Bài tập môn Xác suất thống kê (Phần 1)

LEÂ THÒ THIEÂN HÖÔNG

BAI TAP

XAC SUAT THONG KE

TRÖÔØNG ÑAÏI HOCÏ DANÂ LAÄP KYÕ THUAÄT COÂNG NGHEÄ

2005

MUÏC LUÏC

Trang

CAÙC KYÙ HIEÄU

LÔØI NOÙI ÑAÀU

....................................................................................... 3

....................................................................................... 5

CHÖÔNG I. ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP

A.Toùm taét lyù thuyeát ....................................................................................... 6

B. Caùc baøi giaûi maãu ....................................................................................... 7

C. Baøi taäp

...................................................................................... 10

CHÖÔNG II. XAÙC SUAÁT

A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 11

B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 15

C. Baøi taäp

...................................................................................... 26

CHÖÔNG III. ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN

A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 29

B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 32

C. Baøi taäp

...................................................................................... 41

CHÖÔNG IV. CAÙC QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI

A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 44

B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 48

C. Baøi taäp

...................................................................................... 53

CHÖÔNG V. LYÙ THUYEÁT MAÃU

A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 55

B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 56

C. Baøi taäp

...................................................................................... 59

CHÖÔNG V. LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG

A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 61

B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 62

C. Baøi taäp

...................................................................................... 69

CHÖÔNG VII. KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT THOÁNG KEÂ

A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 72

B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 74

C. Baøi taäp

...................................................................................... 77

CHÖÔNG VIII. TÖÔNG QUAN VAØ HOÀI QUY

A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 80

B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 82

C. Baøi taäp

...................................................................................... 89

MOÄT SOÁ ÑEÀ THI THAM KHAÛO................................................................. 93

Ñaùp aùn vaø thang ñieåm..................................................................................... 99

CAÙC BAÛNG SOÁ

..................................................................................... 114

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO............................................................................ 120

CAÙC KÍ HIEÄU

i = 1,k

A_n^k

i nhaän caùc giaù trò 1, 2, …, k

Soá caùc chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû

Soá caùc chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû

Soá caùc toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû

A_n^k

C_n^k

P_n

Soá caùc hoaùn vò cuûa n phaàn töû

Xaùc suaát cuûa bieán coá A

P(A)

A

Bieán coá ñoái laäp cuûa bieán coá A

Xaùc suaát cuûa bieán coá A vôùi ñieuà kieän B

P(A/B)

P_n(k) = P_n(k ; p)

Xaùc suaát ñeå moät bieán coá xuaát hieän k laàn trong n pheùp thöû (p laø xaùc

suaát thaønh coâng)

X, Y

Caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân

Haøm maät ñoä xaùc suaát

Haøm phaân phoái xaùc suaát

Kì voïng cuûa X

f(x)

F(x)

E(X)

D(X)

(X)

Phöông sai cuûa X

Ñoä leäch cuûa X

X  B(n ,p)

X coù phaân phoái nhò thöùc

3

X  H (N, M, n)

X  P(a)

X  N(, ²)

X  N(0 ; 1)

X² (n)

X  T(n)

f

X coù phaân phoái sieâu boäi

X coù phaân phoái Poisson

X coù phaân phoái chuaån

X coù phaân phoái chuaån chuaån taéc

X coù phanâ phoái khi bình phöông n baäc töï do

X coù phaân phoái Student

Tæ leä maãu

Trung bình maãu

X



S²

Phöông sai maãu

S²

Phöông sai maãu hieäu chænh

S

Ñoä leäch maãu hieuä chænh

Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng

Ñoä tin caäy cuûa öôùc löôïng



 = 1 - 



Möùc yù nghóa cuûa kieåm ñònh

Heä soá töông quan giöõa X, Y

R_XY

r_XY

Heä soá töông quan tuyeán tính maãu

4

LÔØI NOÙI ÑAÀU

Caùc baïn sinh vieân thanâ meán,

Lôùi noùi ñaàu xin danø h rieâng cho caùc banï – ñoái töôïng phuïc vuï cuûa quyeån Baøi taäp Xaùc

suaát – Thoáng keâ maø caùc baïn ñang coù trong tay.

Trong quyeån saùch naøy caùc baïn seõ tìm thaáy nhöõng noäi dung sau ñaây:

Phaàn ñaàu cuoán saùch trình baøy caùch giaûi baøi taäp theo töøng chöông thuoäc lónh vöïc xaùc

suaát vaø thoáng keâ toanù hoïc. Moãi chöông goàm 3 muïc chính.

Muïc A chæ neâu toùm taét caùc khaùi nieäm, ñònh lyù vaø conâ g thöùc cô baûn seõ ñöôïc söû duïng

ñeå giaûi baøi taäp. Muoán hieåu vaø naém vöõng lyù thuyetá , caùc baïn caàn tham khaûo theâm caùc saùch lí

thuyeát xaùc suaát thoáng keâ khaùc.

Muïc B, “Caùc baøi giaûi maãu”, laø troïng taâm cuûa saùch. Trong muïc naøy, caùc baøi taäp ñöôïc

phaân loaïi theo töøng daïng, phuø hôïp vôùi thöù töï trình baøy lí thuyeát. Moät soá daïng baøi tapä coù

toång keát thaønh phöông phaùp giaûi chung. Ñeå giuùp sinh vienâ coù theå töï ñoïc vaø laøm ñöôïc baøi

tapä , saùch Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ ñaõ coá gaéng trình baøy caùc lôøi giaûi khaù tæ mæ, ñaëc bieät

laø caùc baøi taäp ôû chöông II. Moãi lôøi giaûi ñeàu chuù troïng ñeán vieäc phaân tích yeâu caàu cuûa ñeà baøi

vaø muïc ñích cuûa töøng lôøi giaûi. Caùc keát quaû cuûa baøi taäp xaùc suaát thöôøng ñöôïc vieát ôû daïng

phaân soá (töùc laø soá ñuùng). Coøn caùc baøi tapä thoná g keâ coù keát quaû laø soá gaàn ñuùng vôùi boán chöõ soá

thaäp phaân. Do ñoù, sai soá khaù beù neân coù theå boû qua.

Muïc C giôùi thieäu nhöõng baøi taäp töông töï ñeå caùc baïn töï giaûi.

Trong saùch Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ coøn coù 6 ñeà thi hoïc kyø moân xaùc suaát thoná g

keâ trong caùc naêm hoïc gaàn ñaây. Moãi ñeà thi coù thôøi gian laøm baøi 90 phuùt. Caùc baïn haõy töï giaûi

caùc ñeà thi ñoù trong thôøi gian qui ñònh. Sau ñoù thöû chaám ñieåm theo ñaùp aùn vaø thang ñieåm

keøm theo ñeå töï ñaùnh giaù naêng löïc cuûa mình. Ñeà thi hoïc kyø thöôøng coù tính chaát toång hôïp,

trong ñoù coù moät caâu khoù daønh cho sinh vienâ khaù gioûi. Caùc baïn coù theå xem caùch phaân tích

vaø laäp luaän moät caùch chi tieát trong ñaùp anù ñeå hieåu lôøi giaûi.

