Phân tích động lực học tấm composite cơ tính biến thiên theo lý thuyết chuyển vị bậc ba có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực
PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC TẤM COMPOSITE CƠ TÍNH BIẾN
THIÊN THEO LÝ THUYẾT CHUYỂN VỊ BẬC BA CÓ XÉT ĐẾN
ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ
Đỗ Văn Thơm1, Phạm Tiến Đạt1, Nguyễn Đức Thuận2, Lê Quang Hòa3*
Tóm tắt: Trong bài báo, sử dụng nguyên lý Hamilton kết hợp với phương pháp
phần tử hữu hạn (PTHH) để thiết lập phương trình dao động cưỡng bức cho tấm
FGM theo lý thuyết chuyển vị bậc 3 chịu tải trọng biến đổi điều hòa có xét đến nhiệt
độ. Kết quả tính toán có khảo sát sự ảnh hưởng của vật liệu, kết cấu, nhiệt độ đến
phản ứng động của tấm.
Từ khóa: Dao động cưỡng bức; Tấm FGM; Chuyển vị bậc ba.
1. MỞ ĐẦU
Vật liệu composite cơ tính biến thiên (FGM) ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong
các lĩnh vực y học, vũ khí, xây dựng lò phản ứng hạt nhân, vũ trụ,... Việc nghiên cứu tính
toán các kết cấu tấm vỏ làm bằng vật liệu FGM theo lý thuyết chuyển vị bậc cao được sự
quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước như [5,9]. Nuttwit [5] sử
dụng lý thuyết bậc cao đơn giản và xét trong trường hợp tấm có nhiệt độ mặt trên mặt dưới
như nhau, nhóm tác giả Trần Minh Tú [9] dùng phương pháp giải tích xét cho bài toán dao
động riêng tấm FGM. Trong bài báo này, tác giả trình bày thuật toán phần tử hữu hạn
(PTHH) phân tích động lực học cho tấm FGM có lỗ giảm yếu theo lý thuyết biến dạng bậc
cao có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ, trong đó, nhiệt độ mặt trên và mặt dưới khác nhau,
các đặc trưng cơ tính cũng thay đổi theo nhiệt độ. Kết quả nghiên cứu có thể tham khảo
khi tính toán các kết cấu làm bằng vật liệu FGM có lỗ giảm yếu.
2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Xét một tấm chữ nhật làm bằng vật liệu composite có cơ tính biên thiên và có lỗ giảm
yếu hình tròn (hình 1), vật liệu tấm được pha trộn bởi 2 thành phần là kim loại và gốm với
tỷ lệ biến đổi liên tục theo quy luật của hàm số mũ theo chiều dày tấm.
Hình 1. Mô hình tấm FGM có lỗ giảm yếu.
Đối với vật liệu composite có cơ tính biến thiên, theo [5] ta có:
n
2z h
2h
V V 1 và
(1)
Vc (z)
m
c
Trong đó, h - chiều dày của tấm; n - chỉ số mũ tỷ lệ thể tích (n 0); Vm , Vc - tương
ứng là tỷ lệ thể tích của kim loại và gốm.
156
Đ.V.Thơm, P.T.Đạt, N.Đ.Thuận, L.Q.Hòa, “Phân tích động lực học… của nhiệt độ.”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
Mô đun đàn hồi (E), hệ số poát xông ( ), hệ số giãn nở nhiệt ( ), khối lượng riêng ( ),
và hệ số dẫn nhiệt (K) của vật liệu FGM phụ thuộc theo chiều dày và nhiệt độ như sau [7]:
P T, z P (T) - P (T) .V (z) P (T)
(2a)
c
m
c
m
Trong đó, P là kí hiệu cho các đặc trưng cơ tính E, , α, ρ, K ; chỉ số c và m tương
ứng là của gốm và kim loại. Đặc trưng cơ tính của vật liệu biến đổi theo quy luật phi tuyến
của nhiệt độ [5]:
P T P P T 1 1 PT PT 2 PT3
(2b)
0
1
1
2
3
Với các hệ số P , P , P, P , P phụ thuộc từng vật liệu.
