Giáo trình Nhập môn hiện đại xác suất & thống kê

Hanoi Center for Financial and Industrial Mathematics

Trung Tâm Toán Tài Chính và Công Nghiệp Hà Nội

NHẬP MÔN HIỆN ĐẠI

XÁC SUẤT & THỐNG KÊ

Đỗ Đức Thái và Nguyễn Tiến Dũng

Hà Nội – Toulouse, 2010

ii

Bản thảo này: Ngày 22 tháng 8 năm 2010

c

� Prof. Dr. Do Duc Thai & Prof. Dr. Nguyen Tien Zung

Hanoi Center for Financial and Industrial Mathematics

Hanoi National University of Education & University of Toulouse

iii

Lời giới thiệu

Xác suất và thống kê đóng vai trò rất quan trọng trong hầu hết mọi lĩnh vực của thế

giới hiện đại, từ khoa học, công nghệ, đến kinh tế, chính trị, đến sức khỏe, môi trường,

v.v. Ngày nay, máy tính giúp cho việc tính toán các vấn đề xác suất thống kê ngày càng

trở nên dễ dàng, một khi đã có các số liệu đúng đắn và mô hình hợp lý. Thế nhưng, bản

thân máy tính không biết mô hình nào là hợp lý. Đấy là vấn đề của người sử dụng: cần

phải hiểu được bản chất của các khái niệm và mô hình xác suất thống kê, thì mới có thể

dùng được chúng.

Mục đích của quyển sách này chính là nhằm giúp bạn đọc hiểu đúng bản chất của

những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất của xác suất và thống kê, và qua đó có thể

áp dụng được chúng, đi sâu tìm hiểu được phương pháp thích hợp cho những tình huống

cụ thể. Một số điểm mà các tác giả cố gắng đưa vào trong sách này là:

- Giải thích bản chất các khái niệm một cách trực giác, dễ hiểu nhất trong chừng mực

có thể, đồng thời đảm bảo độ chặt chẽ nhất định về mặt toán học.

- Cho nhiều ví dụ và bài tập về những tình huống có thật, với số liệu có thật, nhằm

giúp bạn đọc cảm nhận được các ứng dụng thực tế của xác suất và thống kê.

Quyển sách này có 5 chương cộng thêm phần phụ lục. Chương 1 gồm một số khái niệm

cơ sở của lý thuyết xác suất. Chương này không đòi hỏi kiến thức đặc biệt gì về toán,

và học sinh phổ thông cũng có thể đọc và hiểu được phần lớn. Tuy nhiên, kiến thức của

Chương 1 không hoàn toàn hiển nhiên, kể cả đối với những người đã học đại học. Trong

quá trình soạn thảo, các tác giả có đem một số bài tập hơi khó của Chương 1 đố các học

sinh đại học và cao học ngành toán, và phần lớn họ làm sai! Các bài tập đó không phải

là khó về mặt toán học (để giải chúng chỉ cần làm vài phép tính số học đơn giản), mà là

khó vì chúng chứa đựng những sự tế nhị về bản chất của xác suất. Hy vọng rằng, bạn

đọc sẽ thấy được những sự tế nhị đó, và tránh được các sai lầm mà nhiều người khác hay

mắc phải.

Từ Chương 2 đến Chương 4 của quyển sách là lý thuyết xác suất của các biến ngẫu

nhiên. Chương 2 là về các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Chương 3 là về các bộ nhiều

biến ngẫu nhiên, hay còn gọi là các vector ngẫu nhiên. Chương 4 là về các định lý giới

iv

hạn, trong đó có định lý giới hạn trung tâm, được coi là định lý quan trọng nhất của lý

thuyết xác suất và là hòn đá tảng của thống kê toán học. Chương 5 của quyển sách là

giới thiệu về thống kê. Bạn đọc sẽ tìm thấy trong chương này những vấn đề có thể giải

quyết bằng thống kê như ước lượng, kiểm định, dự báo, những nguyên tắc cơ bản nhất

của thống kê, và một số phương pháp thông kê nay đã trở thành kinh điển. Phụ lục A

chứa lời giải của nhiều bài tập trong 4 chương đầu tiên của quyển sách.

Để hiểu tốt các vấn đề được bàn tới trong Chương 2 và các chương tiếp theo, bạn đọc

cần có một số kiến thức chuẩn bị về giải tích toán học, như phép tính vi tích phân và

khai triển Taylor-Lagrange, cộng với một ít kiến thức về đại số tuyến tính. Nếu có thêm

một ít kiến thức về tôpô và giải tích hàm thì càng tốt. Trong sách có đưa ra định nghĩa

và tính chất của một số khái niệm toán học cần dùng, ví dụ như tích phân Lebesgue trên

không gian xác suất, biến đổi Fourier, hội tụ yếu, v.v.

