Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Bài 6: Electron trong trường tuần hoàn của tinh thể

Baøi 6

Electron trong tröôøng tuaàn hoaøn

ø à ø

cuûa tinh theå

û

å

I. Phöông trình Schrodinger cuûa tinh theå

û

å

HΨ = EΨ

2

η

1

e

2

H = −

∇ −

∇ +

+ U(r ,R ) + V (R )

∑ ∑ ∑∑

r

ij

i

α

i α

o α

2m

2M 2

i

α

i j≠i

Caùc pheùp gaàn ñuùng :

Pheùp gaàn ñuùng ñoaïn nhieät

Pheùp gaàn ñuùng moät electron

Phöông trình Schrodinger cuûa moät electron trong tinh theå

2







ρ ρ

ρ

η

2m

2

− ∇ + U(r) Ψ(r) = EΨ(r)











ρ

U(r + R) = U(r)

ρ

R = n a + n a + n a

3 3

1 1

2 2

II. Haøm soùng ψ vaø naêng löôïng E cuûa

ø ù ø ê

ï

û

electron trong tröôøng theá tuaàn hoaøn

á à

ø

Khoâng theå suy ra caùc tính chaát cuûa chaát baùn daãn neáu khoâng tính

ñeán söï tuaàn hoaøn cuûa theá trong tinh theå. Do ñoù chuùng ta caàn giaûi

phöông trình Schrodinger vôùi moät theá naêng tuaàn hoaøn thích hôïp.

Coù moät soá caùch ñeå thöïc hieän ñieàu ñoù. Nhöng ngöôøi ta ñaõ chöùng

minh ñöôïc raèng taát caû caùc nghieäm phaûi coù moät soá tính chaát

chung.

Caùc tính chaát chung ñoù coù theå duøng ñeå cho tính toaùn ñöôïc deã

daøng hôn vaø ñeå hieåu ñöôïc moät caùch toång quaùt nhöõng aûnh höôûng

cuûa theá naêng tuaàn hoaøn leân caùc traïng thaùi cuûa caùc soùng electron.

Ñieåm xuaát phaùt :

theá naêng tuaàn hoaøn theo chu kyø cuûa maïng tinh theå.

1) Ñònh lyù Bloch

ù

‘When I started to think about it, I felt that the main problem

was to explain how the electrons could sneak by all the

ions in a metal….

By straight Fourier analysis I found to my delight that the

wave differed from the plane wave of free electrons only by

a periodic modulation’

F. BLOCH

Veà cô baûn, ñònh lyù Bloch phaùt bieåu ñieàu kieän maø taát caû nghieäm

Ψ_k(r) cho moät theá tuaàn hoaøn baát kyø U(r) phaûi thoûa maõn

Haøm soùng cuûa electron trong tröôøng theá tuaàn hoaøn coù daïng

r

hay

Ñònh lyù Bloch

ù

Ñònh lyù Bloch coù theå vieát döôùi hai daïng töông ñöông

r

hay

ρ

u_k^ρ(r + R) = u_k^ρ(r)

vôùi

Soùng chaïy e^ikr

Haøm soùng cuûa electron trong chuoãi nguyeân

töû

Haøm Bloch : ψ(x) = u(x).exp(ikx)

U(x) töø söï saép

xeáp tuaàn hoaøn

cuûa caùc nguyeân

töû bò bieán ñieäu

bôûi exp(ikx)

2) Naêng löôïng electron trong tinh theå

å

ê

ï

Haøm soùng laø moät haøm cuûa k neân trò rieâng cuûa Hamiltonian -

ρ

naêng löôïng cuûa heä - cuõng phuï thuoäc vaøo k : .

E = E(k)

* E laø moät haøm chaün cuûa k : E(-k) = E(k).

^{* E(k) laø moät haøm tuaàn}ρ^{hoaøn vôùi chu kyø cuûa maïng ñaûo.}

ρ

E(k + G) = E(k)

ρ ρ ρ

ρ

G = l b + l b + l b

1 1 2 2 3 3

Do tính chaát naøy, ngöôøi ta thöôøng giôùi haïn vieäc nghieân cöùu söï phuï

thuoäc cuûa E theo k trong tröôøng hôïp moät chieàu trong khoaûng

π

a

π

a

− ≤ k ≤

Trong khoâng gian k ba chieàu, mieàn giôùi haïn ñoù, ñöôïc goïi laø vuøng

Brillouin thöù nhaát, laø oâ nguyeân toá Wigner - Seitz cuûa maïng ñaûo

III. Giaûi phöông trình Schrodinger.

û

1. Pheùp gaàn ñuùng electron töï do

ù à ù

ï

* Baøi toaùn khoâng nhieãu loaïn ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình cuûa

2

electron töï do





ρ

η

2

− ∇ Ψ (r) = E Ψ (r)





0

0 0

2m









* Nhieãu loaïn trong pheùp gaàn ñuùng naøy laø theá naêng cuûa tröôøng tinh

theå U ( r )

electron töï do ñöôïc moâ taû bôûi soùng chaïy daïng exp ikr truyeàn trong

moâi tröôøng coù tính tuaàn hoaøn ( tinh theå ). Do ñoù seõ coù phaûn xaï

Bragg khi thoûa maõn ñieàu kieän

2dsinθ = ± mλ

Khi electron chuyeån ñoäng vuoâng goùc vôùi maët phaúng

nguyeân töû θ = 90⁰vaø d = a, phöông trình Bragg thaønh

π

a

k = ±m

Giaûi phöông trình Schrodinger.