0
1
1
2
3
Nhiệt độ thay đổi theo chiều dày tấm [7]:
T z T (T -T ).(z)
(3)
m
c
m
Với Tc , Tm - Nhiệt độ bề mặt gốm và kim loại; Hàm phân bố nhiệt Γ(z) được xác
định theo [7] :
n1
2n1
2z h
2h
Kc3m
(3n 1)K3
Kcm
2z h
2h
Kc2m
2z h
m
-
(n 1)K
(2n 1)K2
2h
4n1
-
m
(4)
1
(z)
3n1
5n1
Kc4m
(4n 1)K4
2z h
2h
Kc5m
(5n 1)K5
2z h
2h
CT
2z h
2h
m
-
m
m
Kcm
Kc2m
Kc3m
Kc4m
Kc5m
CT = 1 -
;
(5a)
-
-
(n 1)Km (2n 1)Km2 (3n 1)Km3 (4n 1)Km4 (5n 1)Km5
Kcm Kc - Km
(5b)
trong đó, Kc và Km tương ứng là hệ số dẫn nhiệt của gốm và kim loại. Như vậy các đặc
trưng cơ lý của tấm là những đại lượng biến đổi theo nhiệt độ.
Biểu thức chuyển vị của một điểm M(x, y, z) có dạng đa thức bậc 3 của z và các hệ số
chỉ phụ thuộc vào (x, y) như sau [8,9] :
u x, y, z u0 (x, y) z. (x, y) z2. (x, y) z3. (x, y)
(6)
(7)
(8)
x
x
x
v x, y, z v0 (x, y) z. (x, y) z2. (x, y) z3. (x, y)
y
y
y
w x, y, z w0 (x, y) z. (x, y) z2. (x, y) z3. (x, y)
z
z
z
Với u0 ,v0 , w0 là các chuyển vị thẳng của mặt trung hoà; x , y , z là các chuyển vị
góc; x ,y ,z là các chuyển vị thẳng bậc cao; x ,y ,z là các thành phần chuyển vị góc
bậc cao.
Tấm chịu tải trọng có phương vuông góc với mặt phẳng của tấm. Để tính toán theo
phương pháp PTHH, tấm được chia thành các phần tử chữ nhật 4 nút. Theo phương pháp
PTHH, đối với bài toán động lực học tấm FGM, ta có phương trình cân bằng [4]:
(9)
M
q C q K q F
- tương ứng là ma trận khối lượng kết
trong đó,
,
,
,
, q ,
,
q
F
K
q
M
C
cấu, ma trận cản kết cấu, ma trận độ cứng của kết cấu, véctơ gia tốc nút kết cấu, véc tơ vận
157
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 43, 06 - 2016
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực
tốc nút kết cấu, véc tơ chuyển vị nút của kết cấu, và véc tơ tải trọng tổng thể (bao gồm cả
tải trọng cơ và tải trọng do biến dạng nhiệt).
3. XÁC ĐỊNH CÁC MA TRẬN PHẦN TỬ
Sử dụng phần tử chữ nhật 4 nút, mỗi nút có 12 bậc tự do (hình 2).
a) Phần tử đẳng tham số 4 nút
b) Phần tử tham chiếu
Hình 2. Phần tử tấm FGM đẳng tham số 4 nút và phần tử tham chiếu.