Quyển sách này có thể dùng làm sách giáo khoa hay sách tham khảo cho môn xác suất

thống kê ở bậc đại học hoặc cao học nhiều ngành khác nhau. Sinh viên các ngành không

phải toán có thể bỏ qua các phần chứng minh các định lý tương đối phức tạp trong sách,

mà chỉ cần hiểu đúng phát biểu của các định lý quan trọng nhất và cách áp dụng chúng.

Các sinh viên ngành toán thì nên tìm hiểu cả cách chứng minh các định lý.

Do khuôn khổ của quyển sách có hạn, nên còn rất nhiều khái niệm quan trọng của xác

suất và thống kê không xuất hiện trong sách, ví dụ như quá trình ngẫu nhiên, phương

pháp bootstrap, hồi qui tuyến tính suy rộng, v.v.. Hy vọng rằng quyển sách này cung

cấp được tương đối đầy đủ các kiến thức cơ sở, để bạn đọc có thể hiểu được các tài liệu

chuyên sâu hơn về xác suất và thống kê khi cần thiết.

Để biên soạn quyển sách này, các tác giả có tham khảo nhiều sách báo liên quan đến

xác suất thống kê, và có trích lại nhiều bài tập và ví dụ từ các tài liệu đó. Những sách mà

các các tác giả tham khảo nhiều được liệt kê ở phần “Tài liệu tham khảo”. Trong đó có

những sách “nặng”, có nhiều chứng minh chặt chẽ và khá nặng về toán, ví dụ như quyển

“Theory of probability and random processes” của Koralev và Sinai [5], và có những sách

“nhẹ”, dễ đọc để có thể nắm được những ý tưởng chính, nhưng không có chứng minh, tiêu

biểu như quyển “The cartoon guide to statistics” của Gonick và Smith [2].

Các hình minh họa trong quyển sách này chủ yếu được lấy từ internet. Chúng tôi tin

rằng các hình đó thuộc phạm vi “public” và không bị hạn chế về mặt bản quyền, nhưng

nếu do sơ suất mà chúng tôi sử dụng hình được bảo vệ bởi luật bản quyền mà chưa xin

phép, thì chúng tôi xin thành thật xin lỗi trước.

Những bản thảo đầu tiên của quyển sách này có được một số đồng nghiệp, bạn bè và

v

sinh viên đọc và góp ý sửa lỗi và trình bầy lại cho tốt lên. Các tác giả xin chân thành

cảm ơn sự quan tâm và giúp đỡ của họ. Tất nhiên, mọi lỗi còn lại trong sách là thuộc

về trách nhiệm của các tác giả. Đặc biệt, chúng tôi muốn cảm ơn các bạn Phan Thanh

Hồng, Nguyễn Tuyết Mai, Nguyễn Thu Ngọc, Trần Quốc Tuấn và Lê Văn Tuấn, là các

thành viên của Trung Tâm Toán Tài Chính và Công Nghiệp Hà Nội đã tích cực tham gia

giúp chúng tôi soạn phần lời giải cho các bài tập.

Quyển sách này là một sản phẩm của Trung Tâm Toán Tài Chính và Công Nghiệp

Hà Nội do các tác giả thành lập vào đầu năm 2009, được viết với mục đích trước hết là

để phục vụ cho nhu cầu của bản thân Trung Tâm. Các tác giả hy vọng rằng, quyển sách

này sẽ có ích, không chỉ cho Trung Tâm, mà còn cho một lượng rất lớn các độc giả khác

đang hoặc sẽ quan tâm về xác suất và thống kê.

Hà Nội – Toulouse, 2010

vi

Mục lục

1

Xác suất là gì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Xác suất là gì ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

3

5

6

9

1.1

1.1.1 Xác suất của một sự kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Ba tiên đề về sự nhất quán của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Xác suất phụ thuộc vào những gì ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4 Tính xác suất bằng thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Mô hình toán học của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Phân bố xác suất Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 Phân bố xác suất đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Mô hình xác suất với vô hạn các sự kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.5 Ánh xạ giữa các không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.6 Tích của các không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.7 Phân bố nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3

Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1 Định nghĩa xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2 Sự độc lập và phụ thuộc của các sự kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.3 Công thức xác suất toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.4 Công thức Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4

Một số nghịch lý trong xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Nghịch lý 1 (Nghịch lý Simpson). Thuốc nào tốt hơn ? . . . . . . . . . . . 24

