Bài tập Toán kỹ thuật - Chương 10: Lý thuyết thặng dư (Residue)
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)
P10.1: Xác định các điểm bất thường cô lập của f(z) và cho biết
loại của chúng ?
z2
(z+1)3
2z3 −z+1
sin(mz)
(z2 +2z+2)
1−cosz
c)
a)
b)
(z−4)2 (z−i)(z−1+2i)
d)
z
(Ans:
a) z = -1 : cực cấp 3 3.
b) z = 4: cực cấp 2; z = i và 1 – 2i : cực đơn .
c) z = – 1 + i and – 1– i : cực đơn .
d) z = 0 : điểm bất thường bỏ được .
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
1
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)
P10.2: Dùng chuổi Laurent, tìm thặng dư tại z = 0 của hàm
phức sau:
1
z−sin z
b) zcos 1z c)
a)
(z2 +z)
z
(Ans: a) 1 b) – 1/2 c) 0
)
P10.3: Dùng chuổi Laurent, xác định cấp và thặng dư tại các
cực của hàm phức sau:
1−e2z
1−cosh z
e2z
(z−1)2
a)
c)
b)
z3
z4
(Ans: a) m = 1; -1/2 b) m = 3; - 4/3 c) m = 2; 2e2 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
2
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)
1
P10.4: Tìm thặng dư của hàm phức :
f(z) =
z(z−2)4
tại z = 2 dùng phương pháp :
a) Khai triển chuổi Laurent quanh điểm z = 2 ?
b) Dùng công thức tính thặng dư tại cực ?
(Ans: (a), (b) : – 1/16
)
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
3
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)
P10.5: Tìm thặng dư của các hàm tại các điểm z tương ứng :
z
2z
a) ; z = i & −i
(z2 +1)
; các cực
c)
(z2 +1)(2z−1)
z2 −2z
(z+1)2 (z2 +4)
z
; các cực
; các cực
b)
d)
(z2 +2z+5)
(Ans: a) Res{f,i} = 1/2 ; Res{f,- i} = 1/2
b) Res{f,-1+2i} = (2+i)/4; Res{f,-1-2i} = (2-i)/4
c) Res{f,i} = -(1+2i)/5; Res{f,-i} = -(1-2i)/5; Res{f,1/2} = 2/5
d) Res{f,2i} = (7+i)/25; Res{f,-2i} = (7-i)/25; Res{f,-1} = -14/25)
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
4
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)
P10.6: Tìm thặng dư của các hàm tại các cực:
3z2 +2
(z−1)(z2 +9)
z6 +4z4 +z3 +1
(z−1)5
a)
c)
z3 −z2 +z−1
(z3 +4z)
3+4z
(z3 +3z2 +2z)
b)
d)
(Ans: a) Res{f,3i} = (15-5i)/12; Res{f,-3i} = (15+5i)/12; Res{f,1} = 1/2
b) Res{f,2i} = (-3+6i)/8; Res{f,-3i} = (-3-6i)/8; Res{f,0} = -1/4
c) Res{f,1} = 19
d) Res{f,-2} = -5/2; Res{f,-1} = 1 ; Res{f,0} = 3/2)
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
5
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)
P10.7: Dùng định lý thặng dư, tính các tích phân:
3z3 +2
5z−2
a)
c)
z(z−1) dz
b)
(z−1)(z2 +4) dz
∫
∫
|z−2|=2
|z|=2
(3z+2)2
3z3 +2
d)
z(z−1)(2z+5) dz
(z−1)(z2 +4) dz
∫
∫
|z|=3
|z|=4
(Ans: a) 10πi b) 2πi c) 5πi/ 2 d) 9πi )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
6
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)
P10.8: Cho C là đường tròn |z| = 4 , tính:
I = f (z)dz
∫C
1
1
z
c) f (z) =
f ) f (z) =
b) f (z) =
a) f (z) =
z(z−2)3
z2 (z+2)
z2 −1
z2
(z2 +3z+2)2
1
1
e) f (z) =
d) f (z) =
(z2 +z+1)
z(z2 +6z+4)
(Ans: a) 2iπ b) 0 c) 0
d) 0 e) 0 f) − 0.27i )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
7
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)
P10.9: Dùng định lý thặng dư, tính các tích phân:
z2 +1
2z
(z−i)2
a)
(z−1)2 (z+2i) dz
b)
d)
dz
∫
∫
|z+i|=7
|z−1|=3
(z2 +2)(z2 +4)
(z2 +1)(z2 +6)
iz
dz
c)
(z−i)(z2 +9) dz
∫
∫
|z−i|=1
|z+3i|=2
(Ans: a) 2πi b) 4πi c) − πi/ 4 d) 3π/5 )
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
8
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)
P10.10: Dùng định lý thặng dư, tính các tích phân:
z+i
[C = hình vuông, cạnh = 8, tâm tại gốc tọa độ]
a) dz
z2 +6
∫
C
z2 −2z
[C = hình tròn |z + i| = 2 ]
b)
c)
(z+1)2 (z2 +4) dz
∫
C
1
(z+1)3 (z−1)(z−2) dz
[C = hình chữ nhật, các cạnh là ± i; 3 ± i ]
∫
C
2π
25
(Ans: a) 2πi b) (25 − 39i) c) − 19πi
)
108
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
9
Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)
P10.11: Tính:
1
z3 (z+4) dz
∫
C
a) C : đường tròn, bán kính 2, tâm tại gốc tọa độ.
b) C : đường tròn, bán kính 3, tâm tại (– 2, 0).
(Ans: a) πi/32 ;
b) 0
)
P10.12: Tính :
1
a)
z3 (z2 +2z+2) dz
∫
|z|=3
z2 +z+1
(Ans: a) 0
b)
z2 (z−1)(z−2) dz
b) – 7πi/2 )
∫
|z|=3/ 2
Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM
10
10 trang
20280
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập Toán kỹ thuật - Chương 10: Lý thuyết thặng dư (Residue)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_tap_toan_ky_thuat_chuong_10_ly_thuyet_thang_du_residue.pdf
