Bài giảng môn Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất
Chu’o’ng 2
˜
’
DAI LUONG NGAU NHIEN VA PHAN PHOI XAC SUAT
´
ˆ
ˆ
`
ˆ
ˆ
´
ˆ´
’
¯
.
.
˜
ˆ
ˆ
’
’
1. DAI LUONG NGAU NHIEN
¯ .
.
˜
1.1 Kh´ai niˆem d¯ai luong ngˆau nhiˆen
’ ’
.
.
.
’
’
´
´
˜
˜
’
Dinh nghia 1 Dai luong ngˆau nhiˆen l`a d¯ai luong biˆen d¯ˆoi biˆeu thi gı´a tri kˆet qua
’ ’ ’ ’
.
.
.
.
¯ .
¯
.
.
’
˜
’
cua moˆt ph´ep thu ngˆau nhiˆen.
’
.
’
˜
˜
Ta du`ng c´ac chu c´ai hoa nhu X, Y, Z, ... d¯ˆe k´ı hiˆeu d¯ai luong ngˆau nhiˆen.
’ ’
’
’
.
.
.
´
´
˘
´
´
´
˘
˘
• V´ı du 1 Tung mˆot con xu´c xac. Goi X l`a soˆ chˆam xuˆat hiˆen trˆen mat con xu´c xac
.
.
.
.
.
’
˜
th`ı X l`a mˆot d¯ai luong ngˆau nhiˆen nhaˆn c´ac gi´a tri c´o thˆe l`a 1, 2, 3, 4, 5, 6.
’ ’
.
.
.
.
.
˜
`
1.2 Dai luong ngˆau nhiˆen roi rac
’ ’
’
¯
.
.
.
˜
`
a) Dai luong ngˆau nhiˆen roi rac
’ ’
’
¯ .
.
.
´
´
˜
˜
`
’
’
Dinh nghia 2 Dai luong ngˆau nhiˆen d¯uoc goi l`a roi rac nˆeu n´o chi nhˆan mˆot sˆo
’ ’
.
’ ’
.
.
.
.
.
.
¯ .
¯
´
´
˜
’
˘
.
huu han hoac mˆot sˆo vˆo han d¯ˆem d¯uoc c´ac gi´a tri.
’ ’
.
.
.
.
.
’
˜
`
’
Ta c´o thˆe liˆet kˆe c´ac gi´a tri cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen roi rac
.
’ ’
.
’
1
2
.
.
.
.
’
´
˜
Ta k´ı hiˆeu d¯ai luong ngˆau nhiˆen X nhˆan gi´a tri
’ ’
l`a
=
v`a x´ac suˆat d¯ˆe X nhˆan
.
.
.
.
.
.
gi´a tri
l`a
(
=
).
.
´
´
´
´
´
´
˘
`
˘
˘
˘
.
• V´ı du 2 Sˆo chˆam xuˆat hiˆen trˆen mat con xu´c xac, sˆo hoc sinh vang mat trong mˆot
.
˜
.
.
.
.
’
buˆoi hoc...l`a c´ac d¯ai luong ngˆau nhiˆen roi rac.
’ ’
’
.
.
.
.
´
´
’
b) Bang phˆan phˆoi x´ac suˆat
’
´
´
´
´
´
’
’
Bang phˆan phˆoi x´ac suˆat du`ng d¯ˆe thiˆet lˆap luˆat phˆan phˆoi x´ac suˆat cua d¯ai luong
’ ’
.
.
.
.
’
´
´
˜
`
`
’
ngˆau nhiˆen roi rac, n´o gˆom 2 h`ang: h`ang thu nhˆat liˆet kˆe c´ac gi´a tri c´o thˆe
’
1
2
.
.
.
´
´
´
˜
’
cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen X v`a h`ang thu hai liˆet kˆe c´ac x´ac suˆat tuong ung
’ ’ ’ ’
’
’
1
2
.
.
.
’
’
cua c´ac gi´a tri c´o thˆe d¯o´.
.
27
28
Chu’o’ng 2.
X
P
1
1
2
2
’
´
´
1
˜
`
’
Nˆeu c´ac gi´a tri c´o thˆe cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen X gˆom hu˜u han sˆo
th`ı
’ ’
.
2
.
.
.
´
´
´
’
lˆap th`anh mˆot nh´om c´ac biˆen cˆo d¯ˆay d¯u xung
. .
´
`
c´ac biˆen cˆo
=
=
=
1
2
´
˘
`
khac tung d¯ˆoi.
’
Do d¯´o
= 1.
=1
´
´
´
´
´
´
´
`
˘
˘
.
• V´ı du 3 Tung mˆot con xu´c xac d¯ˆong chˆat. Goi X l`a soˆ chˆam xuaˆt hiˆen trˆen mat con
.
.
.
.
´
˘
˜
’
’
`
’
xu´c xac th`ı X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen roi rac c´o phˆan phoˆi x´ac suˆat cho boi:
’ ’
.
.
.
X 1
2
1
6
3
1
6
4
1
6
5
1
6
6
1
6
1
P
6
´
˜
1.3 Dai luong ngˆau nhiˆen liˆen tuc v`a h`am mˆat d¯ˆo x´ac suˆat
’ ’
¯
.
.
.
.
.
˜
a) Dai luong ngˆau nhiˆen liˆen tuc
’ ’
¯ .
.
.
’
´
˜
˜
’
Dinh nghia 3 Dai luong ngˆau nhiˆen d¯uoc goi l`a liˆen tuc nˆeu c´ac gi´a tri c´o thˆe cua
’ ’
.
’ ’
.
.
.
.
.
¯ .
¯
´
´
`
’
n´o lˆap d¯ˆay mˆot khoang trˆen truc sˆo.
.
.
• V´ı du 4
.
’
˜
’
`
˜
’
`
’
- Nhiˆet d¯oˆ khˆong kh´ı o mˆoi thoi d¯iˆem n`ao d¯´o.
’
.
.
´
- Sai sˆo khi khi d¯o luong mˆot d¯ai luong vˆat l´y.
’ ’ ’ ’
.
.
.
’
.
´
´
`
’
’
- Khoang thoi gian giua hai ca cˆap cuu cua moˆt bˆenh viˆen.
’
.
.
.
´
b) H`am mˆat d¯ˆo x´ac suˆat
.
.
´
˜
˜
’
Dinh nghia 4 H`am mˆat d¯ˆo x´ac suˆat cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen liˆen tuc X l`a h`am
’ ’
.
.
.
.
.
¯ .
´
’
khˆong ˆam f(x), x´ac d¯inh voi moi ∈ (−∞ +∞) thoa ma˜n
’
.
.
(
∈
) =
( )
´
´
voi moi tˆap sˆo thuc B.
’
’
.
.
.
´
´
´
T´ınh chˆat H`am mˆat d¯ˆo x´ac suˆat c´o c´ac t´ınh chˆat sau
.
.
i) ( ) ≥ 0, ∀ ∈ (−∞ +∞)
+∞
ii)
( ) = 1
−∞
´
˜
’
ꢀ Y nghia cua h`am mˆat d¯ˆo
.
.
