Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi
Chương 6
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI
Nội dung
1. Tìm đường đi ngắn nhất
2. Đồ thị Euler
3. Đồ thị Hamilton
2
1. TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN
NHẤT
3
Định nghĩa
Định nghĩa. Cho G = (V,E) là đồ thị có trọng số. Với
H G thì trọng lượng của H là tổng trọng lượng của
các cạnh của H.
w(H) w(e)
eH
Nếu H là đường đi, chu trình, mạch thì w(H) được
gọi là độ dài của H.
Nếu mạch H có độ dài âm thì H được gọi là mạch
âm.
Khoảng cách giữa 2 đỉnh u và v là độ dài ngắn
nhất của các đường đi từ u đến v.
4
Ma trận khoảng cách
Định nghĩa. Cho đồ thị G = (V, E), V = {v1,v2,…,vn}
có trọng số. Ma trận khoảng cách của G là ma
trận D= (dij) xác định như sau:
0
khi i j
d w(v v ) khi v v E
ij
i j
i j
khi vivj E
Nhận xét. Mọi đồ thị được hoàn toàn xác định bởi
ma trận khoảng cách.
5
Ví dụ. Tìm ma trận khoảng
cách của đồ thị sau
0 5 31 40
0 27 73
26 0 8 49 25 38
0 16
70 0 9
23 0 12
10 0
D
6
Ví dụ. Tìm đồ thị có ma trận khoảng cách sau:
0 12 7 5
12 0 15 16 6
7 15 0 10
5 16 0 5
6 10 5 0
Đáp án.
5
16
6
D
12
B
A
7
5
15
E
10
C
7
Bài toán. Cho G = (V, E) là đồ thị có trọng số. Tìm
đường đi ngắn nhất từ u đến v và tính khoảng cách
d(u ,v).
Nhận xét. Nếu đồ thị G có mạch âm trên một
đường đi từ u tới v thì đường đi ngắn nhất từ u đến v
sẽ không tồn tại.
v
u
8
Một số lưu ý
Khi tìm đường đi ngắn nhất ta có thể bỏ bớt đi các
cạnh song song và chỉ để lại một cạnh có trọng
lượng nhỏ nhất.
Đối với các khuyên có trọng lượng không âm thì
cũng có thể bỏ đi mà không làm ảnh hưởng đến kết
quả của bài toán.
Đối với các khuyên có trọng lượng âm thì có thể
đưa đến bài toán tìm đường đi ngắn nhất không có
lời giải.
9
Nguyên lý Bellman
Gọi P là đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến đỉnh v; t
P. Giả sử P=P1P2 với P1 là đường đi con của P từ u
đến t và P2 là đường đi con của P từ t đến v. Khi đó
P1 cũng là đường đi ngắn nhất từ u đến t.
’
Chứng minh. Giả sử tồn tại P1 là đường đi ngắn hơn
t
P1 ta có
P1
P2
v
u
’
P1
w(P1’) < w(P1) w(P1’P2) < w(P1P2)=w(P)
Vô lý vì P là đường đi ngắn nhất từ u đến v
10
Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất
Để tìm đường đi ngắn nhất, chúng ta quan tâm tới
hai thuật toán:
. Thuật toán Dijkstra không thể thực hiện khi đồ thị
có cạnh âm
. Thuật toán Ford – Bellman xác định các mạch
(chu trình) âm hay trả về cây đường đi ngắn nhất
11
Thuật toán Dijkstra
Xác định tuần tự các đỉnh có khoảng cách đến u0 từ nhỏ
đến lớn.
. Trước tiên đỉnh có khoảng cách nhỏ nhất đến u0 là u0.
. Trong V\{u0} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ nhất
(đỉnh này phải là một trong các đỉnh kề với u0) giả sử
đó là u1
. Trong V\{u0,u1} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ
nhất (đỉnh này phải là một trong các đỉnh kề với u0
hoặc u1) giả sử đó là u2
12
Tiếp tục như trên cho đến bao giờ tìm được khoảng
cách từ u0 đến mọi đỉnh.
Nếu G có n đỉnh thì:
0 = d(u0,u0) < d(u0,u1) d(u0,u2) … d(u0,un-1)
13
Thuật toán Dijkstra
Bước 1. i:=0, S:=V\{u0}, L(u0):=0, L(v):= với mọi v S
và đánh dấu đỉnh v bởi (,-). Nếu n=1 thì dừng và xuất
d(u0,u0)=0=L(u0)
Bước 2. Với mọi vS và kề với ui (nếu đồ thị có hướng
thì v là đỉnh sau của ui), đặt
L(v):= min{ L(v), L(ui)+w(ui v)}.
Xác định k= min L(v) , vS.
Nếu k= L(vj) thì xuất d(u0,vj )= k và đánh dấu đỉnh vj bởi
(k; ui). Đặt ui+1:= vj và S:=S\{ui+1}
Bước 3. i:=i+1. Nếu i = n-1 thì kết thúc.
Nếu không thì quay lại Bước 2
14
Một số ví dụ
Bài tập 1. Tìm đường đi ngắn nhất từ u đến các đỉnh
còn lại.
s
7
r
1
4
3
3
x
u
1
2
3
t
4
1
w
z
y
3
5
15
s
7
r
1
4
3
3
x
u
1
2
3
t
4
1
w
z
3
5
y
u r s t x y z w
0* (,-) (,-) (,-) (,-) (,-) (,-) (,-)
(4,u0)
(1,u0)*
-
-
(,-) (,-) (,-)
(,-) (,-)
(4,y) (,-)
(3,y)*
(,-) (,-) (,-) -
s
7
r
1
4
3
3
x
u
1
2
3
t
4
1
w
z
y
3
5
u r s t x y z w
0* (,-) (,-) (,-) (,-) (,-) (,-) (,-)
(4,u0)
(1u0)*
-
-
(,-) (,-) (,-)
(,-) (,-)
(,-) (,-) (,-) - (4,y) (,-)
(3,y)*
(10,r)
(4,y)*
- -
- -
(6,r) (,-) -
(,-)
(10,r)
(6,r)* (,-) - - (9,z)
(7,t)*
- - (9,t) -
- - (9,z)
(8,x)*
- -
- - - - (9,z)
(9,z)*
- - - - - - -
s
1
Cây đường đi
r
1
3
x
t
u
2
1
3 z
y
5
w
18
Ví dụ. Cho đồ thị có trọng số G = (V, E), V = { v1, v2, v3,
v4, v5, v6, v7} xác định bởi ma trận trọng số D. Dùng
thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ v1 đến
các đỉnh v2, v3, v4, v5, v6, v7
0 5 31 40
0 27 73
26 0 8 49 25 38
0 16
70 0 9
23 0 12
10 0
D
20
Tải về để xem bản đầy đủ
56 trang
15/01/2024
14700
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_toan_to_hop_chuong_6_cac_bai_toan_ve_duong_di.pdf
