Áp dụng bộ lọc Kalman để nâng cao độ chính xác đo GPS động
Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018)74-85
Áp dụng bộ lọc Kalman để nâng cao độ chính xác đo GPS động
Đinh Xuân Vinh*
Trương Đaị hoc̣ Tai nguyên va Môi trương Hà Nội, 41A Phu Diêñ , Bắc Tư Liêm, Hà Nội, Viêṭ Nam
̀
̀
̀
̀
́
̀
Nhận ngày 05 tháng 4 năm 2018
Chỉnh sửa ngày 30 tháng 5 năm 2018; Chấp nhận đăng ngày 30 tháng 5 năm 2018
Tóm tắt: Bài báo thảo luận về ứng dụng bộ lọc Kalman cho những chuyển động ngẫu nhiên theo
thời gian của vị trí điểm thu GPS. Chuyển động của máy thu GPS là một mô hình trạng thái không
gian với thời gian biến động. Mô hình trạng thái không gian thường được biểu diễn bởi phương
trình vi phân tuyến tính kèm nhiễu trắng. Khi trạng thái không gian biến động theo thời gian, nó
được biểu diễn bởi các phương trình Riccati, tức là các phương trình vi phân phi tuyến. Nghiên
cứu này đề xuất bộ lọc Kalman mở rộng các tham số phù hợp với điều kiện đo đạc thành lập bản
đồ tỷ lệ lớn tại Việt Nam hiện nay. Tọa độ điểm thu GPS di động theo thời gian được so sánh với
giá trị tọa độ trong một ca đo tĩnh trước đó với độ chính xác cao, khẳng định bộ lọc Kalman mở
rộng các tham số phù hợp có thể ước lượng tối ưu vị trí điểm GPS di động. Từ đó giảm chi phí đầu
tư và tăng hiệu quả sử dụng thiết bị thu GPS thông dụng.
Từ khóa: Lọc Kalman, GPS động.
học.Một trang quan trọng trong lý thuyết xác
suất và lý thuyết về quy trình ngẫu nhiên ở thế
kỷ hai mươi được đánh dấu bởi tên của viện sỹ
hàn lâm Nga Andrei Nikolaievich Kolmogorov
(1903–1987). Tiếp theo là Norbert Wiener
(1894–1964), ông đã sáng tạo ra lý thuyết dự
báo, làm mềm và lọc theo quy trình Markov.
Đó là lý thuyết đầu tiên về ước lượng tối ưu hệ
thống quy trình ngẫu nhiên. Mô hình Wiener–
Kolmogorov sử dụng mật độ phổ năng lượng
(the power spectral density-PSD) trong phạm vi
tần số để mô tả thuộc tính thống kê của tiến
trình động (dynamic). Ước lượng tối ưu
Wiener–Kolmogorov xuất phát từ PSD để ước
lượng trị đo bên ngoài hệ thống. Mô hình tiến
trình động thừa nhận thời gian là bất biến.
1. Tổng quan các kết quả nghiên cứu về lọc
Kalman
Phương pháp đầu tiên định hình ước lượng
tối ưu từ dữ liệu có nhiễu là phương pháp bình
phương nhỏ nhất. Khảo sát thuộc tính chung
của nó là Carl Friedrich Gauss (1777–1855) vào
năm 1795, còn tính chất chắc chắn của trị đo có
chứa sai số được xác nhận bởi Galileo Galilei
(1564–1642). Hầu hết những vấn đề ước lượng
tuyến tính thì được sử dụng thường xuyên,
nhưng Gauss là người đầu tiên sử dụng bài toán
ước lượng phi tuyến trong toán thiên văn
________
ĐT.: 84-904569982.
