Giáo trình Địa thống kê

Khoa Công nghệ Thông tin

Trƣờng Đại học Mỏ - Địa chất

MỤC LỤC

MỤC LỤC.................................................................................................................................... 1

I. MỞ ĐẦU................................................................................................................................... 2

II. HÀM CẤU TRÚC [VARIOGRAM - (H)]................................................................................. 3

II.1. Định nghĩa..................................................................................................................4

II.2. Các tính chất của (h).................................................................................................4

II.3. Các mô hình của variogram .......................................................................................7

III. COVARIANCE [C(H)]............................................................................................................ 7

III.1: Định nghĩa ................................................................................................................7

III.2. Các tính chất của C(h) ..............................................................................................7

III.3. Các mô hình của covariance .....................................................................................7

IV. XÁC LẬP CÁC VARIOGRAM............................................................................................... 8

V. PHÂN TÍCH, KHAI THÁC CẤU TRÚC................................................................................. 10

V.1. Tính liên tục của các thông số nghiên cứu...............................................................10

V.2. Đới ảnh hƣởng và dị hƣớng:....................................................................................12

VI. MỘT SỐ GIẢ THUYẾT TOÁN............................................................................................. 14

VI.1. Giả thuyết ổn dịnh (dừng) bậc 2 (Second order stationary hypothesis) .................14

VI.2. Giả thuyết ổn định (dừng) thực sự (nội tại) (intrinsic hypothesic).........................15

VII. PHƢƠNG SAI PHÂN TÁN, PHƢƠNG SAI ĐÁNH GIÁ....................................................... 15

VII.1. Phƣơng sai phân tán:.............................................................................................15

VII.2. Phƣơng sai đánh giá:.............................................................................................18

VIII. KRIGING ( KRIGING)....................................................................................................... 22

VIII.1. Kriging thông dụng (ordinary kriging - OK).......................................................22

VIII.2. Kriging đơn giản (Simple Kriging - SK).............................................................25

VIII.3. Kriging cùng với sai số mẫu (đo đạc) đặc trƣng cho toàn cục (vùng). ................27

VIII.4. Kriging của trung bình khu vực (MK).................................................................28

IX. MỘT SỐ PHẦN MỀM ỨNG DỤNG...................................................................................... 17

IX.1. GEOEAS ................................................................................................. 34

IX.2. Hƣớng dẫn sử dụng Mapinfo .................................................................1-36

Địa Thống Kê

Trương Xuân Luận

1

Khoa Công nghệ Thông tin

Trƣờng Đại học Mỏ - Địa chất

I. MỞ ĐẦU

Từ những năm đầu của thập kỷ năm mƣơi, D.G. Krige (sau đó là giáo sƣ

trƣờng đại học tổng hợp Witwatersand - Cộng hoà Nam Phi) và các cộng sự đã nghiên

cứu trên một loạt mỏ vàng, uran, pirit, thấy rằng: Nếu hàm lƣợng trung bình của khối

tính chỉ đƣợc xác định bằng các thông tin bên trong nó, thì đối với quặng có hàm

lƣợng đạt giá trị công nghiệp trở lên, hàm lƣợng xác định này bị tăng lên (tức trữ

lƣợng khai thác nhỏ hơn trữ lƣợng tính toán). Nhƣng khối quặng nghèo, kết quả tính

toán lại bị giảm đi. Sai số hệ thống này không thể khắc phục đƣợc bằng các phƣơng

pháp tính toán truyền thống. Để khắc phục tình trạng này, D.G. Krige đề nghị phải

hiệu chỉnh công thức tính giá trị trung bình cho phù hợp với thực tế. Theo ông, để tính

giá trị trung bình gần đúng nhất của khối (Z_v) ngoài các thông tin bên trong khối, cần

bổ xung tất cả các thông tin có thể đƣợc bên ngoài khối. Về mặt phƣơng pháp luận,

Krige hoàn toàn đúng vì đã triệt để tận dụng lƣợng thông tin đã có. Nhƣng cách giải

quyết, cụ thể là công thức hiệu chỉnh do ông đƣa ra chƣa hợp lý.

Xuất phát từ quan điểm đúng đắn của Krige, từ những năm 1955, giáo sƣ

G.Matheron (trƣờng đại học Mỏ quốc gia Pari - Cộng hoà Pháp) đã phát triển thành

một bộ môn khoa học là địa thống kê. Để tôn vinh ngƣời đặt nền tảng cho môn học,

Matheron lấy tên Kriging (Kriging) để đặt tên cho phƣơng pháp ƣớc lƣợng các giá trị

trung bình.

Tuỳ thuộc vào mục đích nhiệm vụ nghiên cứu, địa thống kê có thể giải quyết

đƣợc nhiều vấn đề; thông thƣờng nhất bao gồm:

- Tính liên tục: Mức độ, đặc tính biến đổi của các thông số nghiên cứu (TSCN).

- Kích thƣớc đới ảnh hƣởng, tính đẳng hƣớng, dị hƣớng của TSCN. Dựa vào

những nội dung này đã giải quyết đƣợc những vấn đề rất cốt lõi:

+ Phân loại, ghép các TSCN, đối tƣợng nghiên cứu (ĐTNC);

+ Cơ sở cho phân cấp trữ lƣợng và tài nguyên khoáng sản.

+ Xác lập quy cách mẫu, mật độ mạng lƣới quan sát, đo đạc lấy mẫu hợp lý.

+ Xác định số lƣợng, đánh giá chất lƣợng các TSCN; số lƣợng thu hồi, quan

hệ tƣơng quan chất lƣợng, số lƣợng.