1.4.2 Nghịch lý 2. Hoàng tử có chị em gái không ? . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.3 Nghịch lý 3. Văn Phạm có phải là thủ phạm ? . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.4 Lời giải cho các nghịch lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

vii

viii

MỤC LỤC

1.5

1.6

Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Bài tập bổ sung cho Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Biến Ngẫu Nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Biến ngẫu nhiên và phân bố xác suất của nó . . . . . . . . . . . . . . 33

2

2.1

2.1.1 Biến ngẫu nhiên là gì ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.2 Mô hình toán học của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.3 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.4 Các loại phân bố xác suất trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2

Một số phân bố xác suất thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Phân bố hình học và phân bố nhị thức âm . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2 Phân bố Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.3 Phân bố đều (trường hợp liên tục) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.4 Phân bố normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.5 Phân bố mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.6 Phân bố Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.1 Trường hợp rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.2 Trường hợp tổng quát: tích phân trên không gian xác suất . . . . . . . . . 52

2.3.3 Kỳ vọng của phân bố xác suất trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.4 Giá trị kỳ vọng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4

Phương sai, độ lệch chuẩn, và các moment . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.1 Phương sai và độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.2 Các moment của một biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.4.3 Bất đẳng thức Chebyschev và bất đẳng thức Markov . . . . . . . . . . . . 63

2.5

Hàm đặc trưng, hàm sinh, và biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . 65

2.5.1 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5.2 Tìm lại phân bố xác suất từ hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.5.3 Hàm sinh xác suất và biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Vector ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3

3.1

Vector ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.1 Phân bố xác suất đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.2 Các phân bố xác suất biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

MỤC LỤC

ix

3.1.3 Hàm mật độ đồng thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1.4 Hàm đặc trưng của vector ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2

Các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.1 Sự độc lập của một bộ biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.2 Một ví dụ không hiển nhiên về sự độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.3 Một số hệ quả của sự độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3

Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.1 Dạng yếu của luật số lớn cho phân bố bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.2 Dạng mạnh của luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3.3 Tích của một dãy vô hạn các không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.4 Chứng minh định lý 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4

Sự tương quan giữa các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4.1 Hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4.2 Hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.4.3 Quan hệ tuyến tính với sai số bình phương nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . 92

3.4.4 Hệ số tương quan và quan hệ nhân quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.5

Phân bố và kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.5.1 Trường hợp rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.5.2 Trường hợp liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.6

Phân bố normal nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.6.1 Định nghĩa của phân bố normal nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.6.2 Trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6.3 Một số tính chất của phân bố normal nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . 102

Các định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4

4.1

Định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.1.1 Định lý de Moivre – Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.1.2 Định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.1.3 Giới hạn của dãy hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2

Hội tụ yếu và các kiểu hội tụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.1 Hội tụ yếu và hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.2 Các metric trên không gian các phân bố xác suất . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2.3 Định lý tiền compact của Prokhorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

x

MỤC LỤC

4.2.4 Định lý liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2.5 Các kiểu hội tụ khác của dãy biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3

Phân bố χ²và định lý Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Thống kê toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Các vấn đề thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Ước lượng bằng thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5

5.1

5.2

5.2.1 Mẫu thực nghiệm và phân bố thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2.2 Hàm ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.2.3 Ước lượng không chệch của phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.2.4 Phương pháp hợp lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.2.5 Phương pháp moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.3

Sai số và độ tin cậy của ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.3.1 Sai số của ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.3.2 Khoảng tin cậy và độ tin cậy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.3.3 Khoảng tin cậy cho độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.3.4 Phân bố Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.4

Kiểm định các giả thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.4.1 Một số nguyên tắc chung của kiểm định bằng thống kê . . . . . . . . . . 150

5.4.2 Kiểm định Z và kiểm định T cho kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.4.3 Kiểm định so sánh hai kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.4.4 Kiểm định F so sánh hai độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.5

Kiểm định χ². . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.5.1 Trường hợp mô hình xác suất cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.5.2 Trường hợp mô hình xác suất được ước lượng theo tham số . . . . . . . . 161

5.5.3 Kiểm định χ²cho sự độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.6

Phân tích hồi qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.6.1 Hồi qui tuyến tính đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.6.2 Hồi qui tuyến tính bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.6.3 Hồi qui phi tyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Lời giải cho một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A

1.1

1.2

Lời giải bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Lời giải bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

MỤC LỤC

xi

1.3

1.4

B

Lời giải bài tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Lời giải bài tập Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Phần mềm máy tính cho xác suất thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Bảng phân bố Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

C

xii

MỤC LỤC

Chương 1

Xác suất là gì

1.1 Xác suất là gì ?

Hầu như mọi người đều biết đến khái niệm xác suất. Tuy nhiên không phải ai cũng

hiểu rõ những tính chất cơ bản của nó. Ví dụ như sự phụ thuộc vào thông tin của xác

suất (mỗi khi có thêm thông tin mới thì xác suất thay đổi) hay bị bỏ qua. Và có những

bài toán tính toán xác suất tưởng chừng như rất đơn giản, nhưng có hơn một nửa số

người đã từng học xác suất làm sai khi được hỏi, kể cả các thạc sĩ ngành toán. Bởi vậy,

trong chương này, chúng ta sẽ nhấn mạnh những sự tế nhị trong xác suất, đặc biệt là với

xác suất có điều kiện, mà bạn đọc cần biết đến, để tránh được những lỗi cơ bản hay gặp

nhất.