Ta có véc tơ chuyển vị nút của phần tử [5,7]:
T
q u ,v , w , , , , , , , , ,
;
i = 1- 4
(10)
zi
i
i
i
i
xi
yi
zi
xi
yi
zi
xi
yi
Véc tơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của phần tử u được xác định từ các hàm dạng
Ni và các thành phần chuyển vị nút của phần tử như sau :
4
u N . q
(11a)
(11b)
i
i
i1
N1 0,25(1 r)(1 s); N2 0,25(1 r)(1 s); N3 0,25(1 r)(1 s); N4 0,25(1 r)(1 s)
Trường biến dạng :
x u'x x0 zkx z2x z3x ; y u' y y0 zky z2y z3y ;
z w'z z0 zkz z2z z3z ; yz v'z w' y y0z zkyz z2yz z3yz ;
(12)
xz v'z w'x x0z zkxz z2xz z3xz ; xy u' y v'x x0y zkxy z2xy z3xy
Các thành phần biến dạng được viết lại dưới dạng ma trận như sau :
4
4
0 L u L . N q [B ] q
;
(13)
L u L . N q [B ] q
2
i
e
1
i
e
2
i
2
1
i
1
i1
i1
4
4
;
;
(14)
(15)
L u L . N q [B ] q
L u L . N q [B ] q
4
i
e
3
i
e
4
i
4
3
i
3
i1
i1
4
4
' L u L . N q [B' ] q
'
'
'
'
0 L u L
N q [B' ] q
i
e
i
e
i
2
i
2
2
1
1
1
i1
i1
158
Đ.V.Thơm, P.T.Đạt, N.Đ.Thuận, L.Q.Hòa, “Phân tích động lực học… của nhiệt độ.”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
4
4
'
'
' L u L . N q [B' ] q
'
'
;
(16)
(17)
' L u L
N q [B' ] q
4
i
e
3
i
e
4
3
i
4
i
3
i1
i1
Trong đó:
4
4
'
[ B ] = Lj.
N
; [ B' ]= L .
N
j
i
j
j
i
i1
i1
và q q ,..., q T - ma trận chuyển vị nút của phần tử.
e
1
4
với Lj, Lj’ – các ma trận vi phân.
Khi xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ, trường ứng suất [4,8]:
[C]
(18)
T
Trong đó: , , - tương ứng là véc tơ ứng suất, véc tơ biến dạng và véc tơ
T
T
biến dạng nhiệt; 1 1 1 0 0 0 ..E(z,T).T ; T - biến thiên nhiệt độ từ nhiệt
T
độ chuẩn không phát sinh ứng suất.
[C](6x6) là ma trận đối xứng có các thành phần Cij (i, j = 1-6) được xác định:
(1 2 ).E(z,T)
13 2 23
.(1).E(z,T)
13 2 23
E(z,T)
2(1)
C C22 C33
;C12 C13 C23
;C44 C55 C66
11
(19)
(20)
C C C16 C24 C25 C26 C34 C35 C36 C45 C46 C56 0;
14
15
T
1
T
T
Thế năng phần tử:
Ue
T
.dVe
u
p(t) .dS
e
2
Ve
Se
Thay các biểu thức (11) – (19) vào biểu thức (20), sau một số bước biến đổi ta thu được
biểu thức thế năng ở dạng cô đọng :
1
1
T
T
T .[K ]. q q
F
q T . F e 1 1 1 0 . A . 1 1 1 0 2.T 2
(21)
Ue
q
e e e T e e
e
2
2
Trong đó, ma trận độ cứng phần tử [Ke] được xác định như sau :
T
T
T
T
T
[B ] [A][B ][B ] [B][B2 ][B ] [D][B3 ][B ] [E][B4 ][B2 ] [B][B ]
1
1
1
1
1
1
[B ]T [D][B ][B ]T [E][B ][B ]T [F][B ][B ]T [D][B ][B ]T [E][B ]
2
2
2
3
2
4
3
1
3
2
[B3 ]T [F][B3 ][B3 ]T [G][B4 ][B4 ]T [E][B ][B4 ]T [F][B2 ]
1
(22)
T
T
T
T
[B4 ] [G][B3 ][B4 ] [H][B4 ][B '] [A'][B '][B '] [B'][B2 ']