Địa thống kê là phƣơng pháp mới, đang đƣợc tiếp tục hoàn thiện. Đã từ nhiều

năm, phƣơng pháp đƣợc xem là hiện đại, và đang trở lên rất phổ biến, đặc biệt là các

nƣớc tƣ bản phát triển: Pháp, Mỹ, Canada, Anh .... Địa thống kê không chỉ áp dụng

rộng rãi trong khảo sát thăm dò mỏ, địa vật lý, địa chất thuỷ văn, địa chất công trình,

địa hoá, dầu khí, khai thác mỏ mà còn ở nhiều lĩnh vực khác: Nông nghiệp, sinh học,

khí tƣợng thuỷ văn, ngƣ nghiệp, xã hội học, cơ học và môi trƣờng.

Nhƣ vậy, đối tƣợng nghiên cứu, ứng dụng của địa thống kê là rất rộng. Ban

đầu đối tƣợng nghiên cứu đƣợc xem nhƣ "trƣờng hình học" mà trong đó, các thông số

nghiên cứu đƣợc xem nhƣ là những biến lƣợng không gian điểm. Về thực chất các bài

toán địa thống kê dựa trên cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên. Các biến đƣợc xem nhƣ

những biến vùng. Lý thuyết biến vùng rất khó, có thể hiểu tổng quát nhƣ sau: Một hiện

tƣợng thiên nhiên có thể mang đặc tính của sự phân bố không gian của một hay nhiều

biến gọi là biến vùng.

Địa Thống Kê

Trương Xuân Luận

2

Khoa Công nghệ Thông tin

Trƣờng Đại học Mỏ - Địa chất

Năm 1962, G. Matheron đã định nghĩa: "Địa thống kê là sự áp dụng có tính

hình thức các hàm ngẫu nhiên và sự ƣớc lƣợng các hiện tƣợng thiên nhiên".

Định nghĩa mới nhất [1999] của địa thống kê là: "Địa thống kê thuộc lĩnh vực

nghiên cứu sự quan hệ tƣơng quan về mặt thời gian và không gian thông qua lý thuyết

biến vùng".

Địa thống kê là một từ ghép, nói lên sự cộng kiến thức. Cụ thể hơn là: Ngƣời

làm công tác địa thống kê, ngoài có kiến thức tốt về đối tƣợng nghiên cứu phải có kiến

thức vững về xác xuất - thống kê và tin học.

Do đòi hỏi thực tiến của công tác nghiên cứu, ngay địa thống kê đã phân các

nhánh chuyên sâu: Địa thống kê tuyến tính, địa thống kê không ổn định, địa thống kê

đa biến, địa thống kê phi tham số.v.v...

Ngày 7 tháng 8 năm 2000 giáo sƣ Georges MATJERON đã vĩnh biệt ra đi, để

lại sự nuối tiếc lớn lao cho các nhà địa thống kê trên toàn thế giới mà tuyệt đại đa số là

học trò của Ngƣời. Tác giả viết chƣơng này, là học trò cũ của Ngƣời xin đƣợc kính cẩn

nghiêng mình trƣớc vong linh của ngƣời thầy lớn. Những ngƣời trò của thầy đang hết

sức mình để bộ môn địa thống kê ngày càng lớn mạnh, có ích cho đời. Trò xin cố gắng

chiếm lĩnh phần nào địa thống kê và xin đƣợc gửi dù là rất bé nhỏ chi phí dành dụm

của con để tạc tƣợng Ngƣời đặt tại bức tƣờng của toà nhà chính trung tâm Địa thống

kê trƣờng đại học Mỏ quốc gia PARI ở Fontainebleau nơi thầy đã sống, cống hiến trọn

đời cho địa thống kê và đã có công chính trong đào tạo đội ngũ các nhà địa thống kê

hùng hậu cho toàn thế giới.

II. HÀM CẤU TRÚC [VARIOGRAM - (H)]

Khi xét đến những đặc tính không gian của đối tƣợng nghiên cứu, lý thuyết

toán cơ bản đƣợc dùng là "lý thuyết biến số vùng". Biến số đó biến đổi một cách liên

tục từ điểm quan sát này đến điểm quan sát khác song rất khó mô hình hoá bằng một

hàm thông thƣờng.

Giả sử ta có dẫy mẫu (điểm đo) trong các điểm đo x_icủa ô mạng hình vuông

và đo đƣợc biến số Z(x_i) tƣơng ứng; nếu biến số này thuộc kiểu ổn định (dừng) thì có

thể xác định đƣợc giá trị trung bình và nhận đƣợc biến số quy tâm Z'(x) bằng cách trừ

các biến số vùng cho giá trị trung bình. Lấy trung bình bình phƣơng biến số Z(x):

N

2



Z  Z _





xi





x

i1

D__Z



_x

N

D_(Zx)- tƣơng ứng với phƣơng sai mẫu của biến vùng Z(x).

Dễ nhận thấy rằng, giá trị trong một điểm quan sát nào đó có liên quan đến giá

trị tổng các điểm khác phân bố cách nhau một khoảng cách nhất định. Đồng thời ảnh

hƣởng của những mẫu ở khoảng cách xa ít ảnh hƣởng hơn những mẫu có khoảng cách

gần nhau. Hơn nữa cũng có thể xảy ra trƣờng hợp mức độ ảnh hƣởng của mẫu còn phụ

thuộc vào phƣơng vị không gian của vị trí lấy mẫu (khi có tính dị hƣớng). Để phán ánh

sự phụ thuộc này, ngƣời ta thƣờng dùng véctơ khoảng cách h có phƣơng vị xác định.