Trước khi đi vào lý thuyết, có một câu đố liên quan đến xác suất sau đây dành cho

bạn đọc. Giả sử có một trò chơi trên TV như sau: có 3 cánh cửa, đằng sau 1 trong 3

cánh cửa đó là 1 món quà lớn, còn sau 2 cửa còn lại không có gì. Người chơi được chọn

1 trong 3 cánh cửa, nếu chọn đúng cửa có quà thì được nhận quà. Sau khi người chơi đã

chọn 1 cửa, người hướng dẫn chương trình mở một trong hai cửa còn lại ra, nhưng sẽ chỉ

mở cửa không có quà. Sau đó người chơi được quyền chọn, hoặc là giữ cái cửa mình chọn

ban đầu, hoặc là đổi lấy cái cửa chưa được mở còn lại. Theo bạn thì người chơi nên chọn

phương án nào? Vì sao ? Hãy thử nghĩ về nó một chút trước khi tiếp tục đọc.

1.1.1 Xác suất của một sự kiện

Xác suất của một sự kiện (hay tình huống giả định) là khả năng xảy ra sự kiện (hay

tình huống giả định) đó, được đánh giá dưới dạng một số thực nằm giữa 0 và 1.

1

2

CHƯƠNG 1. XÁC SUẤT LÀ GÌ

Khi một sự kiện không thể xảy ra thì xác suất của nó bằng 0. Ví dụ như xác suất của

sự kiện “có người sống trên sao Thổ” bằng 0.

Khi một sự kiện chắc chắn đã hoặc sẽ xảy ra thì xác suất của nó bằng 1 (hay còn viết

là 100%). Ví dụ như sự kiện “tôi được sinh ra từ trong bụng mẹ” có xác suất bằng 1.

Khi một sự kiện có thể xảy ra và cũng có thể không xảy ra, và chúng ta không biết nó

có chắn chắn xảy ra hay không, thì chúng ta có thể coi xác suất của nó lớn hơn 0 và nhỏ

hơn 1. Sự kiện nào được coi là càng dễ xảy ra thì có xác suất càng lớn (càng gần 1), và

ngược lại nếu càng khó xảy ra thì xác suất càng nhỏ (càng gần 0). Ví dụ tôi mua một vé

xổ số. Tôi không biết nó sẽ trúng giải hay không, có thể có mà cũng có thể không. Nếu

như cứ 100 vé xổ số chỉ có 1 vé trúng giải, thì tôi sẽ coi xác suất trúng giải của vé của tôi

là 1%. Con số 1% ở đây chính là tần suất, hay tỷ lệ trúng giải của các vé xổ số: nó bằng

số các vé trúng giải chia cho tổng số các vé.

Không những chỉ các sự kiện trong tương lai, mà cả các sự kiện trong quá khứ, mà

chúng ta thiếu thông tin để có thể biết chắc là chúng đã thực sự xảy ra hay không, thì

chúng ta vẫn có thể gán cho các sự kiện đó một xác suất nào đó, ứng với độ tin tưởng của

chúng ta về việc sự kiện đó đã thực sự xảy ra hay không. Ví dụ như, nữ hoàng Cleopatra

của Ai Cập có tự tử bằng cách để cho rắn độc cắn không ? Đấy là một giả thuyết, mà

theo các nhà sử học thì có nhiều khả năng xảy ra, nhưng không chắc chắn.

1.1.2 Ba tiên đề về sự nhất quán của xác suất

Tiên đề 1. Như đã viết phía trên, nếu A là một sự kiện (giả định) và ký hiệu P(A) là

xác suất của A thì

0 ≤ P(A) ≤ 1

(1.1)

Tiên đề 2. Nếu A là một sự kiện, và ký hiệu A là sự kiện phủ định của A thì

P(A) + P(A) = 1

(1.2)

Ý nghĩa triết học của tiên đề 2 tương đối hiển nhiên: Trong hai sự kiện “A” và “phủ

định của A” có 1 và chỉ 1 sự kiện xảy ra. Nếu “A” càng có nhiều khả năng xả ra thì “phủ

định của A” càng có ít khả năng xảy ra, và ngược lại.

