Giáo trình Xác suất thống kê

Bꢀ GIÁO DꢁC VÀ ðÀO TꢂO

TRƯꢃNG ðꢂI HꢄC NÔNG NGHIꢅP I

**********************

Ths.LÊ ðꢆC VĨNH

GIÁO TRÌNH

XÁC SUꢇT THꢈNG KÊ

HÀ NꢀI - 2006

Chương 1 : Phép thꢀꢁ. Sꢂꢁkiꢃn

Nhꢀng kiꢁn thꢂc vꢃꢄgiꢅi tích tꢆꢄhꢇp sinh viên ñãꢄñưꢇc hꢈc trong chương trình phꢆꢄ

thông. Tuy nhiên ñꢉꢄgiúp ngưꢊi hꢈc dꢋꢄdàng tiꢁp thu kiꢁn thꢂc cꢌa nhꢀng chương kꢁꢄtiꢁp

chúng tôi giꢍi thiꢎu lꢏi mꢐt cách cóꢄhꢎꢄthꢑng nhꢀng kiꢁn thꢂc này. Phép thꢒꢄngꢓu nhiên

vàꢄsꢔꢄkiꢎn ngꢓu nhiên làꢄbưꢍc khꢕi ñꢖu ñꢉꢄngưꢊi hꢈc làm quen vꢍi môn hꢈc Xác suꢗt.

Trong chương này chúng tôi trình bày nhꢀng kiꢁn thꢂc tꢑi thiꢉu vꢃꢄsꢔꢄkiꢎn ngꢓu nhiên,

các phép toán vꢃꢄcác sꢔꢄkiꢎn ngꢓu nhiên, hꢎꢄñꢖy ñꢌꢄcác sꢔꢄkiꢎn ñꢘng thꢊi chꢙꢄra cách

phân chia mꢐt sꢔꢄkiꢎn ngꢓu nhiên theo mꢐt hꢎꢄñꢖy ñꢌ. Nhꢀng kiꢁn thꢂc nàyꢄlàꢄcꢖn thiꢁt

ñꢉꢄngưꢊi hꢈc cóꢄthꢉꢄtiꢁp thu tꢑt nhꢀng chương tiꢁp theo.

I. Giꢄi tích tꢅꢁhꢆp

1.Qui tꢀc nhân: Trong thꢔc tꢁꢄnhiꢃu khi ñꢉꢄhoàn thành mꢐt công viꢎc, ngưꢊi ta phꢅi thꢔc

hiꢎn mꢐt dãy liên tiꢁp k hành ñꢐng.

Hành ñꢐng thꢂꢄnhꢗt: cóꢄ1 trong n₁cách thꢔc hiꢎn

Hành ñꢐng thꢂꢄhai: cóꢄ1 trong n₂ꢄcách thꢔc hiꢎn

. . .. . . . . .. .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. . . .

Hành ñꢐng thꢂꢄk: cóꢄ1 trong n_kꢄcách thꢔc hiꢎn

Gꢈi n làꢄsꢑꢄcách hoàn thành công viꢎc nói trên, ta có:

n = n₁n₂..n_k

Qui tꢚc trên gꢈi làꢄqui tꢚc nhân.

Víꢇdꢈ: ðꢉꢄñi tꢛꢄthành phꢑꢄA tꢍi thành phꢑꢄC phꢅi qua thành phꢑꢄB. Cóꢄmꢐt trong bꢑn

phương tiꢎn ñꢉꢄñi tꢛꢄA tꢍi B là: ñưꢊng bꢐ, ñưꢊng sꢚt, ñưꢊng không vàꢄñưꢊng thuꢜ. Cóꢄ

mꢐt trong hai phương tiꢎn ñꢉꢄñi tꢛꢄB tꢍi C làꢄñưꢊng bꢐꢄvàꢄñưꢊng thuꢜ. Hꢝi cóꢄbao nhiêu

cách ñi tꢛꢄA tꢍi C?

ðꢉꢄthꢔc hiꢎn viꢎc ñi tꢛꢄA tꢍi C ta phꢅi thꢔc hiꢎn mꢐt dãy liên tiꢁp hai hành ñꢐng.

ꢄꢄHành ñꢐng thꢂꢄnhꢗt: chꢈn phương tiꢎn ñi tꢛꢄA tꢍi C cóꢄn₁= 4 cách

ꢄHành ñꢐng thꢂꢄhai: chꢈn phương tiꢎn ñi tꢛꢄB tꢍi C cóꢄn₂= 2 cách

Vꢞy theo qui tꢚc nhân, sꢑꢄcách ñi tꢛꢄA tꢍi C làꢄn= 4.2 = 8 cách

2.Qui tꢀc cꢁng:

ðꢉꢄhoàn thành công viꢎc ngưꢊi ta cóꢄthꢉꢄchꢈn mꢐt trong k phương án.

Phương án thꢂꢄnhꢗt: có 1 trong n₁cách thꢔc hiꢎn

Phương án thꢂꢄhai: cóꢄ1 trong n₂cách thꢔc hiꢎn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phương án thꢂꢄk: cóꢄ1 trong n_kcách thꢔc hiꢎn

Gꢈi n làꢄsꢑꢄcách hoànꢄthành công viꢎc nói trên, ta có:

n = n₁+ n₂+. . . ..+ n_k

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..1

Qui tꢚc trên gꢈi làꢄqui tꢚc cꢐng

Víꢇdꢈ: Mꢐt tꢆꢄsinh viên gꢘm hai sinh viên HàꢄNꢐi, ba sinh viên Nam ðꢟnh vàꢄba sinh

viên Thanh Hoá. Cꢖn chꢈn hai sinh viên cùng tꢙnh tham gia ñꢐi thanh niên xung kích.

Hꢝi cóꢄbao nhiêu cách chꢈn.

Phương án thꢂꢄnhꢗt: Chꢈn hai sinh viên HàꢄNꢐi cóꢄn₁= 1 cách

Phương án thꢂꢄhai: Chꢈn hai sinh viên Nam ðꢟnh cóꢄn₂= 3 cách

Phương án thꢂꢄba: Chꢈn hai sinh viên Thanh Hoáꢄcóꢄn₃= 3 cách

Theo qui tꢚc cꢐng ta cóꢄsꢑꢄcách chꢈn hai sinh viên theo yêu cꢖu:

n = 1 + 3 + 3 = 7 cách

3.Hoán vꢂ

Trưꢍc khi ñưa ra khái niꢎm mꢐt hoán vꢟꢄcꢌa n phꢖn tꢒꢄta xét víꢄdꢠꢄsau:.

Víꢇdꢈ:ꢄCóꢄba hꢈc sinh A,B,C ñưꢇc sꢚp xꢁp ngꢘi cùng mꢐt bàn hꢈc. Hꢝi cóꢄbao nhiêu

cách sꢚp xꢁp?

Cóꢄmꢐt trong các cách sꢚp xꢁp sau:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Nhꢞn thꢗy rꢡng: ðꢆi chꢢꢄbꢗt kỳꢄhai hꢈc sinh nào cho nhau ta ñưꢇc mꢐt cách sꢚp xꢁp

khác. Tꢛꢄmꢐt cách sꢚp xꢁp ban ñꢖu, bꢡng cách ñꢆi chꢢꢄliên tiꢁp hai hꢈc sinh cho nhau ta

cóꢄthꢉꢄñưa vꢃꢄcác cách sꢚp xꢁp còn lꢏi. Mꢢi mꢐt cách sꢚp xꢁp như trên còn ñưꢇc gꢈi làꢄ

mꢐt hoán vꢟꢄcꢌa ba phꢖn tꢒꢄA, B, C. Tꢆng quát vꢍi tꢞp hꢇp gꢘm n phꢖn tꢒꢄta cóꢄñꢟnh

nghĩa sau:

3.1 ðꢉnh nghĩa: Mꢐt hoán vꢟꢄcꢌa n phꢖn tꢒꢄlàꢄmꢐt cách sꢚp xꢁp cóꢄthꢂꢄtꢔꢄn phꢖn tꢒꢄñó.

3.2 Sꢆꢇhoán vꢉꢇcꢊa n phꢋn tꢌ: Vꢍi mꢐt tꢞp gꢘm n phꢖn tꢒꢄñãꢄcho. Sꢑꢄtꢗt cꢅꢄcác hoán vꢟꢄ

cꢌa n phꢖn tꢒꢄkýꢄhiꢎu làꢄP_n.Ta cꢖn xây dꢔng công thꢂc tính P_n.

ðꢉꢄtꢏo ra mꢐt hoán vꢟꢄcꢌa n phꢖn tꢒꢄta phꢅi thꢔc hiꢎn mꢐt dãy liên tiꢁp n hành ñꢐng.

ꢄHành ñꢐng thꢂꢄnhꢗt: Chꢈn 1 phꢖn tꢒꢄxꢁp ñꢖu cóꢄn cách chꢈn

ꢄꢄHành ñꢐng thꢂꢄhai: Chꢈn 1 phꢖn tꢒꢄxꢁp thꢂꢄ2 cóꢄn-1 cách chꢈn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ꢄꢄꢄHành ñꢐng cuꢑi: Chꢈn phꢖn tꢒꢄꢄcòn lꢏi xꢁp cuꢑi cóꢄ1 cách chꢈn

Theo qui tꢚc nhân, sꢑꢄcách tꢏo ra 1 hoán vꢟꢄcꢌa n phꢖn tꢒꢄlàꢄ

P_n= n.(n-1) ....2.1= n!

4. Chꢃnh hꢄp không lꢅp

4.1 ðꢉnh nghĩa: Mꢐt chꢙnh hꢇp không lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄlàꢄmꢐt cách sꢚp xꢁp cóꢄ

thꢂꢄtꢔꢄgꢘm k phꢖn tꢒꢄkhác nhau lꢗy tꢛꢄn phꢖn tꢒꢄñãꢄcho.

Víꢇdꢈ:ꢄCóꢄ5 chꢀꢄsꢑꢄ1, 2, 3, 4, 5. Hãy lꢞp tꢗt cꢅꢄcác sꢑꢄgꢘm 2 chꢀꢄsꢑꢄkhác nhau

ꢄCác sꢑꢄñóꢄlà: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.

Mꢢi mꢐt sꢑꢄtrên chính làꢄmꢐt cách sꢚp xꢁp cóꢄthꢂꢄtꢔꢄgꢘm hai phꢖn tꢒꢄkhác nhau lꢗy tꢛꢄ

năm phꢖn tꢒꢄlàꢄnăm chꢀꢄsꢑꢄñãꢄcho. Vꢞy mꢢi sꢑꢄlàꢄchꢙnh hꢇp không lꢣp chꢞp hai cꢌa năm

phꢖn tꢒ.

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..2

4.2 Sꢆꢇcác chꢍnh hꢎp không lꢏp: Sꢑꢄcác chꢙnh hꢇp không lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄkíꢄhiꢎu

làꢄA^k_n. Ta xây dꢔng công thꢂc tính A^k_n.

ðꢉꢄtꢏo ra mꢐt chꢙnh hꢇp không lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄta phꢅi thꢔc hiꢎn mꢐt dãy liên

tiꢁp k hành ñꢐng.

ꢄꢄꢄHành ñꢐng thꢂꢄnhꢗt: chꢈn 1 trong n phꢖn tꢒꢄñꢉꢄxꢁp ñꢖu: cóꢄn cách

ꢄꢄꢄHành ñꢐng thꢂꢄhai: chꢈn 1 trong n-1 phꢖn tꢒꢄñꢉꢄxꢁp thꢂꢄ2: cóꢄn -1 cách

. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

ꢄꢄHành ñꢐng thꢂꢄk: chꢈn 1 trong n-k+1 phꢖn tꢒꢄñꢉꢄxꢁp cuꢑi: cóꢄn-k+1 cách

Theo qui tꢚc nhân: Sꢑꢄcách tꢏo ra mꢐt chꢙnh hꢇp không lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄlàꢄ:

A^k_n= n(n-1).. ....(n-k+1)

ðꢉꢄdꢋꢄnhꢍꢄta sꢒꢄdꢠng công thꢂc sau:

(n − k).......2.1

n!

