Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Hạng của ma trận (Tiếp)
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Xét hệ phương trình tuyến tính
a11x1 + a12x2 + · · ·a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·a2nxn = b2
............................................
am1x1 + am2x2 + · · ·amnxn = bm
(*)
Ta ký hiệu
x1
x2
.
.
.
b1
b2
.
.
.
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
am1 am2 · · · amn
A =
X =
và B =
xn
bm
Khi đó hệ phương trình (∗) có thể viết dươi dạng dạng AX = B
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
2 / 10
Định lý Kronecker-Capelli
Xét hệ phương trình AX = B. Ký hiệu
A = [A B]
|
{z
}
↓
ma trận hệ số mở rộng
Nếu rank(A) = rank(A) thì hệ vô nghiệm
Nếu rank(A) = rank(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu rank(A) = rank(A) = k < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc
n − k tham số
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
3 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
Xét hệ phương trình AX = B.
B1 Lập ma trận mở rộng A = [A B]
B2 Đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng
A b. đ. s. c trên dòng [A1 B1]
−−−−−−−−−−−−→
Từ đó suy ra rank(A) và rankA. Ngoài ra, ta có
AX = B ⇐⇒ A1X = B1
B3 Xét các trường hợp sau
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
4 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
rank(A) = rank(A) =⇒ Hệ pt vô nghiệm
rank(A) = rank(A) = n =⇒ Hệ pt có nghiệm duy nhất
Tìm nghiệm (bằng cách giải hệ tương đương)
α11x1 +α12x2 · · · +α1nxn
α22x2+ · · · +α2nxn
=
=
β1
β2
A1X = B1 ⇔
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · · · · ·
· · · αnnxn
=
βn
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
5 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
rank(A) = rank(A) = k < n =⇒ Hệ pt có vô số nghiệm
Tìm nghiệm tổng quát: Hệ A1X = B1 có dạng
α11x1 + α12x2 + · · · + α1kxk + · · · + α1nxn = β1
α22x2+
· · · +α2kxk + · · · +α2nxn = β2
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
αkkxk +
· · · +αknxn = βk
Chọn n − k ẩn tự do, tính các ẩn còn lại theo các ẩn tự do.
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
6 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
Ví dụ: Giải hệ phương trình
x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 1
−x1 + x2 + 3x4 = 2
3x2 − x3 + x4 = 3
x1 + 3x2 + x3 − x4 = 4
Giải
1
−1
0
2
1
3
3
−1
2
3
1
−1
1
2
3
4
1
0
0
0
2
3
3
1
−1
−1
−1
2
2
5
1
−3
1
3
3
3
0
−1
1
−→
1
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
7 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
1 2 −1
2
−3
1
3
1 2 −1
2
−3
1
3
0 1
2
0 1
2
−→
−→
0 0 −7 10 −6
0 0 −7 10 −6
0 0 −7 14 −6
0 0
0
4
0
Vì rank(A) = rank(A) = 4 nên hệ có nghiệm duy nhất.
5
x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 1
x2 + 2x3 − 3x4 = 3
−7x3 + 10x4 = −6
4x4 = 0
x1 = −7
9
x2 =
7
hpt ⇐⇒
⇐⇒
6
x3 =
7
x4 = 0
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
8 / 10
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình
mx1 + x2 + x3 = 1
x1 + mx2 + x3 = m
x1 + x2 + mx3 = m2
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
9 / 10
Qui tắc Cramer
Hệ phương trình AX = B là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông khả
nghịch
Mọi hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất
Tìm nghiệm bằng ma trận nghịch đảo
X = A−1B
Qui tắc Cramer
det(Aj )
det(A)
X = [x1 x2 · · · xn]T ,
xj =
,
a11 a12 · · · b1 · · · a1n
a21 a22 · · · b2 · · · a2n
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
an1 an2 · · · bn · · · ann
trong đó Aj =
(Thay cột thứ j của A bằng cột tự do B ta được Aj )
Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê)
10 / 10
10 trang
15/01/2024
7540
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Hạng của ma trận (Tiếp)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_5_hang_cua_ma_tran_tiep.pdf