˜
`
’
Tu d¯inh nghia cua h`am mˆat d¯ˆo ta c´o ( ≤
Do d¯o´ ta thˆay x´ac suˆat d¯ˆe X nhˆan gi´a tri thuˆoc lˆan cˆan kh´a b´e (
≤
+ 4 ) ∼ ( ) 4
’
.
.
.
’
´
´
`
+ 4 ) gˆan nhu
’
.
.
.
.
´
’
’
ti lˆe voi f(x).
.
29
´
´
1.4 H`am phˆan phˆoi x´ac suˆat
´
´
˜
˜
’
Dinh nghia 5 H`am phˆan phˆoi x´ac suˆat cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen X, k´ı hiˆeu F(x),
’ ’
.
.
¯ .
l`a h`am d¯uoc xa´c d¯inh nhu sau
.
’ ’
’
.
.
( ) = (
)
’
´
˜
`
* Nˆeu X la` d¯ai luong ngˆau nhiˆen roi rac nhˆan c´ac gi´a tri c´o thˆe
th`ı
’ ’
.
’
1
2
.
.
.
.
´
( ) =
(
=
) =
(voi = (
=
))
’
´
´
˜
* Nˆeu X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen liˆen tuc c´o h`am mˆat d¯oˆ x´ac suaˆt f(x) th`ı
’ ’
.
.
.
.
.
( ) =
( )
−∞
’
´
´
´
T´ınh chˆat Ta c´o thˆe chung minh d¯uoc c´ac cˆong thuc sau
’ ’
’
’
.
i) 0 ≤ ( ) ≤ 1; ∀ .
ii) F(x) l`a h`am khˆong giam (
’
≤
=⇒ ( ) ≤ ( )).
1
2
1
2
iii) lim ( ) = 0;
lim ( ) = 1.
→−∞
→+∞
iv) 0( ) = ( ) ∀ .
´
´
´
˜
’
ꢀ Y nghia cua h`am phˆan phˆoi x´ac suˆat
´
´
´
´
`
’
’
H`am phˆan phˆoi x´ac suˆat F(x) phan ´anh muc d¯ˆo tˆap trung x´ac suˆat vˆe bˆen tr´ai cua
’
. .
’
d¯iˆem x.
´
´
˜
`
’
• V´ı du 5 Cho d¯ai luong ngˆau nhiˆen roi rac X c´o bang phaˆn phˆoi x´ac suaˆt
’ ’
.
’
.
.
.
X
1
3
6
P 0,3 0,1 0,6
´
´
`
’
’
T`ım h`am phˆan phˆoi x´ac suˆat cua X v`a ve˜ d¯ˆo thi cua h`am n`ay.
.
’
Giai
´
Nˆeu ≤ 1 th`ı ( ) = 0.
´
Nˆeu 1
≤ 3 th`ı ( ) = 0 3.
´
Nˆeu 3
≤ 6 th`ı ( ) = 0 3 + 0 1 = 0 4.
´
Nˆeu
6 th`ı ( ) = 0 3 + 0 1 + 0 6 = 1.
30
Chu’o’ng 2.
0
;
≤ 1
0 3 ; 1
0 4 ; 3
≤ 3
≤ 6
( ) =
1
;
6
˜
• V´ı du 6 Cho X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen liˆen tuc c´o h`am mˆat d¯ˆo
’ ’
.
.
.
.
.
.
´
0
nˆeu
0
6
´
( ) =
nˆeu 0 ≤ ≤ 1
5
6
´
nˆeu
1
4
5
´
´
T`ım h`am phˆan phoˆi x´ac suˆat F(x).
’
Giai
Khi
0 th`ı ( ) =
( ) = 0
−∞
6
3
5
2
Khi 0 ≤ ≤ 1 th`ı ( ) =
( )
=
=
.
5
−∞
0
Khi
1 th`ı
1
6
5
6
3
5
2
2
( ) =
( )
=
+
=
+ −
= 1 −
4
3
3
5
5
5
1
−∞
0
1
0
;
0
3
5
2
Vˆay
.
( ) =
; 0 ≤ ≤ 1
2
1 −
;
1
3
5
˜
ˆ
´
ˆ
´
’
˘
’
’
’
2. CAC THAM SO DAC TRUNG CUA DAI LUONG NGAU
¯ .
¯ .
.
ˆ
NHIEN
2.1 Ky` vong (Expectation)
.
˜
Dinh nghia 6
¯ .
’
’
˜
`
’
’
* Gia su X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen roi rac c´o thˆe nhˆan c´ac gi´a tri
’
’ ’
.
1
2
.
.
.
.
´
’
´
´
´
˜
’
voi c´ac x´ax suˆat tuong ung
’ ’
E(X) (hay M(X)), l`a soˆ d¯uoc x´ac d¯inh boi
’ ’
. K`y vong cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen X, k´ı hiˆeu
’
’ ’
.
1
2
.
.
.
’
’
.
.
31
( ) =
=1
´
˜
’
* Gia su X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen liˆen tuc c´o h`am mˆat d¯ˆo x´ac suˆat ( ). K`y vong
’ ’
’
.
.
.
.
.
.
˜
’
’
’
cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen X d¯uoc xa´c d¯inh boi
’ ’
’ ’
.
.
.
.
∞
( ) =
( )
−∞
´
´
˜
’
’
• V´ı du 7 T`ım k`y vong cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o bang phˆan phˆoi x´ac suˆat sau
’ ’
.
.
.
.
X
P
5
6
7
8
9
10 11
1
2
3
2
2
1
1
12
12
12
12
12
12
12
Ta c´o
1
12
2
12
3
12
2
12
2
12
1
12
1
12
93
12
31
4
( ) = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11
=
=
= 7 75.
˜
• V´ı du 8 Cho X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen liˆen tuc c´o h`am mˆat d¯ˆo
’ ’
.
.
.
.
.
.
−2
´
2
nˆeu 0
2
( ) =
´
nˆeu
0
∈ (0 2)
T`ım E(X).
’
Giai
∞
2
2
0
3
1
2
4
3
( ) =
( )
=
(
)
=
=
6
−∞
0
´
T´ınh chˆat
`
˘
i) ( ) =
,
l`a hang.
ii)
(
) =
( ).
iii)
(
+ ) = ( ) + ( ).
´
˜
iv) Nˆeu X v`a Y l`a hai d¯ai luong ngˆau nhiˆen d¯oˆc lˆap th`ı
’ ’
(
) = ( ) ( ).
.
.
.
.
´
˜
’
ꢀ Y nghia cua ky` vong
.
’
´
’
’
’
’
˜
Tiˆen h`anh n ph´ep thu. Gia su X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen nhˆan c´ac gi´a tri c´o thˆe
’
’ ’
.
.
.
.
´
´
`
voi sˆo lˆan nhˆan
.
’
1
2
1
2
.
’
˜
’
Gi´a tri trung b`ınh cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen X trong n ph´ep thu l`a
’ ’
.
’
.
.
+
+
+
1
1
2
2
1
2
=
=
+
+
.
+
=
+
+
2 2
+
1
2
1
1
’
´
´
`
voi
=
l`a tˆan suˆat d¯ˆe X nhˆan gi´a tri
’
.
.
32
Chu’o’ng 2.
´
´
´
´
. V`ı vˆay voi n d¯u lon
’
.
´
’
’
˜
Theo d¯inh nghia x´ac suˆat theo lˆoi thˆong kˆe ta c´o lim
=
.