A^k_n=n.(n −1)....(n − k +1)=n.(n −1)...(n − k +1).

=

(n − k)......2.1 (n − k)!

5. Chꢃnh hꢄp lꢅp: ðꢉꢄhiꢉu thꢁꢄnào làꢄmꢐt chꢙnh hꢇp lꢣp ta xét víꢄdꢠꢄsau:

Víꢇdꢈ: Hãy lꢞp các sꢑꢄgꢘm 2 chꢀꢄsꢑꢄtꢛꢄ4 chꢀꢄsꢑ: 1, 2, 3, 4.

Các sꢑꢄñóꢄlà: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

Mꢢi sꢑꢄtrong các sꢑꢄnói trên làꢄmꢐt cách sꢚp xꢁp cóꢄthꢂꢄtꢔꢄgꢘm hai chꢀꢄsꢑ, mꢢi chꢀꢄsꢑꢄ

cóꢄthꢉꢄcóꢄmꢣt ñꢁn hai lꢖn lꢗy tꢛꢄbꢑn chꢀꢄsꢑꢄñãꢄcho. Mꢢi cách sꢚp xꢁp như vꢞy còn gꢈi làꢄ

mꢐt chꢙnh hꢇp lꢣp chꢞp hai cꢌa bꢑn phꢖn tꢒ. Tꢆng quát hoáꢄta cóꢄñꢟnh nghĩa sau:

5.1 ðꢉnh nghĩa: Mꢐt chꢙnh hꢇp lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄlàꢄmꢐt cách sꢚp xꢁp cóꢄthꢂꢄtꢔꢄ

gꢘm k phꢖn tꢒꢄmàꢄmꢢi phꢖn tꢒꢄꢄlꢗy tꢛꢄn phꢖn tꢒꢄñãꢄcho cóꢄthꢉꢄcóꢄmꢣt nhiꢃu lꢖn.

5.2 Sꢆꢇcác chꢍnh hꢎp lꢏp chꢐp k:

ˆ ^k

Sꢑꢄcác chꢙnh hꢇp lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄñưꢇc kýꢄhiꢎu làꢄ A_n. Ta sꢤꢄñưa ra công thꢂc

ˆ ^k

tính A_n.

ðꢉꢄtꢏo ra mꢐt chꢙnh hꢇp lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄta phꢅi thꢔc hiꢎn mꢐt dãy liên tiꢁp k

hành ñꢐng.

ꢄHành ñꢐng thꢂꢄnhꢗt: chꢈn 1 trong n phꢖn tꢒꢄxꢁp ñꢖu cóꢄn cách

ꢄꢄHành ñꢐng thꢂꢄhai: chꢈn 1 trong n phꢖn tꢒꢄxꢁp thꢂꢄ2 cóꢄn cách

. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ꢄHành ñꢐng thꢂꢄk: chꢈn 1 trong n phꢖn tꢒꢄxꢁp thꢂꢄk cóꢄnꢄcách

k

ˆ ^k

Theo qui tꢚc nhân ta có: A_n= n

6.Tꢆꢇhꢄp: Các khái niꢎm trên luôn ñꢉꢄýꢄñꢁn trꢞt tꢔꢄcꢌa tꢞp hꢇp ta ñang quan sát. Tuy

nhiên trong thꢔc tꢁꢄcóꢄnhiꢃu khi ta chꢙꢄcꢖn quan tâm tꢍi các phꢖn tꢒꢄcꢌa tꢞp con cꢌa mꢐt

tꢞp hꢇp màꢄkhông cꢖn ñꢉꢄýꢄñꢁn cách sꢚp xꢁp tꢞp con ñóꢄtheo mꢐt trꢞt tꢔꢄnào. Tꢛꢄñây ta

cóꢄkhái niꢎm vꢃꢄtꢆꢄhꢇp như sau

6.1 ðꢉnh nghĩa: Mꢐt tꢆꢄhꢇp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄlàꢄmꢐt tꢞp con gꢘm k phꢖn tꢒꢄlꢗy tꢛꢄn

phꢖn tꢒꢄñãꢄcho.

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..3

Víꢇdꢈ: Cho tꢞp hꢇp gꢘm bꢑn phꢖn tꢒꢄ{a,b,c,d}. Hꢝi cóꢄbao nhiêu tꢞp con gꢘm hai

phꢖn tꢒ?

Các tꢞp con ñóꢄlàꢄ{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}

Vꢞy tꢞp hꢇp gꢘm bꢑn phꢖn tꢒꢄ{a,b,c,d} cóꢄsáu tꢞp con vꢛa nêu.

6.2: Sꢆꢇtꢑꢇhꢎp chꢐp k cꢊa n phꢋn tꢌꢇcóꢇkýꢇhiꢃu làꢇC_n^k

Bꢡng cách ñꢆi chꢢ các phꢖn tꢒ cho nhau, mꢐt tꢆꢄhꢇp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄcó thꢉ tꢏo ra

k! chꢙnh hꢇp không lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒ.

CóꢄC^k_ntꢆꢄhꢇp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄtꢏo ra A^k_nꢄchꢙnh hꢇp không lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒ.

A_n^k

n!

k! k!(n − k)!

Vꢞy ta cóꢄ: C^k_n=

=

7.Tꢆꢇhꢄp lꢅp:

7.1 ðꢉnh nghĩa: Mꢐt tꢆꢄhꢇp lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄlàꢄmꢐt nhóm không phân biꢎt thꢂꢄtꢔꢄ

gꢘm k phꢖn tꢒ, mꢢi phꢖn tꢒꢄcóꢄthꢉꢄcóꢄmꢣt ñꢁn k lꢖn lꢗy tꢛꢄn phꢖn tꢒꢄꢄñãꢄcho.

Víꢇdꢈ: Cho tꢞp {a,b,c} gꢘm 3 phꢖn tꢒ

Các tꢆꢄhꢇp lꢣp cꢌa tꢞp hꢇp trên làꢄ{a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c}

ˆ ^k

7.2 Sꢆꢇcác tꢑ hꢎp lꢏp chꢐp k cꢊa n phꢋn tꢌꢇkýꢇhiꢃu là:. C_n

Viꢎc tꢏo ra mꢐt tꢆꢄhꢇp lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄtương ñương vꢍi viꢎc xꢁp k quꢅꢄcꢖu

giꢑng nhau vào n ngăn kéo ñꢣt liꢃn nhau, hai ngăn liên tiꢁp cùng chung mꢐt vách ngăn.

Các vách ngăn trꢛꢄvách ngăn ñꢖu vàꢄcuꢑi cóꢄthꢉꢄxê dꢟch vàꢄñꢆi chꢢꢄcho nhau. Mꢢi cách

sꢚp xꢁp k quꢅꢄcꢖu giꢑng nhau vào n ngăn làꢄmꢐt cách bꢑꢄtríꢄn+k-1 phꢖn tꢒꢄ( gꢘm k quꢅꢄ

cꢖu vàꢄn-1 vách ngăn) theo thꢂꢄtꢔꢄtꢛꢄphꢅi sang trái. Cách bꢑꢄtríꢄkhông ñꢆi khi các quꢅꢄcꢖu

ñꢆi chꢢ cho nhau hoꢣc các vách ngăn ñꢆi chꢢꢄcho nhau. Cách bꢑꢄtríꢄthay ñꢆi khi các quꢅꢄ

cꢖu vàꢄcác vách ngăn ñꢆi chꢢꢄcho nhau. Ta cóꢄ(n+k-1)! cách bꢑꢄtríꢄn+k-1 phꢖn tꢒꢄ(gꢘm k

quꢅꢄcꢖu vàꢄn-1 vách ngăn). Sꢑꢄcách ñꢆi chꢢꢄk quꢅꢄcꢖu làꢄk! , sꢑꢄcách ñꢆi chꢢꢄn-1 vách

ngăn làꢄ(n-1)! . Vꢞy ta cóꢄsꢑꢄcác tꢆꢄhꢇp lꢣp chꢞp k cꢌa n phꢖn tꢒꢄlà:

(n + k −1)!

k!(n −1)!

ˆ ^k

C_n=

=C_n^k_+k−1

Víꢇdꢈ:ꢄTꢏi mꢐt trꢏi giꢑng gàꢄcóꢄbaꢄloꢏi gàꢄgiꢑng A, B, C. Mꢐt khách hàng vào ñꢟnh

mua 10 con. Hꢝi cóꢄbao nhiêu cách mua ( giꢅꢄsꢒꢄrꢡng sꢑꢄlưꢇng các giꢑng gàꢄA, B, C mꢢi

loꢏi cꢌa trꢏi ñꢃu lꢍn hơn 10).

Ta thꢗy mꢢi mꢐt cách mua 10 con gàꢄchính làꢄmꢐt tꢆꢄhꢇp lꢣp chꢞp 10 cꢌa 3 phꢖn tꢒ. Vꢞy

10

ˆ ¹⁰

sꢑꢄcách mua là: C₃=

C

= 66

12

8. Nhꢂꢇthꢈc Newton

Ta có: (a + b)²= a²+ 2ab + b²= C ⁰₂a²b⁰+ C¹₂a¹b¹+ C¹₂a⁰b²

(a + b)³= a³+ 3a²b + 3ab²+ b³= C₃⁰a³b⁰+ C¹₃a²b¹+ C₃²a¹b²+ C₃³a⁰b³

Mꢕꢄrꢐng ra:

(a + b)ⁿ=C⁰_naⁿb⁰+ C¹_naⁿ⁻¹b¹+ ........+ C_n^ka^n−kb^k+ ................ + Cⁿ_na⁰bⁿ

Công thꢂc trên gꢈi làꢄcông thꢂc nhꢟꢄthꢂc Newton.

Ta chꢂng minh công thꢂc nhꢟꢄthꢂc Newton theo qui nꢏp..

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..4

Vꢍi n = 2 ta cóꢄcông thꢂc ñúng.

Giꢅꢄsꢒꢄcông thꢂc ñúng vꢍi n = m tꢂc là:

(a + b)^m=C⁰_ma^mb⁰+ C¹_ma^m−1b¹+ ....... + C_m^ma⁰b^m

Ta sꢤꢄchꢂng minh:

(a + b)^m+1=C⁰_m+1a^m+1b⁰+ C¹_m+1a^mb¹+ ......... + C a⁰b^m+1

m+1

Thꢞt vꢞy:

(a + b)^m+1=(a + b)^m(a + b)=(C⁰_maⁿb⁰+... + C_m^ka^m−kb^k+... + C^m_ma⁰b^m)(a + b) =>

(a + b)^m+1=(C_m⁰+ C_m¹)a^m+1b⁰+ ... + (C_m^k−1+ C_m^k)a^m+1−kb^k+ ... + (C_m^m−1+ C_m^m)a⁰b^m+1

Mꢣt khác: C^k_m⁻¹+ C_m^k= C_m^k₊₁suy ra:

(a + b)^m+1=C⁰_m+1a^m+1b⁰+ C¹_m+1a^mb¹+.........+ C a⁰b^m+1

m+1

.

m+1

Theo nguyên lýꢄqui nꢏp công thꢂc nhꢟꢄthꢂc Newton ñưꢇc chꢂng minh.

1

Víꢇdꢈ:ꢄTìm hꢎꢄsꢑꢄcꢌa x¹²trong khai triꢉn: (x +

)

20

x²

1

Ta có: (x + )²⁰=C⁰₂₀x²⁰+........+ C₂^k₀x^20−2k+.......+ C²⁰

.

20

x

x²⁰

Xét 20 - 2 k = 12

=> k = 4 V

ꢞ

y hꢎꢄ

s

ꢑꢄcꢌa x¹²ꢄlà

II. Phép thꢀ, sꢂꢁkiꢃn

1.Phép thꢉꢇngꢊu nhiên vàꢇkhông ngꢊu nhiên

:

C⁴=4745

20

Mꢐt phép thꢒꢄcóꢄthꢉꢄcoi làꢄmꢐt thíꢄnghiꢎm, mꢐt quan sát các hiꢎn tưꢇng tꢔꢄnhiên, các

hiꢎn tưꢇng xãꢄhꢐi vàꢄcác vꢗn ñꢃꢄkĩꢄthuꢞt vꢍi cùng mꢐt hꢎ ñiꢃu kiꢎn nào ñó.

