧng. Chia ngꢖu nhiên 12 sꢆn phꢓm
ꢃó cho 3 khách hàng, mꢛi khách hàng 4 sꢆn phꢓm. Tính xác suꢕt cꢋa các biꢊn cꢐ:
i/ Mꢛi ngưꢘi ꢃꢄu có mꢂt sꢆn phꢓm bꢤ hꢧng.
ii/ Có mꢂt ngưꢘi có ꢃúng 2 sꢆn phꢓm bꢤ hꢧng.
Giꢆi: Sꢐ kꢊt quꢆ ꢃꢔng khꢆ nꢦng xꢆy ra trong viꢀc chia 12 sꢆn phꢓm cho 3 khách hàng (lꢕy
ngꢖu nhiên 4 sꢆn phꢓm trong 12 sꢆn phꢓm chia cho ngưꢘi thꢣ nhꢕt, lꢕy ngꢖu nhiên 4 sꢆn
phꢓm trong 8 sꢆn phꢓm còn lꢑi chia cho ngưꢘi thꢣ hai, và lꢕy 4 sꢆn phꢓm còn lꢑi chia cho
ngưꢘi thꢣ ba)
n = C142.C84.C44.
i/ Gꢉi A là biꢊn cꢐ mꢧi ngꢂꢞi ꢄꢏu có mꢀt sꢍn phꢣm bꢒ hꢕng. Khi ꢃó sꢐ kꢊt quꢆ thuꢎn lꢈi
cho A là
mA = (C93C31).(C63C21 ).(C33C11).
Vꢎy
C93C31C63C21C33C11 16
P(A) =
=
.
C142.C84.C44
56
i/ Gꢉi B là biꢊn cꢐ có mꢀt ngꢂꢞi có ꢄúng 2 sꢍn phꢣm bꢒ hꢕng. Khi ꢃó sꢐ kꢊt quꢆ thuꢎn lꢈi
cho B là
mB = C31(C92C32 ).(C84 ).(C44 ).
Vꢎy
C31C92C32C84C44 36
P(A) =
=
.
C142.C84.C44
56
2.2. Định nghĩa thống kê về xác suất
a) Định nghĩa tần suất:
Tꢟn suꢕt xuꢕt hiꢀn biꢊn cꢐ A trong n phép thꢌ là tꢨ sꢐ giꢢa sꢐ phép thꢌ mà trong ꢃó biꢊn
cꢐ A xuꢕt hiꢀn và tꢜng sꢐ phép thꢌ ꢃưꢈc thꢁc hiꢀn. Nꢊu ký hiꢀu sꢐ phép thꢌ là n, sꢐ lꢟn
xuꢕt hiꢀn biꢊn cꢐ A là k, tꢟn suꢕt xuꢕt hiꢀn biꢊn cꢐ A là
k
f (A) =
.
n
Cùng vꢗi khái niꢀm xác suꢕt, khái niꢀm tꢟn suꢕt là mꢂt trong nhꢢng khái niꢀm cꢅ bꢆn cꢋa
lý thuyꢊt xác suꢕt.
Thí dụ 1:
Khi khꢆo sát ngꢖu nhiên 40 sinh viên ngưꢘi ta phát hiꢀn ra 5 sinh viên giꢧi. Nꢊu gꢉi A là
biꢊn cꢐ xuꢉt hiꢁn sinh viên giꢕi thì tꢟn suꢕt xuꢕt hiꢀn sinh viên giꢧi trong sꢐ 40 SV ꢃưꢈc
khꢆo sát là:
5
1
8
f (A) =
=
.
40
Thí dụ 2:
ꢝꢇ nghiên cꢣu khꢆ nꢦng xuꢕt hiꢀn mꢏt sꢕp khi tung mꢂt ꢃꢔng xu, ngưꢘi ta tiꢊn hành tung
ꢃꢔng xu nhiꢄu lꢟn và thu ꢃưꢈc kꢊt quꢆ cho ꢩ bꢆng dưꢗi ꢃây:
Ngưꢘi tiꢊn
hành thꢌ
Sꢐ lꢟn tung Sꢐ lꢟn ꢃưꢈc Tꢟn suꢕt f(A)
(n)
mꢏt sꢕp xuꢕt
hiꢀn (k)
Thùy Nhiên
Nhꢕt Tâm
5268
14400
20045
2671
0,50702
0,50146
0,50052
7021
Thiên Hưꢅng
10033
Tꢒ kꢊt quꢆ các lꢟn thꢌ trên ta thꢕy khi sꢐ phép thꢌ tꢦng lên, tꢟn suꢕt xuꢕt hiꢀn mꢏt sꢕp tiꢊn
dꢟn ꢃꢊn 0,5 là xác suꢕt xuꢕt hiꢀn mꢏt sꢕp khi tung ꢃꢔng xu. Vꢎy tꢟn suꢕt tiꢊn dꢟn ꢃꢊn xác
suꢕt khi sꢐ phép thꢌ tꢦng dꢟn ꢃꢊn vô hꢑn. Tꢒ ꢃó ta có ꢃꢤnh nghꢠa thꢐng kê vꢄ xác suꢕt:
b) Định nghĩa xác suất theo tần xuất
Khi sꢐ phép thꢌ tꢦng lên vô hꢑn, tꢟn suꢕt xuꢕt hiꢀn biꢊn cꢐ tiꢊn dꢟn ꢃꢊn mꢂt sꢐ xác ꢃꢤnh
ꢃưꢈc gꢉi là xác suꢕt cꢋa biꢊn cꢐ ꢃó. Hay nói cách khác, xác suꢕt là giꢗi hꢑn cꢋa tꢟn suꢕt
khi sꢐ phép thꢌ tꢦng lên vô hꢑn:
k
P(A) = lim f (A) = lim
.