→∞
ta c´o
≈
+ +
2 2
+
=
( )
1
1
´
´
´
’
´
˜
’
’
Ta thˆay ky` vong cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen xˆap xi voi trung b`ınh sˆo hoc c´ac gi´a tri
’ ’
.
.
.
.
.
˜
’
quan s´at cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen.
’ ’
.
.
’
˜
’
Do d¯o´ c´o thˆe n´oi k`y vong cua d¯ai luong ngaˆu nhiˆen ch´ınh l`a gi´a tri trung b`ınh (theo
’ ’
.
.
.
.
´
´
˜
’
’
’
x´ac suˆat) cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen. N´o phan ´anh gi´a tri trung tˆam cua phˆan phˆoi x´ac
’ ’
.
.
.
´
suˆat
2.2 Phuong sai (Variance)
’ ’
˜
˜
’
Dinh nghia 7 Phuong sai (d¯ˆo lˆech b`ınh phuong trung b`ınh) cua d¯ai luong ngˆau
’ ’
’ ’
’ ’
.
. .
.
¯ .
`
´
˜
˘
nhiˆen X, k´ı hiˆeu Var(X) hay D(X), d¯uoc d¯inh nghia bang cˆong thuc
’ ’
’
.
.
.
( ) = {[ − ( )]2}
’
´
´
voi
’
˜
`
* Nˆeu X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen roi rac nhˆan c´ac gi´a tri c´o thˆe
’ ’
.
’
1
2
.
.
.
.
´
´
c´ac x´ac suˆat tuong ung
’ ’
th`ı
’
1
2
( ) =
[
− ( )]2
=1
´
´
˜
* Nˆeu X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen liˆen tuc c´o ha`m mˆat d¯oˆ x´ac suaˆt f(x) th`ı
’ ’
.
.
.
.
.
+∞
( ) =
[ − ( )]2 ( )
−∞
`
˘
´
´
`
ꢀ Chu´ y´ Trong thuc tˆe ta thuong t´ınh phuong sai bang cˆong thuc
’
.
’ ’
’ ’
’
( ) =
(
2) − [ ( )]2
Thˆat vˆay, ta c´o
.
.
( ) =
{
{
(
− ( )]2}
2
=
=
=
− 2
( ) + [ ( )]2}
2) − 2 ( ) ( ) + [ ( )]2
(
2) − [ ( )]2
´
´
˜
`
’
• V´ı du 9 Cho d¯ai luong ngˆau nhiˆen roi rac X c´o bang phˆan phˆoi x´ac suˆat sau
’ ’
.
’
.
.
.
X
1
3
5
P 0,1 0,4 0,5
’
T`ım phuong sai cua X.
’ ’
’
Giai
E(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8
(
2) = 12 0 1 + 32 0 4 + 52 0 5 = 16 2
Do d¯´o
( ) =
(
2) − [ ( )]2 = 16 2 − 14 44 = 1 76
33
˜
• V´ı du 10 Cho d¯ai luong ngaˆunhiˆen X c´o h`am mˆat d¯ˆo
’ ’
.
.
.
.
.
3
´
voi 0 ≤ ≤ 3
’
( ) =
´
0
voi
∈ [0 3]
’
Ha˜y t`ım
`
˘
´
i) Hang sˆo c.
ii) K`y vong.
.
iii) Phuong sai
’ ’
’
Giai
3
3
0
4
81
4
3
i) Ta c´o 1 =
=
=
4
0
4
Suy ra
=
81
3
3
5
4
4
3
ii) ( ) =
iii) Ta c´o
=
= 2 4.
81
81
5
0
0
∞
3
3
0
6
4
4
2
2
3
(
2) =
( )
=
=
= 6
81
81
6
−∞
0
Vˆay
( ) =
(
2) − [ ( )]2 = 6 − (2 4)2 = 0 24
.
´
T´ınh chˆat
’
i) Var(C)=0; (C khˆong d¯ˆoi).
2
ii)
(
) =
( ).
´
˜
iii) Nˆeu X v`a Y l`a hai d¯ai luong ngˆau nhiˆen d¯oˆc lˆap th`ı
’ ’
.
.
.
.
*
(
+ ) =
( ) +
( );
* Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y);
* Var(C+X)=Var(X).
´
˜
’
ꢀ Y nghia cua phuong sai
’ ’
Ta thˆay − ( ) l`a d¯oˆ lˆech khoi gi´a tri trung b`ınh nˆen
( ) = {[ − ( )]2}
´
’
. .
.
´
’
l`a d¯ˆo lˆech b`ınh phuong trung b`ınh. Do d¯´o phuong sai phan ´anh muc d¯oˆ phˆan t´an c´ac
’ ’
’ ’
’
. .
.
˜
’
gi´a tri cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen chung quanh gi´a tri trung b`ınh.
’ ’
.
.
.
.
’
2.3 Dˆo lˆech tiˆeu chuˆan
¯
. .
`
˜
’
’
˘
Don vi d¯o cua phuong sai bang b`ınh phuong d¯on vi d¯o cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen.
’
’ ’
’ ’
’
’ ’
.
.
.
.
¯
´
˜
`
’
’
Khi cˆan d¯´anh gi´a muc d¯ˆo phˆan t´an c´ac gi´a tri cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen theo d¯on vi cua
n´o, nguoi ta du`ng mˆot d¯ac trung moi d¯´o l`a d¯ˆo lˆech tiˆeu chuˆan.
’
’ ’
’
.
.
.
.
’
´
`
˘
.
’ ’
’
’
.
. .
34
Chu’o’ng 2.
’
˜
˜
˜
’
Dinh nghia 8 Dˆo lˆech tiˆeu chuˆan cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen , k´ı hiˆeu l`a ( ),
’ ’
.
. .
¯
.
.
¯ .
d¯uoc d¯inh nghia nhu sau:
’ ’
’
.
.
( ) =
( )
2.4 Mode
´
˜
˜
’
’
˘
Dinh nghia 9 Mod(X) l`a gi´a tri cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen X c´o kha nang xuˆat hiˆen
’ ’
.
.
.
.
¯ .
´
’
´
’
lon nhˆat trong mˆot laˆn cˆan na`o d¯´o cua no´.
.
.
´
´
´
´
´ ´
˜
`
’
Dˆoi voi d¯ai luong ngˆau nhiˆen roi rac mod(X) l`a gi´a tri cua X ung voi x´ac suˆat lon
’
’ ’
.
’
’
’
’
.
.
.
¯
´
´ ´
˜
’
nhˆat, c`on d¯ˆoi voi d¯ai luong ngaˆu nhiˆen liˆen tuc th`ı mod(X) l`a gi´a tri cua X tai d¯´o h`am
’
’ ’
.
.
.
.
.
mˆat d¯ˆo d¯at gi´a tri cuc d¯ai.
’
.
.
.
.
.
.
’
˜
`
˘
ꢀ Chu´ y´ Mˆot d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o thˆe c´o mˆot mode hoac nhiˆeu mode.
’ ’
.
.
.
.
.
’
’
`
’
’
• V´ı du 11 Gia su X l`a d¯iˆem trung b`ınh cua sinh viˆen trong truong th`ı mod(X) l`a
’ ’
’
.