Trong các loꢏi phép thꢒꢄcóꢄnhꢀng phép thꢒꢄmàꢄꢄkhi bꢚt ñꢖu tiꢁn hành thꢔc hiꢎn ta ñãꢄbiꢁt

ñưꢇc kꢁt quꢅꢄsꢤꢄxꢅy ra sau khi thꢒꢄnhư ñun nưꢍc ꢕꢄñiꢃu kiꢎn bình thưꢊng (dưꢍi áp suꢗt 1

atmotphe) thìꢄñꢁn 100^oC nưꢍc sꢤꢄsôi, hoꢣc cho dung dꢟch NaOH không dư vào dung dꢟch

HCl cũng không dư ta thu ñưꢇc muꢑi ăn NaCl vàꢄnưꢍc H₂O.

Nhꢀng phép thꢒꢄmàꢄkhi bꢚt ñꢖu tiꢁn hành thꢒꢄta biꢁt ñưꢇc nhꢀng kꢁt quꢅꢄnào sꢤꢄxꢅy ra

sau khi thꢒꢄñưꢇc gꢈi làꢄcác phép thꢒꢄkhông ngꢓu nhiên.

Tuy nhiên cóꢄrꢗt nhiꢃu loꢏi phép thꢒꢄmàꢄngay khi bꢚt ñꢖu tiꢁn hành phép thꢒꢄta không

thꢉꢄbiꢁt ñưꢇc nhꢀng kꢁt quꢅꢄnào sꢤꢄxꢅy ra sau khi thꢒꢄchꢥng hꢏn như khi gieo 100 hꢏt

ñꢞu giꢑng, sꢑꢄhꢏtꢄnꢅy mꢖm sau mꢐt thꢊi gian gieo cóꢄthꢉꢄlàꢄtꢛꢄ0 ñꢁn 100 hoꢣc khi cho ꢗp

10 quꢅꢄtrꢂng thìꢄsꢑꢄtrꢂng gàꢄcóꢄthꢉꢄnꢕꢄra gàꢄcon làꢄtꢛꢄ0 ñꢁn 10 con. Nhꢀng phép thꢒꢄloꢏi

này gꢈi làꢄnhꢀng phép thꢒꢄngꢓu nhiên.

Trong giáo trình này chúng ta chꢙꢄquan tâm tꢍi nhꢀng phép thꢒꢄngꢓu nhiên, ñóꢄlàꢄnhꢀng

phép thꢒꢄmàꢄkhi bꢚt ñꢖu tiꢁn hành thꢒꢄta chưa thꢉꢄbiꢁt nhꢀng kꢁt quꢅꢄnào sꢤꢄxꢅy ra. ðꢉꢄ

ñơn giꢅn tꢛꢄñây trꢕꢄñi khi nói tꢍi phép thꢒꢄta phꢅi hiꢉu ñꢗy làꢄphép thꢒꢄngꢓu nhiên

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..5

2. Sꢋꢇkiꢌn:

Các kꢁt quꢅꢄcóꢄthꢉꢄcóꢄcꢌa mꢐt phép thꢒꢄꢂng vꢍi mꢐt bꢐꢄcác ñiꢃu kiꢎn xác ñꢟnh nào ñóꢄgꢈi

làꢄcác sꢔꢄkiꢎn ngꢓu nhiên hoꢣc ñơn giꢅn gꢈi làꢄcác sꢔꢄkiꢎn hoꢣc các biꢁn cꢑ.

Ta thưꢊng lꢗy các chꢀꢄcái A, B, C, D. . .. . . hoꢣc A_i, B_j, C_k, D_n.. . . ñꢉꢄchꢙꢄcác sꢔꢄkiꢎn.

Víꢇdꢈꢇ1: Tung mꢐt con xúc xꢚc cân ñꢑi vàꢄñꢘng chꢗt cóꢄthꢉꢄcóꢄcác sꢔꢄkiꢎn sau:

A: Sꢔꢄkiꢎn xuꢗt hiꢎn mꢣt chꢦn

B: Sꢔꢄkiꢎn xuꢗt hiꢎn mꢣt lꢧ

A_i: Sꢔꢄkiꢎn xuꢗt hiꢎn mꢣt có i chꢗm.

Víꢇdꢈꢇ2: Trong mꢐt giꢝꢄñꢔng hoa quꢅꢄcóꢄchꢂa 1 quꢅꢄcam, 1 quꢅꢄquýt, 1 quꢅꢄñào vàꢄ1

quꢅꢄlê. Chꢈn ngꢓu nhiên ra 2 quꢅꢄcóꢄthꢉꢄcóꢄcác sꢔꢄkiꢎn sau:

A: Hai quꢅꢄñưꢇc chꢈn gꢘm 1 cam 1 quýt

B: Hai quꢅꢄñưꢇc chꢈn gꢘm 1 cam 1 ñào

C: Hai quꢅꢄñưꢇc chꢈn gꢘm 1 cam 1 lê

D: Hai quꢅꢄñưꢇc chꢈn gꢘm 1 quýt 1 lê

E: Hai quꢅꢄñưꢇc chꢈn gꢘm 1 quýt 1 ñào

G: Hai quꢅꢄñưꢇc chꢈn gꢘm 1 ñào 1 lê

3. Sꢋꢇkiꢌn tꢍt yꢎu vàꢇsꢋꢇkiꢌn không thꢏꢇcó

Sꢔꢄkiꢎn tꢗt yꢁu hoꢣc sꢔꢄkiꢎn chꢚc chꢚn làꢄsꢔꢄkiꢎn nhꢗt thiꢁt phꢅi xꢅy ra sau khi phép thꢒꢄ

ñưꢇc thꢔc hiꢎn. Ta kí hiꢎu sꢔꢄkiꢎn này làꢄ

Ω ..

Sꢔꢄkiꢎn không thꢉꢄcóꢄhoꢣc sꢔꢄkiꢎn bꢗt khꢅꢄhoꢣc sꢔꢄkiꢎn rꢢng làꢄsꢔꢄkiꢎn không bao giꢊꢄ

xꢅy ra sau khi thꢒ. Ta kíꢄhiꢎu sꢔꢄkiꢎn này làꢄ

Víꢇdꢈ:ꢄðꢂng tꢏi HàꢄNꢐi ném mꢐt hòn ñáꢄ

φ .

Sꢔꢄkiꢎn ñáꢄrơi xuꢑng ñꢟa giꢍi Viꢎt Nam làꢄsꢔꢄkiꢎn tꢗt yꢁu

Sꢔꢄkiꢎn ñáꢄrơi xuꢑng ðꢏi Tây Dương làꢄsꢔꢄkiꢎn bꢗt khꢅ.

4. Quan hꢌꢇgiꢐa các sꢋꢇkiꢌn, hai sꢋꢇkiꢌn bꢑng nhau

Sꢔꢄkiꢎn A ñưꢇc gꢈi làꢄkéo theo sꢔꢄkiꢎn B nꢁu A xꢅy ra thìꢄB cũng xꢅy ra vàꢄkíꢄhiꢎu

A

⊂

B ( hoꢣc A ⇒ B).

Nꢁu A kéo theo B vàꢄB kéo theo A thìꢄta nói A bꢡng B vàꢄviꢁt A = B. Trong xác suꢗt hai

sꢔꢄkiꢎn bꢡng nhau ñưꢇc coi làꢄmꢐt

Víꢇdꢈ: Mꢐt hꢈc sinh thi hꢁt mꢐt môn hꢈc

A làꢄsꢔꢄkiꢎn hꢈc sinh ñóꢄñꢢꢄ(ñꢏt ñiꢉm tꢛꢄ5 tꢍi 10)

B làꢄsꢔꢄkiꢎn hꢈc sinh ñóꢄñꢢꢄtrung bình hoꢣc kháꢄ(ñꢏt ñiꢉm tꢛꢄ5 tꢍi 8)

C làꢄsꢔꢄkiꢎn hꢈc sinh ñóꢄñꢢꢄkháꢄhoꢣc giꢝi

G làꢄsꢔꢄkiꢎn hꢈc sinh ñóꢄñꢢꢄgiꢝi (ñꢏt ñiꢉm 9, 10)

K làꢄsꢔꢄkiꢎn hꢈc sinh dꢑꢄñꢢꢄkháꢄ(ñꢏt ñiꢉm 7, 8)

TB làꢄsꢔꢄkiꢎn hꢈc sinh ñóꢄñꢢꢄtrung bình (ñꢏt ñiꢉm 5, 6)

A_iꢄlàꢄsꢔꢄkiꢎn hꢈc sinh ñóꢄñꢏt i ñiꢉm (i = 0, 1, . . . .,9, 10).

Ta có: G ⇒ A;B⇒A;C⇒A;A₆⇒ A;A₉⇒ G;A₇⇒B;A₇⇒K;A₅⇒TB...

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..6

5.Các phép tính vꢒꢇsꢋꢇkiꢌn

5.1 Phép hꢎp: Hꢇp cꢌa 2 sꢔꢄkiꢎn A vàꢄB làꢄsꢔꢄkiꢎn C, sꢔ kiꢎn C xꢅy ra khi A xꢅy ra hoꢣc

B xꢅy ra.

Kíꢄhiꢎu: A Υ B=C ꢄvàꢄñꢈc làꢄA hꢇp B bꢡng C

Ta cóꢄthꢉꢄmô tꢅꢄhꢇp cꢌa 2 sꢔꢄkiꢎn A vàꢄB bꢡng hình vꢤꢄsau:

ꢄꢄHình 1

Dꢔa vào hình vꢤ trên có thꢉ thꢗy C xꢅy ra khi:

• A xꢅy ra và B không xꢅy ra.

• B xꢅy ra và A không xꢅy ra.

• Cꢅ A và B cùng xꢅy ra.

Vì vꢞy có thꢉnói hꢇp cꢌa hai sꢔ kiꢎn A và B là mꢐt sꢔ kiꢎn C xꢅy ra khi ít nhꢗt 1 trong 2

sꢔ kiꢎn A, B xꢅy ra.

Víꢇdꢈ: Mꢐt sinh viên thi hꢁt mꢐt môn hꢈc

Gꢈi : A làꢄsꢔꢄkiꢎn sinh viên ñóꢄkhông phꢅi thi lꢏi (ñiꢉm thi tꢛꢄ5 ñꢁn 10)

B làꢄsꢔꢄkiꢎn sinh viên ñóꢄñꢏt ñiꢉm trung bình kháꢄ(ñiꢉm thi tꢛꢄ5 ñꢁn 8)

C làꢄsꢔꢄkiꢎn sinh viên ñóꢄñꢏt ñiꢉm kháꢄgiꢝi ( ñiꢉm thi tꢛꢄ7 ñꢁn 10)

Ta có: A = BΥC .

5.2 Phép giao: Giao cꢌa 2 sꢔꢄkiꢎn A vàꢄB làꢄsꢔꢄkiꢎn D, sꢔ kiꢎn Dꢄxꢅy ra khi cꢅꢄA vàꢄB

cùng xꢅy ra.

Kíꢄhiꢎu: A Ι B= D hoꢣc AB = Dꢄvàꢄñꢈc làꢄA giao B bꢡng D hoꢣc A nhân B bꢡng D

Hình vꢤꢄsau mô tꢅꢄgiao cꢌa 2 sꢔꢄkiꢎn A vàꢄB

ꢄꢄꢄHình 2

Víꢇdꢈ: Quay lꢏi víꢄdꢠꢄꢕꢄmꢠc 5.1

Gꢈi Kꢄlàꢄsꢔꢄkiꢎn sinh viên ñóꢄñꢏt ñiꢉm kháꢄ(ñiꢉm thi tꢛꢄ7 ñꢁn 8)

Ta có: K = B Ι C

Nꢁu A Ι B=φ ta nói A vàꢄB làꢄ2 sꢔꢄkiꢎn xung khꢚc vꢍi nhau. Khi A xung khꢚc vꢍi B thìꢄ

hꢇp cꢌa 2 sꢔꢄkiꢎn A vàꢄB ñưꢇc kíꢄhiꢎu làꢄA + B vàꢄñꢈc làꢄA cꢐng B.