n→∞ n
n→∞
ꢝꢤnh nghꢠa thꢐng kê vꢄ xác suꢕt có ưu ꢃiꢇm lꢗn là nó không ꢃòi hꢧi nhꢢng ꢃiꢄu kiꢀn áp
dꢪng như ꢃꢐi vꢗi nhꢢng ꢃꢤnh nghꢠa cꢜ ꢃiꢇn. Nó hoàn toàn dꢁa trên các quan sát thꢁc tꢊ ꢃꢇ
làm cꢅ sꢩ kꢊt luꢎn vꢄ xác suꢕt xꢆy ra cꢋa mꢂt biꢊn cꢐ.
Tuy nhiên trong thꢁc tꢊ không thꢇ tiꢊn hành vô hꢑn phép thꢌ, nhưng ꢃꢐi vꢗi sꢐ phép thꢌ
ꢃꢋ lꢗn ta có thꢇ xem xác suꢕt xꢕp xꢚ bꢫng tꢟn suꢕt:
k
P(A) ꢀ
.
n
2.3. Định nghĩa xác suất theo hình học:
Khi sꢐ kꢊt quꢆ trong phép thꢌ là vô hꢑn, ta không thꢇ áp dꢪng ꢃꢤnh nghꢠa cꢜ ꢃiꢇn ꢃꢇ tính
xác suꢕt. Trong nhiꢄu trưꢘng hꢈp, ta có thꢇ sꢌ dꢪng ꢃꢤnh nghꢠa xác suꢕt theo quan ꢃiꢇm
hình hꢉc như sau:
a) Định nghĩa:
Giꢆ sꢌ mꢂt ꢃiꢇm ꢃưꢈc rꢅi ngꢖu nhiên vào mꢂt miꢄn
Ω , A là mꢂt miꢄn con cꢋa Ω . Khi ꢃó
xác suꢕt ꢃꢇ ꢃiꢇm rꢅi ngꢖu nhiên vào miꢄn A ꢃưꢈc xác ꢃꢤnh bꢩi công thꢣc:
mes(A)
P(A) =
.
mes(Ω)
Trong ꢃó mes(A) và mes(
Ω
) là ꢃꢂ ꢃo cꢋa miꢄn A và Ω (có thꢇ là ꢃꢂ dài, diꢀn tích hay
thꢇ tích tùy thuꢂc vào miꢄn xét trên ꢃưꢘng thꢬng, mꢏt phꢬng hay trong không gian 3 chiꢄu
theo tꢒng bài toán cꢪ thꢇ).
Thí dụ:
Hai ngưꢘi bꢑn hꢭn gꢏp nhau tꢑi mꢂt ꢃꢤa ꢃiꢇm ꢃã ꢃꢤnh trưꢗc trong khoꢆng thꢘi gian tꢒ 19
ꢃꢊn 20 giꢘ. Hai ngưꢘi ꢃꢊn chꢜ hꢭn ꢃꢂc lꢎp vꢗi nhau và qui ưꢗc rꢫng ngưꢘi ꢃꢊn trưꢗc sꢥ
chꢚ ꢃꢈi ngưꢘi ꢃꢊn sau 10 phút, nꢊu không gꢏp thì sꢥ ꢃi. Tính xác suꢕt ꢃꢇ hai ngưꢘi có thꢇ
gꢏp nhau?
Giꢆi: Gꢉi A là biꢊn cꢐ hai ngꢂꢞi gꢔp nhau. Ta cꢟn tính P(A).
Gꢉi x là sꢐ phút tꢑi thꢘi ꢃiꢇm ngưꢘi thꢣ nhꢕt ꢃꢊn ꢃiꢇm hꢭn: 0 ꢮ x ꢮ 60.
Gꢉi y là sꢐ phút tꢑi thꢘi ꢃiꢇm ngưꢘi thꢣ hai ꢃꢊn ꢃiꢇm hꢭn: 0 ꢮ y ꢮ 60.
Nꢊu ta biꢇu diꢯn sꢐ phút x theo trꢪc hoành và sꢐ phút y theo trꢪc tung thì sꢐ phút lúc ꢃꢊn
cꢋa cꢆ hai ngưꢘi ꢃưꢈc biꢇu diꢯn bꢫng mꢂt ꢃiꢇm có tꢉa ꢃꢂ (x, y) nꢫm trong hình vuông có
cꢑnh là 60 (ta lꢕy phút làm ꢃꢅn vꢤ). ꢝó chính là miꢄn
Ω .