’
´
`
d¯iˆem m`a nhiˆeu sinh viˆen d¯at d¯uoc nhˆat.
’ ’
.
.
´
´
˜
• V´ı du 12 Cho d¯ai luong ngˆau nhiˆen liˆen tuc c´o phˆan phˆoi Vˆay−bun voi h`am mˆat
’ ’
.
’
.
.
.
.
d¯ˆo
.
´
0
−
nˆeu
≤ 0
2
( ) =
´
nˆeu
4
0
2
Ha˜y x´ac d¯inh mod(X).
.
’
Giai
’
mod(X) l`a nghiˆem cua phuong tr`ınh
’ ’
.
2
2
2
1
2
−
−
0( ) =
−
= 0
4
4
4
2
’
Suy ra mod(X) l`a nghiˆem cua phuong tr`ınh 1 −
= 0. Do
( )
0 nˆen
’ ’
.
2
√
( ) = 2 = 1 414.
2.5 Trung vi
.
˜
˜
’
’
Dinh nghia 10 Trung vi cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen
l`a gi´a tri cua
chia phˆan
’ ’
.
.
.
.
¯ .
´
´
´
´
`
phˆoi x´ac suˆat th`anh hai phˆan c´o x´ac suˆat giˆong nhau. K´ı hiˆeu med(X).
.
1
2
Ta c´o
(
( )) = (
≥
( )) =
1
2
’
´
˜
`
`
’
’
⊕ Nhˆan x´et Tu d¯inh nghia ta thˆay d¯ˆe t`ım trung vi chi cˆan giai phuong tr`ınh ( ) = .
’
’ ’
´
.
.
.
´
´
´
`
’
˘
.
Trong ung dung, trung vi l`a d¯ac trung vi tr´ı tˆot nhˆat, nhiˆeu khi tˆot hon ca ky` vong,
’
’
’
.
.
.
.
´
´
`
’
nhˆat l`a khi trong sˆo liˆeu c´o nhiˆeu sai s´ot. Trung vi c`on d¯uoc goi l`a phaˆn vi 50% cua
’ ’
.
.
.
.
.
´
phˆan phˆoi.
35
• V´ı du 13 T`ım med(X) trong v´ı du (12).
.
.
’
Giai
’
med(X) l`a nghiˆem cua phuong tr`ınh
’ ’
.
(
)
2
)]
[
(
4
−
( ) = 0 5 hay 1 −
= 0 5
0
Suy ra
( ) = 1 665.
´
˘
.
ꢀ Chu´ y´ N´oi chung, ba sˆo d¯ac trung ky` vong, mode v`a trung vi khˆong tru`ng nhau.
’
.
.
’
˘
`
Chang han, tu c´ac v´ı du (12), (13) v`a t´ınh thˆem ky` vong ta c´o ( ) = 1 772;
( ) =
’
.
.
.
´
´
´
´
’
1 414 v`a
( ) = 1 665. Tuy nhiˆen nˆeu phˆan phˆoi d¯ˆoi xung v`a chi c´o mˆot mode th`ı
’
.
’
˘
ca ba d¯ac trung d¯´o tru`ng nhau.
’
.
2.6 Moment
˜
Dinh nghia 11
¯ .
´
´
˜
’
* Moment caˆp k cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen X l`a sˆo
=
(
).
=
’ ’
.
.
´
´
˜
’
* Moment qui tˆam cˆap k cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen X l`a sˆo
{[ − ( )] }.
’ ’
.
.
⊕ Nhˆan x´et
.
´
’
’
i) Moment cˆap 1 cua X l`a ky` vong cua X (
=
( )).
1
.
2
1
´
’
’
ii) Moment qui tˆam cˆap hai cua X l`a phuong sai cua X (
’ ’
=
−
=
( )).
2
2
3
iii)
=
3 − 3
1 + 2
.
3
2
1
2.7 H`am moment sinh
˜
˜
’
Dinh nghia 12 H`am moment sinh cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen
l`a h`am x´ac d¯inh
.
’ ’
.
.
¯ .
’
’
trong (−∞ +∞) cho boi
´
`
roi rac
’
.
( )
( )
nˆeu
( ) =
(
) =
+∞
−∞
´
nˆeu
liˆen tuc
.
´
T´ınh chˆat
i) 0 (0) = ( ).
ii) 00 (0) =
(
2).
iii) Tˆong qu´at: ( )(0) =
(
) ∀ ≥ 1.
’
36
Chu’o’ng 2.
´
Chung minh.
’
i) 0 ( ) =
(
) =
(
) =
(
).
Suy ra 0 (0) = ( ).
ii) 00 ( ) =
0 ( ) =
(
) =
(
) =
(
).
2
Suy ra 00 (0) =
(
2).
ꢀ Chu´ y´
’
˜
’
i) Gia su
ung l`a
v`a
l`a hai d¯ai luong ngˆau nhiˆen d¯ˆoc lˆap c´o h`am moment sinh tuong
’
’ ’
.
’ ’
.
.
.
´
’
cho boi
’
’
( ) v`a
( ). Khi d¯´o h`am moment sinh cua
+
’
(
+
( ) =
`
(
)) =
(
) =
(
) ( ) =
( ) ( )
+
’
˘
´
´
(d¯ang thuc gˆan cuˆoi c´o d¯uoc do
v`a d¯oˆc lˆap)
’
’ ’
.
.
.
´
´
´
˜
’
ii) C´o tuong ung 1−1 giua h`am moment sinh v`a h`am phˆan phˆoi x´ac suˆat cua d¯ai
’ ’
’
’
.
˜
luong ngˆau nhiˆen
’ ’
.
.
´
ˆ
´
ˆ
´
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
´
3. MOT SO QUI LUAT PHAN PHOI XAC SUAT
.
.
´
´
3.1 Phˆan phˆoi nhi thuc (Binomial Distribution)
’
.
˜
´
˜
`
Dinh nghia 13 Dai luong ngˆau nhiˆen roi rac X nhˆan mˆot trong c´ac gi´a tri 0,1,2,...,n
’ ’
.
’
.
.
.
.
¯ .
¯
´
’
´
´
voi ca´c x´ac suaˆt tuong ung d¯uoc t´ınh theo cˆong thuc Bernoulli
’ ’ ’ ’
’
’
.
−
= ( = ) =
(2.1)
´
´
´
´
goi l`a c´o phˆan phˆoi nhi thuc voi tham sˆo n v`a p. K´ı hiˆeu
∈
(
) (hay
∼
(
)).
’
’
.
.
.
´
ꢀ Cˆong thuc
’
´
’
Voi h nguyˆen duong v`a
≤
− , ta c´o
’ ’
( ≤
≤
+ ) =
+
+
+
(2.2)
+1
+
’
’
’
´
´
˜
’
’
’
• V´ı du 14 Ty lˆe phˆe phˆam trong lˆo san phˆam l`a 3%. Lˆay ngˆau nhiˆen 100 san phˆam
.
.
’
’
’
´
d¯ˆe kiˆem tra. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe trong d¯´o
’
´
i) C´o 3 phˆe phˆam.
ii) C´o khˆong qu´a 3 phˆe phˆam.