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..7

5.3 Phép trꢒ. Sꢓꢇkiꢃn ñꢆi lꢐp: Hiꢎu cꢌa sꢔꢄkiꢎn A trꢛꢄsꢔꢄkiꢎn B làꢄsꢔꢄkiꢎn E, sꢔ kiꢎn E

xꢅy ra khi A xꢅy ra vàꢄB không xꢅy ra.

Kíꢄhiꢎu: A\B= E vàꢄñꢈc làꢄA trꢛꢄB bꢡng E

Ta cũng cóꢄthꢉꢄmô tꢅꢄhiꢎu cꢌa sꢔꢄkiꢎn A trꢛꢄsꢔꢄkiꢎn B bꢡng hình vꢤ sau:

ꢄHình 3

Dꢋꢄnhꢞn thꢗy rꢡng: Nꢁu AΙ B = φ ꢄthìꢄA \ B = A

__

Sꢔꢄkiꢎn : Ω \ A ꢄGꢈi làꢄsꢔꢄkiꢎn ñꢑi lꢞp cꢌa sꢔꢄkiꢎn A vàꢄkíꢄhiꢎu làꢄA .

Tꢛꢄñꢟnh nghĩa sꢔꢄkiꢎn ñꢑi lꢞp cꢌa sꢔꢄkiꢎn A ta thꢗy:

__

* A vàꢄ A . xung khꢚc vꢍi nhau

__

* Nꢁu A không xꢅy ra thìꢄA ꢄxꢅy ra vàꢄngưꢇc lꢏi

Hai sꢔꢄkiꢎn ñꢑi lꢞp nhau xung khꢚc vꢍi nhau “mꢏnh mꢤ” theo kiꢉu cóꢄanh thìꢄkhông cóꢄ

tôi nhưng không cóꢄanh thìꢄphꢅi cóꢄtôi.

Víꢇdꢈ: Mꢐt tꢆꢄhꢈc sinh gꢘm 3 hꢈc sinh nam 3 hꢈc sinh nꢀ. Chꢈn ngꢓu nhiên 2 ngưꢊi.

Gꢈi : A làꢄsꢔꢄkiꢎn 2 hꢈc sinh ñưꢇc chꢈn làꢄcùng giꢍi

B làꢄsꢔꢄkiꢎn 2 hꢈc sinh ñưꢇc chꢈn ñꢃu làꢄnam

C làꢄsꢔꢄkiꢎn 2 hꢈc sinh ñưꢇc chꢈn ñꢃu làꢄnꢀ

D làꢄsꢔꢄkiꢎn 2 hꢈc sinh ñưꢇc chꢈn cóꢄmꢐt nam mꢐt nꢀ

Ta cóꢄA \ B = C, D = A .

Hình sau mô tꢅꢄsꢔꢄkiꢎn ñꢑi lꢞp cꢌa sꢔꢄkiꢎn A

ꢄꢄHình 4

5.4 Tính chꢅt

1/

2/

3/

4/

φ

⇒

A ; A

A Υφ=A ; Aφ=φ ; A ΥΩ= Ω ; AΩ=A

Nꢁu B ; B ꢄthìꢄA ⇒ C

A ΥB=BΥA ; AB=BA

⇒

Ω ∀A

A

⇒

C

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..8

5/

6/

A Υ(BΥC)=(A ΥB) ΥC ; A(BC)=(AB)C

A(BΥC)=ABΥAC ; A Υ(BC)=(A ΥB)(A ΥC)

__

7/

8/

A \ B=AB

________

__ __

____

__

A Υ B= A B ; AB= AΥ B

Viꢎc chꢂng minh các tính chꢗt trên kháꢄdꢋꢄdàng xin dành cho bꢏn ñꢈc. Chúng tôi chꢙꢄ

chꢂng minh tính chꢗt 8 phꢖn 1 như làꢄmꢐt víꢄdꢠꢄminh hoꢏꢄcho viꢎc chꢂng minh các sꢔꢄ

kiꢎn bꢡng nhau:

_______

__ __

Ta chꢂng minh: A Υ B= A B

_______

Giꢅꢄsꢒꢄ A Υ Bꢄxꢅy ra theo ñꢟnh nghĩa cꢌa sꢔꢄkiꢎn ñꢑi lꢞp => A Υ B không xꢅy ra, theo

ñꢟnh nghĩa cꢌa hꢇp hai sꢔꢄkiꢎn => A không xꢅy ra vàꢄB không xꢅy ra, lꢏi theo ñꢟnh nghĩa

__

cꢌa sꢔꢄkiꢎn ñꢑi lꢞp => A ꢄxꢅy ra vàꢄB ꢄxꢅy ra, theo ñꢟnh nghĩa cꢌa phép giao hai sꢔꢄkiꢎn

__ __

=> A B . xꢅy ra.

_______

__ __

Vꢞy ta có: A ΥB ⇒ AB

__ __

(1)

__

Ngưꢇc lꢏi giꢅꢄsꢒꢄ A Bꢄxꢅy ra, theo ñꢟnh nghĩa cꢌa phép giao, => A ꢄxꢅy ra vàꢄ B ꢄxꢅy ra,

lꢏi theo ñꢟnh nghĩa cꢌa sꢔꢄkiꢎn ñꢑi lꢞp => A không xꢅy ra vàꢄB không xꢅy ra, theo ñꢟnh

nghĩa cꢌa hꢇp hai sꢔꢄkiꢎn => A Υ B. không xꢅy ra, theo ñꢟnh nghĩa cꢌa sꢔꢄkiꢎn ñꢑi lꢞp

_______

__ __

________

=> A Υ Bꢄxꢅy ra. Vꢞy ta cũng có: A B⇒ A Υ B

(2)

_______

__ __

Tꢛꢄ(1) vàꢄ(2) => A Υ B= A B

6. Sꢋꢇkiꢌn cóꢇthꢏꢇphân chia ñưꢄc, sꢋꢇkiꢌn sơ cꢍp cơ bꢓn

6.1 Sꢓꢇkiꢃn cóꢇthꢔꢇphân chia ñưꢎc

Sꢔꢄkiꢎn A ñưꢇc gꢈi làꢄcóꢄthꢉꢄphân chia ñưꢇc nꢁu tꢘn tꢏi hai sꢔꢄkiꢎn B ≠

φ , C ≠ φ ,

BC =

φ

ꢄvàꢄA = B + C. Khi ñóꢄta nói A phân chia ñưꢇc thành hai sꢔꢄkiꢎn B vàꢄC.

Víꢇdꢈ: Trong mꢐt con xúc xꢚc cân ñꢑi vàꢄñꢘng chꢗt.

ꢄGꢈi A làꢄsꢔꢄkiꢎn xuꢗt hiꢎn mꢣt cóꢄsꢑꢄchꢗm chia hꢁt cho 3.

ꢄGꢈi A_ilàꢄsꢔꢄkiꢎn xuꢗt hiꢎn mꢣt i chꢗm

Sꢔꢄkiꢎn A cóꢄthꢉꢄphân chia ñưꢇc vìꢄtꢘn tꢏi A₃; A₆≠φ; A₃A₆=φ ꢄvàꢄ A = A₃+ A₆.

6.2 Sꢓꢇkiꢃn sơ cꢅp cơ bꢕn: Sꢔꢄkiꢎn khác rꢢng vàꢄkhông thꢉꢄphân chia ñưꢇc gꢈi làꢄsꢔꢄkiꢎn

sơ cꢗp cơ bꢅn.

Víꢇdꢈ: Quay lꢏi víꢄdꢠꢄꢕꢄmꢠc 6.1. Các sꢔꢄkiꢎn A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ꢄlàꢄcác sꢔꢄkiꢎn sơ

cꢗp cơ bꢅn.

Ta nhꢞn thꢗy rꢡng các sꢔꢄkiꢎn sơ cꢗp cơ bꢅn làꢄcác sꢔꢄkiꢎn màꢄsau mꢐt phép thꢒꢄchꢙꢄcóꢄ

mꢐt trong các sꢔꢄkiꢎn này xꢅy ra.

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..9

7. Hꢌꢇñꢔy ñꢕꢇcác sꢋꢇkiꢌn

7.1 Hꢃꢇñꢋy ñꢊꢇcác sꢓꢇkiꢃn: Hꢎꢄcác sꢔꢄkiꢎn A₁, A₂,. ... A_nꢄgꢈi làꢄmꢐt hꢎꢄñꢖy ñꢌꢄcác sꢔꢄkiꢎn

nꢁu:

1/ A_i≠φ vꢍi mꢈi i = 1, 2 . . . . n

2/ A_iA_j=φ vꢍi mꢈi i khác j

3/ A₁+ A₂+.. . . . . .+ A_n=

Ω

Víꢇdꢈ: ðem hai cáꢄthꢉꢄꢕꢄthꢁꢄhꢎꢄF₁mang gen Aa, Aa lai vꢍi nhau. Các cáꢄthꢉꢄcon ꢕꢄthꢁꢄ

hꢎꢄF₂ꢄcóꢄthꢉꢄcóꢄ1 trong 4 kiꢉu gien AA, Aa, aA và aa. Chꢈn 1 cáꢄthꢉꢄcon trong các cáꢄthꢉꢄ

nói trên.

ꢄGꢈi: A làꢄsꢔꢄkiꢎn cáꢄthꢉꢄcon làꢄñꢘng hꢇp tꢒꢄ(mang gen AA hoꢣc aa)

B làꢄsꢔꢄkiꢎn cáꢄthꢉꢄcon làꢄdꢟꢄhꢇp tꢒꢄ(mang gen Aa hoꢣc aA)

C làꢄsꢔꢄkiꢎn cáꢄthꢉꢄcon cóꢄmang gen trꢐi (AA, Aa, aA)

A₁ꢄlàꢄsꢔꢄkiꢎn cáꢄthꢉꢄcon chꢙꢄmang gen trꢐi (AA)

A₂ꢄlàꢄsꢔꢄkiꢎn cáꢄthꢉꢄcon chꢙꢄmang gen lꢣn (aa)

Ta có: A, B làꢄmꢐt hꢎꢄñꢖy ñꢌꢄcác sꢔꢄkiꢎn

C, A₂ꢄcũng làꢄmꢐt hꢎꢄñꢖy ñꢌꢄcác sꢔꢄkiꢎn

B, A₁, A₂ꢄcũng làꢄmꢐt hꢎꢄñꢖy ñꢌꢄcác sꢔꢄkiꢎn

Như vꢞy: vꢍi mꢐt phép thꢒꢄñãꢄcho cóꢄthꢉꢄcóꢄnhiꢃu hꢎꢄñꢖy ñꢌꢄcác sꢔꢄkiꢎn khác nhau.

7.2 Phân chia mꢄt sꢓꢇkiꢃn theo hꢃꢇñꢋy ñꢊ.

GiꢅꢄsꢒꢄA₁, A₂, . ...A_nlàꢄmꢐt hꢎꢄñꢖy ñꢌꢄcác sꢔꢄkiꢎn. A làꢄmꢐt sꢔꢄkiꢎn khác rꢢng nào ñó. Ta

có:

A= AΩ=A(A₁+ A₂+..........+ A_n)=AA₁+....AA_i+.....AA_n

Khi ñóꢄta nói A ñưꢇc phân chia gián tiꢁp nhꢊꢄhꢎꢄñꢖy ñꢌꢄcác sꢔꢄkiꢎn: A₁, A₂, A₃,..., A_n.