1
1
1
[K ]
.dSe
e
[B ']T [D'][B '][B ']T [E '][B '][B ']T [B'][B '][B ']T [D'][B ']
Se
1
3
1
4
2
1
2
2
[B2 ']T [E '][B3 '][B2 ']T [F '][B4 '][B3 ']T [D'][B '][B3 ']T [E '][B2 ']
1
T
T
T
T
[B3 '] [F '][B3 '][B3 '] [G '][B4 '][B4 '] [E '][B '][B4 '] [F '][B2 ']
1
T
T
[B4 '] [G '][B3 '][B4 '] [H '][B4 ']
Với :
C
C12 C13
C
14
11
h/2
C22 C23 C24
A, B, D, E, F,G, H
1, z, z2 , z3, z4 , z5, z6 dz
(23)
159
C33
C
h/2
34
sym
C44
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 43, 06 - 2016
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực
h/2
C
C
56
55
A', B', D', E ', F ',G ', H '
1, z, z2 , z3, z4 , z5 , z6 dz (24)
C65 C66
h/2
Véc tơ tải phần tử do tải trọng ngoài F e được xác định theo [4]:
(25)
(26)
(27)
F
e
N . p(t) .dS
e
Se
Với p(t) là tải trọng phân bố đều vuông góc với mặt phẳng tấm.
Véc tơ tải phần tử do biến dạng nhiệt được xác định theo công thức:
T
T
T
T
F
T e
B
N
B
M
B
S
T
B
P
.dS .
1
T
2
T
3
4
T
e
Se
Trong đó,
C
C12 C13
C
1
11
14
h/2
C22 C23 C24
C33 C34
C44
1
1, z, z2 , z3 ..Tdz
N
,
M
,
S
,
P
T T T
T
1
h/2
0
sym
Theo [4], biểu thức động năng của phần tử :
T
1
1
T
T
e
(28)
(29)
q
Te
q
(T, z) N N dV
q
q
M
e
e
e
e e
2
2
Ve
Trong đó, ma trận khối lượng của phần tử được xác định theo công thức:
M
T . N .dV
(T, z) N
e
e
Ve
Hàm Hamilton được xác định theo công thức : He = Te – Ue
(30)
Áp dụng nguyên lý Hamilton cho phần tử, với giả thiết lực cản tỷ lệ thuận với vận tốc,
nhận được phương trình chuyển động của phần tử dưới dạng ma trận như sau:
••
F FT
(31)
M
q C q K
e e e e e e e
Trong đó, ma trận cản phần tử C được xác định qua các ma trận M , K theo
q
e
e
M K
r e r
e
e
công thức như sau [1]:
(32)
C
e
e
Với : r , r - là các hằng số cản Rayleigh. Các tích phân trong công thức (22), (25),
(26), (29) được tính bằng tích phân số cầu phương Gauss như trong [3]. Sau khi tập hợp
ma trận và khử điều kiện biên, ta thu được hệ phương trình (9), để giải (9) ta sử dụng
phương pháp tích phân trực tiếp Newmark. Chương trình tính toán giải hệ phương trình (9)
được lập trình bằng ngôn ngữ matlab. Như vậy, các ma trận được thành lập theo phương
pháp PTHH khi sử dụng lý thuyết chuyển vị bậc 3 có nhiều thành phần liên quan đến biến
dạng bậc cao, không cần tới hệ số hiệu chỉnh cắt như lý thuyết tấm của Mindlin, và cũng
không cần tích phân rút gọn khi tính ma trận độ cứng, phù hợp cho tính toán tấm có độ dày
trung bình và độ dày lớn, đây là ưu điểm nổi trội của lý thuyết chuyển vị bậc 3.