Email: [email protected]
74
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018) 74-85
75
Richard S. Bucy là người đã nghiên cứu các
phương trình vi phân phi tuyến, cũng tương tự
như những nghiên cứu của Jacopo Francesco
Riccati (1676–1754), đến nay còn gọi là
“phương trình Riccati”. Trong tự nhiên thì mối
liên hệ giữa phương trình tích phân và phương
trình vi phân bao giờ cũng bắt đầu với thời
gian. Một trong những đặc biệt của lý thuyết
Kalman và Bucy, đó là thời đoạn (chu kỳ) được
chứng minh thông qua phương trình Riccati. Đó
là lời giải đáng tin cậy thậm chí nếu hệ thống
động là không ổn định.Năm 1960, R.Kalman
xuất bản bài báo nổi tiếng nhan đề “A new
approach to linear filtering and prediciton
problems” trong tạp chí Journal of Basic
Engineering số 82, trang 34 đến 45. Năm 1961,
R.Kalman và R.Bucy xuất bản bài báo “New
results in linear filtering and prediction theory”
trong tạp chí cùng tên số 85, trang 95 đến 108.
Ý tưởng của lọc Kalman được ứng dụng sớm
nhất khi ông đến thăm người bạn Stanley F.
Schmidt tại Trung tâm nghiên cứu Ames của
NASA ở Mountain View, California. Đó là vấn
đề ước lượng quỹ đạo và vấn đề điều khiển học
của dự án APOLO, đưa tàu vũ trụ lên Mặt trăng
và đưa nó quay trở lại Trái đất. Schmidt đã bổ
sung đầy đủ vào lọc Kalman cho các ứng dụng
phi tuyến và gọi đó là lọc Kalman mở rộng.
tới tăng cường độ chính xác định vị điểm máy
thu tín hiệu GPS, nhiều nhà khoa học thế giới
đã công bố các nghiên cứu (M. Elizabeth
Cannon, 1990, Antti Lange, 2003, Heiner
Kuhlmann, 2008, Simon Haykin, 2001, Cankut
D. Ince và Muhammed Sahin, 2000).
Phương trình hệ thống lọc Kalman rời rạc là
một ước lượng trạng thái 푥 ∈ 푅푛theo một quy
trình bị chi phối bởi phương trình vi phân tuyến
tính ngẫu nhiên sau
푥푘 = 퐹푥푘−1 + 퐺푢푘−1 + 푤푘−1
Và trị đo 푧 ∈ 푅푚tuân theo phương trình sau
푧푘 = 퐻푥푘 + 푣푘 (2)
(1)
trong đó: 푥푘 là vector chỉ trạng thái hệ
thống; ma trận F kích thước (n x n) trong
phương trình vi phân là ma trận hệ số của ẩn tại
trạng thái trước đó (k-1) so với trạng thái hiện
thời k. Ma trận G là ma trận hệ số đầu vào điều
chỉnh tùy ý của ẩn 푢 ∈ 푅푙 liên hệ với trạng thái
của ẩn x, trong trắc địa thì nó biểu thị các
nguyên nhân gây nên biến đổi hệ thống, ảnh
hưởng tới quy trình ngẫu nhiên của hệ thống.
Ma trận H kích thước (m x n) trong phương
trình trị đo là ma trận hệ số của trị đo 푧푘, 푤푘−1
là nhiễu trắng hệ thống và nó được biểu diễn
như một vector; 푣푘 là nhiễu trắng trị đo được
biểu diễn dưới dạng vector. Chỉ số k chỉ thời
điểm của hệ thống và k-1 là thời điểm trước đó.
Lọc Kalman [1] đã được nhiều nhà khoa
học Việt Nam và thế giới nghiên cứu ứng dụng
[2]. Nhiều tài liệu [3, 4] đã giới thiệu các ứng
dụng của bộ lọc. Trong thực tế, công thức lọc
Kalman được nhiều nhà khoa học diễn giải theo
cách hiểu của mình, như Simon Haykin, 2001,
Greg Welch và Gary Bishop, 2001, R. L.