Mức độ phụ thuộc giữa các điểm đo (lấy mẫu) nằm trên một khoảng cách h_ivà theo

một hƣớng xác định nào đó đƣợc phản ánh bằng momen tƣơng quan và có thể biểu

Địa Thống Kê

Trương Xuân Luận

3

Khoa Công nghệ Thông tin

Trƣờng Đại học Mỏ - Địa chất

diễn bằng đồ thị.

Giả sử:

với mọi x₁,x₂D.

Var Z_x1 Z_x2 2 Z_x1 Z_x2



D - tập hợp con cố định trong không gian d chiều

2Z_(x1)- Z_(x2) là hàm của số gia Z_(x1)- Z_(x2), đã đƣợc Matheron gọi là biểu đồ

phƣơng sai hay Variogram hoặc hàm cấu trúc.

II.1. Định nghĩa

Variogram đƣợc định nghĩa nhƣ là một nửa kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên

1

[Z_(x)- Z_(x+h)]², nghĩa là: (h)=

2

E



Z__x Z__xh_



2

cũng có thể xem (h) nhƣ là một nửa phƣơng sai của Z_(x)- Z_(x+h);

1

tức là:





h



 D



Z_x Z_xh_



2

1

_2v ^





h





Z_x Z_xh_ ²dv



v

Trong đó Z , Z_(x+h)- hai đại lƣợng ở hai điểm nghiên cứucách nhau một đoạn h.

(x)

N



h

1

2

Variogram thực nghiệm đƣợc xác định:





h





^

Z

 Z__xh_

_



x



2N



h

i1

N(h) - số lƣợng cặp điểm nghiên cứu.

II.2. Các tính chất của (h)

a/ (h=0) =0

b/ (h) = (-h), là hàm đối xứng





h

h²



vậy (h) tăng chậm hơn so với h²

 0

c/ Lim

h

d/ (h)  0.

e/ Nếu covariance tồn tại variogram tồn tại, còn nếu variogram tồn tại thì chƣa

chắc đã tồn tại covariance.

Các variogram có những khái niệm sau:

1. Variogram tăng lên từ gốc, tại đó giá trị (h) khá nhỏ.

2. Variogram sau đó ổn định dần ở trị số (h) = C₀, lúc này (h) không tăng

(nằm ngang) và gọi là trần (sill); h = a.

3. Khi vƣợt quá giới hạn h >a thì giá trị nghiên cứu biến đổi hoàn toàn ngẫu

nhiên và không có mối quan hệ tƣơng quan lẫn nhau.

4. Giá trị (h=0) có thể khác không, variogram lúc đó thể hiện hiện tƣợng

Địa Thống Kê

Trương Xuân Luận

4

Khoa Công nghệ Thông tin

Trƣờng Đại học Mỏ - Địa chất

đƣợc gọi là hiệu ứng tƣ sinh (nugget effect).

5. Khoảng cách h = a để (h) tiệm cận đến trần gọi là bán kính ảnh hƣởng.

Địa Thống Kê

Trương Xuân Luận

5

Khoa Công nghệ Thông tin

Trƣờng Đại học Mỏ - Địa chất

Hình 1- CÁC DẠNG MÔ HÌNH CỦA (h)

Æc t nh

M H nh

d ng

th

d ng ph ng tr nh





³

h

CÇu







c 1,5  0,5

khi h  a

khi h > a

a ³

c









h





a













c

a

c





khi h  a

khi h > a

h





h





§ êng

th¼ng



a

c





c



^h

Luü thõa(cña

FORMEY)

a





c, a 0





h



 c 1 e









3a

2

h









c

2

 c 1 e ^a

c, a 0

c, w 0

GAUSE





h











1,73a

HiÖu øng lç

hæng cã trÇn









sin wh





h

 c 1





h





h



 3Lnh

De Wijse

TuyÕn tÝnh

Hµm mò





h



 c.h

c 0

 >1  =1

 c.h^

 <1



h

0  2

HiÖu øng lç

hæng kh«ng

trÇn

Ph©n tÝch ®Ó lµm viÖc víi nhiÒu m« h×nh v.v...





h



 _x²



(h)=c(0)=c

c(h)=0

h



Kh«ng NgÉu nhiªn

®æi (HUTS s¹ch)

* Cã thÓ do sai sè ®o (thÝ nghiÖm mÉu)

* Cã thÓ do hiÖn t îng chuyÓn tiÕp víi b¸n kÝnh

¶nh h ëng rÊt bÐ

Địa Thống Kê

Trương Xuân Luận

6

Khoa Công nghệ Thông tin

Trƣờng Đại học Mỏ - Địa chất

VÝ dô: cã 3 cÊu

NhiÒu tróc lµ HUTS

cÊu tróc vµ 2 cÊu tróc

cÇu

₂(h)





h



 c_o₁



h



₂



h



₁(h)

C_o

Địa Thống Kê

Trương Xuân Luận

7

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

H×nh 2 – Tæng hîp kh¶ n¨ng khai th¸c c¸c (h)

Khai th¸c c¸c hµm cÊu tróc

2

N(h)

1





γ(h) 

Z

 Z













xi





xi  h



2N(h)

i 1

N(h) - sè l îng cÆp ®iÓm nghiªn cøu

D ng i u

i m

K ch th

c

i

(h)

¶nh h ng

g c c a c c (h)

(h)

h

a

nhiÒu cÊu tr c

d h ng

(h)

c₀

h

a₂

a₁

a₁a₂

a₁

T NH

NG QUÆNG

a₂

K CH TH C M U

C

NG

₂(h)

c₀

h

nH÷NG VÊN Ò KH C

* HiÖu øng t ¬ng quan

* n ®Þnh khu vùc v.v…

§Þa thèng kª øng dông

Tr ¬ng Xu©n Lu©n

6

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

II.3. Các mô hình của variogram

Các variogram thực nghiệm thƣờng là đƣờng dích dắc dao động kề đƣờng

cong lý thuyết. Do đó có thể áp dụng các phƣơng pháp khác nhau để mô phỏng về

dạng đƣờng cong lý thuyết. Bằng các tài liệu mới nhất, kinh nghiệm nghiên cứu của

mình chúng tôi đã tổng kết thành bảng các loại mô hình của (h) đƣợc thể hiện ở hình

1.

