Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp)
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích 1
Chương 1: Giới hạn và liên tục
(tiếp theo)
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
Định nghĩa (vô cùng lớn)
x x
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi
0
nếu
lim f (x) .
xx0
Ví dụ
f (x) 2x2 3cos x
là một vô cùng lớn khi , vì
lim 2x2 3cos x .
x
Định nghĩa
x x
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi
f (x)
.
0
lim k.
Giả sử
xx0
g(x)
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x).
f (x) (g(x))
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCL cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương.
f (x) g(x)
Qui tắc ngắt bỏ VCL
Toång höõu haïn caùc VCL
lim
xx0
Toång höõu haïn caùc VCL
VCL baäc cao nhaát cuûa töû
lim
xx0
VCL baäc cao nhaát cuûa maãu
Ví dụ
x2 4 2x 3 x
x2 4 x
I lim
x
x
Tử là tổng của ba VCL: x2 4 2x 3 x
3x
x
x2 4 x
2x
Mẫu là tổng của hai VCL:
3x 3
I lim
x
3. Liên tục của hàm số
Định nghĩa
Hàm
x
được gọi là liên tục tại , nếu xác định
y f (x)
0
lim f (x) f (x0 ).
tại điểm này và
xx0
Định nghĩa
điểm này.
thì f(x) tiến
đến f(a).
Khi x tiến đến a.
đồ thị liền nét (không đứt đoạn) tại điểm (a, f(a)).
Định nghĩa
y f (x)
x
Cho là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số
0
1) Điểm gián đoạn loại một:
giới hạn trái f(x0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn.
x0 là điểm khử được: f(x0-) = f(x0+)
f (x0 ) f (x0 )
x0 là điểm nhảy:
h f (x0 ) f (x0 )
bước nhảy:
2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một.
Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại
hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng.
x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được.
f (x) x
x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn không khử được.
x = 0 là điểm gián đoạn loại hai.
Tính chất của hàm số liên tục
y f (x), y g(x)
x
Cho
là hai hàm liên tục tại , khi đó
0
1) f (x); f (x) g(x); f (x) g(x)
f (x)
liên tục tại x0.
g(x ) 0
2) Nếu
, thì
liên tục tại x0.
0
g(x)
Định lý
f (x ) 0
0
lân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này.
Định lý (Bozano- Côsi)
y f (x)
Nếu
thì
liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B
x a,b
f (x0 ) C.
sao cho
tồn tại
C [A,B]
0
Hệ quả
tồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0.
Định nghĩa
Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản:
y x
1/ hàm hằng
2/ hàm lũy thừa
y ax ;a 0,a 1
3/ hàm mũ
y loga x; (a 0,a 1)
4/ hàm logarit
5/ hàm lượng giác 6/ hàm lượng giác ngược
7/ hàm hyperbolic
Định nghĩa
Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản
bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ,
nhân, chia, khai căn và phép hợp.
Định lý
Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.
1
y sin3x ln
là hàm sơ cấp
2 x
Vậy nó liên tục trên toàn miền xác định: x > -2.
Ví dụ Khảo sát tính liên tục
sin x
, x 0
f (x)
x
1, x 0
sin x
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ
x 0, f (x)
sin x
sin x
lim 1 lim f (0)
Tại x = 0:
x0
x0
Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R.
Ví dụ Khảo sát tính liên tục
sin x
, x 0
x
f (x)
1, x 0
sin x
x 0, f (x)
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ
x
sin x sin x
Tại x = 0:
lim 1 lim 1
x0
x0
x
x = 0 là điểm nhảy.
h f 0 f 0 1 (1) 2.
Bước nhảy:
Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn
1
f (x) arctan
D R \ 0
Tập xác định:
f
1
1
Tại x = 0:
x = 0 là điểm nhảy.
lim arctan
lim arctan
x0
x0
h f 0 f 0 ( ) .
Bước nhảy:
Ví dụ Khảo sát điểm gián đoạn
1
f (x) xarctan
Tập xác định:
D R \ 0
f
1
1
Tại x = 0:
lim xarctan 0 lim xarctan 0
x0
x0
x = 0 là điểm gián đoạn khử được.
Ví dụ Tìm a, b để hàm liên tục trên
/ 2;3 / 2
xcos(x/2)
sin x
f (x) a,
, x /2,3 / 2 , x 0, x
x 0
x
b,
xcos(x/ 2)
lim f (x)
lim
1
x0
x0
xcos(x/ 2)
lim f (x)
b .
lim
x
x
Tải về để xem bản đầy đủ
31 trang
15/01/2024
13440
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (Tiếp)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_giai_tich_1_chuong_1_gioi_han_va_lien_tuc_tiep.pdf