’
´
’
Giai
’
’
´
’
’
˜
’
’
`
’
Ta thˆay mˆoi lˆan kiˆem tra mˆot san phˆam l`a thuc hiˆen mˆot ph´ep thu. Do d¯´o ta c´o
’
.
.
.
.
n=100 ph´ep thu.
37
’
’
´
´
´
´
’
’
˜
’
Goi A l`a biˆen cˆo san phˆam lˆay ra l`a phˆe phˆam th`ı trong mˆoi ph´ep thu. Ta c´o
.
= ( ) = 0 03.
’
’
’
´
´
’
˘
Dat X l`a tˆong sˆo phˆe phˆam trong 100 san phˆam th`ı
∈
(100; 0 03).
.
¯
3
i)
(
= 3) = 100(0 03)3 (0 97)97 = 0 2274.
ii)
(0 ≤ ≤ 3) =
+
+
+
2
0
1
3
0
1
=
100(0 03)0(0 97)100
+
100(0 03)1(0 97)99
2
3
+
100(0 03)2(0 97)98 + 100(0 03)3(0 97)97
= 0 647
’
´
´
`
ꢀ Chu´ y´ Khi n kh´a lon th`ı x´ac suˆat p khˆong qu´a gˆan 0 v`a 1. Khi d¯o´ ta c´o thˆe ´ap dung
’
.
´
´
’
cˆong thuc xˆap xi sau
’
i)
1
−
=
≈
( )
(2.3)
√
trong d¯´o
2
−
1
−
2
√
=
;
( ) =
;
√
2
´
(2.3) d¯uoc goi cˆong thuc d¯ia phuong Laplace.
’ ’
.
’
’ ’
.
.
ii)
( ≤
≤
+ ) ≈ ( ) − ( )
(2.4)
2
1
trong d¯´o
( ) =
2
1
−
2
√
(H`am Laplace);
2
0
−
+ −
=
;
=
2
√
√
1
´
(2.4) d¯uoc goi l`a cˆong thuc t´ıch phˆan Laplace.
’ ’
.
’
.
´
˘
ꢀ C´ac tham sˆo d¯ac trung
’
.
´
Nˆeu
∈
(
) th`ı ta c´o
i) ( ) =
.
ii)
( ) =
− ≤
.
iii)
( ) ≤
+ .
´
´
´
´
´
˜
Chung minh. X´et d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o phˆan phˆoi nhi thuc voi c´ac tham sˆo v`a
’
’ ’
.
’
’
.
.
’
’
’
´
´
’
’
´
´
´
˜
˜
’
’
biˆeu diˆen ph´ep thu biˆen cˆo xay ra, mˆoi ph´ep thu c´o cu`ng x´ac suˆat xay ra biˆen cˆo
l`a .
’
’
˜
Ta c´o thˆe biˆeu diˆen
nhu sau:
’
=
=1
38
Chu’o’ng 2.
´
’
´
´
´
’
’
1 nˆeu o ph´ep thu thu biˆen cˆo xay ra
’
’
’
trong d¯´o
V`ı
=
´
0
nˆeu nguoc lai
’ ’
.
.
´
´
˜
= 1 2
l`a c´ac d¯ai luong ngˆau nhiˆen d¯ˆoc lˆap c´o phˆan phˆoi nhi thuc nˆen
’ ’
’
.
.
.
.
.
(
) = ( = 1) =
2
2
(
) =
(
2) − = (1 − ) =
(
=
)
Do d¯´o
( ) =
( ) =
(
) =
=1
(
) =
=1
’
’
´
´
’
’
’
´
• V´ı du 15 Mˆot m´ay san xuˆat d¯uoc 200 san phˆam trong mˆot ng`ay. X´ac suaˆt d¯ˆe m´ay
’ ’
.
.
´
.
.
´
’
’
´
´
´
’
’
san xuˆat ra phˆe phaˆm l`a 0 05. T`ım sˆo phˆe phˆam trung b`ınh v`a sˆo phˆe phˆam c´o kha
’
˘
nang tin ch´ac cua m´ay d¯´o trong mˆot ng`ay.
.
’
Giai
’
´
´
’
Goi
.
l`a sˆo phˆe phˆam cua m´ay trong mˆot ng`ay th`ı
∈
(200; 0 05).
.
’
´
´
’
Sˆo phˆe phˆam trung b`ınh cua m´ay trong mˆot ng`ay l`a
.
( ) =
= 200 × 0 05 = 10
’
´
´
´
˘
Sˆo phˆe phˆam tin chac trong ng`ay l`a mod(X). Ta c´o
− = 200 × 0 05 − 0 95 = 9 05
+ = 200 × 0 05 + 0 05 = 10 05
=⇒ 9 05 ≤
( ) ≤ 10 05
V`ı (200; 0 05) nˆen
∈
( ) ∈ . Do d¯´o
( ) = 10.
´
3.2 Phˆan phˆoi Poisson
´
ꢀ Cˆong thuc Poisson
’
’
´
´
´
’
´
˜
’
Gia su l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o phˆan phˆoi nhi thuc voi tham sˆo (
) v`a
=
’
’ ’
.
’
.
.
´
trong d¯´o kh´a lon v`a kh´a b´e.
’
Ta c´o
!
−
(
= ) =
(1 − )
( − )! !
!
−
=
=
( ) (1 − )
( − )! !
(1 − )
! (1 − )
( − 1) ( − + 1)
39
´
Do kh´a lon v`a kh´a b´e nˆen
’
( − 1) ( − + 1)
−
(1 − ) ≈
≈ 1
(1 − ) ≈ 1
−
Do d¯´o
(
= ) ≈
!
´
´
´
`
’
Vˆay tu cˆong thuc Bernoulli ta c´o cˆong thuc xˆap xi
’
’
’
.
−
−
= ( = ) =
≈
!
’
´
´
’
Khi d¯´o ta c´o thˆe thay cˆong thuc Bernoulli boi cˆong thuc Poisson
’
’
’
−
= ( = ) =
(2.5)
!
˜
´
˜
`
Dinh nghia 14 Dai luong ngˆau nhiˆen roi rac
’ ’
nhˆan mˆot trong c´ac gi´a tri 0,1,...,n
. . .
’
.
.
¯ .
¯
.
´
’
´
´
´
voi c´ac x´ac suˆat tuong ung d¯uoc t´ınh theo cˆong thuc (2.5) d¯uoc goi l`a c´o phˆan phˆoi
’ ’
’
’ ’
.
’
’ ’
.
.
´
´
Poisson voi tham sˆo a. K´ı hiˆeu
∈ P( ) (hay
∼ P( )).
’
.
ꢀ Chu´ y´
−
´
( ≤ ≤ + ) =
+
+
+
voi
=
.
’
+1
+
!
’
´
´
`
• V´ı du 16 Mˆot m´ay dˆet c´o 1000 ˆong soi, X´ac suˆat d¯ˆe mˆot gio m´ay hoat d¯ˆong c´o 1
’
.
’
.
.
.
.
.
.
’
´
´
´
`
’
ˆong soi bi d¯ut l`a 0,002. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe trong mˆot gio m´ay hoat d¯ˆong c´o khˆong qu´a 2
’
.
’
.
.
.
.
´
´
ˆong soi bi d¯ut.
’
.
’
.