Ω
= {(x,y): 0 ꢮx ꢮ 60; 0 ꢮ y ꢮ 60}
ꢝꢇ hai ngưꢘi gꢏp nhau thì sꢐ phút lúc ꢃꢊn x, y cꢋa mꢛi ngưꢘi phꢆi thꢧa mãn ꢃiꢄu kiꢀn:
| x − y |≤10 ⇔ x −10 ≤ y ≤ x +10.
y
60
y=x+10
10
O
y=x-10
x
10
60
Như vꢎy các ꢃiꢇm (x, y) thích hꢈp cho viꢀc gꢏp nhau là các ꢃiꢇm nꢫm trong phꢟn A có
gꢑch chéo nꢫm giꢢa hai ꢃưꢘng thꢬng y = x – 10 và y = x + 10 (như hình vꢥ). Theo công
thꢣc xác suꢕt hình hꢉc:
mes(A) 602 −502 11
P(A) =
=
=
= 0,3056.
mes(Ω)
602
36
Tꢒ ꢃꢤnh nghꢠa xác suꢕt theo hình hꢉc, ta thꢕy rꢫng mꢂt biꢊn cꢐ có xác suꢕt bꢫng 0 vꢖn có
thꢇ xꢆy ra. Chꢬng hꢑn, xác suꢕt ꢃꢇ mꢂt viên ꢃꢑn rꢅi trúng mꢂt ꢃiꢇm M trên mꢂt miꢄn
Ω
bꢫng không (vì diꢀn tích mes(
vꢖn có thꢇ xꢆy ra.
Ω ) bꢫng diꢀn tích mꢂt ꢃiꢇm M, bꢫng 0), nhưng biꢊn cꢐ ꢃó
2.4 Các tính chất của xác suất:
Tꢒ các ꢃꢤnh nghꢠa cꢋa xác suꢕt ꢃã nêu trên ta có thꢇ suy ra các tình chꢕt cꢋa xác suꢕt:
1. Nꢊu thì
A
⊂ B
P(A) ≤ P(B); P(B \ A) = P(B) − P(A)
2. Nꢊu A là biꢊn cꢐ bꢕt kꢡ thì:
0 ꢮ P(A) ꢮ 1
3. Xác suꢕt cꢋa biꢊn cꢐ chꢍc chꢍn bꢫng mꢂt:
P(
4. Xác suꢕt cꢋa biꢊn cꢐ không thꢇ có bꢫng không:
P( ) = 0
Ω
) = 1
∅
A
5. Nꢊu
là biꢊn cꢐ phꢋ ꢃꢤnh (ꢃꢐi lꢎp) cꢋa biꢊn cꢐ A thì:
P(A) =1− P(A)
6. Nꢊu A và B là hai biꢊn cꢐ xung khꢍc thì:
P(A + B) = P(A) + P(B)
Nꢊu A, B, C là ba biꢊn cꢐ xung khꢍc tꢒng ꢃôi thì
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)
7. Nꢊu A, B là 2 biꢊn cꢐ bꢕt kꢡ thì:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
Tꢜng quát, nꢊu A, B, C là 3 biꢊn cꢐ bꢕt kꢡ thì:
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A.B) – P(B.C) – P(C.A) + P(A.B.C).
§3. Xác suất có điều kiện
3.1. Định nghĩa:
Xác suꢕt cꢋa biꢊn cꢐ A nꢊu biꢊn cꢐ B ꢄã xꢍy ra ꢃưꢈc gꢉi là xác suꢕt có ꢃiꢄu kiꢀn cꢋa A
ꢃꢐi vꢗi B. Ký hiꢀu là
P(A/B).
Thí dụ:
Cho mꢂt hꢂp kín có 6 thꢰ ATM cꢋa ACB và 4 thꢰ ATM cꢋa Vietcombank. Lꢕy ngꢖu
nhiên lꢟn lưꢈt không hoàn lꢑi 2 thꢰ. Tìm xác suꢕt ꢃꢇ lꢟn thꢣ hai lꢕy ꢃưꢈc thꢰ ATM cꢋa
Vietcombank nꢊu biꢊt lꢟn thꢣ nhꢕt ꢃã lꢕy ꢃưꢈc thꢰ ATM cꢋa ACB.
Giꢆi: Gꢉi A là biꢊn cꢐ lꢠn thꢡ hai lꢉy ꢄꢂꢃc thꢤ ATM Vietcombank, B là biꢊn cꢐ lꢠn thꢡ
nhꢉt lꢉy ꢄꢂꢃc thꢤ ATM cꢙa ACB. Ta cꢟn tìm P(A/B).
Sau khi lꢕy lꢟn thꢣ nhꢕt (biꢊn cꢐ B ꢃã xꢆy ra) trong hꢂp còn lꢑi 9 thꢰ, trong ꢃó 4 thꢰ
Vietcombank. Vꢎy
4
P
(
A
/
B
)
=
.