Phaàn phuï luïc cuoái saùch laø caùc baûng thoáng keâ, daønh cho vieäc tra cöùu caùc soá lieäu vaø giaù

trò cuûa caùc haøm phaân phoái xaùc suaát, raát caàn cho vieäc giaûi baøi taäp.

Sau cuøng, taùc giaû chaân thaønh caûm ôn TS. Leâ Anh Vuõ vaø Th.S Nguyeãn Duy Thanh ñaõ

ñoïc goùp yù vaø söûa chöõa baûn thaûo. Xin caûm ôn Ban laõnh ñaïo Tröôøng Ñaïi hoïc Daân laäp Kyõ

thuaät Coâng ngheä TP. Hoà Chí Minh, Phoøng Quaûn lyù khoa hoïc, Phoøng Keá hoaïch – Taøi chính,

Ban Khoa hoïc cô baûn vaø taäp theå giaûng vieân Boä moân Toanù ñaõ ñoäng vieân, giuùp ñôõ ñeå quyeån

saùch naøy ñeán tay baïn ñoïc.

Hi voïng Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ seõ giuùp caùc baïn sinh vienâ hieåu roõ monâ hoïc vöøa

thuù vò, vöøa coù raát nhieuà öùng duïng thöïc teá naøy.

Chuùc caùc baïn thaønh coâng.

TP. Hoà Chí Minh, ngaøy 18 thaùng 3 naêm 2005

Taùc giaû

5

CHÖÔNG I

ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP

A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT

1. Quy taéc ñeám

a) Quy taéc coäng

Giaû söû moät coâng vieäc V coù theå tieán haønh theo moät trong hai phöông aùn A hoaëc B.

Phöông aùn A coù theå thöïc hieän bôûi m caùch, phöông aùn B coù theå thöïc hienä bôûi n caùch. Moãi

caùch thöïc hieän A khoâng truøng vôùi baát kyø caùch thöcï hienä B naøo. Khi ñoù coâng vieäc V coù

theå thöïc hieän bôûi m + n caùch.

b) Quy taéc nhaân

Giaû söû moät coâng vieäc V bao goàm hai coâng ñoaïn A vaø B. Coâng ñoaïn A coù theå laøm theo

m caùch, conâ g ñoaïn B coù theå laøm theo n caùch. Moãi caùch thöïc hieän A ñeàu coù n caùch thöïc hieän

B. Khi ñoù coâng vieäc V coù theå thöïc hienä theo m.n caùch.

2. Chænh hôïp, hoaùn vò, toå hôïp

a) Chænh hôïp

Giaû söû A laø taäp hôïp goàm n phaàn töû vaø k laø soá töï nhieân (1  k  n).

Keát quaû cuûa vieäc laáy k phaàn töû khaùc nhau thuoäc A vaø saép xeáp chuùng theo moät thöù töï

naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû.

Soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû kí hieäu laø ^K. Ta coù :

A_n

n!

A^k_n

(1  k  n)

(n  k)!

vôùi quy öôùc : 0 ! = 1, n ! = 1.2.3.... n (n  N*).

b) Chænh hôïp laëp

Keát quaû cuûa vieäc layá k phaàn töû, khoâng caàn khaùc nhau, töø n phaàn töû ñaõ cho vaø saép xeáp

chuùng theo moät thöù töï naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû.

Soá chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû kí hieäu laø A^k_n. Ta coù :

A^k_n= n^k

(n  N* , k  N)

c) Hoaùn vò

Keát quaû cuûa söï saép xeáp n phaàn töû khaùc nhau theo moät thöù töï naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät

hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù.

Soá caùc hoaùn vò cuûa n phaàn töû kí hieäu laø P_n.

Ta coù

P_n Aⁿ_n n!

(n  N*)

d) Toå hôïp

Moãi taäp con goàm k phaàn töû khaùc nhau cuûa taäp hôïp A coù n phaàn töû ñöôïc goïi laø moät toå

hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho.

6

Soá caùc toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû kí hieäu laø ^K. Ta coù :

C_n

A_n^K

n!

k!(n  k)!

C^K_n



(n  N *, 0  k  n)

k!

B. CAÙC BAØI GIAÛI MAÃU

1. Quy taéc coäng

Baøi 1. Töø tænh X ñeán tænh Y coù theå ñi baèng otâ oâ hoaëc taøu hoûa. Moãi ngaøy coù 10 chuyená

oâtoâ, 5 chuyeán taøu hoûa ñi töø X ñeán Y. Hoûi coù bao nhieâu söï löïa chonï ñeå ñi töø X ñeán Y ?

Giaûi

Ta xem coâng vieäc V laø ñi töø X ñeán Y. Coù hai phöông aùn thöïc hieän :

- A laø ñi oâtoâ, coù 10 caùch choïn.

- B laø ñi taøu hoûa, coù 5 caùch choïn.

Moãi caùch chonï A khoâng truøng vôùi baát kì caùch choïn B naøo.

Theo quy taéc conä g, soá caùch löïa choïn ñeå ñi töø X ñeán Y laø : 10 + 5 = 15.

Baøi 2. Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá khaùc nhau coù chöõ soá khaùc

nhau ?

Giaûi

Ta coù ba phöông aùn laäp soá :

- A : Laäp soá coù moät chöõ soá, coù 3 soá, ñoù laø caùc soá 1, 2, 3.

- B : Laäp soá coù hai chöõ soá, coù 6 soá, ñoù laø caùc soá : 12, 13, 21, 23, 31, 32.

- C : Laäp soá coù ba chöõ soá, coù 6 soá, ñoù laø caùc soá : 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Caùc caùch laäp treân ñoâi moät khoâng truøng nhau.

Vaäy, theo quy taéc conä g, ta seõ lapä ñöôïc :

3 + 6 + 6 = 15

soá coù caùc chöõ soá khaùc nhau töø ba chöõ soá ñaõ cho.

2. Quy taéc nhaân

Baøi 3. Moät thieát bò ñöôïc laép raùp töø hai loaiï linh kieän. Linh kieän loaïi moät coù 10 chieác,

linh kieän loaïi hai coù 8 chieác. Hoûi coù bao nhieâu caùch laép thieát bò ñoù ?

Giaûi

Ta xem coâng vieäc V laø laép thieát bò, bao goàm hai coâng ñoaïn :

- A : Laép linh kieän loaïi moät, coù 10 caùch choïn ;

- B : laép linh kieän loaïi hai, coù 8 caùch choïn.

Moãi caùch choïn linh kieän loaïi moät ñeàu coù 8 caùch choïn linh kieän loaïi hai.