û

Pheùp gaàn ñuùng electron töï do

ù à ù

ï

π

k = ±m

Khi electron coù k thoûa maõn

thì soùng töông öùng vôùi

a

chuùng seõ phaûn xaï treân maët nguyeân töû .

Soùng tôùi vaø soùng phaûn xaï coù theå toå hôïp vôùi nhau taïo neân soùng

ñöùng doïc theo chieàu vuoâng goùc vôùi caùc maët nguyeân töû ñang xeùt.

Coù hai caùch toå hôïp caùc soùng ñoù . Xeùt caùc soùng truyeàn theo phöông

cuûa truïc x :

π

a

π

a

i x

−i x

π

a

Ψ = e + e

= 2cos x

+

π

i x

−i x

π

a

Ψ = e − e

= 2sin x

−

a

Xaùc suaát tìm thaáy electron ρ tyû leä vôùi ψ ²

Vôùi soùng ñöùng

π

a

2

ρ = Ψ ~ cos x

+

caùc electron taäp

trung gaàn caùc ion +

taïi x = 0, a, 2a, ...

Theá tuaàn hoaøn moät chieàu

π

2

ρ = Ψ ~ sin x

−

a

caùc electron coù xu

höôùng taäp trung ôû

giöõa caùc ion +

Hai caùch saép xeáp treân phaûi töông öùng vôùi caùc naêng löôïng khaùc

nhau. Theá naêng cuûa electron doïc theo maïng tinh theå moät chieàu coù

daïng nhö hình veõ. Gaàn caùc goác nguyeân töû , theá naêng thaáp hôn giaù

trò trung bình cuûa noù. Do ñoù, theá naêng trong traïng thaùi ψ₊phaûi

nhoû hôn trong traïng thaùi ψ_-( ñoäng naêng cuûa chuùng baèng nhau do

coù cuøng k ).

Töø nhöõng keát quaû treân suy ra :

π

a

k = ±m

+ Naêng löôïng cuûa electron trong tinh theå bò giaùn ñoaïn khi

π

+ Vôùi

hình thaønh soùng ñöùng .

k = ±m

a

Do soùng ñöùng khoâng truyeàn naêng löôïng neân vaän toác nhoùm

:

dω 1 dE

v_g=

=

= 0

dk η dk

haøm E ( k ) ñaït cöïc trò taïi

π

a

k = ±m

+ Khi k ≈ 0 , λ→ ∞. Caùc electron coù böôùc soùng raát daøi khoâng caûm

thaáy söï thay ñoåi tuaàn hoaøn cuûa tröôøng theá naêng cuûa tinh theå :

E ( k ) coù daïng nhö cuûa electron töï do, nghóa laø

vôùi

k ≈ 0 , E(k) ~ k².

Giaûi phöông trình Schrodinger.

û

Pheùp gaàn ñuùng electron töï do

ù à ù

ï

Naêng löôïng cuûa electron

trong tinh theå

Naêng löôïng cuûa electron töï do

Giaûi phöông trình Schrodinger.

û

2. Pheùp gaàn ñuùng lieân keát maïnh

ù à ù â á ï

* Phöông trình cho baøi toaùn khoâng nhieãu loaïn ñöôïc laáy laø

phöông trình cuûa electron trong nguyeân töû

2





η

2

− ∇ + V(r) ψ (r) = E ψ (r)





a

a a

2m









trong ñoù V ( r ) laø theá naêng cuûa electron trong nguyeân töû

* Theá naêng cuûa tröôøng tinh theå

U ( r ) ñöôïc xem laø nhieãu loaïn

trong pheùp gaàn ñuùng naøy.

Giaûi phöông trình Schrodinger.

û

Pheùp gaàn ñuùng lieân keát maïnh

ù à ù â á ï

2 nguyeân töû Na

ñaåy

Na+Na

Na₂

huùt

Khoaûng caùch giöõa hai nguyeân töû

Söï phuû cuûa caùc haøm soùng laøm taùch caùc traïng thaùi :

§ Traïng thaùi huùt : maät ñoä electron giöõa caùc nguyeân töû cao hôn ,

chaén nhieàu hôn

§ Traïng thaùi ñaåy : maät ñoä electron giöõa caùc nguyeân töû nhoû hôn ,

chaén ít hôn

5 nguyeân töû Na

Khoaûng caùch giöõa hai nguyeân töû

10²³nguyeân töû Na

Vuøng naêng löôïng

goàm caùc möùc naêng

löôïng saùt nhau

Bài giảng Cơ sở vật lý chất rắn - Bài 6: Electron trong trường tuần hoàn của tinh thể - Lê Khắc Bình