Bài tập Vật lý đại cương 1 - Chương 12: Dao động
BÀI TẬP CHƯƠNG 12. DAO ĐỘNG
Tóm tắt lý thuyết:
1. Dao động điều hòa
Phương trình dao động: x = Acos ω t + ϕ , A > 0
(
)
0
x – li độ (độ dời);
A – biên độ;
ω0 - tần số góc;
ω0t + ϕ - pha dao động;
ϕ
- pha ban đầu;
2π
T0 =
- chu kỳ;
ω0
1
ω0
ν0 =
=
ν
- tần số. (chữ được phiên âm /nju:/ - đọc thế nào tùy các bạn)
T0 2π
dx
π
2
Vận tốc: v =
= −ω Asin ω t + ϕ = ω Acos ω t + ϕ +
(
)
0
0
0
0
dt
dv
dt
Gia tốc: a =
= −ω2Acos ω t + ϕ = −ω2x = ω2Acos ω t + ϕ + π
(
)
(
)
0
0
0
0
0
Năng lượng dao động điều hòa:
Cơ năng: W = Wd + W
t
Con lắc lò xo:
1
1
1
1
W = kA2 sin2 ω t + ϕ + kA2 cos2 ω t + ϕ = kA2 = mω2A2
(
)
(
)
0
0
0
2
2
2
2
Con lắc vật lý
Là một vật rắn khối lượng M, quay xung quanh một trục cố
định O nằm ngang. G là khối tâm, cách O một đoạn d.
Mgd
Tần số góc: ω0 =
I
I – là mômen quán tính của con lắc với trục O.
I
Chu kỳ: T0 = 2π
Mgd
Trường hợp riêng: con lắc đơn:
Mgd
I
Mgl
Ml2
g
l
ω0 =
=
=
2. Dao động cơ tắt dần
Phương trình dao động: x = A e−βt cos ωt + ϕ
,
0
1
trong đó: ω = ω02 −β2 - tần số góc của dao động tắt dần
2π
ω
2π
ω02 −β2
T =
=
- chu kỳ của dao động tắt dần
A = A0e−βt - là biên độ của dao động tắt dần, giảm dần theo thời gian.
A0e−βt
A t
( )
Giảm lượng loga:δ = ln
= ln
= lneβT = βT
A0e−β t+T
(
)
A t + T
3. Dao động cơ cưỡng bức
Phương trình: x = Acos Ωt + Φ
(
)
H
Biên độ: A =
;
2
m Ω2 − ω2 + 4β2Ω2
0
−2βΩ
Pha ban đâu:tanΦ =
Ω2 − ω02
Với điều kiện: ω02 − 2β2 > 0
Tần gố góc cộng hưởng:
Giá trị: Ωch = ω02 − 2β2 tại đó biên độ dao động cưỡng bức đạt trị số cực đại.
H
Amax
=
2mβ ω02 −β2
4. Dao động điện từ điều hòa
Phương trình dao động của dòng điện: I = I cos ω t + ϕ
(
)
0
0
1
Tần số góc riêng: ω0 =
2π
LC
Chu kỳ riêng: T =
= 2π LC
ω0
I0
ω0
π
2
Phương trình dao động của điện tích: q = cos ω0t + ϕ −
q
I0
π
2
Phương trình dao động của hiệu điện thế giữa 2 bản tụ: u =
=
cos ω0t + ϕ −
C Cω0
5. Dao động điện từ tắt dần
Phương trình dao động của dòng điện: I = I e−βt cos ωt + ϕ
(
)
0
1
R
2
Tần số góc: ω = ωo2 −β2 =
−
LC
2L
2
2π
ω
2π
Chu kỳ: T =
=
2
1
R
−
LC
2L
6. Dao động điện từ cưỡng bức
Phương trình dao động của dòng điện: I = I cos Ωt + Φ
(
)
0
1
ΩL −
ε0
ΩC
I0 =
và cotΦ = −
2
R
1
R2 + ΩL −
ΩC
2
1
Đặt Z = R2 + ΩL −
- gọi là tổng trở của mạch dao động.