Như ñãꢄbiꢁt vꢍi mꢢi phép thꢒꢄcóꢄthꢉꢄlꢞp ra nhiꢃu hꢎꢄñꢖy ñꢌꢄcác sꢔꢄkiꢎn vìꢄvꢞy mꢢi sꢔꢄ

kiꢎn khác rꢢng A cũng cóꢄthꢉꢄphân chia theo nhiꢃu cách khác nhau. Mꢠc ñích cꢌa viꢎc

phân chia sꢔꢄkiꢎn A ra mꢐt sꢑꢄsꢔꢄkiꢎn ñơn giꢅn hơn nhꢡm ñánh giáꢄkhꢅ năng xꢅy ra cꢌa

sꢔꢄkiꢎn A nhꢊꢄcác sꢔꢄkiꢎn ñơn giꢅn này.

8. ðꢖi sꢗꢇvàꢇ

Xét ꢄlàꢄmꢐt tꢞp hꢇp khác rꢢng màꢄta gꢈi làꢄsꢔꢄkiꢎn chꢚc chꢚn. Cꢄlàꢄmꢐt hꢈꢄcác tꢞp con

nào ñóꢄcꢌa

σ - ñꢖi sꢗꢇcác sꢋꢇkiꢌn

Ω

.Mꢢi tꢞp con A cꢌa

Ω

, A∈Cꢄꢄgꢈi làꢄmꢐt sꢔꢄkiꢎn. HꢈꢄC ñưꢇc gꢈi làꢄ

σ

−

ñꢏi sꢑꢄcác sꢔꢄkiꢎn nꢁu:

1/ φ∈C .

__

2/ Nꢁu A

∈ C thìꢄ A∈C

∞

3/ Nꢁu A₁, A₂. . . . . . A_n. . .làꢄcác sꢔꢄkiꢎn thuꢐc Cꢄthìꢄ Υ A_n∈C

n=1

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..10

HꢈꢄC ñưꢇc gꢈi làꢄñꢏi sꢑꢄcác sꢔꢄkiꢎn nꢁu yêu cꢖu 1, 2 nêu trên thoꢅꢄmãn vàꢄhꢇp cꢌa mꢐt

sꢑꢄhꢀu hꢏn các sꢔꢄkiꢎn thuꢐc Cꢄcũng làꢄmꢐt sꢔꢄkiꢎn thuꢐc C. Ta nhꢞn thꢗy rꢡng nꢁu Cꢄlàꢄ

σ

−

ñꢏi sꢑꢄcác sꢔꢄkiꢎn thìꢄCꢄcũng làꢄmꢐt ñꢏi sꢑꢄcác sꢔꢄkiꢎn.

Víꢇdꢈ: Tung ñꢘng thꢊi 2 ñꢘng tiꢃn, các sꢔꢄkiꢎn sơ cꢗp cơ bꢅn là:

SS, SN, NS, NN. Xét = SS + SN +NS +NN.

Ω

Tꢞp tꢗt cꢅꢄcác tꢞp hꢇp con cꢌa

sꢔꢄkiꢎn

Ω ꢄlàꢄmꢐt ñꢏi sꢑꢄcác sꢔꢄkiꢎn.và cũng làꢄmꢐt σ − ñꢏi sꢑꢄcác

Bài tꢇp chương 1

1. Mꢐt ñoꢏn gen gꢘm 2 gen X, 2 gen Y, 2 gen Z, 2 gen T liên kꢁt vꢍi nhau theo mꢐt hàng

dꢈc.

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..11

a.ꢄHꢝi cóꢄbao nhiêu cách liên kꢁt 8 gen nói trên?

b.ꢄHꢝi cóꢄbao nhiêu cách liên kꢁt ñꢉꢄ2 gen X ñꢂng liꢃn nhau?

c.ꢄHꢝi cóꢄbao nhiêu cách liên kꢁt ñꢉꢄcóꢄ3 gen XYZ ñꢂng liꢃn nhau theo thꢂꢄtꢔꢄtrên.

2.ꢄCóꢄ10 ngưꢊi xꢁp theo mꢐt hàng dꢈc

a.ꢄCóꢄbao nhiêu cách sꢚp xꢁp ñꢉꢄ2 ngưꢊi A vàꢄB ñꢂng liꢃn nhau?

b.ꢄCóꢄbao nhiêu cách sꢚp xꢁp ñꢉꢄ2 ngưꢊi A vàꢄB ñꢂng cách nhau ñúng 3 ngưꢊi?

3. Cóꢄthꢉꢄlꢞp ñưꢇc bao nhiêu sꢑꢄgꢘm 10 chꢀꢄsꢑꢄkhác nhau sao cho:

a.Không cóꢄ2 chꢀꢄsꢑꢄchꢦn nào ñꢂng liꢃn nhau

b. Không cóꢄ2 chꢀꢄsꢑꢄlꢧꢄnào ñꢂng liꢃn nhau

c.ꢄCác chꢀꢄsꢑꢄchꢦn ñꢂng liꢃn nhau

d.ꢄCác chꢀꢄsꢑꢄlꢧꢄñꢂng liꢃn nhau

4. Cho 6 chꢀꢄsꢑ: 1, 2, 3, 4, 5, 6

a.ꢄCóꢄthꢉꢄlꢞp ñưꢇc bao nhiêu sꢑꢄgꢘm 8 chꢀꢄsꢑꢄsao cho chꢀꢄsꢑꢄ1 vàꢄchꢀꢄsꢑꢄ2 mꢢi chꢀꢄsꢑꢄ

cóꢄmꢣt ñúng 2 lꢖn, các chꢀꢄsꢑꢄcòn lꢏi cóꢄmꢣt ñúng 1 lꢖn.

b.ꢄCóꢄthꢉꢄlꢞp ñưꢇc bao nhiêu sꢑꢄchꢦn gꢘm 8 chꢀꢄsꢑꢄtrong ñóꢄchꢀꢄsꢑꢄ2 cóꢄmꢣt ñúng 3 lꢖn,

các chꢀꢄsꢑꢄcòn lꢏi cóꢄmꢣt ñúng mꢐt lꢖn.

c.ꢄCóꢄthꢉꢄlꢞp ñưꢇc bao nhiêu sꢑꢄlꢧꢄgꢘm 8 chꢀꢄsꢑꢄtrong ñóꢄchꢀꢄsꢑꢄ1 cóꢄmꢣt ñúng 3 lꢖn,

các chꢀꢄsꢑꢄcòn lꢏi cóꢄmꢣt ñúng 1 lꢖn.

5*. Trong mꢐt kìꢄthi tin hꢈc quꢑc tꢁꢄtꢏi mꢐt khu vꢔc gꢘm 6ꢄphòng thi ñánh sꢑꢄtꢛꢄ1 ñꢁn

6 dành cho ba ñoàn Viꢎt nam , MĩꢄvàꢄNga mꢢi ñoàn gꢘm 4ꢄthíꢄsinh. Mꢢi phòng thi cóꢄ2ꢄ

máy tính (không ñánh sꢑ) dành cho 2ꢄthíꢄsinh. Viꢎc xꢁp 2ꢄthíꢄsinh vào mꢢiꢄphòng thi theo

nguyên tꢚc haiꢄthíꢄsinh cùng mꢐt quꢑc tꢟch không ñưꢇc xꢁp cùng mꢐt phòng. Hꢝi cóꢄbao

nhiêu cách sꢚp xꢁp các thíꢄsinh cꢌa ba ñoàn vào 6ꢄphòng?

6*.Dꢈc theo hai bên ñưꢊng vào mꢐt trưꢊng trong hꢈc ngưꢊi ta dꢔꢄñꢟnh trꢘng mꢢi bên 3

cây bàng, 3 cây phưꢇng vàꢄ3 cây bꢡng lăng.

a.ꢄHꢝi cóꢄbao nhiêu cách trꢘng ñꢉꢄcác cây cùng loꢏi trꢘng ñꢑi diꢎn nhau?

b.ꢄHꢝi cóꢄbao nhiêu cách trꢘng ñꢉꢄkhông cóꢄhai cây cùng loꢏi nào trꢘng ñꢑi diꢎn nhau?

7*.ꢄVòng chung kꢁt giꢅi vô ñꢟch bóng ñáꢄchâu Âu gꢘm 16 ñꢐi trong ñóꢄcóꢄñꢐi chꢌꢄnhàꢄvàꢄ

ñꢐi vô ñꢟch bꢑn năm trưꢍc.

a.ꢄCóꢄbao nhiêu cách chia 16 ñꢐi vào bꢑn bꢅng A, B, C, D.

b, Cóꢄbao nhiêu cách chia 16 ñꢐi vào bꢑn bꢅng A, B, C, D sao cho ñꢐi chꢌꢄnhàꢄvàꢄñꢐi

vô ñꢟch bꢑn năm trưꢍc không cùng bꢅng.

c.ꢄGiꢅi bài toán trên trong trưꢊng hꢇp không ñꢉꢄýꢄtꢍi vai tròꢄcꢌa các bꢅng.

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..12

8. Mꢐt ñàn gàꢄgꢘm 4 con gàꢄmái vàꢄ6 con gàꢄtrꢑng. Trong 4 con gàꢄmái cóꢄ2 con màu

vàng, 2 con màu ñen. Trong 6 con gàꢄtrꢑng cóꢄ3 con màu vàng vàꢄ3 con màu ñen. Chꢈn

ngꢓu nhiên 2 con gà

a.ꢄCóꢄbao nhiêu cách chꢈn ñꢉꢄñưꢇc 1 con trꢑng 1 con mái

b.ꢄCóꢄbao nhiêu cách chꢈn ñꢉꢄñưꢇc 2 con màu vàng

c.ꢄCóꢄbao nhiêu cách chꢈn ñꢉꢄñưꢇc1 con trꢑng 1 con mái cùng màu

9. Mꢐt tꢆꢄsinh viên gꢘm 6 nam 4 nꢀ. Trong 6 nam cóꢄ2 sinh viên HàꢄNꢐi vàꢄ4 sinh viên

tꢙnh HàꢄTây. Trong 4 nꢀꢄcóꢄ2 nꢀꢄsinh HàꢄNꢐi vàꢄ2 nꢀꢄsinh Thái Bình. Chꢈn ngꢓu nhiên ra

3 ngưꢊi

a.ꢄCóꢄbao nhiêu cách chꢈn ra 3 sinh viên nam?

b.ꢄCóꢄbao nhiêu cách chꢈn ra 2 sinh viên nam 1 sinh viên nꢀ?

c.ꢄCóꢄbao nhiêu cách chꢈn ra 3 sinh viên gꢘm ñꢌꢄ3ꢄtꢙnh?

10. Cho ña giác ñꢃu gꢘm 2n cꢏnh

a.ꢄHꢝi cóꢄthꢉꢄlꢞp ñưꢇc bao nhiêu hình chꢀꢄnhꢞt cóꢄ4 ñꢙnh làꢄ4 ñꢙnh cꢌa ña giác ñꢃu này?

b. Hꢝi ña giác ñꢃu nói trên cóꢄbao nhiêu ñưꢊng chéo?

11. Cho tꢞp A =

{

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

}

a. A cóꢄbao nhiêu tꢞp con cóꢄít nhꢗt 2 chꢀꢄsꢑꢄnhꢝꢄhơn 6

b. A cóꢄbao nhiêu tꢞp con cóꢄít nhꢗt 2 chꢀꢄsꢑꢄlꢍn hơn 6

12.ꢄCóꢄ4 viên bi giꢑng nhau ñưꢇc bꢝꢄvào 3ꢄcái hꢐp. Hꢝi cóꢄbao nhiêu cách bꢝ?

13*.ꢄCóꢄ4 hành khách ñꢇi tàu tꢏi nhàꢄga A ñꢉꢄñi tꢍi B. Mꢐt ñoàn tàu gꢘm 4 toa chuꢨn bꢟꢄ

rꢊi ga A ñꢉꢄñi tꢍi B.

a.ꢄCóꢄbao nhiêu cách lên tàu cꢌa 4ꢄhành khách trên.

b.ꢄCó bao nhiêu cách lên tàu cꢌa 4ꢄhành khách trên sao cho mꢢi ngưꢊi lên mꢐt toa.

c.ꢄCóꢄbao nhiêu cách ñꢉ 4ꢄhành khách trên lên hai toa mꢢi toa 2 ngưꢊi.