Theo quy taéc nhaân, soá caùch laép thieát bò laø : 10 . 8 = 80

Baøi 4. Neáu khoâng keå maõ soá vuøng thì moät bieån soá xe maùy coù 6 kí töï. Kí töï ôû vò trí ñaàu

tienâ laø moät chöõ caùi trong banû g 24 chöõ caùi, ôû vò trí thöù hai laø moät chöõ soá thuoäc taäp hôïp 1, 2,

...., 9. Boná vò trí tieáp theo laø boán chöõ soá thuoäc taäp hôïp 0, 1, 2,..., 9. Hoûi coù theå laøm ñöôïc

bao nhieâu bieån soá xe maùy khaùc nhau, neáu khoâng keå maõ soá vuøng ?

Giaûi

Ta coù 24 caùch choïn chöõ caùi ñeå xeáp ôû vò trí ñaàu tieân. Töông töï coù 9 caùch choïn chöõ soá

cho vò trí thöù hai vaø coù 10 caùch choïn chöõ soá cho moiã vò trí trong boán vò trí coøn laïi.

Theo quy taéc nhaân, soá bieån soá xe maùy coù theå laøm ñöôïc laø

24 . 9 . 10 . 10 . 10 . 10 = 2 160 000.

7

3. Chænh hôïp, hoaùn vò, toå hôïp

Baøi 5. Moät lôpù hoïc coù 60 sinh vieân. Hoûi coù bao nhieâu caùch chonï moät Ban caùn söï goàm

moät lôùp tröôûng, moät lôpù phoù hoïc taäp, moät lôùp phoù ñôøi soáng ?

Giaûi

Caùch thöù nhaát. Moiã caùch choïn laø moät chænh hôïp chaäp 3 cuûa 60 phaàn töû. Do ñoù, soá

caùch choïn laø

A³₃₀

= 60 . 59 . 58 = 205 320.

Caùch thöù hai . Ta xem V laø coâng vieäc choïn Ban caùn söï lôùp, bao goàm ba coâng ñoaïn :

- Thöù nhaát, choïn lôùp tröônû g töø 60 sinh vieân, coù 60 caùch.

- Thöù hai, choïn lôpù phoù hoïc tapä töø 59 sinh vieân coøn laïi, coù 59 caùch.

- Thöù ba, choïn lôùp phoù ñôøi soáng, töông töï coù 58 caùch.

Theo quy taéc nhaân, soá caùch choïn Ban caùn söï lôùp laø

60 . 59 . 58 = 205 320.

Baøi 6. Trong traän chung keát boùng ñaù phaiû phaân ñònh thaéng thua baèng ñaù luaân löu 11

meùt. Huaán luyeän vieân cuûa moãi ñoäi caàn trình vôiù troïng taøi moät danh saùch saép thöù töï 5 caàu thuû

trong soá 11 caàu thuû ñeå ñaù luaân löu. Hoûi huaán luyeän vieân cuûa moãi ñoäi coù bao nhieâu caùch

choïn?

Giaûi

Moãi danh saùch laø moät chænh hôpï chaäp 5 cuûa 11 phaàn töû. Vaäy, soá caùch choïn cuûa huaán

luyeän vienâ moãi ñoäi laø :

5

= 55 440.

A₁₁

Baøi 7. Coù 8 ngöôøi lenâ moät ñoaøn taøu goàm 5 toa. Hoûi coù bao nhieâu caùch leân taøu moät

caùch tuøy yù?

Giaûi

Caùch thöù nhaát . Moãi caùch leân taøu laø moät chænh hôïp laëp chaäp 8 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy, soá

caùch leân taøu laø

A₅⁸

= 5⁸= 390 625.

Caùch thöù hai . ta xem coâng vieäc V laø 8 ngöôøi leân taøu, bao goàm 8 coâng ñoaïn :

- Ngöôøi thöù nhaát leân taøu, coù 5 caùch choïn toa.

- Ngöôøi thöù hai leân taøu, cuõng coù 5 caùch choïn toa.

- v.v..... Töông töï, ngöôøi thöù taùm vaãn coù 5 caùch choïn toa.

Theo quy taéc nhaân, soá caùch leân taøu cuûa 8 ngöôøi ñoù laø :

5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 390 625.

Baøi 8. Trong giôø hoïc moân Giaùo duïc quoác phoøng, motä tieåu ñoäi 10 sinh vieân ñöôïc xeáp

thaønh haøng ngang. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp ?

Giaûi

Moãi caùch xeáp laø moät hoaùn vò cuûa 10 ngöôøi. Vaäy soá caùch laø :

P₁₀= 10 ! = 3 628 800.

Baøi 9. Moät lôùp hoïc coù 50 sinh vieân, moãi buoiå hoïc caàn choïn 3 sinh vieân laøm tröïc nhaät lôùp.

Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ?

Giaûi

Moãi caùch choïn sinh vieân laøm tröïc nhaät lôùp laø moät toå hôïp chapä 3 cuûa 50 phaàn töû. Vaäy

soá caùch choïn laø

C³₅₀

= 19 600.

8

4. Baøi taäp toång hôïp

Baøi 10. Moät chi ñoanø coù 30 sinh vieân nam vaø 15 sinh vieân nö.õ Canà chonï moät nhoùm

goàm 8 sinh vieân ñeå tham gia chieán dòch “Muøa heø xanh” cuûa Thaønh Ñoanø . Hoûi coù bao nhieâu

caùch choïn sao cho nhoùm ñoù coù

a) 8 sinh vieân baát kì cuûa chi ñoaøn ?

b) 3 sinh vieân nöõ ?

c) nhieàu nhaát 1 sinh vieân nöõ ?

d) ít nhaát 1 sinh vieân nöõ ?

Giaûi

a) Moãi caùch choïn laø moät toå hôïp chaäp 8 cuûa 45 ñoaøn vienâ , do ñoù soá caùch laø

C⁸₄₅

= 215 553 195.

b) Vieäc choïn 8 sinh vieân theo yeâu caàu ñeà baøi bao goàm hai coâng ñoaïn :

3

- Choïn 3 sinh vieân nöõ trong soá 15 sinh vieân nöõ, coù

caùch.

C₁₅

- Choïn 5 sinh vieân nam trong soá 30 sinh vieân nam, coù C⁵₃₀caùch.

Theo quy taéc nhaân, soá caùch choïn nhoùm laø

C₁³₅. C⁵₃₀= 64 840 230.

c) Vieäc thaønh laäp nhoùm theo yeâu caàu ñeà baøi coù hai phöông aùn thöïc hieän :

- Nhoùm coù 1 sinh vieân nöõ vaø 7 sinh vieân nam, töông töï caâu b), soá caùch laø

1

7

;

C₁₅C₃₀

8

- Nhoùm coù 8 sinh vieân nam, soá caùch laø

.

C₃₀

Theo quy taéc coäng, soá caùch thaønh laäp nhoùm ñeå coù nhieàu nhaát 1 sinh vieân nöõ laø

C¹₁₅C⁷₃₀+ C⁸₃₀= 36 389 925.

d) Caùch thöù nhaát. Vieäc laäp nhoùm goàm 8 sinh vieân baát kì cuûa chi ñoaøn coù theå thöïc hieän

theo hai phöông aùn :

- Nhoùm goàm 8 sinh vieân nam (khoâng coù sinh vieân nöõ), soá caùch laø C⁸₃₀,

- Nhoùm coù ít nhaát 1 sinh vieân nöõ, soá caùch laø n.