ΩC
ZL = ΩL- cảm kháng
1
ZC =
- dung kháng
ΩC
Cộng hưởng điện:
1
1
ε0
R
ΩL −
= 0 → Ωch =
= ω0 I0max =
ΩC
LC
7. Tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
x = a cos ωt + ϕ
1
1
1
x = a cos ωt + ϕ
2
2
2
a = a12 + a22 + 2a1a2 cos∆ϕ
a1 sinϕ1 + a2 sinϕ2
a1 cosϕ1 + a2 cosϕ2
tanϕ =
8. Tổng hợp hai dao động điều hòa có phương vuông góc với nhau
x = a cos ωt + ϕ
1
1
1
x = a cos ωt + ϕ
2
2
2
x2 y2
a12 a22
xy
+
− 2
cos ϕ − ϕ = sin2 ϕ − ϕ
(
)
(
)
2
1
2
1
a1a2
Các trường hợp đặc biệt:
a) ϕ2 − ϕ1 = 2kπ
x
y
−
= 0 đường thẳng trên góc phần tư 1 và 3
a1 a2
b) ϕ − ϕ = 2k +1 π
2
1
3
x
y
+
= 0 đường thẳng trên góc phần tư 2 và 4
a1 a2
π
2
c) ϕ − ϕ = 2k +1
(
)
2
1
x2 y2
+
= 0 đường elip vuông
a12 a22
Nếu a1 = a2 đường tròn
BÀI TẬP
8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.7, 8.8, 8.12, 8.13, 8.14, 8.15, 8.17, 8.18, 8.19, 8.21, 8.23, 8.24, 8.26, 8.27
Bài 8.2. một chất điểm dao động điều hòa với T = 24 s, pha ban đầu bằng 0. Hỏi tại những thời
điểm nào (trong thời gian một chu kỳ đầu) li độ có giá trị tuyệt đối bằng 1/2 biên độ dao động.
Bài giải:
Phương trình dao động: x = Acosω0t
2π 2π
π
Ta có: ω0 =
=
=
rad/s
T
24 12
A
1
πt
x = Acosω0t = ± ⇒ cosω0t = ± ⇒ cos = ± ⇒ = ± + kπ ⇒ t = ±4 +12k
12 12
1
πt
π
3
2
2
2
Với điều kiện trong 1 chu kỳ, 0 ≤ t ≤ T = 24 s
Dễ thấy các giá trị sau đây thỏa mãn:
t = 4 + 0 = 4 s.
t = +4 + 12 = 16 s.
t = -4 + 12 = 8 s
t = -4 + 24 = 20 s.
π
3
Ngoài ra phương pháp đường tròn (hình vẽ). Dễ dàng xác định được góc α = . Ta thấy có 4 vị
A
trí thỏa mãn điều kiện x = ±
.
2
4
Bài 8.3. một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ T = 2 s, biên độ a = 50 mm. Tìm vận tốc
của chất điểm tại vị trí của li độ bằng 1/2 biên độ dao động.
Bài giải:
2
v
Sử dụng hệ thức độc lập: x2 +
= A2
ω
Suy ra: v = ω A2 − x2
1
1
3
3 2π
2 T
3 2π
2 2
Với x = A ⇒ v = ω A2 − A2 =
ωA =
A =
50 =136 mm/s
2
4
2
π
3
Bài 8.7. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ dao động T = 2 s, pha ban đầu ϕ = . Năng
lượng toàn phần W = 3.10-5 J và lực tác dụng lên chất điểm lúc lớn nhất bằng 1,5.10-3 N. Viết
phương trình dao động của chất điểm.