Ví dụ 1.1. Một học sinh đi thi vào một trường đại học. Nếu xác suất thi đỗ là 80% thì

xác suất thi trượt là 20% (= 100% - 80%), chứ không thể là 30%, vì nếu xác suất thi đỗ

là 80% và xác suất thi trượt là 30% thì không nhất quán.

1.1. XÁC SUẤT LÀ GÌ ?

3

Ví dụ 1.2. Tôi tung một đồng tiền, khi nó rơi xuống thì có thể hiện mặt sấp hoặc mặt

ngửa. Tổng xác suất của hai sự kiện “mặt sấp” và “mặt ngửa” bằng 1. Nếu tôi không có

lý do đặc biệt gì để nghĩ rằng mặt nào dễ hiện lên hơn mặt nào, thì tôi coi rằng hai mặt

có xác suất hiện lên bằng nhau. Khi đó sự kiện “mặt ngửa” có xác suất bằng sự kiện “mặt

sấp” và bằng 1/2.

Tiên đề 3. Với hai sự kiện A và B, ta sẽ ký hiệu sự kiện “cả A và B đều xảy ra” bằng

A ∩ B và sự kiện “ít nhất một trong hai sự kiện A hoặc B xảy ra” bằng A ∪ B. Khi đó

nếu hai sự kiện A và B không thể cùng xảy ra, thì xác suất của sự kiện “xảy ra A hoặc

B” bằng tổng các xác suất của A và của B:

P(A ∩ B) = 0 ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

(1.3)

Ví dụ 1.3. Một học sinh được cho điểm một bài kiểm tra. Có thể được 7 điểm, có thể

được 8 điểm, hoặc có thể được điểm khác, nhưng không thể vừa được 7 điểm vừa được 8

điểm. Bởi vậy P((7d) ∪ (8d)) = P(7d) + P(8d)

Tiên đề 3 có thể phát biểu một cách tổng quát hơn như sau:

Tiên đề 3’. Nếu X và Y là hai sự kiện bất kỳ thì

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

(1.4)

Bài tập 1.1. Chứng minh rằng tiên đề 3 tương đương với tiên đề 3’.

1.1.3 Xác suất phụ thuộc vào những gì ?

Xác suất của một sự kiện không nhất thiết phải là một hằng số, mà nó có thể thay

đổi, phụ thuộc vào nhiều yếu tố. (Từ sự kiện ở đây hiểu theo nghĩa thông thường, chứ

không phải theo nghĩa “một tập hợp trong một không gian xác suất với 1 độ đo xác suất

đã cố định” trong mô hình toán học)

Xác suất thay đổi theo thời gian. Ví dụ, ông Obama được bầu làm tống thống Mỹ vào

tháng 11/2008. Từ trước lúc bầu cử mấy tháng, có sự cạnh tranh ác liệt giữa ông ta và

đối thủ chính của ông ta là ông McCain, và một người quan sát bên ngoài có thể nhận

định là hai ông có khả năng được bầu cử ngang nhau (tức là xác suất được bầu của mỗi

ông quãng 50%). Nhưng khi kết quả bầu cử được công bố trọn vẹn, thì xác suất được

bầu của Obama chuyển thành 100% (tức là ông ta đã chắc chắn được bầu). Trước đó 1

năm, ông Obama là một người chưa được nhiều người biết đến và còn phải tranh cử với

bà Clinton và các ứng cử viên khác trong Đảng của mình, và khi đó, đối với quan sát viên

4

CHƯƠNG 1. XÁC SUẤT LÀ GÌ

bên ngoài, xác suất được bầu làm tổng thống của Obama không phải 100%, cũng không

phải 50%, mà nhỏ hơn thế nhiều.

Xác suất phụ thuộc vào thông tin. Lấy bài toán đố về trò chơi trên TV viết phía trên

làm ví dụ. Gọi tên cửa mà người chơi chọn lúc đầu là A, cửa không có quà mà người

hướng dẫn chương trình mở ra là B, và cửa còn lại là C. Vào thời điểm ban đầu, không

có thông tin gì về cửa nào phía sau có quà, thông tin duy nhất là 1 trong 3 cửa có quà.

Không có cơ sở gì để cho rằng cửa nào có nhiều khả năng có quà hơn cửa nào, bởi vậy

vào thời điểm ban đầu ta coi P(A) = P(B) = P(C) = 1/3. Nhưng sau khi cửa B được

mở ra, thì ta có thêm một thông tin mới, là cửa B không có quà. Như vậy thông tin mới

này làm thay đổi xác suất của B: bây giờ ta có P(B) = 0. Không chỉ xác suất của B thay

đổi, mà tổng xác suất của A và C bây giờ cũng thay đổi: P(A) + P(C) = 1 thay vì bằng

2/3 như trước. Như vậy ít ra một trong hai số P(A) hoặc P(C) thay đổi, hoặc là cả hai.

