Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Chương 4: Dịch chuyển điện, luật Gauss & Đive

Nguy

ễn Công Phươ

ng

Lý thuy

ế

t tr

ườ

ng

đ

i

ệ

n t

ừ

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

Nội dung

1. Giới thiệu

2. Giải tích véctơ

3. Luật Coulomb & cường độ điện trường

4. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

5. Năng lượng & điện thế

6. Dòng điện & vật dẫn

7. Điện môi & điện dung

8. Các phương trình Poisson & Laplace

9. Từ trường dừng

10. L

ự

c từ & đi

ệ

n cảm

11. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell

12. Sóng phẳng

13. Ph

ả

n x

ạ

& tán x

ạ

sóng ph

ẳ

ng

14. Dẫn sóng & bức xạ

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

2

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

• D

ị

ch chuy

ể

n

đ

i

ệ

n

• Luật Gauss

•

Đ

ive

• Phương trình Maxwell 1

• Toán tử véctơ 

• Định lý đive

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

3

Dịch chuyển điện (1)

• M.

Faraday (1837)

• Hiện tượng: tổng điện tích của mặt cầu

ngoài có trị tuyệt đối bằng tổng điện

tích ban đầu của mặt cầu trong, không

phụ thuộc vào chất điện môi giữa hai

m

ặ

t c

ầ

u

• Kết luận: có một sự “dịch chuyển” nào

đó từ bán cầu trong ra bán cầu ngoài,

gọi là dịch chuyển điện:

Ψ = Q

• Ψ: thông lượng

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

4

Dịch chuyển điện (2)

–Q

S_a= 4πa²(m²)

Mật độ thông lượng chảy qua mặt cầu trong:

a

b

+Q



Q



4a²4a²

Véctơ mật độ dịch chuyển điện (véctơ dịch chuyển điện):

Q

D _ra

D _rb

D _{a  r b}

a_r

4a²

Q

a_r

4b²

Q



a_r

4r²

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

5

Dịch chuyển điện (3)

–Q

Q

4r²

(a < r < b)

D 

a_r

b

+Q

r

Q

4r²

Q

D 

E 

a_r



D





₀E

a_r

_vdv

4₀r²

(trong chân không)



^{D }_V

a_r

4



R

²

(trong chân không)

_vdv

^{E }_V

a_r

4₀R²

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

6

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

• D

ị

ch chuy

ể

n

đ

i

ệ

n

• Luật Gauss

•

Đ

ive

• Phương trình Maxwell 1

• Toán tử véctơ 

• Định lý đive

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

7

Luật Gauss (1)

• T

ổ

ng quát hoá thí nghi

ệ

m c

ủ

a Faraday

• Luật Gauss: thông lượng chảy qua một mặt kín bất kỳ

b

ằ

ng t

ổ

ng

đi

ệ

n tích

đượ

c bao trong m

ặ

t kín đó

Q

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

8

Luật Gauss (2)

ΔΨ

= thông l

ượ

ng qua

Δ

S

ΔS

D_{S, pháp tuyến}

= D_ScosθΔS

= D_S.ΔS

θ

D_S

Q

ΔS

P

D_S.dS

^{  }^{dψ }_{măt kín}



  D_S.dS  điên tích trong măt kín  Q

_S



Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

9

Luật Gauss (3)

  D_S.dS  điên tích trong măt kín  Q





_S



Q  Q



n

^{Q }^{ dL}

L

^{Q }_S^{ dS}

S

^{Q }_V^{ dV}

v

D_S.dS  _vdv



_S_V

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

10

Kiểm chứng lại thí nghiệm của Faraday bằng luật Gauss

Q

E 

a_r

z

Q

4r²

4₀r²

 D 

a_r

D_S

D  ₀E

r

=

a

dS

Q

 D_S

a_r

(tại mặt cầu)

θ

φ

4



a

²

Q

y

x

Q

 D_S.dS 

₂a_rdS





_S



^S4



a

Q

^S4

dS = r²sinθdθdφ = a²sinθdθdφ

 D_S.dS 

sindd



_S

→ dS = a²sinθdθdφa_r

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

11

Kiểm chứng lại thí nghiệm của Faraday bằng luật Gauss

Q

^S4

D_S.dS 

sindd

z



_S





D_S

^_^_^₀^2^{ }

Q

r

=

a

sindd

dS

 0

4



θ

^₀^2

Q

(cos) d

φ

y

x

4

Q

0

^₀^2

d

2



Q

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

12

Luật Gauss (4)

Ví dụ 1

Cho

m

ộ

t

đ

i

ệ

n tích

đ

i

ể

m 1 nC t

ạ

i (2, 0, 3) & m

ộ

t

đ

i

ệ

n tích

đ

i

ể

m 2 nC

tại (4, – 5, 6). Tính tổng thông lượng chảy ra khỏi khối lập phương

được tạo bằng 6 mặt phẳng x, y, z = ± 8.