Bài giải:
Phương trình dao động sẽ có dạng: x = Acos ωt + ϕ
2π 2π
ω =
=
= π rad/s
T
2
mω2A2
Ta có: W =
2
Lực tác dụng: F = ma = −mω2x , lực tác dụng cực đại là Fmax = mω2A
2W 2.3.10−5
Suy ra: A =
=
= 4.10−2 m = 4 cm.
Fmax 1,5.10−3
π
3
Phương trình dao động: x = 4cos πt +
cm.
Bài 8.12. Biên độ dao động tắt dần sau thời gian t1 = 20 s giảm đi n1 = 2 lần. Hỏi sau thời gian
t2 = 1 phút nó giảm đi bao nhiêu lần?
Bài giải:
A
Ta có: A = A0e−βt ⇒ e−βt =
A0
A1
A0
1
A2
A0
Suy ra: e−βt
=
= ;e−βt
=
1
2
2
Ta có: t2 = 60 s,t1 = 20 s ⇒ t2 = 3t1
3
A2
1
= e−βt = e−3βt = e−βt
=
2
1
1
(
)
A0
8
Bài 8.13. Phương trình của một dao động tắt dần có dạng: x =10.2−0,2t.cos8πt cm
Tìm biên độ dao động sau N = 10 dao động toàn phần.
Bài giải:
5
2π 2π
ω 8π
Chu kỳ: T =
=
= 0,25 s
Thời gian 10 dao động: t = 10T = 2,5 s
Thay vào có: A =10.2−0,2.2,5 = 7,07 cm.
1
Bài 8.15. Cho hệ số tắt dần của dao động là β =
Bài giải:
s−1 . Tính thời gian để biên độ giảm đi e lần:
100
A0
1
A = A0e−βt ⇒
= eβt = e ⇒ βt =1⇒ t = =100 s
A
β
Bài 8.17. Biết rằng vận tốc v = 20 m/s thì khi chạy qua các chỗ nối của đường ray xe lửa bị rung
nhiều nhất. Mỗi lò xo của toa xe chịu một khối lượng nén là M = 5 tấn. Chiều dài của mỗi thanh
ray là l = 12,5 m. Hãy xác định hệ số đàn hồi của lò xo?
Bài giải:
Đây là một bài liên quan đến dao động cưỡng bức. Trong đó dao động riêng là dao động của lò
xo toa xe, lực cưỡng bức là do đường ray tác dụng lên mỗi lúc xe lửa qua chỗ nối. Xe lửa bị rung
nhiều nhất tức là xảy ra hiện tượng cộng hưởng, tức là tần số dao động riêng của lò xo toa xe với
tần số lực cưỡng bức của đường ray tác dụng lên toa xe là bằng nhau.
l 12,5
Chu kỳ của lực cưỡng bức là: T = =
= 0,625 s, khi xảy ra cộng hưởng thì đây là chu kỳ
v
20
của dao động riêng:
2π
k
2π
4π2M 4π2.5000
ω =
⇒
=
⇒ k =
=
= 512000 N/m
T
M
T
T2
0,6252
Bài 8.23. Một mạch dao động điện từ có điện dung C = 0,25 µF, hệ số tự cảm L = 1,015 H và
điện trở r = 0. Ban đầu hai cốt của tụ điện được tích điện đến Q0 = 2,5.10−6 C
a) Viết phương rình dao động điện từ của mạch đối với điện tích Q và dòng điện i;
b) Năng lượng của mạch;
c) Tần số dao động của mạch.