9
3.2. Công thức nhân xác suất
a) Công thức:
Xác suꢕt cꢋa tích hai biꢊn cꢐ A và B bꢫng tích xác suꢕt cꢋa mꢂt trong hai biꢊn cꢐ ꢃó vꢗi
xác suꢕt có ꢃiꢄu kiꢀn cꢋa biꢊn cꢐ còn lꢑi:
P(A.B) = P(A).P(B / A) = P(B).P(A / B).
Chꢣng minh: Giꢆ sꢌ phép thꢌ có n kꢊt quꢆ cùng khꢆ nꢦng có thꢇ xꢆy ra, mA kꢊt quꢆ thuꢎn
lꢈi cho A, mB kꢊt quꢆ thuꢎn lꢈi cho B. Vì A và B là hai biꢊn cꢐ bꢕt kꢡ, do ꢃó nói chung sꢥ
có k kꢊt quꢆ thuꢎn lꢈi cho cꢆ A và B cùng ꢃꢔng thꢘi xꢆy ra. Theo ꢃꢤnh nghꢠa cꢜ ꢃiꢇn cꢋa
xác suꢕt ta có:
k
mA
n
P
(
A.
B
)
=
,
P
(
A)
=
.
n
Ta ꢃi tính P(B/A). Vꢗi ꢃiꢄu kiꢀn biꢊn cꢐ A ꢃã xꢆy ra, nên sꢐ kꢊt quꢆ cùng khꢆ nꢦng cꢋa
phép thꢌ ꢃꢐi vꢗi biꢊn B là mA, sꢐ kꢊt quꢆ thuꢎn lꢈi cho B là k. Do ꢃó:
k
P(B / A) =
.
mA
Như vꢎy:
k
mA k
.
P(AB) =
=
= P(A).P(B / A).
n
n mA
Vì vai trò cꢋa hai biꢊn cꢐ A và B như nhau. Bꢫng cách chꢣng minh tưꢅng tꢁ ta cꢙng ꢃưꢈc
P(A.B) = P(B).P(A / B).
Thí dụ:
1. Trong hꢂp có 20 nꢍp khoen bia Tiger, trong ꢃó có 2 nꢍp ghi Chúc mꢜng bꢚn ꢄã trúng
thꢂꢖng xe BMW. Bꢑn ꢃưꢈc chꢉn lên rút thꢦm lꢟn lưꢈt hai nꢍp khoen, tính xác suꢕt ꢃꢇ cꢆ
hai nꢍp ꢃꢄu trúng thưꢩng.
Giꢆi: Gꢉi A là biꢊn cꢐ rút nꢎp khoen ꢄꢠu trúng thꢂꢖng. B là biꢊn cꢐ rút nꢎp khoen thꢡ hai
trúng thꢂꢖng. C là biꢊn cꢐ cꢆ 2 nꢍp ꢃꢄu trúng thưꢩng. Ta có C = A.B và cꢟn tính P(C).
Khi bꢑn rút thꢦm lꢟn ꢃꢟu thì trong hꢂp có 20 nꢍp trong ꢃó có 2 nꢍp trúng. Do ꢃó P(A) =
2/20.
Khi biꢊn cꢐ A ꢃã xꢆy ra thì còn lꢑi 19 nꢍp trong ꢃó có 1 nꢍp trúng thưꢩng. Do ꢃó: P(B/A)
= 1/19. Tꢒ ꢃó ta có:
2 1
P(C) = P(A).P(B / A) =
.
= 0.0053.
20 19
2. Áo Viꢀt Tiꢊn trưꢗc khi xuꢕt khꢓu sang Mꢱ phꢆi qua 2 lꢟn kiꢇm tra, nꢊu cꢆ hai lꢟn ꢃꢄu
ꢃꢑt thì chiꢊc áo ꢃó mꢗi ꢃꢋ tiêu chuꢓn xuꢕt khꢓu. Biꢊt rꢫng bình quân 98% sꢆn phꢓm làm
ra qua ꢃưꢈc lꢟn kiꢇm tra thꢣ nhꢕt, và 95% sꢆn phꢓm qua ꢃưꢈc lꢟn kiꢇm tra ꢃꢟu sꢥ tiꢊp tꢪc
qua ꢃưꢈc lꢟn kiꢇm tra thꢣ hai. Tìm xác suꢕt ꢃꢇ 1 chiꢊc áo ꢃꢋ tiêu chuꢓn xuꢕt khꢓu?
Giải:
Gꢉi A là biꢊn cꢐ sꢍn phꢣm qua ꢄꢂꢃc lꢠn kiꢌm tra ꢄꢠu tiên, B là biên cꢐ sꢍn phꢣm qua
ꢄꢂꢃc lꢠn kiꢌm tra thꢡ 2, C là biꢊn cꢐ ꢄꢙ tiêu chuꢣn xuꢉt khꢣu. Khi ꢃó
P(C) = P(A.B) = P(A).P(B / A) = 0,98.0,95 = 0,931.