’
Giai
Viˆec quan s´at mˆot ˆong soi c´o bi d¯ut hay khˆong trong mˆot gio m´ay hoat d¯ˆong l`a mˆot
´
´
`
’
’
’
’
´
’
.
.
.
’
.
.
.
.
.
’
’
ph´ep thu. M´ay d¯ˆet c´o 1000 ˆong soi nˆen ta c´o n = 1000 ph´ep thu d¯ˆoc lˆap.
.
.
.
.
´
´ ´
´
´ ´
´
`
’
Goi A l`a biˆen cˆo ˆong soi bi d¯ut v`a X l`a sˆo ˆong soi bi d¯ut trong mˆot gio m´ay hoat
’
.
’
’
.
’
.
.
.
.
.
d¯oˆng th`ı = ( ) = 0 002 v`a
∈
(1000; 0 002).
’
.
’
´
V`ı = 1000 kh´a lon v`a
’
= 2 khˆong d¯ˆoi nˆen ta c´o thˆe xem ∈ P( ).
’
´
´
´
`
’
Do d¯´o x´ac suˆat d¯ˆe c´o khˆong qu´a 2 ˆong soi bi d¯ut trong mˆot gio l`a
’
.
’
.
.
(0 ≤ ≤ 2) =
+
+
1
0
2
20
0!
−2
= ( = 0) =
0
21
1!
−2
−2
= ( = 1) =
= ( = 2) =
1
2
22
2!
−2
Do d¯´o (0 ≤ ≤ 2) = (1 + 2 + 2)
= 5(2 71)−2 = 0 6808.
40
Chu’o’ng 2.
´
˘
ꢀ C´ac tham sˆo d¯ac trung
’
.
´
Nˆeu ∈ P( ) th`ı ( ) =
( ) = v`a − 1 ≤
≤ .
’
´
´
˜
’
Chung minh. Dˆe nhˆan d¯uoc ky` vong v`a phuong sai cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o phˆan
’
’ ’
.
’ ’
’ ’
.
.
.
.
¯
phˆoi Poisson ta x´ac d¯inh h`am moment sinh
.
( ) =
(
)
Ta c´o
∞
∞
(
)
−
−
−
(
−1)
( ) =
=
=
=
!
!
=0
=0
0 ( ) =
(
−1)
00 ( ) = (
)
+
2
(
−1)
(
−1)
Do d¯´o
( ) = 0 (0) =
00
2
( ) = (0) − [ ( )]2 = 2 + −
=
’
ꢀ Ung dung
.
´
˜
Mˆot v`ai d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o phˆan phˆoi Poisson:
’ ’
.
.
.
´
´
´
˜
’
˘
i) Sˆo lˆoi in sai trong mˆot trang (hoac mˆot sˆo trang) cua mˆot cuˆon s´ach.
.
.
.
.
’
´
´
´
’
`
`
ii) Sˆo nguoi trong mˆot cˆong d¯ˆong sˆong cho toi 100 tuˆoi.
’ ’
.
.
´
iii) Sˆo cuˆoc d¯iˆen thoai goi sai trong mˆot ng`ay.
.
.
.
.
.
´
’
’
`
iv) Sˆo transitor hu trong ng`ay d¯ˆau tiˆen su dung.
’
.
´
v) Sˆo kh´ach h`ang v`ao buu d¯iˆen trong mˆot ng`ay.
’
.
.
´
`
vi) Sˆo hat ph´at ra tu c´at hat ph´ong xa trong mˆot chu ky`.
’
.
.
.
.
´
3.3 Phˆan phˆoi siˆeu bˆoi
.
´
a) Cˆong thuc siˆeu bˆoi
’
.
’
’
’
´
`
`
`
X´et mˆot tˆap hop gˆom N phˆan tu, trong d¯´o c´o M phˆan tu c´o t´ınh chˆat A n`ao d¯o´.
’
.
’
.
.
´
´
’
’
´
`
l`a sˆo phˆan tu c´o t´ınh
’
’
˜
`
’
`
Lˆay ngˆau nhiˆen (khˆong ho`an lai) tu tˆap hop ra phˆan tu. Goi
’
.
.
.
.
’ ´
`
chˆat A c´o trong phˆan tu lˆay ra. Ta c´o
’
−
−
= ( = ) =
( = 0 1
)
(2.6)
41
´
b) Phˆan phˆoi siˆeu bˆoi
.
˜
´
´
˜
`
Dinh nghia 15 Dai luong ngˆau nhiˆen roi rac X nhˆan mˆot trong c´ac gi´a tri 0,1,...,n
’ ’
.
’
.
.
.
.
.
¯ .
¯
´
´
´
´
voi c´ac x´ac suˆat tuong ung d¯uoc t´ınh theo cˆong thuc (2.6) d¯uoc goi l`a c´o phˆan phˆoi siˆeu
’
’ ’
’
’ ’
.
’
’ ’
.
.
´
’
bˆoi voi tham soˆ N, M, n. K´ı hiˆeu
∈
(
) (hay
∼
(
)).
.
.
’
’
´
´
’
˜
’
’
• V´ı du 17 Mˆot lˆo h`ang c´o 10 san phˆam, trong d¯´o c´o 6 san phˆam toˆt. Lˆay ngaˆu nhiˆen
.
.
’
’
´
´
`
’
’
’
(khˆong ho`an lai) tu lˆo h`ang ra 4 san phˆam. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe c´o 3 san phˆam tˆot trong 4
.
’
´
’
san phˆam d¯uoc lˆay ra.
’ ’
.
’
Giai
’
’
´
´
´
˜
’
’
Goi X l`a sˆo san phˆam tˆot c´o trong 4 san phˆam lˆay ra th`ı X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen
’ ’
.
.
.
´
´
´
c´o phˆan phˆoi siˆeu bˆoi voi tham sˆo = 10
= 6 = 4.
’
.
’
’
’
´
´
´
’
’
X´ac suˆat d¯ˆe c´o 3 san phˆam tˆot trong 4 san phˆam lˆay ra l`a
3
6
1
4
8
(
= 3) =
=
= 0 3809
4
10
21
ꢀ Chu´ y´
−
−
−
´
’
Khi n kh´a b´e so voi N th`ı
≈
( =
= 1 − )
’
´
’
´
’ ´
’
`
`
Goi X l`a sˆo phˆan tu c´o t´ınh chˆat A n`ao d¯´o trong n phˆan tu lˆay ra th`ı ta c´o thˆe xem
’
.
’
´
`
’
’
) v´oi p l`a ti lˆe phˆan tu c´o t´ınh chˆat A cua tˆap hop.
’
’
. .
.
∈
(
´
˘
c) C´ac tham sˆo d¯ac trung
’
.
´
Nˆeu
∈
(
) th`ı ta c´o
´
( ) =
(voi
=
)
’
−
´
( ) =
(voi = 1 − ).
’
− 1
’
´
´
`
’
’
Bang tˆong kˆet c´ac phˆan phˆoi roi rac
.
´
´
Phˆan phˆoi
K´ı hiˆeu
X´ac suˆat
(
= )
−
( )
( )
.
´
Nhi thuc
(
)
(1 − )
’
.
−
Poisson
Siˆeu bˆoi
P( )
!
−
−
−
(
)
( =
)
.
− 1
42
Chu’o’ng 2.