4. VÍ DỤ SỐ
4.1. Kiểm tra độ tin cậy
Để kiểm tra tính chính xác và độ tin cậy của kết quả nghiên cứu, ta xét một ví dụ như
sau: Tấm FGM (Si3N4/SUS304) hình chữ nhật có tỷ lệ các cạnh a và b với a = b = 0,2m;
chiều dày tấm h = 0,025m, liên kết tựa đơn tất cả các cạnh và có các thông số vật liệu như
160
Đ.V.Thơm, P.T.Đạt, N.Đ.Thuận, L.Q.Hòa, “Phân tích động lực học… của nhiệt độ.”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
trong bảng 4.1. Số mũ biến đổi thể tích giữa gốm và kim loại n = 1. Kết quả tính được tần
a2 / h (1 2 ) / E
số dao động riêng đầu tiên (không thứ nguyên)
1/2 như sau:
m
m
m
Theo kết quả các tác giả: = 7,571, theo tài liệu [5] (kết quả giải tích): = 7,599. Sai
khác: 0,37%. Như vậy kết quả tính toán đảm bảo độ tin cậy.
4.2. Khảo sát ảnh hưởng của một số yếu tố đến phản ứng động của tấm FGM
Xét tấm chữ nhật composite FGM có lỗ giảm yếu: Vật liệu gồm Silicon nitride (Si3N4)
và SUS403 có các đặc trưng cơ tính phụ thuộc nhiệt độ như trong bảng 4.1. Tấm có kích
thước axb = 0,5mx0,5m, chiều dày a/10, lỗ giảm yếu hình tròn tại chính giữa tấm có kích
thước R = a/10, chịu lực phân bố đều biến đổi điều hòa với biên độ tải trọng là 6.106 N/m2,
tần số biến đổi của tải trọng là 10 rad/s. Điều kiện đầu: t = 0: chuyển vị w, vận tốc, gia tốc
tại mọi điểm đều bằng không. Nhiệt độ chuẩn không phát sinh ứng suất nhiệt là 3000K.
Bảng 4.1. Đặc trưng cơ tính của vật liệu FGM [5].
P0
P-1
P1
P2
P3
P (300K)
Silicon nitride (Si3N4)
E (Pa)
348,43.109
5,8723.10-6
9,19
0
0
-3,070.10-4
9,095.10-4
2,160.10-7 -8,946.10-11 322,27.109
0
0
7,475.10-6
9,19
(1/K)
(W/mK)
0,24
0
0
0
0
0
0
0
0,240
(kg/m3)
2370
0
2370
Stainless (SUS304)
E (Pa)
201.04.109
12,330.10-6
12,04
0
0
3.079.10-4 -6.534.10-7
8,086.10-4
0
0
207,79.109
15,321.10-6
12,04
(1/K)
(W/mK)
0
0,326
0
0
-2,002.10-4 3,797. 10-7
0
0
0,318
(kg/m3)
8166
0
0
8166
+ Ảnh hưởng của lỗ giảm yếu:
Xét trường hợp tấm không có và có lỗ giảm yếu, tấm chịu liên kết ngàm tại bốn cạnh
ngoài. Bề mặt tấm FGM giàu kim loại có nhiệt độ 3000K, bề mặt tấm FGM giàu gốm có
nhiệt độ 5000K. Số mũ biến đổi thể tích giữa gốm và kim loại n = 1. Ta thu được kết quả
đồ thị chuyển vị tại nút nằm trên cạnh của lỗ tròn (a/2+R; b/2) như sau:
161
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 43, 06 - 2016
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực
x 10-4
2
1
co lo kh o et
kh o n g co lo kh o et
0
-1
-2
-3
-4
0
0.5
1
1.5
2
t (s)
Hình 3. Chuyển vị w tại điểm (a/2+R; b/2) của tấm FGM.
• Nhận xét: trong trường hợp tấm FGM chịu tải trọng phân bố đều vuông góc với mặt
trung bình của tấm với nhiệt độ các bề mặt khác nhau thì do ảnh hưởng của nhiệt độ nên
ban đầu tấm đã bị biến dạng. Chuyển vị lớn nhất trong trường hợp tấm có lỗ giảm yếu là
lớn hơn so với trường hợp tấm không có lỗ giảm yếu. Đồng thời, biến dạng nhiệt đối với
trường hợp tấm có lỗ giảm yếu cũng lớn hơn so với tấm không có lỗ.