Xác suất P(A) có thay đổi vì thông tin mới này không ? Câu trả lời là không (Giải thích

vì sao không ?). Chỉ có P(C) là thay đổi: sau khi người hướng dẫn chương trình mở cửa

B, thì ta có P(A) = 1/3 và P(C) = 2/3. Như vậy người chơi nên đổi cửa A lấy cửa C

thì dễ thắng hơn. Để thấy rõ hơn việc cánh cửa còn lại có nhiều khả năng có quà hơn là

cánh cửa mà người chơi chọn ban đầu, thay vì chỉ có 3 cửa, ta hãy hình dung có 100 cửa.

Sau khi bạn chọn 1 cửa, người dẫn chương trình mở 98 cửa không có quà trong số 99 cửa

còn lại, chỉ để lại 1 cửa thôi. Khi đó, nếu được đổi, bạn sẽ giữ nguyên cửa của mình, hay

là đổi lấy cái cửa còn lại kia ?

Xác suất phụ thuộc vào điều kiện. Chúng ta sẽ bàn về xác suất có điều kiện và công

thức tính xác suất có điều kiện ở một phần sau. Điều đáng chú ý ở đây là, mọi xác suất

đều có thể coi là xác suất có điều kiện, và đều phụ thuộc vào những điều kiện nào đó,

có thể được nói ra hoặc không nói ra (điều kiện hiểu ngầm). Ví dụ, khi chúng ta nói “khi

tung cái xúc sắc S, xác suất để hiện lên mặt có 3 chấm là 1/6”, chúng ta hiểu ngầm S là

một cái xúc sắc đều đặn, các mặt đều có khả năng xuất hiện như nhau. Nhưng nếu S là

một cái xúc sắc méo mó, nhẹ bên này nặng bên nọ (điều kiện khác đi), thì hoàn toàn có

thể là xác suất để khi tung hiện lên mặt có 3 chấm sẽ khác 1/6. Một ví dụ khác là xác

suất xảy ra tai nạn khi lái ô tô: khi người lái xe khoe mạnh tỉnh táo, thì xác suất xảy ra

tai nạn thấp, còn khi vẫn người lái đó bị say rượu hoặc buồn ngủ gật, thì xác suất xảy

ra tai nạn cao hơn, v.v. Khi chúng ta biết thêm một điều kiện mới, tức là có thêm một

thông tin mới, bởi vậy sự phụ thuộc vào điều kiện của xác suất cũng có thể coi là sự phụ

thuộc vào thông tin.

Xác suất phụ thuộc vào người quan sát, hay là tính chủ quan của xác suất. Cùng là

1.1. XÁC SUẤT LÀ GÌ ?

5

một sự kiện, nhưng hai người quan sát khác nhau có thể tính ra hai kết quả xác suất khác

nhau, và cả hai đều “có lý”, bởi vì họ dựa trên những thông tin và phân tích khác nhau.

Ví dụ như, có chuyên gia tài chính đánh giá rằng cổ phiếu của hãng Vinamilk có nhiều

khả năng đi lên trong thời gian tới, trong khi lại có chuyên gia tài chính khác đánh giá

rằng cổ phiếu của hãng đó có nhiều khả năng đi xuống ít khả năng đi lên trong thời gian

tới. Quay lại trò chơi truyền hình: với người chơi thì P(A) = 1/3, nhưng đối với người

dẫn chương trình thì P(A) không phải là 1/3, mà là 0 hoặc 1, vì người đó biết ở đằng

sau cửa A có quà hay không.

1.1.4 Tính xác suất bằng thống kê

Đối với những hiện tượng xảy ra nhiều lần, thì người ta có thể dùng thống kê để tính

xác suất của sự kiện xảy ra hiện tượng đó. Công thức sẽ là

N(A)

P(A) =

(1.5)

N(total)

Ở đây N(total) là tổng số các trường hợp được khảo sát, và N(A) là số các trường hợp

được khảo sát thỏa mãn điều kiện xảy ra A.

Cơ sở toán học cho việc dùng thống kê để tính xác suất, là luật số lớn và các định lý

giới hạn, mà chúng ta sẽ tìm hiểu ở phía sau trong sách này.