III. COVARIANCE [C(H)]

III.1: Định nghĩa

Nếu hai biến ngẫu nhiên Z_(x)và Z_(x+h)cách nhau một đoạn h có phƣơng sai;

chúng cũng có một covariance và đƣợc diễn đạt:

C



h



 E





Z__x m



Z__xh m





hoặc:



1

_v ^

C



h





Z__x mZ__xh m



dv



v

m - kỳ vọng toán của hàm

C(h) thực nghiệm đƣợc tính:

N(h)

1

C(h) 



Z

 mZ__x1 m



_



x1



N



h

i1

III.2. Các tính chất của C(h)

1. C(h = 0) 0

2. C(h) = C(-h), là một hàm đối xứng

3. C(h)  C(h = 0), nghĩa là: - C(0)  C(h)  C(0)

4. C(h)đƣợc xác định là một hàm số dƣơng





 C X , X   0





i

j



i

j

5. Một tổ hợp tuyến tính của các covariance với hệ số dƣơng sẽ là một

covariance:

N

C(h)  a C_n

h





n

n1

Với a_n>0

6. Tích của hai covariance là một covariance.

III.3. Các mô hình của covariance

Có nhiều, trong số đó phải kể đến:

1. Mô hình luỹ thừa:

h ^

a^

C



h



 C.e^

với c,a >0; 0< <2

Nếu  = 2 ta có mô hình Gause:

§Þa thèng kª øng dông

Tr ¬ng Xu©n Lu©n

7

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

h²

a²

 C.e^

2. Mô hình cầu:

với c,a >0.

C



h



nếu 0 h a

nếu h >a





³

h







C  11,5  0,5



a³





C



h





a













0

3. Mô hình với hiệu ứng tự sinh:

nếu h =0

nếu h >

C







C



h







0



Nhƣ đã đề cập, covariance tồn tại thì variogram tồn tại. Hai biểu đồ cấu trúc

có quan hệ tƣơng quan nhƣ sau:

(h)=C(0) - C(h); thể hiện ở hình 3

()=C(0)

C() = 0

C₀

(h)

C(h)

n

0

Hình 3: Covariance và variogram

IV. XÁC LẬP CÁC VARIOGRAM

Cho véctơ h của modun r =h và hƣớng . Nếu giả thiết N là số lƣợng cặp

điểm nghiên cứu theo véctơ h thì variogram thực nghiệm tính theo  và khoảng cách r

có thể biểu đạt:

+ Cho một vùng:

N

1

2

 ^



r,







Z

_ Z_xi_

[IV - 1]

[IV - 2]

_2N



xih

i1

+ Cho tƣơng quan vùng:

1

 _K^_K_r,



Z

_xi  h



 Z_K_xi

Z_K



xi  h



 Z_K



xi



_2N

K

Trị số thực nghiệm là duy nhất. Các (h) phụ thuộc vào hình dạng không gian

của các thông tin đƣa vào tính toán. Chúng ta phải đặc biệt chú ý đến sự phân bố

không gian và cự ly giữa các điểm nghiên cứu.

§Þa thèng kª øng dông

Tr ¬ng Xu©n Lu©n

8

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

1. Các điểm quan sát cùng trên một đường thẳng và cách đều nhau

Đây là trƣờng hợp lý tƣởng, áp dụng theo công thức [IV-1] và [IV-2]. Ví dụ,

có một lỗ khoan thẳng hƣớng , lấy mẫu liên tục với chiều dài l (hình 4)

Variogram đƣợc xác định theo công thức [IV-1], bƣớc quan sát l



l

^*(.) = ^*(2l)



Hình 4. Lỗ khoan theo hướng.

2. Các điểm quan sát trên một đường thẳng nhưng không cách đều nhau:





r,



Để xác lập các variogram thực nghiệm

theo hƣớng , tiến hành ghép

nhóm theo khoảng cách: r +(r). Để giải bài toán thực tế, vấn đề chọn dung sai (r) cần

thận trọng nhằm tận dụng triệt để các thông tin đã có, tạo đƣợc nhiều cặp điểm tính

N



h



toán

. Ở một số phần mềm chuyên dụng, (r) có thể đƣợc chọn tự động.

3. Các điểm quan sát không thẳng hàng và không cách đều nhau.

Trƣờng hợp này rất thƣờng xảy ra trong thực tế. Ta tiến hành ghép nhóm theo

góc và theo khoảng cách; cụ thể:

Theo hƣớng  nào đó, mỗi giá trị Z(x₀) kết hợp với tất cả thông tin trong

khoảng [  d] mà dao động xung quanh . Mỗi một lần ghép nhóm theo góc , ta

thực hiện luôn việc ghép khoảng cách [r +(r)]

 + d



2_x

_





x





 - ()

 + ()

 Điểm nghiên cứu

 - d

Hình 5: Ghép nhóm tài liệu quan sát theo góc và theo khoảng cách

§Þa thèng kª øng dông

Tr ¬ng Xu©n Lu©n

9

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

để xác định (h) thực nghiệm

4) Ghép nhóm các variogram thực nghiệm trung bình

Giả sử có 2 variogram thực nghiệm cơ sở:

2 ^_A

2 _B^



h





^h^

Z



x_i h



 Z



x_i



N _A



1

2

_

N_A



h

i1

N_B



h

^

Z



x_j h



 Z



x_j





1

2



h





_

N_B



h

j1

Hai variogram này đƣợc tính toán ở hai khu vực A và B khác nhau; khác nhau

cả quy cách mẫu ban đầu, ví dụ một loạt là mẫu lõi khoan; loạt khác là mẫu rãnh

nhƣng cùng kích thƣớc. ^*_Avà ^*còn có thể tính theo hai hƣớng _Avà _Bkhác nhau.