´
3.4 Phˆan phˆoi mu˜
´
´
´
˜
˜
Dinh nghia 16 Dai luong ngˆau nhiˆen X d¯uoc goi l`a c´o phˆan phˆoi mu˜ voi tham sˆo
’ ’ ’ ’
’
.
.
¯ .
¯
.
.
´
´
0 nˆeu n´o c´o h`am mˆat d¯ˆo x´ac suˆat
.
.
−
´
nˆeu
0
( ) =
´
nˆeu
0
≤ 0
´
´
´
´
´
´
’
⊕ Nhˆan x´et Nˆeu X c´o phˆan phˆoi mu˜ voi tham sˆo th`ı h`am phˆan phˆoi x´ac suˆat cua
’
.
X l`a
−
−
( ) =
= 1 −
v´oi
0
0
v`a
´
( ) = 0 voi ≤ 0.
’
´
˘
ꢀ C´ac tham sˆo d¯ac trung
’
.
´
´
´
’
´
˜
Nˆeu X l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o phˆan phˆoi mu˜ voi tham sˆo
0 th`ı
’ ’
.
.
’
i) Ky` vong cua X l`a
.
+∞
+∞
+∞
0
1
−
−
−
( ) =
= −
+
=
0
0
’
ii) Phuong sai cua X l`a
’ ’
+∞
1
2
2
−
( ) =
−
0
+∞
+∞
2
2
−
2
−
−
`
`
T´ıch phˆan tung phˆan ta d¯uoc
= −
+∞ +2
=
.
2
’
’ ’
.
0
0
0
1
Do d¯´o
( ) =
.
2
’
`
´
’
’
’
˜
’
˘
˘
• V´ı du 18 Gia su tuˆoi tho (t´ınh bang nam) cua mˆot mach d¯iˆen tu trong m´ay t´ınh l`a
’
’
.
.
.
.
.
´
’
`
’
’
’
mˆot d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o phˆan phˆoi mu˜ voi k`y vong l`a 6,25. Thoi gian bao h`anh cua
’ ’
.
.
.
.
’
˘
mach d¯iˆen tu na`y la` 5 nam.
’
.
.
’
´
`
’
`
’
’
˘
Hoi c´o bao nhiˆeu phˆan tram mach d¯iˆen tu b´an ra phai thay thˆe trong thoi gian bao
’
’
.
.
h`anh?
’
Giai
’
´
’
Goi X l`a tuˆoi tho cua mach. Th`ı X c´o phˆan phˆoi mu˜
.
.
.
1
1
Ta c´o
=
=
( )
6 25
5
6 25
−
−
5
−0 8
(
≤ 5) = (5) = 1 −
= 1 −
= 1 −
= 1 − 0 449 = 0 5506
43
´
’
´
`
’
’
’
Vˆay c´o khoang 55% sˆo mach d¯iˆen tu b´an ra phai thay thˆe trong thoi gian bao h`anh.
’
’
.
.
.
´
’
´
ꢀ Ung dung trong thuc tˆe
’
.
.
’
´
´
´
`
´
`
’
’
˘
’
Khoang thoi gian giu˜a hai lˆan xuˆat hiˆen cua mˆot biˆen c´o phˆan phˆoi mu˜. Chang han
’
.
.
.
´
’
’
`
`
˜
˜
’
’
’
khoang thoi gian giu˜a hai ca cˆap cuu o mˆot bˆenh viˆen, giua hai lˆan hong h´oc cua mˆot
c´ai m´ay, giua hai trˆan lut hay d¯ˆong d¯ˆat l`a nhung d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o phˆan phˆoi mu˜.
’
’
.
.
.
.
´
´
˜
˜
’
’
’ ’
.
.
.
.
.
´
`
3.5 Phˆan phˆoi d¯ˆeu
´
˜
˜
`
Dinh nghia 17 Dai luong ngˆau nhiˆen liˆen tuc X d¯uoc goi l`a c´o phˆan phˆoi d¯ˆeu trˆen
’ ’
.
’ ’
.
.
.
.
¯ .
¯
´
d¯oan [a,b] nˆeu h`am maˆt d¯ˆo x´ac suˆat c´o dang
.
.
.
.
1
´
nˆeu
∈ [
∈ [
]
]
( ) =
−
´
nˆeu
0
´
´
´
’
`
’
’
⊕ Nhˆan x´et Nˆeu X c´o phˆan phˆoi d¯ˆeu trˆen [a,b] th`ı h`am phˆan phˆoi cua X cho boi
.
´
( ) = 0 nˆeu
−
−
´
nˆeu
( ) = ( )
=
=
≤
≤
−
−∞
´
( ) = 1 nˆeu
.
’
’
´
’
ꢀ Chu´ y´ Gia su (
) ⊂ [ ]. X´ac suˆat d¯ˆe X roi v`ao (
) l`a
’
’
−
−
(
) =
( )
=
´
˘
ꢀ C´ac tham sˆo d¯ac trung
’
2
2
1
−
+
2
’
’
i) ( ) =
=
=
(ky` vong l`a trung d¯iˆem cua [a,b]).
.
−
−
2
2
3
1
+
ii)
( ) =
− [ ( )]2 =
−
−
−
3
2
( + )2
( − )2
2
2
+
+
=
−
=
3
4
12
’
´
´
iii) modX l`a bˆat cu d¯iˆem n`ao trˆen [a,b].
’
´
`
’
• V´ı du 19 Lich chay cua xe bu´yt tai mˆot tram xe bu´yt nhu sau: chiˆec xe bu´yt d¯ˆau
’
.
.
’
.
.
.
.
´
˜
’
`
’
`
’
tiˆen trong ng`ay se˜ khoi h`anh tu tram n`ay v`ao lu´c 7 gio, cu sau moˆi 15 phu´t se˜ c´o mˆot
xe kh´ac d¯ˆen tram. Gia su mˆot h`anh kh´ach d¯ˆen tram trong khoang thoi gian tu 7 gio d¯ˆen
’
.
.
´
’
’
´
´
`
’
`
’
`
’
’
´
’
.
.
.
’
`
’
`
’
7 gio 30. T`ım x´ac suˆat d¯ˆe h`anh kh´ach n`ay cho
44
Chu’o’ng 2.
´
a) It hon 5 phu´t.
’
´
´
b) It nhˆat 12 phu´t.
’
Giai
´
`
´
˜
`
Goi
l`a sˆo phu´t sau 7 gio m`a h`anh kh´ach d¯ˆen tram th`ı l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen
’
’ ’
.
.
.
.
´
’
c´o phˆan phˆoi d¯ˆeu trong khoang (0 30).
´
`
´
`
˜
`
`
’
˘
a) H`anh kh´ach se˜ cho ´ıt hon 5 phu´t nˆeu d¯ˆen tram giua 7 gio 10 v`a 7 gio 15 hoac
’
’
’
’
.
.
´
˜
’
`
’
`
’
giua 7 gio 25 v`a 7 gio 30. Do d¯o´ x´ac suˆat cˆan t`ım l`a
5
5
1
3
(10
15) + (25
30) =
+
=
30 30
´
´
´
`
˜
`
`
’
˘
b) H`anh kh´ach cho ´ıt nhˆat 12 phu´t nˆeu d¯ˆen tram giua 7gio v`a 7 gio 3 phu´t hoac
’
’
’
.