2

14. Trong khai triꢉn (x − )⁵⁰.

x²

a.ꢄTìm sꢑꢄhꢏng không ch

b.ꢄTìm h

ꢑꢄcꢌa x²⁰

c.ꢄTìm hꢎꢄ

ꢑꢄcꢌa x^-40

15. Ch ng minh cá ñꢘng nh

C¹_nC^k_n

............. ......

2C²_nkC^k_n

ꢂ

a x

ꢎ

s

ꢂ

c

ꢗ

t th

ꢂ

c:

C_nⁿ

nCⁿ_n

a. C⁰_n

b. C¹_n

+

=

2ⁿ

n2ⁿ⁻¹

+

........

+

.....

=

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..13

1

2

1

2ⁿ⁺¹

−

1

c. C⁰_n

+

C¹_n

+

......

+

C_n^k

+

.....

+

C_nⁿ

=

k

+

1

n

+

1

n

+

1

2k

2n

2n−1

2n

C⁰_2n+ C²_2n+ ..... + C + .... + C =C¹_2n+ C³_2n+ .... + C₂^2k_n⁺¹+ ...... + C

d.

2n

16. Cho p, q > 0, p + q = 1. Tìm sꢑꢄhꢏng l

ꢍ

n nhꢗt trongꢄdãy sꢑꢄsau:

C⁰_np⁰qⁿ;C¹_npqⁿ⁻¹;.................;C_n^kp^n−kq^k;..........;Cⁿ_npⁿq⁰

17.

18.

X

ꢁ

p 3 ngưꢊi theo m

ꢐ

t

hàng dꢈc. Nêu các sꢔꢄki

y ng

u nhiên 2 ngưꢊi. Nêu t

u gen Aa Bb em lai v

ꢎ

n s

ơ

c

ꢗ

p cơ bꢅ

các sꢔꢄki

i nhau. Hãy nêu các kiꢉ

n

Tꢛꢄ4 ngưꢊi A, B, C, D l

ꢗ

ꢓ

ꢞ

p

ꢎn s

ơ

cꢗ

p cơ bꢅn.

19. Hai cáꢄthꢉꢄsinh v

ꢞt

cóꢄcùng ki

ꢉ

ñ

ꢍ

u gen

cóꢄthꢉꢄcóꢄcꢌ

a

các

cáꢄthꢉꢄcon.

20. ꢛꢄhai nhó

T

m

hꢈc sinh, nhóm thꢂꢄnh

ꢗ

t g

nhóm ra 2 hꢈc sinh.

ng v

phép thꢒꢄtrên

ꢘm 4ꢄhꢈc sinh nam A, B, C, D nhóm thꢂꢄhai

g

ꢘ

m 4ꢄhꢈc sinh nꢀꢄX, Y, Z, T. Chꢈn m

a.ꢄChꢙꢄra t các sꢔꢄki n s p cơ bꢅ

b.ꢄChꢙꢄra hai hꢎꢄñꢖ ñꢌꢄcác sꢔꢄki n.

ꢢi

ꢞ

p

ꢎ

ơ

cꢗ

n

ꢂ

ꢍ

i

y

ꢎ

21. Tung m

a.Hã chꢙꢄra các sꢔꢄki

b.Hã chꢙꢄra m t hꢎꢄñꢖ

ꢐ

t l

ꢖ

n 3 ñꢘng ti

n s

ñꢌꢄcác sꢔꢄki

ꢃ

n.

y

ꢎ

ơ cꢗp cơ bꢅn.

y

ꢐ

y

ꢎn

chꢙꢄgꢘm hai sꢔꢄki

ꢎn

22. Tung ñꢘng th

a.ꢄCóꢄbao nhiêu sꢔꢄki

b.ꢄHã chꢙꢄra m t hꢎꢄñꢖ

ꢊ

i hai con xúc x

n s

p cơ bꢅ

ñꢌꢄcác sꢔꢄki

ꢚ

c.

ꢎ

ơ

cꢗ

n

y

ꢐ

y

ꢎ

n gꢘm 11 sꢔꢄki

ꢎn

23.

a.ꢄCóꢄbao nhiêu sꢔꢄki

b.ꢄCóꢄbao nhiêu sꢔꢄki

Khi n = 3ꢄChꢈn ng u nhiên 3 ñꢙnh cꢌa m

c.ꢄCóꢄbao nhiêu sꢔꢄki n s p cơ bꢅn?

d.ꢄCóꢄbao nhiêu sꢔꢄki n ba ñꢙnh ñưꢇ chꢈn l

M

ꢐ

t

ñ

a

giá

c

ñꢃu g

ꢘ

m 2n cꢏnh (n > 2). Chꢈn ng

n s

p cơ bꢅn?

ñꢉꢄ ñꢙnh ñưꢇ

ꢓ

u nhiên b

ꢑ ñꢙnh.

n

ꢎ

ơ ꢗ

c

ꢎ

n

bꢑ

n

c

chꢈn lâp thành hình chꢀꢄnh

ꢞt?

ꢓ

ꢐt

lꢠc

giá

c

ñꢃu.

ꢎ

ơ cꢗ

ꢎ

c

ꢞp

thành tam giá ñꢃu?

c

25. Chꢂng minh các tính chꢗt vꢃꢄcác phép toán cꢌa các sꢔꢄkiꢎn.

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..14

Chương 2 : Xác suꢀt

Viꢀc ñưa ra nhꢁng sꢂꢃño thích hꢄp ñánh giáꢃkhꢅꢃnăng khách quan xꢅy ra cꢆa mꢇi sꢈꢃ

kiꢀn ñưꢄc trình bày trong phꢉn ñꢉu cꢆa chương này. Các dꢊng ñꢋnh nghĩa xác suꢌt tꢍꢃcác

ñꢋnh nghĩa cꢎꢃñiꢏn tꢐi ñꢋnh nghĩa xác suꢌt theo hꢀꢃtiên ñꢑꢃgiúp ngưꢒi hꢓc hình dung ñưꢄc

sꢈꢃphát triꢏn vàꢃtính phong phú, ña dꢊng cꢆa môn xác suꢌt. Các tính chꢌt các ñꢋnh lýꢃvꢑꢃ

xác suꢌt ñưꢄc trình bày ꢔ mꢕc tꢂi thiꢏu ñꢏꢃngưꢒi hꢓc khꢖi cꢅm thꢌy nꢗng nꢑꢃkhi tiꢘp thu

chúng. Nhꢁng víꢃdꢙꢃñưa ra giúp ngưꢒi hꢓc thꢌy ñưꢄc nhꢁng áp dꢙng thꢈc thꢈc tꢘꢃcꢆa

môn xác suꢌt vàꢃqua các víꢃdꢙꢃnày ngưꢒi hꢓc cóꢃthꢏꢃhiꢏu cách làm cácꢃbài toán xác suꢌt.

I.ꢁCác ñꢂnh nghĩa cꢃa xác suꢀt

1. Mꢀꢁñꢂu: Khi tiꢘn hành mꢚt phép thꢛ, cóꢃthꢏꢃcóꢃmꢚt trong nhiꢑu sꢈꢃkiꢀn sꢜꢃxꢅy ra, mꢇi

sꢈꢃkiꢀn làꢃmꢚt ñꢗc tính ñꢋnh tính, viꢀc chꢝꢃra “sꢂꢃño” khꢅꢃnăng xꢅy ra cꢆa mꢇi mꢚt sꢈꢃ

kiꢀn làꢃñiꢑu cꢉn thiꢘt. Ta cóꢃthꢏꢃhiꢏu xác suꢌt cꢆa mꢇi sꢈꢃkiꢀn làꢃ“sꢂꢃño” khꢅꢃnăng xꢅy ra

cꢆa sꢈꢃkiꢀn ñó. Viꢀc gꢞn cho mꢇi sꢈꢃkiꢀn mꢚt “sꢂꢃño” khꢅꢃnăng xꢅy ra cꢆa nóꢃphꢅi ñꢅm

bꢅo tính khách quan, tính hꢄp lýꢃvàꢃtính phi mâu thuꢟn. Trong mꢙc này chúng ta sꢜꢃñưa

ra các ñꢋnh nghĩa cꢆa xác suꢌt. Mꢇi dꢊng cóꢃnhꢁng ưu vàꢃnhưꢄc ñiꢏm nhꢌt ñꢋnh. Tuy

vꢠy, qua các dꢊng ñꢋnh nghĩa này cóꢃthꢏꢃhình dung ra sꢈꢃphát triꢏn cꢆa môn xác suꢌt, mꢚt

môn hꢓc cóꢃnguꢡn gꢂc xuꢌt phát tꢍꢃnhꢁng sòng bꢊc nhưng nhꢒꢃsꢈꢃtꢈꢃhoàn thiꢀn trong

quáꢃtrình phát triꢏn nên môn xác suꢌt không nhꢁng cóꢃñꢉy ñꢆꢃcác yꢘu tꢂꢃcơ bꢅn cꢆa mꢚtꢃ

ngành khoa hꢓc chính xác màꢃcòn làꢃmꢚt trong nhꢁng ngành cꢆa Toán hꢓc cóꢃthꢏꢃhꢇꢃtrꢄꢃ

cho tꢌt cꢅꢃcác lĩnh vꢈc khoa hꢓc khác tꢍꢃkhoa hꢓc tꢈꢃnhiên ñꢘn khoa hꢓc kĩꢃthuꢠt vàꢃkꢏꢃcꢅꢃ

nhꢁng ngành tưꢔng như xa lꢊꢃvꢐi Toán hꢓc ñóꢃlàꢃcác ngành khoa hꢓc xãꢃhꢚi.

2. ðꢃnh nghĩa xác suꢄt theo quan niꢅm ñꢆng khꢇꢁnăng.

2.1 Phép thꢇꢈñꢉng khꢊꢈnăng: Mꢚt phép thꢛꢃñꢡng khꢅꢃnăng làꢃmꢚt phép thꢛꢃmàꢃcác kꢘt

quꢅ trꢈc tiꢘp (còn gꢓi là sꢈꢃkiꢀn sơ cꢌp)ꢃꢕng vꢐi phép thꢛꢃnày cóꢃkhꢅꢃnăng xuꢌt hiꢀn như

nhau sau khi thꢛ. Chꢢng hꢊn khi ta gieo mꢚt con xúc xꢞc cân ñꢂi vàꢃñꢡng chꢌt thìꢃviꢀc

xuꢌt hiꢀn mꢚt trong các mꢗt cóꢃsꢂꢃchꢌm tꢍꢃ1 ñꢘn 6 làꢃcóꢃkhꢅꢃnăng như nhau hoꢗc khi

chꢓn ngꢟu nhiên hai trong năm ngưꢒi A, B, C, D, E thìꢃviꢀc chꢓn ñưꢄc AB hoꢗc CD . . .

DE làꢃcóꢃkhꢅꢃnăng xuꢌt hiꢀn như nhau.

2.2 ðꢋnh nghĩa xác suꢅt theo quan niꢃm ñꢉng khꢊꢈnăng:

Xét mꢚt phép thꢛꢃñꢡng khꢅꢃnăng. Giꢅꢃsꢛꢃsau phép thꢛꢃnày cóꢃmꢚt trong n sꢈꢃkiꢀn sơ cꢌp

n_A

cóꢃthꢏꢃxꢅy ra vàꢃcóꢃmꢚt trong n_Asꢈꢃkiꢀn sơ cꢌp xꢅy ra kéo theo A xꢅy ra. Ta thꢌy lꢌy

ꢃ

n

làm sꢂꢃñ

o

khách quan xꢅy ra sꢈꢃki

cꢆa sꢈꢃki

ꢀ

n A làꢃ

h

ꢄ

p

lý

.