Eubank, 2006, Howard Musoff, 2005,
Mohinder S. Grewalvà Angus P. Andrews,
2008. Do vậy, ứng dụng lọc Kalman là xây
dựng những phương trình cụ thể cho từng đối
tượng cụ thể. Việc sử dụng chung các diễn giải
khoa học là không phù hợp. Lọc Kalman hiện
nay được nghiên cứu rất nhiều trên thế giới, cụ
thể hóa cho từng dự án, từng khu vực và thời
gian khác nhau. Lĩnh vực trắc địa bản đồ ứng
dụng lọc Kalman có thể xử lý dữ liệu đo đạc,
bởi vì tất cả các trị đo đều tồn tại nhiễu mà
chúng ta quen gọi là hàm chứa sai số. Liên quan
Phương trình (1) phù hợp với mô hình vận
động (Dynamic) và không thể tìm thấy trong
mô hình động (Kinematic) thành phần 퐺푢푘−1 vì
không có nguyên nhân biến đổi vận tốc nào
được tính đến trong mô hình. Cũng không thể
tìm thấy trong mô hình tĩnh thành phần 퐹푥푘−1
vì vật thể phản ứng ngay tức thì với những thay
đổi đầu vào.Trong mô hình đồng nhất không có
nguyên nhân gây biến động, nên ma trận hệ
thống được xác định là ma trận đơn vị. Vector
trạng thái tự nhiên của 푥푘 lẽ dĩ nhiên là biến
không đo được, còn 푧푘 là giá trị đo được. Biến
ngẫu nhiên 푤푘−1 và 푣푘 biểu diễn nhiễu hệ
thống và nhiễu trị đo, chúng được giả thiết là
độc lập với nhau, là nhiễu trắng và tuân theo
phân phối chuẩn, nghĩa là
푝 푤 ~푁 0, 푄
(3)
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2(2018)74-85
76
ở đây, 푃푘 là ma trận hiệp phương sai mô tả
sai số trong ước lượng trạng thái sau khi cập
nhật; 푀푘 là ma trận hiệp phương sai mô tả sai
số trong ước lượng trạng thái trước khi cập
nhật. Ma trận nhiễu rời rạc 푄푘 có thể tìm được
từ ma trận nhiễu liên tục Q và ma trận cơ sở
theo
푝 푣 ~푁 0, 푅
(4)
Ta có ma trận nhiễu hệ thống Q liên quan
tới vector nhiễu hệ thống theo
푇
푄 = 퐸 푤푤
.
(5)
Ma trận nhiễu trị đo R có liên hệ với vector
nhiễu trị đo 푣theo
푇
푠
푇
푅 = 퐸 푣푣
,
(6)
푄푘 = 훷(휏)푄훷푇(휏)푑휏.
(11)
Nếu chúng ta mang những trị đo với chu kỳ
0
푇 để đưa vào phép lọc, thì việc đầu tiên là ta
푠
Để bắt đầu phương trình Riccati, ta cần ma
phải tìm được ma trận cơ sở 휙. Ma trận cơ sở
của hệ thời gian bất biến có thể tìm được từ ma
trận hệ thống động [5, 6] như sau:
trận hiệp phương sai ban đầu 푃0.
−1
−1
2. Mô hình và phương pháp áp dụng
훷 푡 = ℒ
푠퐼 − 퐹
,
(7)
ở đây, I là ma trận đơn vị, ℒ−1 là biến đổi
Laplace nghịch đảo, F là ma trận hệ thống
động.
Thực nghiệm thứ nhất,nghiên cứu khảo sát
trên khu đô thị Văn Quán, Hà Đông, Hà Nội
ngày 31 tháng 10 năm 2009 với 3 máy thu GPS
loại TRIMBLE 4000 SSi, anten TRM 39105.00
Compact L1/L2 WGP tạo thành một tam giác
(Hình 1). Tại điểm CT3, số hiệu máy thu:
21000, số hiệu anten: 104873. Tại điểm V1, số
hiệu máy thu: 21001. số hiệu anten: 104874.
Tại điểm V2, sô hiệu máy thu: 21002, số hiệu
anten: 104875. Đặt góc chân trời 100 vì máy thu
đặt trên mái bằng tòa nhà CT3 cao 21 tầng, tần
số lấy mẫu 15 giây.
Có thể chứng minh được các phương trình
̉
̃
Riccati biêu diên Hiêp̣ phương sai tiên nghiêṃ ,
Hiêp̣ phương sai hâụ nghiêṃ va gia tri ̣Hiêụ ich
̀
́
́
của các bước lọc Kalman. Phương trinh Riccati
[3] thể hiện Hiệu ích của bộ lọc như sau:
̀
푀푘 = 훷푘푃푘−1훷푘푇 + 푄푘,
퐾푘 = 푀푘퐻푇(퐻푀푘퐻푇 + 푅푘)−1
(8)
(9)
,
푃푘 = 퐼 − 퐾푘퐻 푀푘.