Theo caâu a), soá caùch laäp nhoùm goàm 8 sinh vieân baát kì laø

8

.

C₄₅

Theo quy taéc coäng, ta coù :

C⁸₃₀+ n = C⁸₄₅.

Suy ra, soá caùch laäp nhoùm ñeå coù ít nhaát 1 sinh vienâ nöõ laø :

n = C⁸₄₅- C₃⁸₀= 209 700 270.

Caùch thöù hai. Vieäc laäp nhoùm ñeå coù ít nhaát 1 sinh vienâ nöõ coù 8 phöông aùn thöïc hieän :

1

7

- Nhoùm coù 1 sinh vieân nöõ vaø 7 sinh vieân nam, theo caâu c), soá caùch laø

;

C₁₅C₃₀

2

6

- Nhoùm coù 2 sinh vieân nöõ vaø 6 sinh vieân nam, töông töï, coù

caùch ;

C₁₅C₃₀

7

1

- v.v...., nhoùm coù 7 nöõ vaø 1 nam, soá caùch laäp laø

;

C₁₅C₃₀

- Nhoùm coù 8 sinh vieân nöõ, soá caùch laäp laø C₁⁸₅.

Theo quy taéc coäng, soá caùch laäp nhoùm ñeå coù ít nhaát 1 sinh vieân nöõ laø :

C¹₁₅C₃⁷₀+ C₁²₅C⁶₃₀+ …… + C₁⁷₅C¹₃₀+ C₁⁸₅= 209 700 270.

9

C. BAØI TAÄP

1. Moät toøa nhaø coù 10 tanà g, 7 ngöôøi vaøo thang maùy xuaát phaùt töø taàng 1. Hoûi coù bao

nhieâu caùch sao cho

a) moãi ngöôøi ra ôû moät taàng khaùc nhau ?

b) moãi ngöôøi ra ôû moät taàng tuøy yù ?

c) coù hai ngöôøi cuøng ra ôû moät taàng, nhöõng ngöôøi coøn laïi ra ôû caùc tanà g khaùc ?

2. Moät ñoäi coâng nhaân coù 15 ngöôøi, goàm 9 nam vaø 6 nöõ. Coù bao nhieâu caùch thaønh laäp

moät toå coâng taùc goàm

a) 5 ngöôøi ?

b) 3 nam vaø 2 nöõ ?

c) 3 nam vaø 2 nöõ nhöng anh A vaø chò B khoâng ñi cuøng nhau ?

3. Moät loâ haøng coù 100 saûn phaåm, trong ñoù coù 5 pheá phaåm. Choïn ra 12 saûn phaåm ñeå

kieåm tra. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn

a) caùc saûn phaåm baát kì ?

b) sao cho trong soá caùc saûn phaåm ñoù coù khoâng quaù 2 pheá phaåm ?

c) sao cho choïn ñöôïc ít nhaát 1 pheá phaåm ?

4. Ngöôøi ta laáy ra 3 vieân bi töø moät caùi hoäp ñöïng 6 vieân vi ñoû, 4 vieân bi xanh, 5 vieân

bi vaøng. Hoûi coù bao nhieâu caùch laáy ra

a) caùc vieân bi tuøy yù ?

b) 2 vieân bi ñoû, 1 vieân bi xanh ?

c) caùc vieân bi coù maàu khaùc nhau ?

d) moät vieân maøu ñoû ?

e) nhieàu nhaát moät vieân maøu ñoû ?

f) ít nhaát moät vieân maøu ñoû ?

5. Moät boä baøi coù 52 laù vôùi 4 chaát khaùc nhau, trong ñoù chaát roâ vaø cô coù maøu ñoû, chaát

pic vaø chuoàn coù maøu ñen. Choïn 8 laù baøi töø boä baøi ñoù. Hoûi coù bao nhieâu caùch laáy ñöôïc

a) 3 laù maøu ñoû ?

b) 2 laù cô ?

c) 1 laù aùt vaø 2 laù K ?

d) 2 laù roâ vaø 4 laù maøu ñen ?

e) khoâng quaù moät laù maøu ñoû ?

f) ít nhaát moät laù maøu ñen ?

g) ít nhaát 2 laù aùt ?

10

CHÖÔNG II

XAÙC SUAÁT

A. TOÙM TAÉT LÍ THUYEÁT

1. Pheùp thöû ngaãu nhieân, khoâng gian maãu, bieán coá

Moät trong nhöõng khaùi nieäm cô baûn cuûa lí thuyeát xaùc suaát laø pheùp thöû. Moät thí nghieäm,

moät haønh ñoäng, moät pheùp ño,… ñöôïc hieåu laø pheùp thöû.

Pheùp thöû ngaãu nhienâ laø pheùp thöû maø ta khoâng ñoaùn tröôùc ñöôïc keát quaû cuûa noù, maëc

duø ñaõ bieát taäp hôïp taát caû caùc keát quaû coù theå coù cuûa pheùp thöû ñoù.

Taäp hôïp moïi keát quaû cuûa moät pheùp thöû ñöôïc goïi laø khoâng gian maãu (cuûa pheùp thöû) vaø

kí hieäu laø .

Bieán coá laø moät taäp con cuûa khoâng gian maãu. Moät bieán coá lieân quan vôùi pheùp thöû laø

moät taäp hôïp bao goàm caùc keát quaû naoø ñoù cuûa pheùp thöû.

Taäp hôïp Þ ñöôïc goïi laø bieán coá khoâng theå, tapä hôïp  ñöôïc goïi laø bieán coá chaéc chaén.

Ta noùi raèng bieán coá A xaûy ra khi vaø chæ khi keát quaû cuûa pheùp thöû laø moät phaàn töû cuûa

A. Nhö vaäy, bieán coá khoâng theå Þ khoâng bao giôø xaûy ra, bieán coá chaéc chaén  luonâ luoân xaûy

ra. Bieán coá coù theå xaûy ra hoaëc khoâng xaûy ra ñöôïc goïi laø bieán coá ngaãu nhieân.

2. Quan heä giöõa bieán coá

a) Bieán coá baèng nhau

Bieán coá A ñöôïc goiï laø keùo theo biená coá B neáu A xaûy ra thì B xaûy ra, kí hieäu A  B.

Neáu A  B vaø B  A thì caùc bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø baèng nhau, kí hieäu laø A = B.

Vôùi moïi bieán coá A, ta coù

Þ  A, A  .

b) Toång, tích caùc bieán coá

Giaû söû A vaø B laø caùc bieán coá lieân quan vôùi motä pheùp thöû. Khi ñoù :

- A coäng B laø bieán coá xaûy ra neáu A hoaëc B xaûy ra, kí hieäu laø A + B (hoaëc A  B) ;

- A nhaân B laø bieán coá xaûy ra neáu A vaø B ñoàng thôøi xaûy ra, kí hieäu laø AB

(hoaëc A  B)

Vôùi moïi bieán coá A, B, C, ta coù



A + B = B + A ;

(A + B) + C = A + (B + C) ; (AB)C = A(BC)

A(B + C) = AB + AC ;

Neáu A  B thì A + B = B ; AB = A

A + A = A ; AA = A

AB = BA

A + (BC) = (A + B)(A + C)

A + Þ = A ; AÞ = Þ

A +  =  ; A = A

c) Bieán coá xung khaéc, bieán coá ñoái laäp

- Bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø xung khaéc neáu chuùng khoâng ñoàng thôøi xaûy ra, töùc laø

AB = Þ.

- Bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø ñoái laäp neáu chuùng khoâng ñoàng thôøi xaûy ra nhöng coù ít

nhaát moät trong chuùng chaéc chaén xaûy ra, töùc laø AB = Þ vaø A + B = .

Neáu A vaø B ñoái laäp thì ta kí hieäu B = A vaø goïi B laø bieán coá ñoái laäp cuûa A.

Nhö vaäy, ta coù

11



A + A =  ;

A = A

A  B = A . B ; AB  A + B

AA = Þ

d) Nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá

Caùc bieán coá A₁, A₂, … , A_nñöôïc goïi laø ñoâi moät xung khaéc, neáu hai bieán coá khaùc nhau

baát kì trong ñoù ñeàu xung khaéc, töùc laø A_iA_j= Þ vôùi i  j.

Caùc bieán coá A₁, A₂, … , A_nñöôïc goïi laø moät nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá, neáu chuùng ñoâi

moät xung khaéc vaø ít nhaát moät trong chuùng chaéc chaén xaûy ra, töùc laø A_iA_j= Þ vôùi i  j vaø

A₁+ A₂+ … + A_n= .

Nhö vaäy, vôùi moïi bieán coá A thì A, A laø moät nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá.

3. Ñònh nghóa xaùc suaát

a) Ñònh nghóa coå ñieån

Cho pheùp thöû T coù khoâng gian maãu  laø moät taäp hôïp höõu haïn vaø caùc keát quaû cuûa T laø

ñoàng khaû naêng (töùc laø coù cuøng khaû naêng xuaát hieän).

Giaû söû A laø moät bieán coá lieân quan vôùi pheùp thöû T vaø _Alaø taäp hôïp caùc keát quaû moâ taû

A (coøn goiï laø caùc keát quaû thuaän lôïi cho A).

Khi ñoù, xaùc suaát cuûa A laø moät soá, kí hieuä laø P(A), ñöôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc :

Soá phaàn töû cuûa _A

P(A) =

Soá phaàn töû cuûa 

Hay

Soá keát quaû thuaän lôïi cho A

P(A) =

Soá keát quaû coù theå cuûa pheùp thöû T

b) Ñònh nghóa hình hoïc

Giaû söû caùc keát quaû ñoàng khaû naêng cuûa pheùp thöû T ñöôcï ñaët töông öùng vôùi caùc ñieåm cuûa

moät taäp hôïp coù ñoä ño M, caùc keát quaû thuaän lôïi cho biená coá A töông öùng vôùi caùc ñieåm

cuûa moät taäp hôïp coù ñoä ño m. Khi ñoù ta goïi xaùc suaát cuûa bieán coá A laø soá

m

P(A) =

M

ÔÛ ñaây ñoä ño coù theå laø ñoä daøi, dieän tích hay theå tích, tuøy theo taäp hôïp ñang xeùt thuoäc

R, R²hay R³.

c) Ñònh nghóa thoáng keâ

Giaû söû trong n pheùp thöû vôùi ñieàu kieän gioáng nhau, bieán coá A xuaát hieän k laàn. Ta goïi

k

f_n(A) =

n

laø taàn suaát xuaát hieän bieán coá A trong n pheùp thöû vaø goïi giôùi haïn

laø xaùc suaát P(A)

lim f_n(A)

n

cuûa bieán coá A.

Xaùc suaát cuûa moät bieán coá luoân coù ba tính chaát sau ñaây

12

0  P(A)  1, vôùi moïi bieán coá A.

P(Þ) = 0, P() = 1

Neáu A, B xung khaéc thì P(A + B) = P(A) + P(B)

d) Ñònh nghóa theo tieân ñeà

Kí hieäu @ laø taäp hôïp taát caû caùc bieán coá trong moät pheùp thöû. Ta goïi xaùc suaát laø moät

quy taéc ñaët moãi A  @ vôùi moät soá P(A) thoûa maõn ba ñieàu kieän sau

(1)

(2)

(3)

 A  @ : 0  P(A)  1;

P(Þ) = 0 ; P() = 1 ;

AB = Þ => P(A + B) = P(A) + P(B).

Töø ñònh nghóa, ta coù

P( A ) = 1 – P(A)

4. Coâng thöùc coäng xaùc suaát

a) Tröôøng hôïp toång cuûa hai bieán coá

- Neáu caùc bieán coá A, B xung khaéc thì

P(A + B) = P(A) + P(B)

- Neáu A, B baát kì thì

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

b) Tröôøng hôïp toång cuûa n bieán coá

- Neáu A₁, A₂, … ,A_nlaø caùc bieán coá ñoâi moät xung khaéc thì

P(A₁+ A₂+… + A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n).

- Neáu A₁, A₂, … ,A_nbaát kì thì

n

P(A₁+ A₂+ … + A_n) = P(A )  P(A A ) 

P(A A A ) ...



i

j

i

j

k

i1

i j

i jk

(-1)^{n – 1}P(A₁A₂…A_n)

5. Xaùc suaát coù ñieàu kieän. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát

a) Xaùc suaát coù ñieàu kieän

Ta goïi xaùc suaát cuûa biená coá A khi bieán coá B ñaõ xaûy ra laø xaùc suaát cuûa bieán coá A vôùi

ñieuà kieän B, kí hieäu laø P(A/B).

P(AB)

P(A/B) =

Ta coù

b) Bieán coá ñoäc laäp

P(B)

Hai bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø ñoäc laäp, neáu xaùc suaát cuûa bieán coá naøy khoâng phuï

thuoäc vaøo söï xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa bieán coá kia, töùc laø :

P(A/B) = P(A) hoaëc P(B/A) = P(B).

13

Caùc bieán coá A₁, A₂,…,A_nñöôïc goïi laø ñoäc laäp toaøn theå, neáu xaùc suaát cuûa moät bieán coá

trong ñoù khoâng phuï thuoäc vaøo söï xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa moät toå hôïp baát kì caùc bieán coá

khaùc.