Vìꢃ ꢠy ta cóꢃñꢋnh nghĩa sau:

v

n_A

ðꢋnh nghĩa:ꢃXác su

ꢌt

ꢀn A làꢃ

s

ꢂꢃP(A) =

n

* n làꢃ

* n_Aꢃlàꢃ

t qu

s

ꢂꢃ

k

ꢘ

t

quꢅꢃñꢡng khꢅꢃ

quꢅꢃxꢅy ra kéo theo A xꢅy ra ho

p thành s ki n A

n

ăng sau phép thꢛ

sꢂꢃ

k

ꢘ

t

ꢗ

c sꢂꢃ

kꢘ

t

quꢅꢃthu

ꢠn l

ꢄ

i cho sꢈꢃki

ꢀ

n A hay

s

ꢂ

k

ꢘ

ꢅ

h

ꢄ

ꢈ

ꢀ

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..15

Viꢀc tính xác suꢌt dꢈa trên ñꢋnh nghĩa trên phꢅi thꢈc hiꢀn theo trình tꢈꢃsau:

* Xét phép thꢛꢃñang quan sát cóꢃphꢅi làꢃphép thꢛꢃñꢡng khꢅꢃnăng không

* Nꢘu phép thꢛꢃlàꢃñꢡng khꢅꢃnăng thìꢃphꢅi tìm sꢂꢃsꢈꢃkiꢀn ñꢡng khꢅꢃnăng n

* ðꢏꢃtính xác suꢌt cꢆa sꢈꢃkiꢀn A ta phꢅi tìm sꢂꢃkꢘt quꢅꢃkéo theo A sau ñóꢃsꢛꢃdꢙng ñꢋnh

nghĩa

n_A

P(A) =

n

2.3 Các víꢈdꢌ

Víꢈdꢌꢈ2.1: Gieo hai ñꢡng ti

n m t qu c huy.

Gꢓi A làꢃ ꢈꢃki cꢅꢃhai ñꢡng ti

Ta có: Sꢂꢃ ñꢡng khꢅꢃ ng: n = 4

ꢑ

n cân ñꢂ

i

vàꢃñꢡng ch

t hi n m

ꢌ

t. Tính xác su

ꢌ

t

ñꢏꢃcꢅꢃhai cùng xu

ꢌt

hi

ꢀ

ꢗ

ꢂ

s

ꢀ

n

ꢑ

n

cùng xu

ꢌ

ꢀ

ꢗ

t qu

ꢂc huy.

s

ꢈꢃki

ꢀ

n

nă

1

S

ꢂꢃ kéo theo A:

s

ꢈꢃki

ꢀ

n

n_A= 1 .Vꢠy P (A) =

4

Víꢈdꢌꢈ2.2:

hoàng g m hai tr

Gꢓi A làꢃ ꢈꢃki n hai con gàꢃñưꢄ

M

ꢚ

ꢂ

t

ñ

ànꢃgàꢃcóꢃ

b

ꢂ

n con gàꢃri g

u nhiên hai con gà

ñꢑ làꢃtr ng

chꢓn g m m t tr

chꢓ làꢃgàꢃmái ri

ꢡm haiꢃmái hai trꢂng vàꢃsáu con gàꢃtam

ꢡ

ng b ꢟ

ꢂn

mái. Chꢓn ng

s

ꢀ

c

chꢓ

n

u

ꢂ

B

làꢃs

s

ꢈꢃki

ꢀn hai con gàꢃñưꢄ

n hai con gàꢃñưꢄ

ꢡ

ꢚ

ꢂng m

ꢚt

má

i

C

làꢃ

ꢀ

n

Hã

y

tính xác su

ꢌt

cꢆa

các sꢈꢃki

ꢀn A, B, C

Ta có: Sꢂꢃ

s

ꢈꢃki

ꢀ

n

ñꢉ

y

khꢅꢃ

n

ă

ng làꢃC₁²₀= 45

S

ꢂꢃs

ꢀn

kéo theo A làꢃC²₄= 6

kéo theo B làꢃC¹₄C¹₆= 24

kéo theo C làꢃC²₂= 1

6

2

24 8

=

45 15

1

Vꢠ

y: P(A)=

=

45 15

, P(B) =

, P(C) =

45

Víꢈdꢌꢈ2.3:ꢃCóꢃba gen X, Y, Z vàꢃba gen x, y, z x

xác su ñꢏꢃcác gen x, y, z x p li n nhau.

ꢃꢃꢃꢃꢃꢃꢃꢃꢃꢃꢃGꢓi A làꢃ ꢈꢃki n c tính xác su

ñꢡng khꢅꢃ ng: n = 6! = 720

ꢘ

p ng

ꢟ

u nhiên theo m

ꢚ

t

dã dꢓc. Tính

y

ꢌ

t

ꢘ

ꢑ

s

ꢀ

ꢉn

ꢌt

S

ꢂꢃs

s

ꢈꢃki

ꢀn

n

ă

144 1

ꢂꢃ

ꢀ

kéo theo A: n_A= 3!4! = 144. V

ꢠ

y: P(A) =

=

720 5

u gen AaBb. Tính xác su

u gen cꢆa bꢂꢃmꢣ. Ta cóꢃbꢅng liên k t gen sau:

Víꢈdꢌꢈ2.4: Hai cáꢃthꢏꢃ

u gen gi ng ki

bꢂꢃvàꢃmꢣꢃcùng cóꢃki

ꢏ

ꢌt ñꢏꢃcáꢃthꢏꢃcon cóꢃ

ki

ꢏ

ꢂ

ꢏ

ꢘ

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..16

Mꢣ

AB

Ab

aB

ab

Bꢂ

AB

Ab

aB

ab

AABB

AABb

AaBB

AaBb

AABb

AAbb

AaBb

Aabb

AaBB

AaBb

Aabb

aaBb

aabb

aaBB

aaBb

Dꢈa

và

o

bꢅng trên ta có: Sꢂꢃ

s

ꢈꢃki

ꢀn

ñꢡng khꢅ

năng n = 16

4

1

S

ꢂꢃs

ꢈꢃki

ꢀn

kéo theo A: n_A= 4. V

ꢠy P(A) =

=

16 4

3- ðꢃnh nghĩa xác suꢄt theo tꢂn suꢄt

ðꢋnh nghĩa xác suꢌt theo quan niꢀm ñꢡng khꢅꢃnăng cóꢃưu ñiꢏm là chꢝꢃra cách tính xác

suꢌt cꢆa mꢚt sꢈꢃkiꢀn rõꢃràng vàꢃñơn giꢅn. Tuy nhiên ñꢋnh nghĩa này chꢝꢃáp dꢙng ñưꢄc vꢐi

loꢊi phép thꢛꢃñꢡng khꢅꢃnăng vàꢃsꢂꢃkꢘt quꢅꢃsau phép thꢛꢃlàꢃhꢁu hꢊn. Trong thꢈc tꢘꢃthưꢒng

gꢗp nhꢁng loꢊi phép thꢛꢃkhông cóꢃtính chꢌt trên, ñꢏꢃkhꢞc phꢙc hꢊn chꢘꢃnày ta cóꢃthꢏꢃñꢋnh

nghĩa xác suꢌt theo quan ñiꢏm thꢂng kê.

3.1 Tꢍn suꢅt cꢎa sꢏꢈkiꢃn:ꢃGiꢅꢃsꢛꢃta tiꢘn hành n phép thꢛꢃvꢐi cùng mꢚt hꢀꢃñiꢑu kiꢀn thꢌy

cóꢃn_Alꢉn xuꢌt hiꢀn sꢈꢃkiꢀn A. Sꢂꢃn_Añưꢄc gꢓi làꢃtꢉn sꢂꢃxuꢌt hiꢀn sꢈꢃkiꢀn A vàꢃtꢝꢃsꢂ:

n_A

f_n(A)=

ꢃgꢓ

i

làꢃt

ꢉn su

ꢌt xu

ꢌ

t hi

ꢀ

n sꢈꢃki

ꢀ

n A.

n

Ta nh

ꢠ

n th

ꢌ

y r

ꢤ

ng khi n thay ñꢎi n_Athay ñꢎ

cùng m u ki

n su n thꢛꢃtrưꢐc. Tuy nhiên t

cꢆa n l

kháꢃ n t n su t bi ñꢎi r nhꢖꢃxung quanh m

ng cho nh víꢃdꢙꢃkinh n vꢑꢃxá ñꢋnh t

xét trên ta xét m

t hi n m t s p (m cꢆa m ñꢡng ti n do Buffon vàꢃ

t không cóꢃch

i

vìꢃthꢘꢃf_n(A) cũng thay ñꢎi. Ngay cꢅꢃkhi ti

thìꢃ n sꢂꢃvàꢃ n su cꢆa n l n thꢛꢃnà

n su ñꢋnh

cóꢃtính

giáꢃtrꢋꢃxá

n sꢂꢃvàꢃ

ꢘ

n

hành dãy n phép thꢛꢃkhác v

cũng cóꢃthꢏꢃkhác t n sꢂꢃvàꢃ

nghĩ làꢃkhi sꢂꢃphép thꢛꢃ

ñꢋnh. ðꢏꢃminh ch

n su t vi c xu

Pearson th c hi

ꢐ

ꢉ

i

ꢚt

ñ

ꢉ

i

ꢑ

ꢀ

n

t

ꢉ

t

ꢉ

ꢌ

t

ꢉ

y

ꢉ

t

ꢌ

ꢐ

t

ꢉ

ꢌ

t

ꢎ

n

a

n

l

ꢉ

ꢌ

ꢘ

n

ꢌ

t

ꢚt

c

ꢕ

ꢠ

n

ꢚ

t

ñi

ꢏ

c

ꢉ

t

ꢉ

ꢌ

ꢀ

ꢌ

ꢀ

ꢗ

ꢌ

ꢗ

ꢁ

)

ꢚt

ꢑ

ꢈ

ꢀ

n

Ngưꢒ

i

làm

thíꢃnghi

ꢀ

m

S

ꢂꢃlꢉ

n tung 1 ñꢡng ti

ꢑ

n

Tꢉn sꢂꢃm

ꢗ

t sꢌ

p

Tꢉn su

ꢌ

t mꢗ

t sꢌp

Buffon

4040

12000

24000

2040

6010

0.5080

0.5010

0.5005

Pearson

12012

Ta nh

ꢑꢃgiáꢃtrꢋꢃ0,5 ñưꢄc l

ñꢡng ch t.

3.2 ðꢋnh nghĩa:ꢃXác su

ng lên vô hꢊn.

Vi c kh

ng ñꢋnh t

ꢂꢃphép thꢛꢃ ng lên vô hꢊ

ꢠ

n th

ꢌ

y r

ꢤ

ng khi sꢂꢃ

l

ꢉ

n tung ti

ꢑ

n n t

ăng lên, t

t hi

ꢉ

n su

ꢌ

t xu

ꢌ

t hi

ꢀ

ꢚ

n m

ꢗ

t s

ꢌ

p

ꢎ

n

ñꢋnh d

ꢉ

n

v

ꢌ

y làmꢃxác xu

ꢌt xu

ꢌ

ꢀ

n mꢗt s

ꢌ

p khi tung m

t

ñꢡng ti

ꢑ

n cân ñꢂ vàꢃ

i

ꢌ

ꢌt

cꢆa m

ꢚt sꢈꢃki

ꢀn

làꢃtrꢋꢃ

s

ꢂꢃꢎ

n

ñꢋnh cꢆa t

ꢉ

n su

ꢌt khi sꢂꢃphép thꢛꢃ

t

ă

ꢀ

ꢢ

ꢉn su

ꢌ

t

cꢆa m

ꢚt sꢈꢃki

ꢀn

ꢎn

ñꢋnh (hay ti

ꢘn t

ꢐ

i) m

ꢚt

giáꢃtrꢋꢃxá

c

ñꢋnh khi

vàꢃ

s

t

ă

n

ñưꢄc

ñꢅ

m

bꢅo b ñꢋnh lýꢃBernoulli sꢜꢃñưꢄ

ꢔ

i

c

phát bi

ꢏu

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..17

chꢕng minh trong chương sau. Tuy ñꢋnh nghĩa xác suꢌt bꢤng tꢉn suꢌt không chꢝꢃra giáꢃtrꢋꢃ

cꢙꢃthꢏꢃxác suꢌt cꢆa sꢈꢃkiꢀn nhưng trong thꢈc tꢘꢃkhi sꢂꢃlꢉn thꢛꢃn làꢃlꢐn ta thưꢒng lꢌy tꢉn

xuꢌt f_n(A) thay cho xác suꢌt cꢆa sꢈꢃkiꢀn A. Vào cuꢂi thꢘꢃkꢥꢃ19 nhàꢃtoán hꢓc Laplace theoꢃ

dõi các bꢅn thꢂng kê vꢑꢃdân sꢂꢃtrong vòng 10 năm cꢆa London, Peterbua, Berlin vàꢃnưꢐc

22

Pháp ông ta tìm ra tꢉn suꢌt sinh con trai cꢆa ba vùng trên vàꢃcꢅꢃnưꢐc Pháp làꢃ

. Khi

43

25

22

xem xé

Ngꢊc nhiên vꢑꢃ

Mꢄt là: o th

dùꢃsinh ꢔꢃMarseille, Bordeaux hay b

kê trꢦꢃsinh ꢔꢃParis.

t

tꢝꢃ

l

ꢀꢃsinh con trai cꢆa Paris ông tì

ꢈꢃkhác nhau ñó, Laplace

i b y giꢒꢃcá trꢦꢃem ñꢦꢃra không ghi tên cha trong giꢌ

m

ñưꢄc t

ꢉn su

ꢌt

, t

ꢉ

n su

ꢌ

t n

à

y nh

ꢖ

h

ơ

n

.