Bài giải:
1
1
ω =
=
≈ 2.103 s
1,015.0,25.10−6
LC
Phương trình dao động của q có dạng:
q = Q cos ωt + ϕ
0
Tại thời điểm ban đầu t = 0: q = Q0 suy ra: cosϕ =1→ ϕ = 0
q = 2,5cos 2.103 t µC = 2,5.10−6 cos 2.103 t
F
( )
(
)
dq
dt
π
2
Dòng điện: i =
= −2,5.10−6.2.103 sin 2.103 t = 5.10−3 cos 2.103 t +
A
( )
(
)
6
2
2,5.10−6
Q02
(
)
Năng lượng: W =
=
=1,25.10−5 J
( )
2C 2.0,25.10−6
ω
2π
2.103
Tần số: ν =
=
≈ 318,3 Hz
2π
Bài 8.24. Một mạch dao động có hệ số tự cảm là 1 H, điện trở của mạch có thể bỏ qua. Điện tích
trên cốt của tụ điện biến thiên theo phương trình:
5
q =
.10−5 cos400πt C
( )
π
Tìm:
a) Chu kỳ dao động của mạch;
b) Điện dung của mạch;
c) Cường độ dòng điện trong mạch;
d) Năng lượng điện từ của mạch.
Bài giải:
2π
ω
2π
400π
a) chu kỳ dao động: T =
=
= 0,005 s
( )
1
1
1
b) điện dung của mạch: ω =
⇒ C =
=
= 0,633.10−6 F = 0,633 µF
( )
(
)
2
ω2L
LC
400π .1
(
)
c) Cường độ dòng điện:
dq
dt
5
π
2
i =
= −400π
10−5 sin400πt = 0,02cos 400πt +
A
( )
π
d) Năng lượng điện từ:
2
5
.10−5
Q02
π
W =
=
= 2.10−4
J
( )
2C 2.0,633.10−6
Bài 8.26. Một mạch dao động có điện dung C = 0,405 µF, hệ số tự cảm L = 10-2 H và điện trở R
= 2 . Tìm:
Ω
a) Chu kỳ dao động của mạch;
b) Sau thời gian một chu kỳ, hiệu điện thế giữa 2 cốt của tụ điện giảm bao nhiêu lần?
Bài giải:
a) Chu kỳ dao động của mạch:
2π
ω
2π
ω02 −β2
2π
2π
T =
=
=
=
= 4.10−4
s
( )
2
2
1
R
1
2
−
−
LC
2L
10−2.0,405.10−6
2.10−2
b) ta có:
U t = U e−βt ;U t + Τ = U e−β t+T
(
)
0
0
7
2.4.10−4
RT
U t
( )
−2
Suy ra:
= eβT = e 2L = e 2.10 =1, 04 (lần)
U t + T
(
)
Bài 8.27. Một mạch dao động có điện dung C = 1,1.10-9 F, hệ số tự cảm L = 5.10-5 H và giảm
lượng loga δ = 0,005. Hỏi sau thời gian bao lâu thì năng lượng điện từ trong mạch giảm đi 99%.
Bài giải:
1
1
Chu kỳ dao động riêng: ω0 =
=
= 4,264.106 rad/s
5.10−5.1,1.10−9
LC
(
)
Q2t Q02e−2βt
Q2t+∆t Q02e−2β t+∆t
Năng lượng: W t =
( )
=
;W t + ∆t =
=
(
)
2C
2C
2C
2C
Năng lượng giảm đi 99% nghĩa là:
e−2β t+∆t
1
1
(
)
W t + ∆t
(
)
1
=
⇒
=
⇒ e−2β∆t
=
W t
100
e−2βt
100
100
( )
ln10
⇒ β∆t = ln10 ⇒ ∆t =
Việc còn lại là đi tính
β
β
:
2π
δ = βT = β
⇒ δ ω2 −β2 = 2πβ ⇒ δ2 ω2 −β2 = 4π2β2
(
)
0
0
ω02 −β2
δ2ω02
δω0
4π2 + δ2
0,005.4,264.106
⇒ β2 =
⇒ β =
=
=
3393 (s-1)
4π2 + δ2
ln10
4π2 + 0,0052
∆t =
= 6,79.10−4
s
( )
3393
8
8 trang
27560
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập Vật lý đại cương 1 - Chương 12: Dao động", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_vat_ly_dai_cuong_chuong_12_dao_dong.pdf