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

13

Luật Gauss (5)

• Lu

ậ

t Coulomb

đượ

c dùng

để

tính E [=

f

(

Q

)]

• Một số bài toán khó tính được E nếu dùng luật Coulomb

• Luật Gauss có thể dùng để tính D (→ E) khi đã biết Q

Q  D_S.dS



_S

• Bài toán sẽ dễ giải hơn nếu chọn được một mặt kín thoả

mãn 2 điều kiện:

– D_Stại mọi nơi vuông góc hoặc tiếp tuyến với mặt kín, sao cho

D_S.dS trở thành D_SdS hoặc zero

– Ở những nơi (trên mặt kín) mà D_S.dS ≠ 0, D_S= const

• (gọi là mặt Gauss)

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

14

z

Luật Gauss (6)

E = ?

ρ_L

L

D  D_a_;

D_ f ()

D_S.dS

y

ρ

x

Q 

_{tru tròn}



 D_SdS  0 dS  0 dS



_s−ên



_®Ønh



_®¸y

 D_S^{zL 2}ddz

 D_S2L

Q

 D_S D_

_z0_0

2L

Q  _LL

_L

2₀



_L

2

 E_



D

_

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

15

ρ = a

ρ = b

Luật Gauss (7)

Hai mặt trụ tròn đồng trục dẫn điện, dài vô tận. Mặt

ngoài của mặt trụ trong có mật độ điện tích mặt ρ_S.

Q  D_S2L

(điện tích của một mặt trụ tròn dài L, bán kính ρ (a < ρ < b))

Q  ^{zL 2}_Saddz  2aL_S

 _0

z0

(điện tích tổng của mặt trụ trong dài L)

a_S

 D_S

D 

a_(a    b)



_L Q _l1 _SS _l1 _S.2a.1 2a_s



_L

2

 D 

a_

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

16

ρ = a

ρ = b

Luật Gauss (8)

Q_mă__{t tru}__ngoài Q_mă__{t tru}__trong

Q_m
ă__{t tr
u}__ngoài 2bL_{S
,m
ă
t tru ngoài}

 

Q_mă__{t tru}__trong 2aL_{S,măt tru trong}

 

a

 _{S,măt tru ngoài}  _{S,măt tru trong}

 

b

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

17

ρ = a

ρ = b

Luật Gauss (9)

R

 D 2 RL

_{R,R  b} Q_mă__{t tru}__ngoài Q_mă__{t tru}__trong 0



D

_S,R



0

S,R

Một cáp đồng trục dài vô hạn (hoặc hở hai đầu & dài hữu hạn nhưng L >> b)

không có trường ở bên ngoài & không có trường ở bên trong dây dẫn trong

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

18

Luật Gauss (10)

Ví dụ 2

Xét m

ộ

t cáp

đồng tr

ụ

c dài 1m, bán kính trong 1mm, bán kính ngoài 4mm. Giữa

các dây dẫn là không khí. Tổng điện tích của dây dẫn trong là 40nC. Tính mật độ

điện tích trên các dây dẫn, E & D.

40.10^9

Q_{dây trong}

_{S,dây trong}

_{S,dây ngoài}



 6,37 C/m²

 1, 59 C/m²

2.10^3.1

40.10^
9

2aL

Q_{dây ngoài}

2bL

2.4.10^3.1

1.10^3.6,37.10^66,37

a



_{S,dây trong}



nC/m²

D_

E_



10^34.10^3



6,37.10^9

719

D_

 



V/m²

₀8,854.10^12 

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

19

D₀

z

Luật Gauss (11)

• Để áp dụng luật Gauss (tính D)

Δz

thì phải tìm được mặt Gauss

Δ

x

y

Δ

y

•

V

ấ

n

đề

: khó tìm m

ặ

t Gauss

x

• Giải pháp: chọn một mặt kín rất

nh

ỏ

(ti

ế

n

đế

n zero)

D = D₀= D_x0a_x+ D_y0a_y+ D_z0a_z

Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive

20

Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Chương 4: Dịch chuyển điện, luật Gauss & Đive - Nguyễn Công Phương