Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Định thức
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016
Chương 2
ĐỊNH THỨC
FB: fb.com/daisob1
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh
Chương 2. Định thức
08/03/2016
1/39
Nội dung
Chương 2. ĐỊNH THỨC
1. Định nghĩa và các tính chất
2. Định thức và ma trận khả nghịch
3. Ứng dụng định thức để giải hệ PTTT
Chương 2. Định thức
08/03/2016
2/39
2.1. Định nghĩa và các tính chất
1
Định nghĩa
2
Quy tắc Sarrus
3
Khai triển định thức theo dòng và cột
4
Định thức và các phép biến đổi sơ cấp
Chương 2. Định thức
08/03/2016
3/39
2.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta gọi ma trận A(i|j) là
ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng i và cột j của A. Rõ
ràng ma trận A(i|j) có cấp là n − 1.
1 2 3 2
3 4 2 5
6 7 1 3
9 2 10 4
Ví dụ. Cho A =
. Tìm ma trận A(1|2) và A(2|3)?
Giải.
3
2 5
1 3 ;
1 2 2
A(1|2) =
6
A(2|3) = 6 7 3
.
9 10 4
9 2 4
Chương 2. Định thức
08/03/2016
4/39
Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Định thức của ma trận A,
được ký hiệu là detA hay |A| là một số thực được xác định bằng quy
nạp theo n như sau:
• Nếu n = 1, nghĩa là A = (a), thì |A| = a.
ꢀ
ꢁ
a
c d
b
• Nếu n = 2, nghĩa là A =
, thì |A| = ad − bc.
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
• Nếu n > 2, nghĩa là A =
, thì
n
X
dòng 1
|A| ====
a1j(−1)1+j|A(1|j)|
j=1
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1+n
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
==== a11 A(1|1) − a12 A(1|2) + · · · + a1n(−1)
A(1|n) .
Chương 2. Định thức
08/03/2016
5/39
ꢀ
ꢁ
4 −2
Ví dụ. Cho A =
. Khi đó |A| = 4.5 − (−2).3 = 26.
3
5
Ví dụ. Tính định thức của ma trận
1 2 −3
A = 2 3
0 .
3 2
4
Giải.
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
dòng 1
3 0
2 4
2 0
3 4
2 3
3 2
1+2
1+3
|A| ==== 1(−1)1+1
+ 2(−1)
+ (−3)(−1)
==== 12 − 16 + 15 = 11.
Chương 2. Định thức
08/03/2016
6/39
2.1.2. Quy tắc Sarrus (n = 3)
a11 a12 a13
Cho A = a21 a22 a23 . Theo định nghĩa của định thức, ta có
a31 a32 a33
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
a22 a23
a32 a33
a21 a23
a31 a33
a21 a22
a31 a32
|A| = a11
− a12
+ a13
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.
Từ đây ta suy ra công thức Sarrus dựa vào sơ đồ sau:
Chương 2. Định thức
08/03/2016
7/39
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33).
(Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh)
Ví dụ.
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1 2 3
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
4 2 1 = (1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1) − (3.2.3 + 1.1.1 + 2.4.5) = −31.
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
3 1 5
Chương 2. Định thức
08/03/2016
8/39
2.1.3. Khai triển định thức theo dòng và cột
Định nghĩa. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j ∈ 1, n, ta gọi
cij = (−1)i+jdetA(i|j)
là phần bù đại số của hệ số aij.
1 1 1
Ví dụ. Cho A = 2 3 1 . Tìm phần bù đại số của a12 và a31?
3 4 0
Giải.
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
2 1
3 0
1 1
3 1
c12 = (−1)1+2
= 3; c31 = (−1)3+1
= −2.
Chương 2. Định thức
08/03/2016
9/39
Định lý. Cho A = (aij)n×n ∈ Mn(R). Với mỗi i, j ∈ 1, n, gọi cij là
phần bù đại số của hệ số aij. Ta có công thức khai triển |A|
n
P
• theo dòng i: |A| =
aikcik.
k=1
n
P
• theo cột j: |A| =
akjckj.
k=1
n
Nhận xét.
X
dòng i
|A| ====
aik(−1)i+k|A(i|k)|
akj(−1)k+j|A(k|j)|
k=1
n
X
cột j
====
k=1
3 −1 3
Ví dụ. Tính định thức của A =
5
4
2 2 theo dòng 2 và cột 3.
1 0
Chương 2. Định thức
08/03/2016
10/39
3 −1 3
A =
5
4
2 2
1 0
Giải.
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
dòng 2
−1 3
3 3
4 0
3 −1
|A| ==== 5(−1)2+1
+ 2(−1)
+ 2(−1)
+ 0(−1)
2+2
2+3
3+3
1 0
4
1
==== 15 − 24 − 14 = −23.
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
5 2
4 1
3 −1
3 −1
cột 3
|A| ==== 3(−1)1+3
2+3
+ 2(−1)
4
1
5
2
==== − 9 − 14 + 0 = −23.
Lưu ý. Trong việc tính định thức của ma trận ta nên chọn dòng hay
cột có chứa nhiều số 0 để khai triển.
Chương 2. Định thức
08/03/2016
11/39
2 −3
3 2
1 4
0 2
3
−2
4
0
0
Ví dụ. Tính định thức của ma trận A =
.
0 −1 5
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
3
1 4
Giải.
cột 2
|A| ==== −3(−1)1+2 −2
0 2 = 3.32 = 96.
