Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3.2: Hàm biến phức - Chuỗi phức

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Part 3:

Hàm biến phức

I. Hàm biến phức

 II. Chuỗi phức

III. Tích phân đường

IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư

V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

s

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Chuỗi phức

1. Định nghĩa

2. Chuỗi lũy thừa

3. Chuỗi Taylor

4. Chuỗi Laurent

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Định nghĩa

Một chuỗi phức tổng quát có dạng:



f (z)  f (z)  f (z) ... f (z) ...



n

1

2

n

n0

trong đó f_n(z) là một hàm phức theo biến z.

Ví dụ 2.01: Xét chuỗi:



1

1 z

zⁿ 1 z  z²... 

; if |z| 1



n0

Chuỗi trên hội tụ về 1/(1 – z) khi |z| < 1, và phân kỳ

khi |z| > 1.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

Tiêu chuẩn D’Alembert



f (z)  f (z)  f (z) ... f (z) ...

Xét chuỗi phức:

Tìm giới hạn:



n

1

2

n

n0

f_n1(z)

L  lim

n

f_n(z)

. L < 1: Chuỗi hội tụ

. L > 1: Chuỗi phân kỳ

. L = 1: Chưa thể kết luận về tính hội tụ của chuỗi.

Ví dụ 2.02: Tìm miền hội tụ (region of converge - ROC):



e^nz 1 e^z e^2z...



n0

Đáp án: ROC: Re{z} > 0.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Chuỗi lũy thừa

Một chuỗi phức có dạng



a (z  z )ⁿ a  a (z  z ) a (z  z )²...



n

0

1

0

2

0

n0

với các hệ số a_ilà hằng số và z₀là một điểm cố

định trong mặt phẳng phức, được gọi là một chuỗi lũy

thừa quanh điểm z₀.

ROC của chuỗi lũy thừa:

a_n

a_n1

z  z₀ R with R  lim

n

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Chuỗi lũy thừa

Ví dụ 2.03: Tìm chuỗi lũy thừa biểu diễn hàm 1/(z – 3)

trong 3 miền sau:

a. |z| < 3

b. |z – 2| < 1

c. |z| > 3

Đáp án:

n

1 z z²

3 9 27



1

1  z 

a.

 

    ...

z  3







 

z  3 3 _n03

1

z  3

 



n

b.

  z  2  1(z  2) (z  2)²... z  2  1

 







n0

n



1 1  3  1 3 9

c.



   ...

z  3







 

z  3 z _n0z z

z²z³

 

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Chuỗi lũy thừa

Ví dụ 2.03 (tt):

Nhận xét: Chúng ta có thể chọn bất kỳ một điểm z₀

trong mặt phẳng phức và xác định 1 chuỗi lũy thừa hội

tụ về 1/(z – 3) với miền hội tụ là một hình tròn tâm z₀,

bán kính R.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

2. Chuỗi lũy thừa

Khai triển chuỗi nhị thức:

k(k 1)

k(k 1)(k  2)...(k r 1)

r!

(1 z)^k 1 kz 

z²...

z^r...

2!

với

k and z  1

Hai trường hợp đặc biệt thường sử dụng:



1

1 z

1

 1 z  z²...  zⁿ

z  1



n0



 1 z  z²...  (z)ⁿ



1 z

n0

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3. Chuỗi Taylor

Một chuỗi lũy thừa có dạng



1

f(z) 

f ⁽ⁿ⁾(z₀)(z  z₀)ⁿ

_n!

n0

trong đó f(z) là một hàm phức giải tích bên trong

và trên biên một đường cong kín C, được gọi là khai

triển chuỗi Taylor của f(z) quanh điểm z₀.

ROC của chuỗi Taylor:

z  z₀ R

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3. Chuỗi Taylor

Ví dụ 2.04: Xác định khai triển chuỗi Taylor của hàm

1

f(z) 

z(z  2j)

quanh điểm z = j, đến số hạng (z - j)⁴.

Đáp án:









1

1 1 1

f(z) 







z(z  2j) 2j z  2j z



f(j)  1; f ⁽¹⁾(j)  0





 f ⁽²⁾(j)  2; f ⁽³⁾(j)  0  f(z)  1(z  j)²(z  j)⁴...



f ⁽⁴⁾(j)  24





Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3. Chuỗi Taylor

Một chuỗi Taylor với z₀= 0 được gọi là chuỗi

Maclaurin.