49

43

s

ñi

ꢑ

u tra thêm vàꢃtìm ra hai

ñi

ꢑ

u

thúꢃvꢋꢃsau:

y khai sinh thìꢃ

cóꢃtrong bꢅn thông

V

à

ꢒ

ꢌ

c

ꢌ

t cꢕꢃꢔꢃ

nơ

i

nào trên ñꢌ

t

Phá

p

ñꢑu

Hai là: Ph

Sau khi loꢊi nh

Paris trꢔꢃ ꢑꢃcon sꢂꢃ

ꢉ

n l

ꢐ

n nh

ꢁ

ng ñꢕ

a

trꢦꢃnói trên ñꢑ

u

làꢃcon gái.

ꢁng ñꢕ

a

trꢦꢃkhông sinh ꢔꢃParis ra khꢖi danh sách nà

y

thìꢃtꢝꢃ ꢀꢃtrꢦꢃtrai ꢔꢃ

l

22

43

Qua víꢃdꢙꢃnêu trên chúng tôi mu

nghi m th t sꢂꢃli nà ñóꢃkhác v

cóꢃ

khác bi này xu phát tꢍꢃñâu, r cóꢃthꢏꢃqua ñóꢃta cóꢃthꢏꢃphát hi

ch phꢙ vꢙꢃcho chuyên môn.

v

.

ꢂ

n

các

nhàꢃnông hꢓc tương lai khi quan sát ho

i sꢂꢃli ñãꢃbi thìꢃ phꢅ tìm nguyên do sꢈꢃ

ñưꢄc nh ng u bꢎꢃ

ꢗ

c

thíꢃ

ꢀ

ꢌy

m

ꢚ

ꢀu

o

ꢐ

ꢀu

ꢘ

t

cꢉ

n

i

ꢀt

ꢌ

t

ꢌ

t

ꢀ

n

ꢁ

ñiꢑ

í

c

4. ðꢃnh nghĩa xác suꢄt bꢈng hình hꢉc

Vꢐi nhꢁng phép thꢛꢃñꢡng khꢅꢃnăng màꢃsꢂꢃkꢘt quꢅꢃsau mꢚt phép thꢛꢃlàꢃvô hꢊn thìꢃviꢀc sꢛꢃ

dꢙng ñꢋnh nghĩa xác suꢌt ꢔꢃmꢙc 2 ñꢏꢃtính xác suꢌt cꢆa mꢚt sꢈꢃkiꢀn làꢃkhông thꢈc hiꢀn

ñưꢄc. ðꢏꢃkhꢞc phꢙc hꢊn chꢘꢃnày ngưꢒi ta ñưa ra ñꢋnh nghĩa xác suꢌt bꢤng hình hꢓc.

4.1 ðꢄꢈño cꢎa mꢄt miꢐn:ꢃGiꢅꢃsꢛꢃD làꢃmꢚt miꢑn hình hꢓc nào ñóꢃchꢢng hꢊn D làꢃmꢚt ñoꢊn

thꢢng, mꢚt hình phꢢng hay mꢚt khꢂi không gian. Sꢂꢃño ñꢚꢃdài, diꢀn tích, thꢏꢃtích tương

ꢕng ñưꢄc gꢓi làꢃñꢚꢃño cꢆa miꢑn D vàꢃkíꢃhiꢀu làꢃm(D)

4.2. ðꢋnh nghĩa :

Xét mꢚt phép thꢛꢃvꢐi vô hꢊn kꢘt quꢅꢃñꢡng khꢅꢃnăng, giꢅꢃsꢛꢃcóꢃthꢏꢃthiꢘt lꢠp sꢈꢃtương ꢕng

mꢚt - mꢚt mꢇi kꢘt quꢅꢃvꢐi mꢚt ñiꢏm thuꢚc miꢑn G cóꢃñꢚꢃño làꢃm(G) . Mꢇi kꢘt quꢅꢃkéo

theo sꢈꢃkiꢀn A tương ꢕng vꢐi mꢇi ñiꢏm thuꢚc miꢑ^{n D}⊂ G cóꢃñꢚꢃño m(D).

m(D)

Xác suꢌt cꢆa sꢈꢃkiꢀn A làꢃsꢂꢃP(A) =

m(G)

Víꢈdꢌꢈ1: Mꢚt ñưꢒng dây cáp quang nꢂi HàꢃNꢚi vꢐi thành phꢂꢃHꢡꢃChíꢃMinh dài 1800

km gꢗp sꢈꢃcꢂꢃkĩꢃthuꢠt làm tꢞc nghꢜn viꢀc thông tin liên lꢊc. Sꢈꢃcꢂꢃkĩꢃthuꢠt cóꢃthꢏꢃxꢅy ra ꢔꢃ

bꢌt cꢕꢃmꢚt vꢋꢃtríꢃnào trên ñưꢒng cáp quang trên vꢐi cùng mꢚt khꢅꢃnăng. Tính xác suꢌt ñꢏꢃ

sꢈꢃcꢂꢃkĩꢃthuꢠt xꢅy ra cách HàꢃNꢚi không quáꢃ300km.

Miꢑn G ꢔꢃñây làꢃñưꢒng cáp quang nꢂi HàꢃNꢚi-ꢃthành phꢂꢃHꢡꢃChíꢃMinh cóꢃm(G) = 1800.

Miꢑn D tương ꢕng vꢐi sꢈꢃkiꢀn cꢉn tính xác suꢌt làꢃñoꢊn cáp quang tꢍꢃHàꢃnꢚi tꢐi vꢋꢃtríꢃ

cách HàꢃNꢚi 300 km, m(D) = 300.

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..18

300

1

= .

6

Vꢠy xác suꢌt cꢉn tính P =

1800

Víꢈdꢌꢈ2: Hai ngưꢒi A, B hꢣn g

giꢒꢃꢃñꢘn 13 giꢒꢃtheo qui ưꢐc, ngưꢒ

xác su ñꢏꢃhai ngưꢒi g ñưꢄc nhau. Bi

ꢕꢃth nào trong quãng th i gian nói trên.

ꢃGꢓi x làꢃth m A ñꢘn chꢇꢃhꢣn, y làꢃth m B ñꢘn chꢇꢃhꢣn, 0≤ x, y ≤ 60

ꢗ

p nhau tꢊi m

ñꢘn trưꢐ ñꢄi ngưꢒ

t r ng m

i ngưꢒ

ꢚ

t

ñꢋ

a

ñ

i

ꢏ

i

m trong quãng th

ñꢘn sau không quáꢃ15 phút. Tính

cóꢃthꢏꢃñꢘ hꢣ vào b

ꢒi gian tꢍꢃ12

i

c

ꢌ

t

ꢗ

p

ꢘ

ꢤ

ꢇ

i

n

ñiꢏ

m

n

ꢌ

t

c

ꢒ

i

ñ

i

ꢏ

m

ꢒ

i

ñiꢏ

ꢒ

i

ñiꢏ

Vi c hai ngưꢒ ñꢘn chꢇꢃhꢣn tương ng v m M(x, y) thu hình vuông OABC cóꢃ

cꢊnh dài 60 ñơ vꢋꢃdài. Hai ngưꢒi g ñưꢄc nhau

⇔ x − y ≤15 ⇔ x −15 ≤ y ≤ x +15 ⇔ M(x, y) thu

ꢀ

i

ꢕ

ꢐ

i

ñi

ꢏ

ꢚc

n

ꢗp

ꢚ hình ODEBGH.

c

ꢃꢃꢃHình 1

n G làꢃhình vuông OABC, mi

m(G) = 60², m(D)= 60²- 45².

m(D) 60²− 45²

Ta cóꢃmi

ꢑ

ꢑn D làꢃhình ODEBGH.

9

7

Vꢠ

y

xác su

ꢌ

t cꢉn

tính P =

=

=1−

=

16 16

m(G)

c tꢘꢃnhư quáꢃtrình thꢙꢃph

p gꢧꢃnói trên.

60²

M

ꢚ

t sꢂꢃbà

i

toán th

ꢈ

ꢌ

n, quáꢃtrình thꢙꢃtinh .... cóꢃthꢏꢃá dꢙng như

p

bài

toán g

ꢗ

5. Hꢅꢁtiên ñꢊꢁKolmogorop

Mꢗc dùꢃra ñꢒi tꢍꢃthꢘꢃkꢝꢃ17 nhưng do nguꢡn gꢂc xuꢌt phát vàꢃnhꢁng khái niꢀm ñưꢄc nêu

ra cóꢃtính mô tꢅꢃthiꢘu nhꢁng luꢠn cꢕꢃkhoa hꢓc nên cꢅꢃmꢚt quãng thꢒi gian dài tꢍꢃthꢘꢃkꢝꢃ17

ñꢘn trưꢐc nhꢁng năm 30 cꢆa thꢘꢃkꢝꢃ20 xác suꢌt không ñưꢄc coi làꢃmꢚt ngành toán hꢓc

chính thꢂng. Mãi tꢐi năm 1933 khi nhàꢃtoán hꢓc Nga A.N Kolmogorop xây dꢈng hꢀꢃtiên

ñꢑꢃcho lýꢃthuyꢘt xác suꢌt thìꢃxác suꢌt mꢐi ñưꢄc công nhꢠn làꢃmꢚt ngành toán hꢓc chính

thꢂng sánh ngang hàng vꢐi nhiꢑu ngành toán hꢓc khác như sꢂ hꢓc, hình hꢓc, ñꢊi sꢂ, giꢅi

tích...

Tuy ñưꢄc chꢌp nhꢠn muꢚn màng nhưng xác suꢌt ñãꢃcóꢃmꢗt trong hꢉu hꢘt các lĩnh vꢈc

khoa hꢓc tꢍꢃkhoa hꢓc tꢈꢃnhiên , khoa hꢓc kĩꢃthuꢠt dꢘn khoa hꢓc xãꢃhꢚi. Vìꢃlàꢃmꢚt giáo

trình dành cho các ngành không chuyên vꢑꢃtoán chúng tôi chꢝꢃcóꢃýꢃñꢋnh trình bày sơ lưꢄc

hꢀꢃtiên ñꢑ vꢑꢃlýꢃthuyꢘt xác suꢌt do A.N Kolmogorop ñưa ra

Xét Cꢃꢃlàꢃmꢚt

1/ P(A)

σ

- ñꢊi sꢂꢃcác sꢈꢃkiꢀn . Xác suꢌt P làꢃmꢚt hàm xác ñꢋnh trên Cꢃthoꢅꢃmãn :

∀A∈

≥

0

C

Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Giáo trình Xác suꢅt thꢆng kê……………………..19

Giáo trình Xác suất thống kê - Lê Ðức Vĩnh