Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Đại số tuyến tính

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh

Email : [email protected].vn

Website: www.tanbachkhoa.edu.vn

Nội dung

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Định nghĩa và ví dụ.

II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở

IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa ánh xạ

Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng.

Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x

thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x)

f : X Y x X ,!yY : y  f (x)

Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu

Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu

x₁ x₂ f (x₁)  f (x₂)

yY,x X : y  f (x)

Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh.

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ.

Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnh

của mọi phần tử thuộc X.

Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ,

bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,…

I. Định nghĩa và ví dụ

------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K.

Ánh xạ tuyến tính

là một ánh xạ thỏa

giữa hai không gian véctơ V, W

f :V  W

1.

(v₁,v₂V ) f (v₁ v₂)  f (v₁)  f (v₂)

(  K,vV ) f (v)   f (v)

2.

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

f : R₃ R₂

Chứng tỏ ánh xạ

cho bởi

x  (x₁, x₂, x₃); f (x)  (x₁ 2x₂3x₃,2x₁ x₃)

là ánh xạ tuyến tính.

x  (x₁, x₂, x₃); y  (y₁, y₂, y₃) R₃

f (x  y)  f (x₁ y₁, x₂ y₂, x₃ y₃)

f (x  y)  (x₁ y₁ 2x₂ 2y₂3x₃3y₃,2x₁ 2y₁ x₃ y₃)

f (x  y)  (x₁ 2x₂ 3x₃,2x₁ x₃)  (y₁ 2y₂3y₃,2y₁ y₃)

f (x  y)  f (x)  f (y)

Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến

tính.

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho

là ánh xạ tuyến tính.

f :V W

Cho E ={e₁, e₂, …, e_n} là tập sinh của V.

Giả sử biết f(e₁), f(e₂), …, f(e_n).

xV  x  x₁e₁ x₂e₂ x_ne_n

f (x)  f (x₁e₁ x₂e₂ x_ne_n)

f (x)  f (x₁e₁)  f (x₂e₂)  f (x_ne_n)

f (x)  x₁f (e )  x₂f (e₂)  x_nf (e_n)

1

Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được

ảnh của một tập sinh của V.

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

f : R³ R

Cho ánh xạ tuyến tính

², biết

f (1,1,0)  (2,1),

1. Tìm f (3,1,5)

f (1,0,1)  (1,1);

f (1,1,1)  (1,2),

2. Tìm f (x)

1. Giả sử

(3,1,5) (1,1,0)  (1,1,1)  (1,0,1)

      3





   2,  3,  2

     1





    5



 f (3,1,5)  f ((1,1,0)  (1,1,1)   (1,0,1))

 f (3,1,5)   f (1,1,0)   f (1,1,1)   f (1,0,1)

 (3,10)

f (3,1,5)  2(2,1)  3(1,2)  2(1,1)

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

f : R³ R

Cho ánh xạ tuyến tính

², biết

f (1,1,0)  (2,1),

1. Tìm f (3,1,5)

f (1,0,1)  (1,1);

f (1,1,1)  (1,2),

2. Tìm f (x)

x  (x₁, x₂, x₃)  (1,1,0)  (1,1,1)   (1,0,1)

2. Giả sử

  x  x

      x







1

3

1



   x  x  x

3

     x



1

2



  x  x

    x₃



1

2

 f (x)  f (x₁, x₂, x₃)  f (1,1,0)   f (1,1,1)  f (1,0,1)

f (x)  (x₁ x₃)(2,1)  (x₁ x₂ x₃)(1,2)  (x₁ x₂)(1,1)

f (x)  (2x₂ x₃,2x₁ x₂ 3x₃)

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz

quanh trục 0z một góc 30^ongược chiều kim đồng hồ nhìn từ

hướng dương của trục 0z. Tìm f(x).

z

Đây là ánh xạ

f : R₃ R₃

Ánh xạ f được xác định hoàn toàn

nếu biết được ảnh của một cơ sở của

R₃. Chọn cơ sở chính tắc

o

3 1

f (1,0,0)  ( , ,0)

y

2 2

1 3

2 2

x

f (0,1,0)  ( , ,0)

3 1 1

3

 f (x)  ( x₁ x₂, x₁ x₂, x₃)

f (0,0,1)  (0,0,1)

2 2

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính là phép đối xứng trong không gian

0xyz qua mặt phẳng

. Tìm f(x).

2x  y  3z  0

Tương tự ví dụ trước, đây là ánh xạ

f : R₃ R₃

Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một

cơ sở của R₃.