+ Ảnh hưởng của nhiệt độ :
Xét tấm FGM có lỗ giảm yếu với kích thước như trên. Cho Tm = 3000K, số mũ biến
đổi thể tích n = 1, cho nhiệt độ bề mặt giàu gốm biến đổi từ 3000K đến 10000K, ta được đồ
thị biểu diễn sự biến đổi của chuyển vị nút có chuyển vị lớn nhất của tấm theo thời gian
như hình 4.
x 10-4
2
T c = 300(K )
T c = 500 (K )
T c = 700 (K )
0
T c = 1000 (K )
-2
-4
-6
-8
0
0.5
1
1.5
2
t (s)
Hình 4. Chuyển vị tại điểm (a/2+R; b/2) của tấm FGM trong
trường hợp nhiệt độ thay đổi.
• Nhận xét: Biên độ dao động tăng lên khi nhiệt độ tại bề mặt giàu gốm tăng lên.
Khi nhiệt độ trên bề mặt tấm giàu gốm tăng lên thì vị trí cân bằng dao động cũng tăng về
độ lớn do biến dạng nhiệt nhiều hơn.
+ Ảnh hưởng của chiều dày tấm
Xét tấm FGM có số mũ biến đổi n = 1, Tc= 500 0K, Tm = 3000K, thay đổi chiều dày
ta có đồ thị chuyển vị tại nút giữa tấm như sau:
162
Đ.V.Thơm, P.T.Đạt, N.Đ.Thuận, L.Q.Hòa, “Phân tích động lực học… của nhiệt độ.”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
x 10-3
1
h = a /2 0
h = a /1 5
h = a /1 0
h = a /5
h = a/4
0 .5
0
-0 .5
-1
-1 .5
0
0.5
1
1.5
2
t (s)
Hình 5. Sự phụ thuộc biên độ điểm (a/2 + R; b/2) của tấm theo chiều dày h của tấm FGM.
• Nhận xét: Như vậy biên độ chuyển vị và ứng suất tại điểm xét tăng dần khi giảm
dần chiều dày h của tấm, điều đó chứng tỏ độ cứng của tấm giảm đi. Sự thay đổi mạnh khi
chiều dày tấm biến đổi từ a/15 đến a/20.
+ Ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích vật liệu của gốm và kim loại:
Xét tấm FGM có chiều dày a/4, Tc = 500 0K, Tm = 300 0K, thay đổi số mũ tỷ lệ thể
tích n ta có đồ thị biên độ dao động tại điểm (a/2 + R; b/2) của tấm như sau:
x 10 -4
-0.4
n = 0
n = 0.5
n = 1
-0.6
n = 2
n = 5
-0.8
n = 7
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
n = 10
0
0.5
1
1.5
2
t (s)
Hình 6. Sự phụ thuộc biên độ điểm (a/2 + R; b/2) của tấm FGM theo số mũ n.
• Nhận xét: Khi thay đổi số mũ n trong khoảng từ 0 đến 10 thì kết quả tính toán cho thấy
biên độ dao động của tấm tại điểm khảo sát tăng lên khi n tăng lên, điều này chứng tỏ “độ
cứng” của tấm khi uốn giảm xuống. Đồng thời vị trí cân bằng cũng thay đổi khi n biến đổi.
5. KẾT LUẬN
Dựa trên nguyên lý Hamilton và phương pháp phần tử hữu hạn, bài báo đã xây dựng
phương trình động lực học cho tấm FGM có lỗ giảm yếu theo lý thuyết biến dạng bậc 3
hoàn chỉnh, khảo sát một số ví dụ cụ thể xác định phản ứng động của tấm FGM có lỗ giảm
yếu có kể đến cả tải trọng cơ và ảnh hưởng của nhiệt độ. Khi tăng nhiệt độ bề mặt giàu
gốm, giảm chiều dày tấm và tăng số mũ n cho thấy biên độ dao động tại (a/2 + R; b/2)
của tấm tăng lên. Kết quả có thể tham khảo khi tính toán thiết kế tấm FGM có lỗ giảm yếu
với tỷ lệ kích thước bất kỳ.