B

Việc ghép nhóm hai thông tin ở A và B vào một variogram thực nghiệm trung

bình: 2^*_A+B(h), có thể thực hiện và đƣợc xác định nhƣ sau:







₂

1

2 ^_AB



h







Z



x_i h



 Z



x_i



²



Z

 Z



x_j h





x_j











N_A



h



 N_B



h



i1

j

Nếu có K variogram cơ sở (^*, K =

) thì variogram thực nghiệm trung

1,k

K

bình sẽ là (nhƣ là trung bình gia quyền):

k

N

_K

h



_K^



h





 ^



h





K 1

K

N

_K

h





K 1

Bài tập 1:

Có hai trƣờng hợp đều lấy mẫu theo tuyến với số lƣợng và khoảng cách giữa

các mẫu nhƣ nhau. Kết quả thể hiện ở hình vẽ. Yêu cầu xác định theo từng tuyến:

- Giá trị trung bình số học, phƣơng sai

- Tính (h)

- So sánh, cho nhận xét

Trƣờng hợp I (Tuyến I)



1

3 5

7

9 8 6 4 2

Trƣờng hợp II (Tuyến II)



5

1 9

2

3 7 6

4 8

V. PHÂN TÍCH, KHAI THÁC CẤU TRÚC

Phân tích cấu trúc nghĩa là nghiên cứu những đặc tính cấu trúc của các biến

không gian, là một mắt xích không thể thiếu của địa thống kê. Nhiều nhà nghiên cứu

đã khẳng định variogram nhƣ là một cái đầu của địa thống kê. Chính (h) chịu trách

nhiệm thâu tóm và thể hiện tất cả những thông tin về cấu trúc, là phƣơng pháp định

lƣợng trong quá trình nghiên cứu, đánh giá ĐTNC. Có thể nói:

§Þa thèng kª øng dông

Tr ¬ng Xu©n Lu©n

10

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

- Variogram là đơn vị đo mức độ biến đổi, thể hiện tốt đặc tính biến đổi không

gian các TSCN là chìa khoá để nội suy kriging nói riêng và địa thống kê nói chung. Về

thực chất variogram thay thế khoảng cách ơ-cơ-lit bằng một khoảng cách cấu trúc

2(h) mà đặc trƣng cho những thuộc tính và lĩnh vực nghiên cứu. Khoảng cách này

thể hiện mức độ trung bình của tính không đồng nhất giữa giá trị không quan sát đƣợc

và các dữ liệu quan sát đƣợc phân bố ở lân cận.

- Variogram là một mô hình phụ thuộc thống kê giữa các biến số cần nghiên cứu

với bƣớc quan sát (lấy mẫu) h. Đồng thời nó đƣợc sử dụng để tìm bán kính ảnh hƣởng H

khi (h) = C(0). Miền H là miền rất có ý nghĩa đối với thủ tục nội suy Kiging, tức là

những thông tin phân bố cách xa điểm nghiên cứu (của chính nó hoặc ở trung tâm khối V₀

cần ƣớc lƣợng giá trị trung bình) một khoảng L>H sẽ không có tác động đến giá trị thật

(hàm lƣợng, chiều dày...) của điểm cần ƣớc lƣợng. Với kết quả tính toán H theo các

hƣớng khác nhau trong không gian ĐTNC, ta có thể xác lập đƣợc tính biến đổi các TSNC

trong không gian ĐTNC đó và biết đƣợc tính đẳng hƣớng hay dị hƣớng của TSNC.

Một cáchtổng quát, bằng phân tích các (h) có thể khai thác các vấn đề lý thú sau:

V.1. Tính liên tục của các thông số nghiên cứu.

Bằng các (h) có thể phân tích đƣợc mức độ, đặc tính và cấu trúc sự biến đổi

các TSCN.

- Có thể xem xét bằng các (h) thực nghiệm (hình 2)

- Xem xét các (h) ở lân cận gốc toạ độ, bởi vì sự liên tục và đồng đều trong

không gian của hàm ngẫu nhiên Z(x) và các biến ngẫu nhiên z(x) đƣợc biểu thị ở sự

liên quan với dạng điệu ở gốc toạ độ của các (h). Có 4 loại cơ bản về dáng điệu ở gốc

toạ độ của các (h) [Hình 6].

0

a. Dáng điệu Parabol

b. Dáng điệu đường thẳng

c

d

h

0

c. Hiệu ứng tự sinh

d. Hiệu ứng tự sinh sạch

Hình 6. Các dáng điệu ở gốc toạ độ (h)

a. Dáng điệu Parbol:

§Þa thèng kª øng dông

Tr ¬ng Xu©n Lu©n

11

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

Dáng điệu parbol: (h)  Ah²khi h. Variogram có hai lần dạo hàm tại gốc

toạ độ. Hàm ngẫu nhiên Z(x) có thể lấy đạo hàm một lần (trung bình bậc 2). Chứng tỏ

đặc tính tăng đều đặn của biến không gian (TSNC - hình 6-a)

b. Dáng điệu đường thẳng (h) Ah khi h0. Trƣờng hợp này không

thể lấy đạo hàm ở gốc toạ độ(thực ra đạo hàm trái và phải tồn tại song khác nhau),

nhƣng liên tục ở h=0 (và cho cả đoạn h) hàm ngẫu nhiên Z(x) liên tục ở trung bình bậc

2, nhƣng không thể lấy đạo hàm, vậy kém ổn định hơn trƣờng hợp a. [Hình 6-b].

c. Không liên tục ở gốc toạ độ (Hình 6-c)

(h) không tiến về không khi h tới không. Ta nói đến hiện tƣợng HUTS.