3. Lꢗp Kinh tꢊ hꢉc có 95 Sinh viên, trong ꢃó có 40 nam và 55 nꢢ. Trong kꢡ thi môn Xác
suꢕt thꢐng kê có 23 sinh viên ꢃꢑt ꢃiꢇm giꢧi (trong ꢃó có 12 nam và 11 nꢢ). Gꢉi tên ngꢖu
nhiên mꢂt sinh viên trong danh sách lꢗp. Tìm xác suꢕt gꢉi ꢃưꢈc sinh viên ꢃꢑt ꢃiꢇm giꢧi
môn Xác suꢕt thꢐng kê, biꢊt rꢫng sinh viên ꢃó là nꢢ?
Giꢆi: Gꢉi A là biꢊn cꢐ gꢛi ꢄꢂꢃc sinh viên nꢢ, B là biꢊn cꢐ gꢛi ꢄꢂꢃc sinh viên ꢄꢚt ꢄiꢌm
giꢕi môn Xác suꢉt thꢇng kê, C là biꢊn cꢐ gꢛi ꢄꢂꢃc sinh viên nꢢ ꢄꢚt ꢄiꢌm giꢕi. Khi ꢃó C =
B/A. Do ꢃó
11
P(AB)
P(A)
11
55
95
55
P(C) = P(B / A) =
=
=
= 0,2.
95
b) Các định nghĩa về các biến cố độc lập:
Định nghĩa 1:
Hai biꢊn cꢐ gꢉi là ꢃꢂc lꢎp nhau nꢊu viꢀc xꢆy ra hay không xꢆy ra biꢊn cꢐ này không làm
thay ꢃꢜi xác suꢕt xꢆy ra cꢋa biꢊn cꢐ kia và ngưꢈc lꢑi.
Ta có thꢇ dùng khái niꢀm xác suꢕt có ꢃiꢄu kiꢀn ꢃꢇ ꢃꢤnh nghꢠa các biꢊn cꢐ ꢃꢂc lꢎp như sau:
Nꢊu
P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B)
thì A và B ꢃꢂc lꢎp vꢗi nhau.
Trong trưꢘng hꢈp viꢀc biꢊn cꢐ này xꢆy ra hay không xꢆy ra làm cho xác suꢕt xꢆy ra cꢋa
biꢊn cꢐ kia thay ꢃꢜi thì hai biꢊn cꢐ ꢃó gꢉi là phꢪ thuꢂc nhau.
Thí dụ:
Trong bình có 4 quꢆ cꢟu trꢍng và 5 quꢆ cꢟu xanh, lꢕy ngꢖu nhiên tꢒ bình ra 1 quꢆ cꢟu. Gꢉi
A là biꢊn cꢐ lꢉy ꢄꢂꢃc quꢍ cꢠu xanh. Hiꢇn nhiên P(A) = 5/9 . Quꢆ cꢟu lꢕy ra ꢃưꢈc bꢧ lꢑi
vào bình và tiꢊp tꢪc lꢕy 1 quꢆ cꢟu. Gꢉi B là biꢊn cꢐ lꢠn thꢡ 2 lꢉy ꢄꢂꢃc quꢍ cꢠu xanh, P(B)
= 5/9. Rõ ràng xác suꢕt cꢋa biꢊn cꢐ B không thay ꢃꢜi khi biꢊn cꢐ A xꢆy ra hay không xꢆy
ra và ngưꢈc lꢑi. Vꢎy hai biꢊn cꢐ A và B ꢃꢂc lꢎp nhau.
Ta chú ý rꢫng nꢊu A và B ꢃꢂc lꢎp thì các cꢏp biꢊn cꢐ
A, B hoꢏc A, B hoꢏc A, B
cꢙng ꢃꢂc lꢎp vꢗi nhau.
Trong thꢑc tꢆ viꢁc nhꢈn biꢆt tính ꢄꢀc lꢈp, phꢨ thuꢀc, xung khꢎc cꢙa các biꢆn cꢇ chꢙ yꢆu
dꢑa vào trꢑc giác.
Định nghĩa 2: Các biꢊn cꢐ A1, A2, …, An, ꢃưꢈc gꢉi là ꢃꢂc lꢎp tꢒng ꢃôi nꢊu mꢛi cꢏp hai
biꢊn cꢐ bꢕt kꢡ trong n biꢊn cꢐ ꢃó ꢃꢂc lꢎp vꢗi nhau.
Thí dụ:
Xét phép thꢌ tung mꢂt ꢃꢔng xu 3 lꢟn. Gꢉi Ai là biꢊn cꢐ ꢃưꢈc mꢏt sꢕp ꢩ lꢟn tung thꢣ i (i =
1, 2, 3). Rõ ràng mꢛi cꢏp hai trong 3 biꢊn cꢐ ꢃó ꢃꢂc lꢎp vꢗi nhau. Vꢎy A1, A2, A3 ꢃꢂc lꢎp
tꢒng ꢃôi.