163
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 43, 06 - 2016
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. “Advanced Dynamic of Structures”, NTUST-CT 6006, (2006).
[2]. Hoàng Xuân Lượng, Phạm Tiến Đạt, “Nghiên cứu bài toán tấm nhiều lớp composite
bằng phương pháp số”, Tuyển tập CTKH Hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn
quốc lần thứ V, Hà Nội, 29-30/11/1996, Tr. 356-362.
[3]. Bich D.H., Dung D.V, Nam V.H. (2012), “Nonlinear Dynamical analysis of
eccentrically stiffened functinally graded cylindrical panels”, Composite Structures
94, pp. 2465-2473.
[4]. Chu Quốc Thắng, “Phương pháp phần tử hữu hạn”, NXB KH&KT, Hà Nội, 1997.
[5]. Nuttwit Wattanasakulpong, Gangadhara B Prusty and Donald W Kelly, “Free and
forced vibration analysis using improved third-order shear deformation theory for
fuctionnally graded plates under high temperature loading”, Journal of Sandwich
Structures and Materials 15, 2013, pp. 583-606.
[6]. Reddy J. N, “Analysis of Functionally Graded Plates” / J. Number Method Eng.
Theory and Analysis, CRC, Vol. 47, 2000, pp. 663-684.
[7]. Tsung-Lin WU, K. K. Shukla, “Nonlinear Static and Dynamic Analysis of Functionally
Graded Plates” / J. of Applied Mechanics and Engineering, Vol. 11, No. 3, 2006, pp.
679-698.
[8]. Ngô Như Khoa, “Mô hình hóa và tính toán số vật liệu kết cấu tấm composite lớp”, Luận
án Tiến sĩ kỹ thuật, Hà Nội, 2001.
[9]. Dương Thành Luân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, “Phân tích dao động riêng tấm bằng
vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT)”, Tạp
chí Khoa học và Phát triển 2015, tập 13, số 1, Tr. 99-109.
ABSTRACT
DYNAMIC ANALYSIS OF COMPOSITE FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL
PLATE WITH A HOLE BASED ON HIGHER-ORDER SHEAR DEFORMATION
THEORY IN THERMAL ENVIRONMENT
In this paper, using the principle of Hamilton combined with finite element
method to establish equations for plate oscillations FGM Forced displacement
theory level 3 load harmonic transformations taking into temperature. Calculation
results have been investigated the influence of the material, texture, temperature
reaction of the plate.
Keywords: Dynamic Analysis; Functionally Graded Plates; Third Order Shear Deformation Theory.
Nhận bài ngày 22 tháng 01 năm 2016
Hoàn thiện ngày 16 tháng 3 năm 2016
Chấp nhận đăng ngày 09 tháng 6 năm 2016
Địa chỉ: 1Bộ môn Cơ học Vật rắn, Khoa Cơ khí, Học viện Kỹ thuật quân sự;
2Viện Tên lửa – Viện Khoa học và Công Nghệ quân sự;
3Phòng Kỹ thuật – Viện Khoa học và Công Nghệ quân sự.
*E-mail: [email protected].
164
Đ.V.Thơm, P.T.Đạt, N.Đ.Thuận, L.Q.Hòa, “Phân tích động lực học… của nhiệt độ.”
9 trang
13/01/2024
11700
Free
Bạn đang xem tài liệu "Phân tích động lực học tấm composite cơ tính biến thiên theo lý thuyết chuyển vị bậc ba có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- phan_tich_dong_luc_hoc_tam_composite_co_tinh_bien_thien_theo.pdf
