Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 0: Phần bổ túc
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Chương 0
A. PHÉP TÍNH VECTỎ
PHẦN BỔ TÚC
→
c = →a× →b
→
b
→
→
b
c
→
a
a.b = abcosϕ
• Tích vô hướng :
a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2
c = a ×b = absinϕ
• Tích vector
:
→
b× →a = − →a× →b
Có tính chất:
i
j
k
a × b = x1 y1 z1
x2 y2 z2
• Tích hỗn tạp
:
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
abc = (a × b) . c = a.(b × c) = bca = cab =
abc = - bac
= - cba
= - acb
1
1
6
abc
V1 = abc, V2 = V1
=
6
a,b,c
V1 là thể tích hình hộp dựng trên các vector
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 1
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
a,b,c
V2 là thể tích hình chóp dựng trên các vector
nầy.
Toán tử Haminton
∂U
∂x
∂U
∂y
∂U
∂z
gradU =
i +
j+
k
∂Ax ∂Ay ∂Az
divA =
+
+
∂x
∂y
∂z
∂Az ∂Ay
∂Ax ∂Az
∂Ay ∂Ax
j+ k
rotA =
−
i +
−
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Công thức Ostrogradsky - Gauss:
Adσ = divAdΩ
∫
∫
σ
Ω
Với σ : mặt và Ω : thể tích
Công thức Stokes :
Adr = rotAds
r = xi + yj+ zk
với
∫
∫
(L)
(S)
Phép toán với toán tử ∇
∂
∂
∂
∂z
∇ = i + j + k
∂x ∂y
∂U ∂U
+ j
∂U
∂z
∇U = i
+ k
= gradU
∂x
∂y
∂
∂
∂y
∂
∂Ax ∂Ay ∂Az
∇ • A = i + j + k •
(iAx + jAy + kAz
)
=
+
+
= divA
∂x
∂z
∂x
∂y
∂z
i
∂
∂
j
k
∂
∂
∂
CurlA = ∇ X A =
∂
X
Y
AX AY AZZ
∂AZ ∂AY
∂AX ∂AZ
∂AY ∂AX
CurlA = i(
-
) + j(
-
) + k(
-
) = rotA
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Y
Z
Z
X
X
Y
∂
∂
∂y
∂
∂
∂
∂
A •∇ = (iAX + jAY + kAZ )•i + j + k = A
+ A
+ A
X ∂x
Y ∂y
Z ∂z
∂x
∂z
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 2
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
d
dt
∂
∂t
= v •∇ +
∂2u ∂2u ∂2u
2
2
2
∂
∂
∂
∇2u = ∆u
=
∆ = ∇2 = ∇ •∇ =
+
+
, divgrad u =
+
+
∂x2 ∂y2 ∂z2
∂x2 ∂y2 ∂z2
B. PHÉP TÍNH TEN-XỎ (Tensor analysis)
Hạng của Tensor là số chỉ số của Tensor đó.
Ví dụ :
ai có một chỉ số, nên là tensor hạng nhất
aij có hai chỉ số, nên là Tensor hạng hai
Qui tắc chỉ số
Khi có hai chỉ số giống nhau, biểu thị một tổng:
3
∑a b
aibi=a1b1+ a2b2+ a3b3=
i
i
i=1
Hệ thống đối xứng khi aij=aji, phản đối xứng khi aij= -aji
Ví dụ:
1
0
khi i = j
khi i ≠ j
δ =
ij
là một Tensor hạng hai đối xứng.
• Tổng các Tensor cùng hạng là một Tensor cùng hạng:
Cijk = aijk ± bijk
Cijklm= aijk.blm
(hạng ba)
• Nhân Tensor:
(mọi tích có thể có của từng thành phần Tensor)
Vô hướng được xem như Tensor hạng zero.
• Phép cuộn Tensor:
Được thực hiện khi có hai chỉ số bất kỳ trùng nhau:
3
∑ a
aijkk
=
= aij11+ aij22+ aij33 = Cij
Cijm = aijkbkm
ijkk
k=1
Phép nhân trong:
Là phép nhân và cuộn đồng thời các Tensor , cho ta tìm được vết của Tensor.
Phép nhân trong cho ta điểm xuất phát quan trọng để nhận được các bất biến của
các đối tượng hình học và vật lý.
Thí dụ: Vết của Tensor aij=xiyj
Khi cho i = j => aii = xiyi = x1y1+ x2y2+ x3y3 = vô hướng
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 3
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI
1. Phép biến đổi tọa độ
y'
y
* M
b
x’
x
O1
o
a
+ Phép tịnh tiến:
x = x'+a
x'= x − a
,
,
y = y'+b
y'= y − b
+ Phép quay:
x = x'cosα − y'sinα
x'= xcosα + ysinα
,
,
y = x'sinα + y'cosα
y'= −xsinα + ycosα
2. Phép biến hình bảo giác
B
B'
W = f(z)
C
C'
A
A'
y
o
v
o'
x
u
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 4
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
l'
γ'
l
γ
g'
)
g
h'
h
v
y
(u
0,v
0
(x
0
,y
0
)
σ
σ'
φ'
φ
λ'
λ
o'
o
u
x
Cho W = f(z) giải tích trong miền D, số phức z = x + yi và W = u + vi
Phép biến đổi điểm:
A(x,y) → A’(u,v),
AB
BC
CA
Các cạnh tỉ lệ với nhau:
=
=
và các góc tương ứng bằng nhau:
A'B' B'C' C' A'
góc β = β’ (bảo giác)
3. Phép biến đổi Laplace
Xét phương trình vi phân :
∂U(xi ,t)
α∆U(x ,t) =
, với t > 0
i
∂t
Nhân 2 vế của phương trình trên với e-pt ( với p > 0 ), lấy tích phân theo t từ 0 →
∞
∞ ∂U(xi ,t)
−Pt
−Pt
α ∆U(xi ,t)e dt =
e dt
∞ , ta được :
∫
∫
∂t
U(xi ,P)
được gọi là phép biến đổi Laplace
0
0
∞
−Pt
U(x ,P) = U(x ,P)e dt
Đặt
, hàm
i
i
∫
0
của hàm U(xi ,t) đối với t .