Hàm ngẫu nhiên Z(x) không liên tục ở trung bình bậc 2. Nhƣ vậy, sự biến đổi

ở điểm quan sát z(x) và z(x+h) có thể rất gần nhau nhƣng rất khác nhau. Sự chênh

lệch giữa 2 điểm đó càng lớn nếu biên độ không liên tục từ gốc của (h) càng lớn.

HUTS có thể liên quan đến hiện tƣợng mẫu đặc cao. Chú ý là, ở thực tế HUTS phát

sinh do nhiều nguyên nhân, có thể do:

+ Kích thƣớc mẫu quá bé so với kích thƣớc ĐTNC.

+ Những vi biến đổi của tích tụ khoáng vật quặng nói riêng, ĐTNC nói

chung.... Do vậy, khi gặp HUTS ngƣời nghiên cứu phải rất thận trọng để có những kết

luận xác thực nhất.

d. Hiện tượng hiệu ứng tự sinh sạch (Pure nugget effect) (Hình IV-6-d)

(h=0) =0 và (h) = C(0) ngay khi h >0. Trong thực tế, chúng ta có thể mô

hình hoá trƣờng hợp hiệu ứng tự sinh sạch bằng một sơ đồ (h) chuyển tiếp với trần

C(0) và kích thƣớc ảnh hƣởng a = rất bé so với khoảng cách quan sát thực nghiệm.

Với khoảng cách tuy bé song 2 biến ngẫu nhiên z(x) và z(x+h) không có quan hệ

tƣơng quan nhau. Vậy hiện tƣợng hiệu ứng tự sinh sạch thể hiện sự vắng mặt hoàn

toàn tự tƣơng quan không gian.

V.2. Đới ảnh hƣởng và dị hƣớng:



h

 Nhƣ đã trình bày, theo một hƣớng

nào đó, ta có (h) với một kích thƣớc

h=a, đƣợc gọi là bán kính ảnh hƣởng. Trong khoảng cách này, hai đại lƣợng z(x) và

z(x+h) có quan hệ tƣơng quan nhau, ta nói là đới ảnh hƣởng mẫu.

 Bán kính ảnh hƣởng có thể giống nhau theo các hƣớng khác nhau trong không

gian ĐTNC và đƣợc gọi là tính đẳng hƣớng. Nếu các (h) theo các hƣớng khác nhau đều

h₂

có bán kính ảnh hƣởng giống nhau và trần nhƣ nhau gọi là đẳng hƣớng hình học. Lúc này

có thể khẳng định là mức độ phức tạp của TSCN theo các hƣớng là nhƣ nhau (hình 7)



a_1

a_2



h₃

^a_3



a_4

h₂

§Þa thèng kª øng dông

Tr ¬ng Xu©n Lu©n

12

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

Hình IV-7 Biểu đồ mô hình đẳng hướng

 Bán kính ảnh hƣởng có thể khác nhau theo các hƣớng khác nhau trong

không gian đối tƣợng nghiên cứu, gọi là hiện tƣợng dị hƣớng.

(h)

a_2

a_4

a_1

C₀

a_3

h

a_1a_2a_3a_4

[a]

[b]

Hình 8a: Dị hướng hình học (dạng elipcoit 2D)

8b: Các (h) có bán kính ảnh hưởng khác nhau

theo các hướng khác nhau

Phân tích các mô hình dị hƣớng là việc làm rất thú vị. Có thể phân tích trong không

gian (2D) hoặc (3D) chiều. Thƣờng hay gặp hai mô hình dị hƣớng: Dị hƣớng hình học và dị

hƣớng khu vực.

+ Dị hƣớng hình học: Dị hƣớng với các _i(h) theo các hƣớng khác nhau có bán

kính ảnh hƣởng khác nhau nhƣng trần nhƣ nhau. Khi đó mô hình dị hƣớng trong 2D

đƣợc thể hiện ở hình 8a.

+ Dị hƣớng khu vực: Dị hƣớng với các _i(h) theo các hƣớng khác nhau có bán

kính ảnh hƣởng và trần khác nhau (hình 9a). Khi đó mô hình dị hƣớng trong 2D đƣợc

thể hiện ở hình 9b.

Tác giả, trong nghiên cứu nhiều mỏ thiếc sa khoáng vùng Quì Hợp Nghệ An

[1988 - 1991], các mỏ than ở Quảng Ninh, Bắc Thái [1994 - 1995] các TSNC thƣờng thể

hiện tính dị hƣớng khu vực rõ nét. Khi nghiên cứu mỏ vàng gốc Colorado (Mỹ, 1987 -

1988) lại thấy hiện tƣợng gần nhƣ đẳng hƣớng theo cả 3 chiều. Nghiên cứu một số mỏ Cu-

Ni ở Châu Phi (1991) chúng tôi thấy hiện tƣợng đẳng hƣớng và cả dị hƣớng hình học. Khi

nghiên cứu một số thôngsố phản ánh tính chất tầng chứa nƣớc ở Hà Nội và ngoại vi thấy có

hiện tƣợng dị hƣớng hình học rõ nét (hình 10)

(h)

h

a_

4

a_a_a_

3

2

1

Hình 9a: Dạng dị hướng khu vực - các (h) theo các hướng khác nhau

§Þa thèng kª øng dông

Tr ¬ng Xu©n Lu©n

13

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

có bán kính ảnh hưởng và trần khác nhau

a_4

a_3

_a_2



a_
1



Hình 9b. mô hình dị hướng khu vực tính theo 4 hướng)

VI. MỘT SỐ GIẢ THUYẾT TOÁN

VI.1. Giả thuyết ổn dịnh (dừng) bậc 2 (Second order stationary

hypothesis)

Một hàm ngẫu nhiên đƣợc xem là ổn định bậc 2 nếu thoả mãn các điều kiện:

- Kỳ vọng toán E[Z(x)] tồn tại và không phụ thuộc vào điểm phân bố X. Có thể

mô tả:

E[Z(x)] = m

với xD.