.
´
`
˜
’
`
’
`
’
giua 7 gio 15 phu´t v`a 7 gio 18 phu´t. X´ac suˆat cˆan t`ım l`a
3
3
1
5
(0
3) + (15
18) =
+
=
30 30
’
´
3.6 Phˆan phˆoi chuˆan (Karl Gauss)
’
´
a) Phˆan phˆoi chuˆan
˜
Dinh nghia 18
¯ .
˜
Dai luong ngaˆu nhiˆen liˆen
’ ’
.
¯
.
tuc X nhˆan gi´a tri trong
.
.
.
f(x)
’
khoang (−∞ +∞) d¯uoc goi l`a
’ ’
´
.
.
’
´
c´o phˆan phˆoi chuˆan nˆeu h`am
1
2
√
´
mˆat d¯ˆo x´ac suˆat c´o dang
.
.
.
2
)
2
(
−
1
−
2
√
( ) =
2
1
√
2
`
´
˘
trong d¯´o
0, −∞
l`a hang sˆo,
∞.
o
−
+
x
K´ı hiˆeu
∈
(
2) hay (
∼
(
2)).
.
´
˘
b) C´ac tham sˆo d¯ac trung
’
.
2
2) th`ı ( ) = v`a
( ) =
.
´
Nˆeu
∈
(
´
Chung minh. X´et h`am moment sinh
’
+∞
2
)
2
(
−
1
−
2
√
( ) =
(
) =
2
−∞
−
˘
Dat
=
th`ı
.
¯
45
+∞
+∞
2
2
−2
1
−
−
2
2
√
√
2
( ) =
=
=
=
2
−∞
−∞
+∞
+∞
2
2
)
2
2
2 2
(
−
)
(
−
2
1
−
+
+
−
2
2
2
√
√
×
2
2
−∞
−∞
2
)
(
−
1
−
’
´
´
´
2
’
√
V`ı ( ) =
l`a h`am mˆat d¯oˆ cua phˆan phˆoi chuˆan voi tham sˆo
v`a 1
’
.
.
2
+∞
2
)
(
−
2
1
−
√
nˆen
= 1.
2
−∞
2
2
+
2
+
Do d¯´o ( ) =
.
´
Lˆay c´ac d¯ao h`am ta d¯uoc
’ ’
.
.
2
2
2
2
2
0 ( ) = ( +
)
00 ( ) =
( +
)
2
+
2
+
2
2
Khi d¯´o
( ) = 0 (0) =
2) = 00 (0) =
2
2
2
(
+
=⇒
( ) =
(
2) − [ ( )]2 =
’
´
c) Phˆan phˆoi chuˆan h´oa
’
´
´
˜
˜
Dinh nghia 19 Dai luong ngˆau nhiˆen X d¯uoc goi l`a c´o phˆan phoˆi chuˆan h´oa nˆeu n´o
’ ’
.
’ ’
.
.
.
¯ .
¯
2
’
´
´
’
c´o phˆan phˆoi chuˆan voi = 0 v`a
= 1. K´ı hiˆeu
∈
(0 1) hay
∼
(0 1).
.
−
2) th`ı
=
∈
(0 1).
´
⊕ Nhˆan x´et
Nˆeu
∈
(
.
’
d) Phˆan vi chuˆan
.
’
´
Phˆan vi chuˆan muc , k´ı hiˆeu
,
’
.
.
˜
’
l`a gi´a tri cua d¯ai luong ngˆau nhiˆen U
’ ’
.
.
.
’
´
`
’
c´o phˆan phˆoi chuˆan h´oa thoa ma˜n d¯iˆeu
kiˆen
.
(
) =
’
´
´
’
’
Voi cho truoc c´o thˆe t´ınh d¯uoc c´ac gi´a tri cua . C´ac gi´a tri cua
’ ’ ’ ’
d¯uoc t´ınh
’ ’
’
.
.
.
.
˜
˘
’
san th`anh bang.
46
Chu’o’ng 2.
´
e) Cˆong thuc
’
´
Nˆeu
∈
(
2) th`ı ta c´o
−
−
)
2
1
i)
(
≤
≤
2) = (
) − (
1
ii) (| − |
) = 2 ( )
2
1
−
2
√
trong d¯´o ( ) =
(h`am Laplace).
2
0
’
´
˜
’
’
• V´ı du 20 Trong luong cua mˆot loai san phˆam l`a d¯ai luong ngˆau nhiˆen c´o phˆan phˆoi
’ ’
.
’ ’
.
.
.
.
.
.
’
’
´
’
chuˆan voi trong luong trung b`ınh = 5 v`a d¯o lˆech tiˆeu chuˆan = 0 1. T´ınh ti lˆe
’
’ ’
.
.
. .
.
’
´
`
’
˜
’
’
nhung san phaˆm c´o trong luong tu 4,9 kg d¯ˆen 5,2 kg.
’ ’
.
.
’
Giai
’
’
’
Goi X l`a trong luong cua san phˆam th`ı
∈
´
(5; 0 1).
’ ’
.
.
.
’
`
’
’
Ti lˆe san phˆam c´o trong luong tu 4,9 kg d¯ˆen 5,2 kg l`a
’ ’
.
’
.
.
(4 9 ≤ ≤ 5 2) =
(
5 2−5 ) − (4 9−5
)
0 1
0 1
=
(2) − (−1)
= 0 4772 − (−0 3413)
= 0 8185
˘
f) Qui tac ”k− ”
´
´
´
Trong cˆong thuc (| − |
) = 2 ( ) nˆeu lˆay
=
th`ı (| − |
) =
’
2 ( ).
´
´
´
’
`
˘
Trong thuc tˆe ta thuong du`ng qui tac 1 96 2 58 v`a 3 voi nˆoi dung l`a:
’
.
’ ’
.
2
’
´
´
) th`ı x´ac suˆat d¯ˆe X nhˆan gi´a tri sai lˆech so voi ky` vong khˆong qu´a
. . . .
´
”Nˆeu
∈
(
’
1 96 ; 2 58 v`a 3 l`a 95 %, 99% v`a 99% ”.
´
’
g) Ung dung
.
’
´
˜
C´ac d¯ai luong ngˆau nhiˆen sau c´o phˆan phˆoi chuˆan:
’ ’
.
.
´
´
´
’
- K´ıch thuoc chi tiˆet m´ay do m´ay san suˆat ra.
’ ’
’
`
’
’
- Trong luong cua nhˆeu san phˆam cu`ng loai.
’ ’
.
.
.
´
’
’
`
˜
’
˘
- Nang suˆat cua mˆot loai cˆay trˆong trˆen nhung thua ruˆong kh´ac nhau.
’
.
.
.
´
3.7 Phˆan phˆoi
’
˜
˜
’
Dinh nghia 20 Gia su
(i=1,2,...,n) l`a c´ac d¯ai luong ngˆau nhiˆen d¯ˆoc lˆap cu`ng
’ ’
’
.
.
.
¯ .
.
’
´
c´o phˆan phˆoi chuˆan h´oa.
Tải về để xem bản đầy đủ
32 trang
23380
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_mon_xac_suat_thong_ke_chuong_2_dai_luong_ngau_nhie.pdf