Định nghĩa 3: Các biꢊn cꢐ A1, A2, …, An, ꢃưꢈc gꢉi là ꢃꢂc lꢎp toàn phꢟn (toàn bꢂ) nꢊu
mꢛi biꢊn cꢐ ꢃꢂc lꢎp vꢗi tích cꢋa mꢂt tꢜng hꢈp bꢕt kꢡ trong các biꢊn cꢐ còn lꢑi.
Ta chú ý là các biꢆn cꢇ ꢄꢀc lꢈp tꢜng ꢄꢀi thì chꢂa chꢎc ꢄꢀc lꢈp toàn phꢠn. ꢟiꢏu kiꢁn ꢄꢀc
lꢈp toàn phꢠn mꢚnh hơn ꢄꢀc lꢈp tꢜng ꢄôi.
c) Hệ quả:
Tꢒ ꢃꢤnh lý trên ta có thꢇ suy ra mꢂt sꢐ hꢀ quꢆ sau ꢃây:
Hệ quả 1:
Xác suꢕt cꢋa tích hai biꢊn cꢐ ꢃꢂc lꢎp bꢫng tích xác suꢕt cꢋa các biꢊn cꢐ ꢃó:
P(A.B) = P(A).P(B).
Hệ quả 2:
Xác suꢕt cꢋa tích n biꢊn cꢐ bꢫng tích xác suꢕt cꢋa các biꢊn cꢐ ꢃó, trong ꢃó xác suꢕt cꢋa
mꢛi biꢊn cꢐ tiꢊp sau ꢃꢄu ꢃưꢈc tính vꢗi ꢃiꢄu kiꢀn tꢕc cꢆ các biꢊn cꢐ trưꢗc ꢃó ꢃã xꢆy ra:
P(A A2 A ...An )
= P(A )P(A2 / A )P(A / A A2 )...P(An / A ...An−1).
1 1 3 1 1
1
3
Hệ quả 3:
Xác suꢕt cꢋa tích n biꢊn cꢐ ꢃꢂc lꢎp toàn phꢟn bꢫng tích xác suꢕt cꢋa các biꢊn cꢐ ꢃó:
P(A A2 A ...An ) P(A )P(A2 )P(A )...P(An ).
=
1
3
1
3
Thí dụ:
Tꢨ lꢀ phꢊ phꢓm cꢋa mꢂt máy là 20%. Vꢎy phꢆi cho máy ꢃó sꢆn xuꢕt ít nhꢕt bao nhiêu sꢆn
phꢓm ꢃꢇ vꢗi khꢆ nꢦng lên ꢃꢊn 95% là sꢥ có ít nhꢕt mꢂt chính phꢓm.
Giꢆi: Giꢆ sꢌ phꢆi sꢆn xuꢕt n sꢆn phꢓm. Gꢉi Ai (i = 1,2,…,n) là biꢊn cꢐ sꢍn phꢣm thꢡ i là
chính phꢣm. Gꢉi A là biꢊn cꢐ trong n sꢍn phꢣm ꢄó có ít nhꢉt mꢀt chính phꢣm. Khi ꢃó
n
A
=
A .
∑
i
i
=1
Do các biꢊn cꢐ trên là ꢃꢂc lꢎp toàn phꢟn và theo luꢎt Dermorgan ta có
n
n
n
P(A) =1− P
A =1− P
P A =1− (0,2)n
.
Π
A =1−Π
i
( )
∑
i
i
i=1
i=1
i=1
Ta có
P(A) ≥ 0,95 ⇒1− (0,2)n ≥ 0,95
⇒ (0,2)n ≤ 0,05
⇒ nlog10 (0,2) ≤ log10 (0,05)
log10 (0,05)
log10 (0,2)
⇒ n ≥
=1,86
⇒ n = 2.
Vꢎy phꢆi cho máy ꢃó sꢆn xuꢕt ít nhꢕt 2 sꢆn phꢓm ꢃꢇ thꢧa yêu cꢟu.
3.3. Các công thức xác suất
a) Hệ đầy đủ các biến cố
Cho mꢂt phép thꢌ. Ta nói hꢀ gꢔm n biꢊn cꢐ H1, H2, …, Hn cꢋa phép thꢌ là ꢃꢟy ꢃꢋ nꢊu
i) H1, H2, …, Hn xung khꢍc tꢒng ꢃôi
ii) H1+H2+ …+Hn = Ω.
Thí dụ:
1. Cho mꢂt phép thꢌ bꢕt kꢡ. Khi ꢃó hꢀ A, A là ꢃꢟy ꢃꢋ.
2. Mꢂt lô hàng có 8 sꢆn phꢓm loꢑi I và 6 sꢆn phꢓm loꢑi II. Lꢕy ngꢖu nhiên 2 sꢆn phꢓm tꢒ
lô hàng. Khi ꢃó hꢀ 3 biꢊn cꢐ sau là ꢃꢟy ꢃꢋ:
H1 = Biꢊn cꢐ chꢛn ꢄꢂꢃc 2 sꢍn phꢣm loꢚi I,
H2 = Biꢊn cꢐ chꢛn ꢄꢂꢃc 2 sꢍn phꢣm loꢚi II,
H3 = Biꢊn cꢐ chꢛn ꢄꢂꢃc 1 sꢍn phꢣm loꢚi I và 1 sꢍn phꢣm loꢚi II.