- Đối với tất cả cặp biến ngẫu nhiên Z(x), Z(x+h), covariance tồn tại và chỉ

phụ thuộc vào khoảng cách h. Mô tả nhƣ sau:

C(h) = E [Z_(x+h), Z_(x)] - m²;

xD.

Ở giả thiết này, tồn tại cả các (h). Quan hệ giữa C(h) và (h) đƣợc thể hiện:

(h) = C(0) - C(h)

[IV-3]

Bởi vì: D[Z_(x)] = E[Z_(x)- m]²= C(0).

2(h) = E[Z_(x+h)- Z_(x)]²= E[Z²_(x+h)]+E[Z²_(x)]- 2E[Z_(x+h), Z_(x)]

= E[Z²_(x+h)]- m²+ E[Z²_(x)]- m²- 2E[Z_(x+h),Z_(x)] + 2m²

= 2C(0) - 2C(h).

Quan hệ [IV-3] thể hiện rõ: Ở giả thiết ổn định bậc 2, covariance và variogram

là hai đại lƣợng tƣơng đƣơng biểu đạt sự tƣơng quan giữa 2 biến Z_(x+h)và Z_(x)phân bố

cách nhau một khoảng cách h.

Ta có thể xác định đại lƣợng thứ 3 là Correlogram (tự tƣơng quan):

C



h





C



h



 

 1



0



0



Ở giả thuyết ổn định bậc 2, tồn tại một covariance thì cũng tồn tại một phƣơng

sai tiên nghiệm xác định: Var[Z_(x)] = D[Z_(x)]=C(0). Ở thực tế, sự tồn tại các hàm này

không nhƣ nhau. Có thể không thể hiện covariance và phƣơng sai tiện nghiệm xác

định song variogram vẫn thể hiện.

§Þa thèng kª øng dông

14

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

VI.2. Giả thuyết ổn định (dừng) thực sự (nội tại) (intrinsic

hypothesic)

Một hàm ngẫu nhiên thoả mãn giả thuyết ổn định thật sự nếu:

- Kỳ vọng toán tồn tại và không phụ thuộc vào điểm tựa (phân bố) x: E[Z_(x)]=m,

với x.

- Đối với bất kỳ véctơ h nào, sự chênh lệch [Z_(x+h)- Z_(x)] có một phƣơng sai xác

định cũng độc lập với X, nhƣng phụ thuộc vào h.

D[Z_(x+h)- Z_(x)]=E[Z_(x+h)- Z_(x)]²= 2(h). Ở giả thuyết này, các C(h) không thể

hiện rõ nét.

VII. PHƢƠNG SAI PHÂN TÁN, PHƢƠNG SAI ĐÁNH GIÁ

VII.1. Phƣơng sai phân tán:

Trong nghiên cứu các hiện tƣợng thiên nhiên, đặc biệt ở những mỏ khoáng

thƣờng thấy rõ hai hiện tƣợng sau:

1. Sự phân tán xung quanh giá trị trung bình của một tập hợp dữ liệu bên trong

đối tƣợng nghiên cứu V nào đó sẽ tăng lên theo kích thƣớc của V. Đó là hệ quả logic

của sự tồn tại quan hệ tƣơng quan không gian. Kích thƣớc V càng bé, những dữ liệu

càng gần nhau về khoảng cách và giá trị.

2. Sự phân tán bên trong V sẽ giảm đi khi kích thƣớc mẫu (v) trong V tăng.

Nghĩa là, những giá trị trung bình của những mẫu có kích thƣớc lớn sẽ giảm tính phân

tán hơn so với những mẫu có kích thƣớc bé. Rõ ràng giá trị trung bình của khối khai

thác sẽ giảm tính phân tán hơn so với hàm lƣợng đƣợc xác định bằng các mẫu lỗ

khoan.

Xuất phát từ những hiện tƣợng nêu trên, trong địa thống kê có khái niệm

phƣơng sai phân tán.

Dƣới giả thuyết ổn định của hàm ngẫu nhiên, theo các điểm Z_(x), phƣơng sai

S²_(Z(x)) của chúng đƣợc định nghĩa nhƣ là phƣơng sai phân tán của v trong V. [vV]

Có thể biểu đạt:

 1

₂

 ²



v/V



 E



S²



Z



x







 E



Z

_vx_i



 Z_v



x_i







_N

i





Có thể cụ thể hoá bằng một số trƣờng hợp:

1. Phương sai của những điểm trong một khối:

 Bình phƣơng của độ lêch quân phƣơng trung bình là sự dao động của thông

tin tính toán (hàm lƣợng...)"điểm" trong khối:

1

Z_x m_v

²dx



S²(đ/khối)

 S²







0

^



v

v _V

 Phƣơng sai phân tán là:

D(đ/v)= ²(o/v) = E[S²(o/v)]

1

V ²

²(đ/v) =



x  x'



dxdx' 



v,v



^

V V

§Þa thèng kª øng dông

15

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

1

V ²



Trong đó,

là variogram trung bình trong khối V.