U(x ,P)
Biểu thức trên được viết lại theo
:
i
α.∆U = PU − U(x ,P)
,
i
Giải dễ dàng hơn và tìm được U , có U dùng bảng tra tìm U.
∞
∞ ∂U(xi , t)
−Pt
−Pt
−Pt
e dt =
[
U(xi ,P).e
]
+ P U(xi , t)e dt
Chú ý:
∫
∫
∂t
0
0
4. Phép biến đổi Sigma σ
ξ = x
η = y
z = ξ
⇒ σ = 1 tại mặt thoáng
z = - h(x,y) ⇒ σ = - 1 tại đáy
2(z − ξ)
h(x, y) + ξ
σ =
t’=t
+1 =>
σ∈[−1,+1]
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 5
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
z
σ
mặt nước
1
mặt nước
h(x,y)
Tọa độ z
ξ(x,y,t)
đ
O
x,y
0
ξ,η
đáy
-1
Tọa độ σ
D. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH HÀM
1. Không gian mêtrix
Định nghĩa: Một tập hợp X được gọi là một không gian Metrix, nếu ứng với
mỗi cặp phần tử x,y ∈X có một số thực ρ (x,y) ≥ 0, gọi là khoảng cách giữa x & y,
thỏa điều kiện sau:
ρ(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y, ρ(x,y) = ρ(y,x)
ρ(x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y), ∀x,y,z ∈ X (bất đẳng thức tam giác).
2. Không gian tuyến tính định chuẩn
Tập hợp X được gọi là không gian tuyến tính nếu trên tập hợp đó xác định hai
phép tính: Cộng các phần tử và nhân phần tử với một số đồng thời thỏa các tiên đề:
x + y
= y + x , (x + y) + z = x + (y + z ),
λ(x + y) = λx + λy , (λ+ µ)x = λx + µx
Tồn tại phần tử θ ∈ X, gọi là phần tử không, sao cho 0.x = θ,
Không gian tuyến tính được gọi là định chuẩn, nếu ứng với mỗi x ∈ X ta xác
,
λ (µx) = (λµ)x
∀x ∈X
x
định được một số thực gọi là chuẩn của x và ký hiệu
điều kiện sau:
đồng thời số thực đó thỏa
x
x
= 0, khi và chỉ khi x = θ
≥ 0 ,
λx = λ. x
x + y
,
∀ λ ∈ R , ∀ x ∈ X
y
, ∀ x,y ∈ X ( bất đẳng thức tam giác ).
x
<
+
3. Không gian EUCLIC- Không gian HILBERT
Cho một không gian tuyến tính X (trên trường số thực hoặc phức). Giả sử ứng
với mỗi cặp phần tử x,y ∈ X, xác định được một số thực hoặc phức (x,y) thỏa các
điều kiện sau :
(y,x)
= (y,x) , trong trường số phức thì (x,y) =
(x,y)
(x + y,z) = (x,z) + (y,z), ∀ x,y,z ∈ X
(λx,y) = λ(x,y)
(x,x) ≥ 0, trong đó (x,x) = 0 khi và chỉ khi x = θ
Số (x,y) như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x,y.
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang
6
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Không gian tuyến tính mà trong đó có xác định tích vô hướng được gọi là không
gian Euclic.
Không gian Euclic đủ, vô hạn chiều được gọi là không gian Hilbert.
Toán Tử Tuyến Tính - Phiếm Hàm Tuyến Tính
Giả sử X,Y là hai không gian Topo tuyến tính
Toán tử (hay ánh xạ):
A: X → Y (y = Ax , x ∈ X , y ∈ Y) được gọi là tuyến tính nếu ta có:
A(λx1 + µx2 ) = λAx1 + µAx2
Tập hợp tất cả các gía trị x ∈ X mà tại đó A xác định, được gọi là miền xác
định của toán tử A và ký hiệu D(A). Miền giá trị của A được ký hiệu R(A) ⊂ Y.
Trong trường hợp Y = R1 (trường số thực), thì toán tử tuyến tính A được gọi là
phiếm hàm tuyến tính.
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 7
7 trang
28820
Free
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 0: Phần bổ túc", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_chuyen_de_phuong_phap_tinh_chuong_0_phan_bo_tuc.pdf
- BIA-PPT.pdf
- PPT-TL-ThamKhao.pdf