Chú ý: Nꢊu H1, H2, …, Hn là hꢀ ꢃꢟy ꢃꢋ các biꢊn cꢐ thì
P(H1) +…+ P(Hn) = 1.
b) Các công thức xác suất
Cho mꢂt phép thꢌ có H1, H2, …, Hn là hꢀ các biꢊn cꢐ ꢃꢟy ꢃꢋ và A là biꢊn cꢐ bꢕt kꢡ cꢋa
phép thꢌ. Khi ꢃó
i/ Công thꢣc xác suꢕt ꢃꢟy ꢃꢋ (hay công thꢣc xác suꢕt toàn phꢟn)
P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) + … + P(Hn).P(A/Hn).
ii/ Công thꢣc Bayès (Bây-ét)
P(H j ).P(A / H j )
P(H j / A) =
, ∀j =1,2,...,n.
P(A)
Thí dụ 1:
Mꢂt cꢌa hàng bán mꢂt loꢑi sꢆn phꢓm do hai công ty A và B cung cꢕp vꢗi tꢨ lꢀ sꢆn phꢓm
cꢋa công ty A và B có trong cꢋa hàng tưꢅng ꢣng là 55% và 45%. Theo thꢐng kê tꢨ lꢀ phꢊ
phꢓm cꢋa công ty A và B tưꢅng ꢣng là 2% và 3%. Mꢂt khách hàng ꢃꢊn mua ngꢖu nhiên 1
sꢆn phꢓm cꢋa cꢋa hàng.
a/ Tìm xác suꢕt ꢃꢇ khách mua ꢃưꢈc chính phꢓm.
b/ Giꢆ sꢌ sꢆn phꢓm khách mua là phꢊ phꢓm. Khi ꢃó khꢆ nꢦng phꢊ phꢓm này do công ty
nào cung cꢕp là cao hꢅn.
Giꢆi: Gꢉi H1 là biꢊn cꢐ sꢍn phꢣm khách mua do công ty A cung cꢉp và H2 là biꢊn cꢐ sꢍn
phꢣm khách mua do công ty B cung cꢉp. Khi ꢃó H1 và H2 là hꢀ ꢃꢟy ꢃꢋ và P(H1) = 0,55;
P(H2) = 0,45.
a/ Gꢉi X là biꢊn cꢐ khách mua ꢄꢂꢃc chính phꢣm. Ta có
P(X) = P(H1).P(X/H1) + P(H2).P(X/H2)
= 0,55. 0,98 + 0,45. 0,97 = 0,9755.
b/ Ta có
P(H1 / X ) = Xác suꢕt ꢃꢇ phꢊ phꢓm khách mua do công ty A cung cꢕp
P(H1).P(X / H1) 0,55.0,02
=
=
= 0,4489
1− 0,9755
P(X )
P(H2 / X ) = Xác suꢕt ꢃꢇ phꢊ phꢓm khách mua do công ty B cung cꢕp
= 1- P(H1 / X ) = 0,5511.
Vꢎy khꢆ nꢦng phꢊ phꢓm khách mua do công ty B cung cꢕp là cao hꢅn.
Thí dụ 2:
Xí nghiꢀp có hai dây chuyꢄn cùng lꢍp ráp mꢂt loꢑi sꢆn phꢓm vꢗi tꢨ lꢀ phꢊ phꢓm tưꢅng
ꢣng là 2% và 3%. Mꢂt khách hàng mua (lꢟn lưꢈt) 2 sꢆn phꢓm cꢋa xí nghiꢀp ꢃó. Tìm xác
suꢕt ꢃꢇ khách hàng mua ꢃưꢈc:
a/ 2 chính phꢓm
b/ 1 chính phꢓm.
Giꢆi: Gꢉi H1 là biꢊn cꢐ khách mua ꢄꢂꢃc 2 sꢍn phꢣm cꢙa dây chuyꢏn 1; H2 là biꢊn cꢐ
khách mua ꢄꢂꢃc 2 sꢍn phꢣm cꢙa dây chuyꢏn 2 và H3 là biꢊn cꢐ khách mua ꢄꢂꢃc 1 sꢍn
phꢣm cꢙa dây chuyꢏn 1 và 1 sꢍn phꢣm cꢙa dây chuyꢏn 2. Khi ꢃó hꢀ H1, H2, H3 là ꢃꢟy ꢃꢋ
và P(H1) = 1/4, P(H2) = 1/4, P(H3) = 1/2
a/ Gꢉi A là biꢊn cꢐ khách mua ꢄꢂꢃc 2 chính phꢣm.
P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) + P(H3).P(A/H3).