X  X dxdx



^

v v

L₁L₂L₃L₁L₂L₃

1

V ²



 





V,V







x₁ x₁', x₂ x₂', x₁ x₃'



dx₁dx₂dx₃dx₁dx₂dx₃ F



V



     ^

0

X chạy khắp trong V, không phụ thuộc vào X' cùngchạy khắp trong V (hình10)



X



Hình 10

2. Phương sai phân tán của những khối nhỏ trong khối lớn (ví dụ của

những khối tính trữ lượng (v) trong toàn mỏ khoáng M).

Ta ký hiệu:













1

 ²



V / M



 E

Z_{v } m_M



²dx

_M^



x

M

Trong đó, X ở trung tâm khối V, mà V chạy khắp trong M (hình 11).

x x x

x  x

x x x

V

M

Hình 11: X ở trung tâm V chạy quanh khắp trong M.VM.

Chúng ta có:

1

M ²

1

V ²

 ²



V / M







x  x



dxdx 



x  x' dxdx





^

M M

V V

Nhƣ vậy phƣơng sai phân tán là:





²V / M



 



M,M



(*)





V,V



[IV-4]

Nếu ²(0/V) =



(V,V)

Tƣơng tự ²(0/V) =



(M,M)

(**)

§Þa thèng kª øng dông

16

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

Từ (*), (**) ta có:

²(V/M) = ²(0/M) - ²(0/V)

Vậy phƣơng sai phân tán của những điểm trong M (ta giả thiết M là mỏ

khoáng): ²(0/M) = ²(v/V) + ²(V/M). Cũng rút ra đƣợc quan hệ của bất kỳ khối nào

thoả mãn vV, VM thì: ²(v/M) = ²(v/V) + ²(V/M)

Từ [IV-4] viết dƣới dạng covariance:

²(V/M) =

(M,M)

VM

[IV-5]

C(V,V) C

²(v/V)  ²(V/M)

nếu vV, VM

Phƣơng sai phân tán tăng khi kích thƣớc mẫu nghiên cứu giảm. Ta ghi nhận là

ở một đối tƣợng nghiên cứu, hàm lƣợng các mẫu với kích thƣớc bé sẽ phân tán nhiều

hơn so với hàm lƣợng trung bình của các mâũ có kích thƣớc lớn [ví dụ giữa các mẫu

lõi khoan với các mẫu khối lớn (cỡ nghìn tấn)].

Vậy, ta thấy vấn đề kích thƣớc mẫu ban đầu rất quan trọng, ảnh hƣởng đến kết

quả tính toán, tức ta nói đến hiệu ứng kích thước mẫu. Có thể diễn đạt dƣới dạng toán

đồ, tức để thể hiện sự ảnh hƣởng của kích thƣớc mẫu đến các toán đồ tần số và do vậy

đến phƣơng sai (hình 12)

Tần

²(^V/_M)

²(^v/_M)

Z

m

Hình 12. Các histogram, trường hợp v<V

Nếu công tác lấy mẫu phù hợp (khâu phân tích là đáng tin cậy), thể hiện đƣợc

tính đồng nhất của các dữ liệu gốc thì giá trị trung bình của các mẫu phải bằng gía trị

trung bình của các khối. Rõ ràng là rất khó thực hiện trong thực tế.

Bài tập 2:

v=1010

V=1001000

§Þa thèng kª øng dông

17

Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin

Tr êng §¹i häc Má - §Þa chÊt

Tính phƣơng sai phân tán của khối 1010m trong đối tƣợng nghiên cứu có

kích thƣớc 1001000m theo các trƣờng hợp với variogram:

1) Là mô hình cầu, bán kính ảnh hƣởng 100m, trần là C =2

2) Là mô hình luỹ thừa, a = 100, C = 2

3) Là hiệu ứng tự sinh sạch C =2

VII.2. Phƣơng sai đánh giá:

Ta đã biết:

1





h



 D



Z_xh X__

x

2

_E D



Z__x_ Z^*__x_



0

²: Là phƣơng sai đánh giá. Z^*_(xo)là giá trị ƣớc lƣợng tại X₀.

E

Z_^*_x



 Z



x_



Giả sử ta có ƣớc lƣợng tuyến tính:

; với các lƣợng gia quyền



₀



_đƣợc xác định trong các điều kiện tối ƣu, tức phƣơng sai đánh giá phải nhỏ nhất và

không có sai số hệ thống (xem xét sau ở mục Kriging).

Ta cũng có khái niệm phƣơng sai mở rộng:

2

 _E²



v,V



 D



1

_vV

Z_v



x



Z_V



x







 E

 Z



Z_v



x'



 Z_V



x





2



=

E



Z



x  u



x  u





du du

v V

Giả sử 2 khối v và V có vị trí xác định trong không gian (chúng có thể chồng

khít vào nhau) thì:

_E²(v,V)  D



Z_v





 Z_V



x







 D Z_v



x



 Z_V



x







x

Giả sử ta làm việc với giả thiết ổn định thật sự thì:

2





 _E(v,V)  E (Z_v Z_V)

Và có thể viết:

2

_E²(v,V)  E



1

Z_v Z₍₀₎ Z_0 Z_V_













²

















dx

E

Z_v Z₍₀₎

_v

^{dx } ^{Z  Z}

=











x



(x₀)



v

 





Đặt Y(x) = Z(x) - Z(0) thì



²









1

_v

1







 ²(v,V)  E

Y_xdx 

Y dx







E



x

_V





V









Ta lại có: C(X,X') = E(Y_(x), Y ).

(x')

§Þa thèng kª øng dông

18