Neáu A, B ñoäc laäp thì caùc caëp A, B ; A , B ; A , B cuõng ñoäc laäp. Tính ñoäc laäp toaøn theå

cuûa nhieuà bieán coá cuõng coù tính chaát töông töï.

c) Coâng thöùc nhaân xaùc suaát

Tröôøng hôïp tích cuûa hai biená coá

- Neáu A, B baát kyø thì

P (AB) = P (A) P (B/A) = P (B) P (A/B)

- Neáu A, B ñoäc laäp thì

P (AB) = P (A) P (B)

. Tröôøng hôïp tích cuûa n bieán coá

- Neáu A₁, A₂, … , A_nbaát kyø thì

P (A₁A₂… A_n) = P (A₁) P(A₂/A₁) … P(A_n/A₁A₂…A_n-1)

- Neáu A₁, A₂, … , A_nñoäc lapä toaøn theå thì

P (A₁A₂… A_n) = P (A₁) P(A₂) … P(A_n)

6. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû. Coâng thöùc Bayes

Cho A₁, A₂, … , A_nlaø moät nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá vaø B laø moät bieán coá baát kyø. Ta coù

n

P(B) =

P(A )P(B/A )

i i



i 1

(Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû)

P(A_K)P(B/A_K)

P(A_K/ B) =

P(B)

(Coâng thöùc Bayes, coøn goïi laø coâng thöùc xaùc suaát giaû thieát).

7. Coâng thöùc Bernoulli

a) Daõy pheùp thöû Bernoulli

Moät daõy n pheùp thöû (n  N*) ñöôïc goïi laø moät daõy n pheùp thöû Bernoulli, neáu :

- caùc pheùp thöû laø ñoäc laäp vôùi nhau.

- trong moãi pheùp thöû bieán coá A maø ta quan taâm coù xaùc suaát P(A) = p khoâng ñoåi.

b) Coâng thöùc Bernoulli

Kí hieäu P_n(k, p) laø xaùc suaát ñeå bieán coá A xuaát hieän k laàn trong n pheùp thöû Bernoulli,

A

q = 1 – p = P( ). Ta coù

P_n(k, p) = C^Kp^Kq^nK

n

(0  k  n)

(Coâng thöùc Bernoulli)

c) Soá coù khaû naêng nhaát

Soá K₀sao cho P_n(K₀, p) lôùn nhaát ñöôïc goïi laø soá coù khaû naêng nhaát. Ta coù

K₀= np - q hoaëc K₀= np - q + 1.

14

B. CAÙC BAØI GIAÛI MAÃU

1. Bieåu dieãn moät bieán coá thaønh pheùp toaùn ñoái vôùi caùc bieán coá khaùc

Baøi 1. Motä sinh vienâ phaûi thi hai moân : Toaùn vaø Lyù. Goïi T, L laàn löôït laø caùc bieán coá

sinh vieân ñoù ñaäu Toaùn, Lyù. Haõy bieåu dienã caùc bieán coá sau ñaây qua T vaø L.

a) Sinh vieân ñoù rôùt Toaùn.

b) Sinh vieân ñoù chæ ñaäu Toaùn.

c) Sinh vieân ñoù ñaäu caû hai moân.

d) Sinh vieân ñoù rôùt caû hai moân.

e) Sinh vieân ñoù chæ ñaäu moät moân.

f) Sinh vieân ñoù ñaäu khoâng quaù moät moân.

g) Sinh vieân ñoù ñauä ít nhaát moät moân.

h) Sinh vieân ñoù rôùt ít nhaát moät moân.

i) Sinh vienâ ñoù rôùt nhieàu nhatá moät moân.

Giaûi

a) Ta coù bieán coá rôùt Toaùn ñoái laäp vôùi bieán coá ñaäu Toaùn neân, neáu goïi A laø bieán coá sinh

vieân ñoù rôùt Toaùn, thì A = T .

b) Goïi B laø bieán coá sinh vienâ ñoù chæ ñaäu Toaùn, thì B xaûy ra khi T xaûy ra vaø L khoâng

xaûy ra. Vaäy B = T L .

c) Goïi C laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu caû 2 moân. Ta coù C xaûy ra khi T vaø L cuøng xaûy ra.

Vaäy C = TL.

d) Töông töï, bieán coá sinh vieân ñoù rôùt caû 2 moân laø D = T L .

e) Goïi E laø bieán coá sinh vienâ ñoù chæ ñaäu 1 moân. Ta coù E xaûy ra khi sinh vieân ñoù chæ

ñaäu Toaùn (bieán coá B) hoaëc sinh vieân ñoù chæ ñaäu Lyù (bieán coá B’ = T L). Vaäy E = B + B’ hay

E = TL + T L.

f) Goïi F laø bieán coá sinh vienâ ñoù ñaäu khonâ g quaù moät moân.

- Caùch thöù nhaát. Ta coù F xaûy ra khi sinh vienâ ñoù rôùt caû 2 monâ (bieán coá D) hoaëc chæ

ñaäu moät moân (bieán coá E). Do ñoù F = D + E hay F = T L + T L + T L.

- Caùch thöù hai. Ta coù bieán coá ñoiá lapä cuûa F laø sinh vieân ñoù ñaäu quaù 1 moân, töùc laø ñaäu

caû hai moân (bieán coá C). Vaäy F = hay F = TL .

C

- Caùch thöù ba . Bieán coá F xaûy ra khi sinh vieân ñoù rôùt Toaùn hoaëc rôùt Lyù.

Vaäy F = T + L .

g) Goïi G laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu ít nhaát 1 moân. Töông töï, ta coù ba caùch bieåu

dieãn G.

- Caùch thöù nhaát. G = E + C = TL + T L + TL

- Caùch thöù hai. G = D = (

).

T L

- Caùch thöù ba. G = T + L

h) Goïi H laø bieán coá sinh vieân ñoù rôùt ít nhaát 1 moân.

Ta coù H = F. Vaäy :

15

H = T + L ,

H = C = TL ,

H = T L + TL + T L

i) Goïi I laø bieán coá sinh vieân ñoù rôùt nhieàu nhaát 1 moân. Ta coù I = G. Vaäy

I = T L + T L + TL,

I = (T L ),

I = T + L.

2. Tính xaùc suaát cuûa bieán coá theo ñònh nghóa coå ñieån

. Neâu pheùp thöû, tính soá keát quaû coù theå coù cuûa pheùp thöû.

. Neáu biená coá caàn tìm xaùc suaát, tính soá keát quaû (cuûa pheùp thöû) thuaän lôïi cho bieán coá ñoù.

. AÙp duïng ñònh nghóa ñeå tìm xaùc suaát cuûa bieán coá.

Baøi 2. Ñeà cöông thi moân Trieát coù 70 caâu hoûi. Moät sinh vieân chæ oân 40 caâu. Cho bieát ñeà

thi töï luaän goàm 3 caâu thuoäc ñeà cöông vaø neáu sinh vieân traû lôøi ít nhaát 2 caâu thì ñauä . Tìm xaùc

suaát ñeå sinh vieân ñoù ñaäu moân Trieát.

Giaûi

Pheùp thöû laø vieäc traû lôøi 3 caâu töø 70 caâu hoûi cuûa ñeà cöông (khoâng caàn saép thöù töï), do ñoù

3

soá caùc keát quaû coù theå laø

.