= (1/4). 0,98. 0.98 + (1/4).0,97.0,97 + (1/2).0,98.0,97 = 0,951.
b/ Gꢉi B là biꢊn cꢐ khách mua ꢄꢂꢃc 1chính phꢣm và 1 phꢆ phꢣm.
P(B) = P(H1).P(B/H1) + P(H2).P(B/H2) + P(H3).P(B/H3).
= (1/4). 2. 0,98. 0.02 + (1/4).2. 0,97.0,03
+ (1/2). (0,98.0,03 + 0,02.0,97)
= 0,04875.
b) Các công Bernoulli
Cho mꢂt phép thꢌ và A là biꢊn cꢐ nào ꢃó cꢋa phép thꢌ. Giꢆ sꢌ ta thꢁc hiꢀn phép thꢌ này
n lꢟn mꢂt cách ꢃꢂc lꢎp thì ta ꢃưꢈc mꢂt dãy n phép thꢌ ꢃꢂc lꢎp.
Nꢊu P(A) = p không thay ꢄꢘi trong mꢛi lꢟn thꢁc hiꢀn phép thꢌ thì dãy n phép thꢌ ꢃó gꢉi
là mꢂt lưꢈc ꢃꢔ Bernoulli.
Ký hiꢀu: B(n,p).
Kết quả: Cho lưꢈc ꢃꢔ Bernoulli B(n,p). Xác suꢕt ꢃꢇ trong n lꢟn thꢁc hiꢀn phép thꢌ kꢇ
trên biꢊn cꢐ A xꢆy ra ꢄúng k lꢟn là:
P (k) = Cnk pk (1− p)n−k .
n
Thí dụ 1:
Mꢂt công nhân quꢆn lý 6 máy dꢀt ꢃꢂc lꢎp nhau. Xác suꢕt ꢃꢇ trong khoꢆng thꢘi gian T mꢛi
máy dꢀt cꢟn sꢁ chꢦm sóc cꢋa công nhân ꢃó là 0,3. Tìm xác suꢕt ꢃꢇ trong thꢘi gian T:
a/ Có ꢃúng 4 máy cꢟn chꢦm sóc.
b/ Có ít nhꢕt 4 máy cꢟn chꢦm sóc.
Giꢆi: Bài toán thꢧa mãn lưꢈc ꢃꢔ Bernoulli B(n, p) vꢗi n = 6 và p = 0,3. ꢲ ꢃây, trong
khoꢆng thꢘi gian T, mꢛi máy dꢀt cꢟn sꢁ chꢦm sóc cꢋa cô công nhân hay không là mꢂt
ꢳꢴꢵꢳꢶꢷꢴꢌꢶꢸꢹꢶꢺꢻꢶꢼꢶꢽꢾꢿꢶꣀꢀꢷꢶꣁꢴưꢶꢷꢴꢊꢶꢷꢣꢺꢶꣂꢹꢶꢺꢻꢶꢼꢶꢳꢴꢵꢳꢶꢷꢴꢌꣃꢶꣁ꣄ꣅꢹꢶꢶꢾꢺꢶꢕꢷꢶꢺꢟꣁꢶꢁꢶꢺꢴꢦꢽꢶꢻꢺꢶ
cꢋa mꢛi máy dꢀt là không ꢃꢜi và bꢫng 0,3.
a/ Ta cꢟn tính P6(4) = C64 (0,3)4 (1− 0,3)6−4 = 0,05954
b/ Ta cꢟn tính P6(4) + P6(5) + P6(6) vꢗi:
P6(4) = 0,05954 , P6(5) = C65 (0,3)5 (1 0,3)6−5 , P6(6) = C66 (0,3)6 (1 0,3)6−6
− − ,
và do ꢃó P6(4) + P6(5) + P6(6) = 0,0705.
Thí dụ 2:
Thꢐng kê cho biꢊt xác suꢕt ꢃꢇ xꢑ thꢋ bꢍn trúng mꢪc tiêu là 0,4. Vꢗi xác suꢕt không nhꢧ
hꢅn 0,9 xꢑ thꢋ ꢕy cꢟn bꢍn ít nhꢕt bao nhiêu lꢟn ꢃꢇ có ít nhꢕt mꢂt lꢟn trúng mꢪc tiêu.
Giꢆi: Gꢉi n là sꢐ lꢟn ít nhꢕt xꢑ thꢋ bꢍn ꢃꢇ thꢧa mãn bài toán. Ta cꢟn tìm n. Gꢉi A là biꢊn
cꢐ trong n lꢠn bꢎn có ít nhꢉt mꢀt lꢠn trúng mꢨc tiêu. Khi ꢃó
không có lꢠn nào trúng mꢨc tiêu. Ta có
A
là biꢊn cꢐ trong n lꢠn bꢎn
Tải về để xem bản đầy đủ
136 trang
27000
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất và thống kê toán (Nâng cao) - Trần Nhân Tâm Quyền", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_xac_suat_va_thong_ke_toan_nang_cao_tran_nhan_tam_q.pdf