Ví dụ 2.05: Xác định khai triển chuỗi Maclaurin của

các hàm số sau:

a. e^z

b. sinz

c. cosz

zⁿ

z²z³

2 6



a.e^z

 1 z   ...

Đáp án:



_n0n!

z^2n1

(2n1)!

z³z⁵

 z  

6 120



b.sin z  (1)ⁿ



n0

z²ⁿ

(2n)!

z²z⁴

2 24



c.cos z  (1)ⁿ

 1  ...



n0

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3. Chuỗi Taylor

 Khai triển chuỗi Taylor có thể được xác định thông

qua phép khai triển chuỗi nhị thức

Example 2.06: Tìm khai triển Maclaurin của các hàm sau

và xác định miền hội tụ (ROC) tương ứng:

1

z  3

z 1

z

a. f₁(z) 

b. f₂(z) 

z² 4

1

c. f₃(z) 

d. f₄(z) 

z² 3z  2

z 1

Đáp án:

a. f₁(z) 

n

2



1 1 1 1  z  1 z z



    ...



 

3 _n03 3 9 27

z

z  3 3

 

1

3

ROC : z  3

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3. Chuỗi Taylor

Đáp án ví dụ 2.06 (tt):



n

z

z^2n1

4^n1

n

b. f₂(z) 

c. f₃(z) 

d. f₄(z) 

 1

; ROC : z  2

 



z² 4

z 1

n0



 1 2 z ; ROC : z  1

 



z 1

n0



n

1

 1 

 1

z ; ROC : z  1

 

_



z² 3z  2

2^n1

n0





Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

3. Chuỗi Taylor

Ví dụ 2.07: Tìm khai triển Taylor của các hàm sau quanh

điểm z₀cho trước và xác định miền hội tụ (ROC) tương

ứng:

1

a. f(z) 

b. f(z) 

; z₀ 2

z² 3z  2

1

; z₀ j

z(z  2j)

z

c. f(z) 

; z₀ 4

(z 1)(2  z)

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

4. Chuỗi Laurent

Nếu f(z) giải tích trong hình vành khăn giới hạn bởi

2 đường tròn C₁và C₂có bán kính lần lượt là r₁và r₂(r₁<

r₂) và đồng tâm tại z₀, khi đó f(z) được biểu diễn bằng

chuỗi Laurent:



f(z)  c (z  z )ⁿ



n

0

n

 ROC của chuỗi Laurent:

r  z  z₀ r₂

 r₁có t¹hể bằng 0

 r₂có thể bằng 

 Xác định chuỗi Laurent bằng

cách khai triển chuỗi nhị thức.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

4. Chuỗi Laurent

Chuỗi Laurent của f(z) có thể viết dưới dạng:

1



f(z)  c (z  z )ⁿ c (z  z )ⁿ



n

0

n

0

n

n0

Khi đó, tổng thứ nhất ở vế phải được gọi là thành

phần chính của chuỗi Laurent.

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

4. Chuỗi Laurent

Ví dụ 2.08: Tìm khai triển chuỗi Laurent quan điểm

(a) z = 0 và (b) z = -1 của hàm phức sau:

1

f(z) 

z²(z 1)

Xác định miền hội tụ trong mỗi trường hợp.

Đáp án:



1

a. f(z) 



(z)ⁿ (z)ⁿ

 

z²(z 1) z²

n0

n2

1 1

  1 z  z²...

z²

z

ROC : 0  z  1

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

4. Chuỗi Laurent

Đáp án ví dụ 2.08 (tt):

1

z²(z 1)

1

z 1

b. f(z) 



1(z 1)^2





2







1 2(z 1) 3(z 1) ...





z 1



1

(n1)(z 1)ⁿ (n1)(z 1)^n1

_{z 1}



n0

ROC : 0  z 1  1

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy

4. Chuỗi Laurent

Ví dụ 2.09: Xác định khai triển chuỗi (Taylor, Laurent)

của hàm

1

f(z) 

(z 1)(z  3)

trong các miền sau:

a. 1 < |z| < 3

b. |z| > 3

c. 0 < |z + 1| < 2

d. |z| < 1

Bài giảng Toán kỹ thuật - Phần 3.2: Hàm biến phức - Chuỗi phức - Nguyễn Phước Bảo Duy