Ví dụ 1.4. Có một số số liệu sau đây về tai tạn ô tô và máy bay. Trong những năm

1989-1999, trên toàn thế giới, trung bình mỗi năm có khoảng 18 triệu chuyến bay, 24 tai

nạn máy bay chết người, và 750 người chết trong tai nạn máy bay. Cũng trong khoảng

thời gian đó, ở nước Pháp, trung bình mỗi năm có khoảng 8000 người chết vì tai nạn ô tô,

trên tổng số 60 triệu dân. Từ các số liệu này, chúng ta có thể tính: Xác suất để một người

ở Pháp bị chết vì tai nạn ô tô trong một năm là 8000/60000000 = 0,0133%. Xác suất để

đi một chuyến bay gặp tai nạn chết người là 24/18000000 = 0,000133%, chỉ bằng 1/100

xác suất bị chết vì tai nạn ô tô trong 1 năm. Nếu một người một năm bay 20 chuyến, thì

xác suất bị chết vì tai nạn máy bay trong năm bằng quãng 20 × 0, 000133% = 0, 00266%,

tức là chỉ bằng 1/5 xác suất bị chết vì tai nạn ô tô trong năm.

Ví dụ 1.5. Ông Gregor Mendel (1822-1884) là một tu sĩ người Áo (Austria) thích nghiên

cứu sinh vật. Ông ta trồng nhiều giống đậu khác nhau trong vườn của tu viện, và ghi

chép tỉ mẩn về các tính chất di truyền và lai giống của chúng. Năm 1866 Mendel công bố

một bài báo về các hiện tượng mà ông ta qua sát được, và lý thuyết của ông ta để giải

thích các hiện tượng. Một trong những quan sát trong đó là về màu sắc: Khi lai đậu hạt

6

CHƯƠNG 1. XÁC SUẤT LÀ GÌ

vàng với đậu hạt xanh (thế hệ thứ nhất) thì các cây lai (thế hệ thứ hai) đều ra đậu hạt

vàng, nhưng tiếp tục lai các cây đậu hạt vàng thế hệ thứ hai này với nhau, thì đến thế

hệ thứ ba xác suất ra đậu hạt xanh là 1/4. Con số 1/4 là do Mendel thống kê thấy tỷ lệ

Hình 1.1: Lý thuyết di truyền của Mendel và xác suất trong lai giống đậu

đậu hạt xanh ở thế hệ thứ ba gần bằng 1/4. Từ đó Mendel xây dựng lý thuyết di truyền

để giải thích hiện tượng này: màu của đậu được xác định bởi 1 gen, và gen gồm có hai

phần. Thế hệ đầu tiên, cây đậu hạt vàng có gen thuần chủng “YY” còn hạt xanh có gen

“yy” (tên gọi “Y” và “y” ở đây là tùy tiện). Khi lai nhau, thì một nửa gen của cây này

ghép với một nửa gen của cây kia để tạo thành gen của cây con. Các cây thế hệ thứ hai

đều có gen “Yy”, và màu hạt của gen “Yy” cũng là vàng. Đến thế hệ thứ ba, khi lai “Yy”

với “Yy” thì có 4 khả năng xảy ra : “YY”, “Yy”, “yY” và “yy”. (“Yy” và “yY” là giống nhau

về gen, nhưng viết như vậy là để phân biệt là phần “Y” đến từ cây thứ nhất hay cây thứ

hai trong 2 cây lai với nhau). Về lý thuyết, có thể coi 4 khả năng trên là có xác suất xảy

ra bằng nhau. Bởi vậy xác suất để cây thế hệ thứ ba có gen “yy” (hạt màu xanh) là 1/4.

Trong rất nhiều năm sau khi công bố, công trình của Mendel không được các nhà khoa

học khác quan tâm đến, nhưng ngày nay Mendel được coi là cha tổ của di truyền học.

1.2 Mô hình toán học của xác suất

1.2.1 Không gian xác suất

Không gian xác suất là một khái niệm toán học nhằm trừu tượng hóa 3 tiên đề phía

trên về sự nhất quán của xác suất.

Định nghĩa 1.1. Một không gian xác suất là một tập hợp Ω, cùng với:

1.2. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA XÁC SUẤT

7

1) Một họ S các tập con của Ω, thỏa mãn các tính chất sau: Ω ∈ S, và nếu A, B ∈ S

thì A ∪ B ∈ S, A ∩ B ∈ S và A := Ω \ A ∈ S. Một họ như vậy được gọi là một đại số

các tập con của Ω. Trong trường hợp Ω là một tập có vô hạn các phần tử, thì chúng ta sẽ

đòi hỏi thêm điều kiện sau: Nếu A_i, i = 1, 2, 3, . . . là một dãy vô hạn các phần tử của S,

�

∞

thì hợp _i=1A_icũng thuộc họ S. Với thêm điều kiện này, S được gọi là một sigma-đại

số. Các phần tử của S được gọi là là tập hợp con đo được của không gian xác suất.