C₇₀

Goïi Ñ laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu moân Trieát. Muoán Ñ xaûy ra ta coù hai phöông aùn :

3

- Caû ba caâu hoûi cuûa ñeà thi ñeàu naèm trong soá 40 caâu maø sinh vieân ñaõ oân, coù

caùch ;

C₄₀

- Coù hai caâu naèm trong soá 40 caâu ñaõ oân vaø moät caâu coøn laïi naèm trong soá 30 caâu anh ta

khoâng oân, coù C²₄₀C¹₃₀caùch.

Theo quy taéc coäng, soá keát quaû thuaän lôïi cho Ñ laø

3

2

1

+

C₄₀C₄₀C₃₀

Vaäy, theo ñònh nghóa, xaùc suaát sinh vieân ñauä moân Trieát laø

C³₄₀ C²₄₀.C¹₃₀

33280 1664

P(Ñ) =

.

 0,6



C³₇₀

54740 2737

3. Tính xaùc suaát cuûa bieán coá theo ñònh nghóa hình hoïc

. Neâu pheùp thöû, tìm taäp hôïp bieuå dieãn pheùp thöû vaø ñoä ño cuûa taäp hôïp naøy.

. Neâu biená coá caàn tìm xaùc suaát, tìm taäp hôïp bieåu dieãn bieán coá vaø ñoä ño cuûa taäp

hôïp ñoù.

. AÙp duïng ñònh nghóa ñeå tìm xaùc suaát cuûa bieán coá.

Baøi 3.

30cm

16

a) Cho moät taám bia coù hình daïng vaø kích thöôùc

nhö hình veõ. Moät sinh vieân baén moät vienâ ñaïn vaøo taám

bia ñoù. Neáu baén truùng hình troøn ôû taâm coù banù kính 5cm

thì ñaït yeâu caàu. Tìm xaùc suaát ñeå sinh vienâ ñoù baén ñaït

yeâu caàu.

b) Hai ngöôiø heïn gaëp nhau taïi moät ñòa ñieåm trong

khoaûng thôiø gian töø 17h ñeán 18h. Hoï giao heïn : ai ñeán

tröôùc seõ ñôiï ngöôøi kia 15 phuùt, neáu khoâng thaáy thì huûy

cuoäc henï . Tìm xaùc suaát ñeå hoï gaëp nhau.

Giaûi

a) Pheùp thöû laø baén moät vienâ ñanï vaøo taám bia. Taäp hôïp bieåu dieãn pheùp thöû laø hình chöõ

nhaät (coù chieàu daøi 40cm, chieàu roäng 30cm) vaø nöaû hình troøn (ñöôøng kính 30cm). Ñoä

ño cuûa taäp hôïp naøy (hay dieän tích) laø :

1

S = 40 . 30 + 15²= 1200 + 112,5  (cm²).

2

Goïi D laø bieán coá sinh vieân ñoù baén ñaït yeâu caàu. Taäp hôïp bieåu dienã A laø hình troøn ôû taâm

(coù baùn kính 5cm) neân coù ñoä ño laø

s = 5²= 25 (cm²).

Vaäy, theo ñònh nghóa,

s

25

P(D) 



 0,05.

S

1200 112,5

b) Goïi x, y laàn löôït laø thôøi ñieåm ñeán choã heïn cuûa ngöôøi thöù nhaát, thöù hai. Töø 17h ñeán

18h ta coù 60 phuùt neân coù theå xem taäp hôïp bieåu dieãn pheùp thöû thoûa maõn ñieàu kieän

0  x  60,





0  y  60.



Goïi G laø bieán coá hai ngöôøi ñoù gaëp nhau thì ñieàu kieän ñeå G xaûy ra laø

y 

x

 15

C

P

B

60

45



15  y  x  15.

N

Nhö vaäy, pheùp thöû ñöôïc bieåu dieãn bôûi hình vuoâng

OABC coù canï h 60 (xem hình veõ beân). Coøn bieán coá G

ñöôïc bieuå dieãn bôiû luïc giaùc OMNBPQ.

Q

15

M

A

Ta coù dieän tích hình vuoâng laø

S = 60²= 3600,

15

45

60

dienä tích luïc giaùc laø

17

s = dt_OABC– (dt_AMN+ dt_CPQ) = 3600 – 45²= 1575.

Vaäy xaùc suaát hai ngöôøi gaëp nhau laø :

s

1575

3600

P(G)



 0,4375.

S

4. Tính xaùc suaát cuûa bieán coá baèng caùc coâng thöùc

. Neâu bieán coá caàn tìm xaùc suaát, bieåu dieãn bieán coá naøy thaønh pheùp toanù ñoái vôùi caùc bieán coá

khaùc maø ta xem laø caùc bieán coá “ñôn giaûn” hôn bieán coá ban ñaàu.

. Phaân tích moái quan heä giöõa caùc bieán coá tham gia vaøo pheùp toaùn : xung khaéc hay khoâng,

ñoäc laäp hay khoâng, coù taïo thanø h nhoùm ñaày ñuû khoâng …

. Choïn coâng thöùc tính xaùc suaát cuûa bieán coá ban ñaàu thoâng qua xaùc suaát cuûa caùc bieán coá

“ñôn gianû ”.

. Tính xaùc suaát cuûa caùc bieán coá “ñôn giaûn” (neáu caàn).

. Tính xaùc suaát cuûa bieán coá ban ñaàu.

Baøi 4. Moät sinh vienâ phaûi thi Toaùn vaø Lyù. Cho bieát xaùc suaát ñaäu hai moân ñoù laàn löôït laø

0,7 ; 0,6. Haõy tính caùc xaùc suatá sau ñaây.

a) Sinh vienâ ñoù rôùt Toaùn.

b) Sinh vienâ ñoù chæ ñaäu Toanù .

c) Sinh vienâ ñoù ñaäu caû 2 moân.

d) Sinh vienâ ñoù rôùt caû 2 moân.

e) Sinh vienâ ñoù chæ ñaäu 1 moân.

f) Sinh vienâ ñoù ñaäu khoâng quaù 1 moân.

g) Sinh vienâ ñoù ñaäu ít nhaát 1 moân.

Giaûi

Giöõ nguyeân caùch kyù hieäu vaø bieåu dienã caùc biená coá nhö ôû Baøi 1, ta coù caùc keát quaû

sau ñaây.

a) P(A) = P(T ) = 1 – P(T) = 1 – 0,7 = 0,3.

b) Vì T vaø L ñoäc lapä neân P(B) = P(TL ) = P(T) P( L ^{) = 0,7}.^{0,4 = 0,28.}

c) Töông töï, P(C) = P(TL) = P(T) P(L) = 0,42.

d) P(D) = P(T L ) = P(T ) P(L ) = 0,12.

e) Vì B, B’ xung khaéc neân

P(E) = P(B) + P(B’) = P(TL ) + P(T L) = 0,28 + 0,18 = 0,46

f) Caùch thöù nhaát

Caùch thöù hai

F = D + E vaø DE = Þ neân

P(F) = P(D) + P(E) = 0,58.

F = C neân P(F) = 1 – P(C) = 0,58.

18

Caùch thöù ba

F = T + L vaø T L  Þ neân

P(F) = P(T ) + P(L ) – P(T L ) = 0,3 +0,4 – 0,12 = 0,58.