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
4 −1 5
Ví dụ.(tự làm) Tính định thức của ma trận
0 2
3 −8 4
0 0
0 0
Đáp án. |B| = −48
Chương 2. Định thức
08/03/2016
12/39
Mệnh đề. Cho A ∈ Mn(R). Khi đó:
(i) |A>| = |A|.
(ii) Nếu A có một dòng hay một cột bằng 0 thì |A| = 0.
(iii) Nếu A là một ma trận tam giác thì |A| bằng tích các phần tử trên
đường chéo, nghĩa là
|A| = a11.a22 . . . ann.
Ví dụ. Tính định thức các ma trận sau:
−1 0
4
2
3 4
−2 0
0
0 .
a)
3 0
4 ; b) 0 −3 9 ; c)
3 3
4 0 −2
0
0 4
9 8 −5
Đáp án. |A| = 0; |B| = 2.(−3).4 = −24; |C| = (−2).3.(−5) = 30.
Định lý. Nếu A, B ∈ Mn(R) thì |AB| = |A||B|.
Chương 2. Định thức
08/03/2016
13/39
2.1.4. Định thức và các phép biến đổi sơ cấp
Định lý. Cho A, A0 ∈ Mn(R). Khi đó
di↔dj
(i) Nếu A −−−−→ A0 thì |A0| = −|A|;
i=j
αdi
(ii) Nếu A −−→ A0 thì |A0| = α|A|;
di+βdj
(iii) Nếu A −−−−−→ A0 thì |A0| = |A|.
i=j
Lưu ý. Vì |A>| = |A| nên trong quá trình tính định thức ta có thể sử
dụng các phép biến đổi sơ cấp trên cột.
1
2
3
7
Ví dụ. Tính định thức của ma trận A =
6 −8 .
5 −12
4
Chương 2. Định thức
08/03/2016
14/39
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1
2
3
7
1
1
3
7
12 d2
Giải.
6 −8 ====== 2
3 −4
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
5 −12
4
5 −12
4
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1
1
1
7
13 c2
====== 2.3
1 −4
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
5 −4
4
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1
1
7
d2−d1
====== 6
0
0 −11
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
5 −4
4
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
dòng 2
1
1
====== 6(−11)(−1)2+3
= −594.
5 −4
Chương 2. Định thức
08/03/2016
15/39
Ví dụ.
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
2
3 −4
5
4
0
19 −16
7
d2−d1
d4+2d1
3 −5
2
1 −8
6 −1
======
d1−2d2
5
4
2
3 −2
0
44 −27
3
d3−5d2
−4
5
3
0
8
−3 13
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
19 −16
7
3
cột 1
======1.(−1)2+1 44 −27
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
8
−3 13
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
d3−4d2
d2−3d3
1195 −751
0
0
−
548 −342
======
d1−7d3
−168
105 1
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1195 −751
548 −342
cột 1
======−
= −2858.
Chương 2. Định thức
08/03/2016
16/39
Ví dụ.
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1
2
1
3
1
4
1
3
1
4
1
5
ꢂ
1
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
6d1
12d2
6
6
3
4
2
3
1 1
1
1
2
1
3
.
.
======
60d3
6 12 60
20 15 12
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
c1−2c2
c2−c3
0 1 0
1
======
c3−2c2
−2 1 1
4320
−10 3 6
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
ꢂ
1
1
dòng 1
====== −
−2 1
=
.
−10 6
4320
2160
Nhận xét. Trong quá trình tính định thức, phép biến đổi sơ cấp loại 3
được khuyến khích dùng bởi vì nó không làm thay đổi giá trị định thức.
Chương 2. Định thức
08/03/2016
17/39
Ví dụ.(tự làm) Tính định thức các ma trận sau
1 1 2 −1
3 2 −1
2 3 −2
1
0
2 3 5
3 2 6 −2
−2 1 3
0
;
.
A =
B =
−3 1
4 −2
1
4 1
3
1
Đáp án. |A| = −19; |B| = −30.
Ví dụ.(tự làm) Tính định thức các ma trận sau
13 18 6 −1 7
3
4
2
5
1 3
1 8
4
7
6
6
7 3
4 1
2 −3
C =
9 3 −1 4 ; D = −4 −7
2 −2 4
9 3 −2 3
3 1 −2 3
3 −5
4
3 5
1 2
8
6 −4
Đáp án. |C| = 24; |D| = −174.
Chương 2. Định thức
08/03/2016
18/39
Ví dụ.(tự làm) Tính định thức các ma trận sau
ꢀ
ꢁ
2
5
a) A =
;
3 −6
2
3
3 2
2 5 ;
2 −1 2
3 2 3 4
2 1 3 2
1 2 1 2
b) B =
1 1 2 −1
2 3 5
3 2 6 −2
−2 1 3
0
c) C =
; D =
.
−3 4 2 1
1
d) C2D>
Đáp án. |A| = −27; |B| = 16; |C| = −18; |D| = −19;
2
|C2D>| = |C2||D>| = |C| |D| = −6156.
Chương 2. Định thức
08/03/2016
19/39
2.2. Định thức và ma trận khả nghịch
1
Ma trận phụ hợp
2
Nhận diện ma trận khả nghịch
Chương 2. Định thức
08/03/2016
20/39
Tải về để xem bản đầy đủ
39 trang
15/01/2024
7000
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương II: Định thức", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_ii_dinh_thuc.pdf
