Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 1: Chuỗi Fourier (Phần 2)
Chương 1 Chuỗi Fourier
1.1 Hàm tuần hoàn
1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier
1.4 Khai triển bán kỳ
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
1
1.4 Chuỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]
Định lý :
Nếu f(t) là hàm chỉ xác định trên khoảng kín [0, T/2] và thỏa
điều kiện Dirichlet thì nó có thể được khai triển thành :
Chuỗi Fourier côsin
+∞
a0
f (t) = + a cos(nω t)
∑
n
0
2
n=1
Hoặc thành chuỗi Fourier sin
Khai triển bán kỳ
+∞
T
t ∈ 0,
f (t) = b sin(nω t)
∑
n
0
2
n=1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
2
Ví dụ khai triển bán kỳ
Cho hàm f(t) định nghĩa bởi
f(t)
4
f(t)= t+2 ( 0 < t < 2)
2
Xác định chuỗi Fourier sin biểu
diễn cho f(t)
Giải
2 t
F(t)
4
Thiết lập hàm lẻ F(t)
Xác định hệ số bn
2
4
bn = (1 − 2 cos nπ )
-2
2
4
t
-2
-4
nπ
Chuỗi Fourier sin của f(t)
π
π
π
π
4
π
f (t) = 12 sin t − 2 sin 2 t + sin 3 t − 1 sin 4 t +...
2
π
π
2
2
π
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
3
1.4 Chuỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]
Xét hàm f(t) chỉ xác định trên khoảng kín [0,T/2]
Ta cần tìm khai triển Fourier của f(t)
T
ϕ(t) − < t < 0
2
Mở rộng hàm f(t) thành hàm
F(t) tuần hoàn
T
F(t) = f (t) o ≤ t ≤
2
F(t +T) ∀t
Theo ĐL Dirichlet F(t) có khai triển Fourier và hội tụ về F(t) tại
các điểm mà F(t) liên tục ⇒ bất chấp ϕ(t) chuỗi Fourier của F(t) cũng
hội tụ về f(t) trong đoạn [0,T/2]
Chọn ϕ(t) = f(-t) → F(t) hàm chẵn
Chọn ϕ(t) ?
Chọn ϕ(t) = -f(-t) → F(t) hàm lẻ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
4
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
Chuỗi Fourier dạng sóng hài
+∞
f (t) = F + F cos(nω t +α )
Dạng sóng hài cosin
Dạng sóng hài sin
∑
0
n
0
n
n=1
+∞
f (t) = F + F sin(nω t + β )
∑
0
n
0
n
n=1
a0
F =
; Fn = an2 + bn2
0
2
Các hệ số khai triển
bn
an
αn = −arctg ; βn = arctg
an
bn
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
5
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
+∞
•
f (t) = C ejnω t
Chuỗi Fourier dạng mũ phức
0
∑
n
n=−∞
T
2
•
1
Cn = f (t)e− jnω0tdt
Các hệ số khai triển phức
∫
T
T
−
2
•
a0
Cn = F =
0
Quan hệ với các hệ
số của khai triển
lượng giác và khai
triển hài
2
•
an − jbn Fn
Cn =
= ∠αn
2
2
•
∗
an + jbn Fn
C−n =
= ∠ −αn = Cn
2
2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
6
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
1 T
Định nghĩa trị hiệu dụng
FRMS = f 2 (t)dt
∫
T
0
Đẳng thức Parseval
+∞
•
x(t) = X ejnω t
0
∑
n
1 T
+∞
+∞
•
∗
•
∗
n=−∞
x(t)y(t)dt = X Y = Y X
∑ ∑
n n
n
n
∫
+∞
•
T
n=−∞
n=−∞
y(t) = Y ejmω t
0
0
∑
m
m=−∞
+∞
•
2
+∞
+∞
•
∗
•
f (t) = Cn ejnω t
0
F = C C = C
∑
∑ ∑
RMS
n
n
n
n=−∞
n=−∞
n=−∞
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
7
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
2
1 T
+∞
•
Trị hiệu dụng của f(t)
FRMS =
f 2 (t)dt =
C
∑
n
∫
T
n=−∞
0
+∞
f (t) = F + F cos(nω t +α )
∑
0
n
0
n
+∞
1
n=1
F = F2 + F2
∑
RMS
0
n
+∞
2
n=1
f (t) = F + F sin(nω t + β )
∑
0
n
0
n
n=1
a02
+∞
+∞
a0
1
FRMS =
+ (a2 + b2 )
f (t) = + a cos(nω t) + b sin(nω t)
(
)
∑
n
0
n
0
∑
n
n
2
4 2
n=1
n=1
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
8
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
+∞
Phổ biên độ của hàm f(t)
•
f (t) = Cn ejnω t
0
∑
Hàm f(t) có khai triển phức
n=−∞
•
Cn = Cn∠αn
Có tần số cơ bản ω0 = 2π/T
Các họa tần (hài) ωn = nω0 = 2nπ/T
Định nghĩa : Phổ biên độ của chuỗi Fourier mũ phức
của hàm tuần hoàn f(t) là đồ thị các điểm (nω0, |Cn|).
Phổ biên độ còn gọi là phổ tần số hay tần phổ.
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
9
f(t)
A
Ví dụ phổ biên độ
Khai triển lượng giác
+∞
-T/2
0
T/2
T
4A
t
f (t) =
sin(nω0t)
∑
nπ
n=1
-A
(n=2k+1)
+∞
2A
f (t) =
− j ejnω t
0
Và khai triển phức
Phổ biên độ
∑
Cn
nπ
n=−∞
(n=2k+1)
2A/π
2A/3π
2A/5π
2A/7π
ω
-7 -5
-3
-1
1
3
5
7
ω0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
10
Tổng kết : Khai triển Fourier
Khai triển Fourier lượng giác
+∞
a0
f (t) = + a cos(nω t) + b sin(nω t)
[
]
∑
n
0
n
0
2
n=1
T /2
2
a0 =
an =
bn =
f (t)dt
∫
Hàm số chẵn :
T
−T /2
T /2
f (t) = f (−t) → bn = 0
2
f (t)cos(nω0t)dt
f (t)sin(nω0t)dt
∫
T
−T /2
Hàm số lẻ :
f (t) = − f (−t) → a0 = an = 0
T /2
2
∫
T
−T /2
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
11
Hàm số chẵn
f (t) = f (−t) → bn = 0
+∞
a0
f (t) = + a cos(nω t)
∑
n
0
2
n=1
4 T /2
a0 =
an =
f (t)dt
∫
T
0
4 T /2
f (t)cos(nω0t)dt
∫
T
0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
12
Hàm số lẻ
f (t) = − f (−t) → a0 = an = 0
+∞
f (t) = b sin(nω t)
∑
n
0
n=1
4 T /2
bn =
f (t)sin(nω0t)dt
∫
T
0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
13
Hàm bán sóng
T
f (t) = − f (t ± )
2
+∞
f (t) =
a cos(nω t) + b sin(nω t)
[
]
∑
n
0
n
0
n=1
n=2k+1
4 T /2
an =
bn =
f (t)cos(nω0t)dt (n = 2k +1)
f (t)sin(nω0t)dt (n = 2k +1)
∫
T
0
4 T /2
∫
T
0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
14
14 trang
26020
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán kỹ thuật - Chương 1: Chuỗi Fourier (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ky_thuat_chuong_1_chuoi_fourier_phan_2.pdf