G = E + C vaø EC = Þ neân

g) Caùch thöù nhaát

Caùch thöù hai

P(G) = P(E) + P(C) = 0,46 + 0,42 = 0,88.

G = D neân P(G) = 1 – P(D) = 1 – 0,12 = 0,88.

Caùch thöù ba G = T + L vaø TL  Þ neân

P(G) = P(T) + P(L) – P(TL) = 0,7 + 0,6 – 0,42 = 0,88.

Baøi 5. Moät loâ haøng coù 50 sanû phaåm, trong ñoù coù 8 pheá phaåm. Minh laáy ra 3 saûn phaåm,

sau ñoù Huy laáy ra 2 saûn phaåm. Tính caùc xaùc suaát sau ñaây.

a) Huy laáy trunù g 1 pheá phaåm khi Minh ñaõ laáy ñi 1 pheá phaåm.

b) Hai baïn laáy ñöôïc toaøn sanû phaåm toát.

c) Hai baïn laáy ra ñuùng 1 pheá phaåm.

d) Hai baïn laáy ra ít nhaát 1 pheá phaåm.

Giaûi

Goïi M_ilaø bieán coá Minh laáy ra i pheá phaåm (vaø 3 – i saûn phaåm toát), i =

bieán coá Huy laáy ra k pheá phaåm (vaø 2 – k saûn phamå toát), k = 0,2 .

a) Goïi A laø bieán coá caàn tìm xaùc suaát. Ta coù P(A) = P(H₁/M₁).

; H_Klaø

0,3

Ta aùp dunï g ñònh nghóa ñeå tính xaùc suaát treân. Khi Minh ñaõ laáy ñi 1 pheá phaåm (vaø 2

C²₄₇

saûn phaåm toát) thì pheùp thöû laø vieäc Huy choïn 2 saûn phaåm töø 47 saûn phaåm coøn laïi, coù

caùch.

Ñeå H₁xaûy ra thì caàn choïn 1 pheá phaåm trong soá 7 pheá phaåm coøn laïi vaø choïn 1 saûn

phaåm toát trong soá 40 saûn phaåm toát coøn laïi, do ñoù soá caùch laø C¹₇C¹₄₀

.

C¹₇C¹₄₀

C²₄₇

280

Vaäy

P(H₁/M₁) =

=

 0,259.

1081

b) Goïi B laø bieán coá Minh vaø Huy laáy ñöôïc 5 saûn phamå toát.

Caùch thöù nhaát. Ta coù bieåu dieãn

B = M₀H₀,

trong ñoù M_O,H_Okhoâng ñoäc laäp neân

P(B) = P(M₀) P(H₀/ M₀).

Caùc xaùc suaát ôû veá phaûi ñöôïc tính baèng ñònh nghóa.

C³₄₂

C³₅₀

C³₄₂

C³₅₀

C²₃₉

C²₄₇

P(M₀) =

; P (H₀/ M₀) =

C₃²₉

11480 741

Vaäy

P(B)

=

.

=

.

 0,4.

C²₄₇

19600 1081

Caùch thöù hai. Khoâng quan taâm ñeán thöù töï thôøi gian maø Minh vaø Huy laáy caùc saûn

phaåm, ta coù theå xem pheùp thöû laø vieäc hai baïn cuøng laáy 5 saûn phaåm töø 50 saûn phaåm ñaõ

19

cho. Ñeå B xaûy ra thì phaûi laáy ñöôïc 5 saûn phaåm toát trong soá 42 saûn phaåm toát. Vaäy, theo

ñònh nghóa, xaùc suaát hai baïn laáy ñöôïc toaøn saûn phaåm toát laø

C⁵₄₂

C⁵₅₀

850668

P(B) =

=

 0,4.

2118760

c) Goïi C laø bieán coá Minh vaø Huy laáy ra ñuùng 1 pheá phaåm.

Caùch thöù nhaát. Ta coù bieåu dieãn

C = M₁H₀+ M₀H₁.

Caùc bieán coá tham gia vaøo tonå g laø M₁H₀vaø M₀H₁xung khaéc, caùc bieán coá tham gia

vaøo tích laø M₁, H₀vaø M₀, H₁khoâng ñoäc laäp. Do ñoù

P(C) = P(M₁) P(H₀/M₁) + P(M₀) P(H₁/M₀)

Töông töï caâu b), ta tính ñöôïc

C¹₈C²₄₂C²₄₀

C₄³₂C¹₈C¹₃₉

8954400

P(C) =

.

+

.

=

 0,42.

C³₅₀

C²₄₇

C₅³₀

C²₄₇

21187600

Caùch thöù hai. AÙp duïng ñònh nghóa, ta coù

C₈¹C₄⁴₂

C₅⁵₀

8954400

P(C) =

=

 0,42.

21187600

d) Goïi D laø biená coá Minh vaø Huy laáy ra ít nhaát 1 pheá phaåm. Ta coù D laø biená coá hai

baïn laáy ñöôïc toaøn sanû phaåm toát, do ñoù D = B .

801

Vaäy P(D) = 1 – P(B) =

 0,741.

1081

Baøi 6. Coù hai hoäp phaná . Hoäp thöù nhaát coù 6 vieân phaán traéng, 4 vieân phaán maøu. Hoäp thöù

hai coù 7 vieân phaán traéng, 3 vieân phaán maøu. Töø hoäp thöù nhaát laáy ra 2 vieân phaná , töø hoäp thöù

hai laáy ra 1 vieân. Tìm xaùc suatá laáy ñöôïc

a) 2 vieân phaán traéng.

b) ít nhaát 1 vieân phaán maøu.

Giaûi

Theo ñeà baøi, töø hai hopä ta seõ laáy ñöôïc 3 vienâ phaán. Caùc bieán coá caàn tìm xaùc suaát lieân

quan ñeán soá löôïng caùc vieân phaán traéng laáy töø moãi hoäp. Do ñoù ta seõ bieåu dieãn caùc bieán coá

qua caùc pheùp toanù töông öùng.

Goïi A_Klaø bieán coá laáy ñöôïc k vieân phaán traéng töø hoäp thöù nhaát, k =

, B laø bieán coá

0,2

i

layá ñöôïc i vieân phaán traéng töø hoäp thöù hai, i =

.

0,1

a) Goïi A laø bieán coá trong 3 vienâ phaán laáy töø hai hoäp coù 2 vieân maøu traéng. Ta coù

A = A₁B₁+ A₂B_0.

Roõ raøng caùc bieán coá tham gia vaøo tonå g laø A₁B₁vaø A₂B₀xung khaéc, coøn caùc bieán coá

tham gia vaøo tích laø A₁vaø B₁, A₂vaø B₀ñoäc laäp. Do ñoù

P(A) = P(A₁) P(B₁) + P(A₂) P(B₀).

Caùc xaùc suaát ôû veá phaûi ñöôïc tính baèng ñònh nghóa.

20

Bài tập môn Xác suất thống kê (Phần 1) - Lê Thị Thiên Hương