Nếu chọn cơ sở chính tắc thì việc tìm ảnh qua mặt phẳng đã

cho phức tạp. Ta chọn cơ sở của R₃là: pháp véctơ của mặt

phẳng và cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng.

f (1,2,0)  (1,2,0)

f (0,3,1)  (0,3,1)

f (2,1,3)  (2,1,3)

 f (x)

I. Định nghĩa và ví dụ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính?

f : R₂ R₂; f (x₁, x₂)  (2x₁ 3x₂, x₁)

1.

f : R₂ R₂; f (x₁, x₂)  (x₁ 2x₂,0)

2.

3.

f : R₂ R₂; f (x₁, x₂)  (2x₁ x₂, x₁1)

f : R₂ R₂; f (x₁, x₂)  (1, x₁ x₂)

f : R₂ R₂; f (x₁, x₂)  (x₁ x₂, x₁²)

f : R₂ R₂; f (x₁, x₂)  (x₂, x₁)

4.

5.

6

II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính

Cho ánh xạ tuyến tính.

f :V W

Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x

của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0.

Kerf 



xV | f (x)  0



V

W

0

Kerf

II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính

Cho ánh xạ tuyến tính.

f :V W

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y

của không gian véctơ W sao cho tồn tại để y = f(x).

x



V

yW | xV : y  f (x)

Im f 





V

W

Imf

II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý

Cho ánh xạ tuyến tính

f :V W

1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V.

2. Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W.

3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)

Chứng minh.

II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chứng minh. 3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)

E {e₁,e₂,...,e_m}

Giả sử dim(Kerf) = m.Tồn tại cơ sở của nhân

E₁ {e₁,...,e_m,v₁,...,v_n}

Bổ sung vào E để được cơ sở của V:

Ta chứng tỏ cơ sở của Imf là:

E₂{f (v₁),..., f (v_n)}

1) E₂là tập sinh:

yIm f  xV : y  f (x)

 y  f (₁e₁..._me_m ₁v₁... _nv_n)

 y ₁f (e₁) ..._mf (e_m)  ₁f (v₁) ... _nf (v_n)

 y  ₁f (v₁) ... _nf (v_n).

Vậy E₂là tập sinh của Imf.

II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2) Chứng minh E₂độc lập tuyến tính.

₁f (v₁) ..._nf (v_n)  0

Giả sử

 f (₁v₁..._nv_n)  0  ₁v₁..._nv_nKerf .

 ₁v₁..._nv_n ₁e₁... _me_m

 ₁v₁..._nv_n ₁e₁... _me_m 0

₁₂ ...  _m 0

Vì E₁độc lập tt nên

Suy ra E₂độc lập tuyến tính. Vậy E₂là cơ sở của Imf.

dim(Imf ) = n. Hay dim(Imf ) + dim(Kerf ) = m + n = dim(V).

II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mệnh đề

Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra

bởi ảnh của một tập sinh của V.

Chứng minh.

Giả sử tập sinh của V là

E {e₁,e₂,...,e_n}

 xV : y  f (x)

yIm f

Vì x thuộc V nên x là thtt của E.

y  f (x₁e₁ x₂e₂... x_ne_n)

Ánh xạ f là tuyến tính nên ta có

y  x₁f (e )  x₂f (e₂) ... x_nf (e_n)

1

F {f (e₁), f (e₂),..., f (e_n)}

sinh ra y.

 Im f  f (e₁), f (e₂),..., f (e_n) 

Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:

II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các bước tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính.

1. Chọn một cơ sở của V là

E {e₁,e₂,...,e_n}

f (e₁), f (e₂),..., f (e_n)

2. Tìm

Im f  f (e₁), f (e₂),..., f (e_n) 

3.

Chú ý: a) Còn có nhiều cách giải khác.

b) Tùy theo đề bài mà ta chọn cơ sở (ở bước 1) phù hợp, để việc

tìm ảnh của cơ sở đó nhanh.

II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

f : R³ R

Cho ánh xạ tuyến tính

³, biết

x  (x₁, x₂, x₃) R³:

f (x)  f (x₁, x₂, x₃)  (x₁ x₂ x₃,2x₁ 3x₂ x₃,3x₁ 5x₂ x₃)

1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.

x  (x₁, x₂, x₃)Kerf  f (x)  0

 (x₁ x₂ x₃,2x₁ 3x₂ x₃,3x₁ 5x₂ x₃)  (0,0,0)

 x₁ 2;x₂ ;x₃ 

 x  (2,,)

 x  (2,1,1)

x₁ x₂ x₃ 0





 2x  3x  x  0



1

2

3



3x  5x  x  0



1

2

3

Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf

dim(Kerf) = 1.

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 6: Ánh xạ tuyến tính - Đặng Văn Vinh