2) Một hàm số thực P : S → R trên S, được gọi là phân bố xác suất hay độ đo

xác suất trên Ω, thỏa mãn các tính chất sau:

i) Với mọi A ∈ S, ta có

0 ≤ P(A) ≤ 1.

(1.6)

(1.7)

(1.8)

ii)

P(∅) = 0, P(Ω) = 1.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

iii) Nếu A ∩ B = ∅ thì

Tổng quát hơn, nếu A_i, i = 1, 2, 3, . . . là một dãy các tập hợp con đo được không giao nhau

thì

�

P( A_i) =

P(A_i).

(1.9)

i

Ghi chú 1.1. 1) Không gian xác suất Ω còn được gọi là không gian mẫu (sample space),

và nó là mô hình toán học trừu tượng cho vấn đề tính toán xác suất đang được quan tâm.

Mỗi phần tử của Ω có thể được gọi là một sự kiện thành phần (elementary event). Nếu

A là một phần tử của Ω thì ta cũng có thể viết P(A) và hiểu là P({A}), trong đó {A}

là tập con của Ω chứa duy nhất một phần tử A. Mỗi sự kiện là một tập con của Ω, và có

thể gồm nhiều (thậm chí vô hạn) sự kiện thành phần. Không nhất thiết tập con nào của

Ω cũng đo được (tức là nằm trong họ S), và chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến những tập con

đo được.

2) Trong toán học, một đại số là một tập hợp với các phép tính cộng, trừ, và phép nhân

(không nhất thiết phải có phép chia). Các tính chất của họ S trong định nghĩa không

gian xác suất khiến nó là một đại số theo nghĩa như vậy: Phần tử 0 trong S là tập rỗng,

phần tử đơn vị trong S là tập Ω, phép nhân trong S là phép giao: A × B := A ∩ B, và

phép cộng trong S là phép A + B := (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A). Đại số này

có số đặc trưng bằng 2, tức là 2A = A + A = 0 với mọi A (và bởi vậy phép cộng và phép

trừ chẳng qua là một). Chúng ta muốn S là một đại số chính là để cho việc làm các phép

tính số học với xác suất được thuận tiện.

8

CHƯƠNG 1. XÁC SUẤT LÀ GÌ

Hình 1.2: A. N. Kolmogorov

3) Đẳng thức (1.9) được gọi là tính chất sigma của xác suất. Trong toán, chữ cái hy

lạp sigma thường dùng để ký hiệu tổng, với hữu hạn hay vô hạn các thành phần. Tính

chất sigma là tính chất cộng tính vô hạn: khi có một dãy vô hạn các tập con không giao

nhau, xác suất của hợp của chúng cũng bằng tổng vô hạn của các xác suất của các tập

con. Tính chất sigma chính là tính chất cho phép chúng ta lấy giới hạn trong việc tính

toán xác suất. Chẳng hạn như, nếu A₁⊂ A₂⊂ . . . là một dãy tăng các tập con của Ω, và

�

∞

A = lim_n→∞A_n= _n=1A_n, thì ta có thể viết P(A) = lim_n→∞P(A_n), bởi vì

∞

�

P(A) = P(A₁∪

(A_n+1\ A_n)) = P(A₁) +

P(A_n+1\ A_n)

n=1

n

�

= P(A₁) + lim

P(A_k+1\ A_k) = A₁+ lim (P(A_n+1) − P(A₁)) (1.10)

n→∞

k=1

Phép toán lấy giới hạn là phép toán cơ bản nhất của giải tích toán học, và mọi phép toán

giải tích khác như đạo hàm, tích phân, v.v. đều có thể được định nghĩa qua phép lấy giới

hạn. Bởi vậy, tính chất sigma chính là tính chất cho phép chúng ta sử dụng giải tích toán

học trong việc nghiên cứu xác suất. Các nhà toán học cổ điển trong thế kỷ 18 và 19 đã

dùng các phép tính vi tích phân trong xác suất, tức là đã dùng tính chất sigma. Về mặt

trực giác, tính chất sigma là mở rộng hiển nhiên của tính chất cộng tính (1.8). Tuy nhiên,

nói một cách chặt chẽ toán học, đẳng thức (1.9) không suy ra được từ đẳng thức (1.8),

và phải được coi là một tiên đề trong xác suất. Tiên đề này được đư ra bởi nhà toán học

người Nga Andrei Nikolaievitch Kolmogorov (1903-1987), người xây dựng nền tảng cho

lý thuyết xác suất hiện đại.

Bài tập 1.2. Chứng minh rằng, với 3 tập con A, B, C (đo được) bất kỳ trong một không