(10)
Hình 1. Sơ đồ điểm thu GPS tại Văn Quán.
Hình 2. Hệ thống dịch chuyển anten tại CT3.
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018) 74-85
77
Tọa độ hai điểm V1 và V2 tạo thành cạnh
đáy cố định.Điểm CT3 được coi là điểm di
động phục vụ kiểm định thuật toán lọc Kalman.
Tam giác được khởi tạo luôn có cạnh đáy ổn
định với một đỉnh di động theo tần số thu tín
hiệu GPS. Thời gian thực nghiệm kéo dài 60
phút. Bắt đầu từ 7 giờ 10 phút kết thúc lúc 8 giờ
30 phút giờ Hà Nội. Trong 20 phút đầu, anten
máy thu ở trạng thái ổn định. Trong 40 phút
tiếp theo, anten máy thu được dịch chuyển từng
bước về phía bắc (trục tọa độ X), mỗi bước dài
4 mm trên tổng quãng đường 80 mm, thời gian
mỗi bước dịch chuyển cách nhau 2 phút (hình
2), khoảng thời gian dịch chuyển khoảng 1 giây
và không ảnh hưởng tới kết quả ước lượng. Ca
đo có 243 trị đo được thống kê một phần trong
bảng 1.
Quá trình vận động của thực nghiệm Văn
Quán được biểu diễn trong Hình 3 với mô hình
trị đo và trị thực được trích xuất trong phần
mềm GPSurvey 2.35 (lưu ý năm 2009 phần
mềm này vẫn hiệu dụng).
Cần biết rằng, vị trí máy thu CT3 đặt trên
mái nhà bằng phẳng cao 21 tầng, khả năng nhận
tín hiệu vệ tinh là rất tốt, máy thu Trimble
4000SSi chuyên dụng đo chuyển dịch địa động
thể hiện trên kết quả đo và trị thực chênh lệch
rất nhỏ sau khi xử lý bằng GPSurvey 2.35
(khoảng 10 mm).
Bảng 1. Số liệu đo Văn Quán (hệ tọa độ VN2000) trích xuất GPSurey 2.35
Điểm thu CT3
Điểm thu V 1
No
STT
Thời gian
X (m) vn2000 Y (m) vn2000 X (m) vn2000 Y (m) vn2000
2320017.3697 582070.7406 2320009.4713 581775.7188
2320017.3696 582070.7396 2320009.4701 581775.7192
2320017.3701 582070.7387 2320009.4697 581775.7182
2320017.3717 582070.7376 2320009.4714 581775.7165
2320017.3727 582070.7381 2320009.4722 581775.7173
2320017.3714 582070.7375 2320009.4711 581775.7181
2320017.3697 582070.7372 2320009.4695 581775.7182
2320017.3694 582070.7373 2320009.4687 581775.7178
2320017.3689 582070.7364 2320009.4696 581775.7163
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0:20:00
0:20:15
0'20"30
0'20"45
0'21"00
0'21"15
0'21"30
0'21"45
0'22"00
2320017.480
2320017.460
2320017.440
2320017.420
2320017.400
2320017.380
2320017.360
tri thuc
tri do
2320017.340
Thời đoạn
Hình 3. Biểu diễn quá trình thực nghiệm với trị đo và trị thực tại Văn Quán.
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2(2018)74-85
78
Thực nghiệm thứ hai,mục tiêu áp dụng
coi là chuẩn để so sánh với phương pháp đo
động. Khoảng 25 phút cuối, máy số 100961 di
động theo hai hướng gần vuông góc nhau. Đó là
do máy 100961 đặt ở ngã ba đường. Quá trình
đo động máy di chuyển theo hai con phố
khoảng 18 phút, sau đó đặt trở lại máy vào chân
ba chạc vẫn giữ nguyên trên mốc khoảng 7
phút, và kết thúc ca đo. Lưu ý khoảng thời gian
7 phút này đang ở chế độ đo động, nhằm kiểm
chứng các tham số của bộ lọc Kalman. Đặc thù
phố nhỏ, bề ngang phố khoảng 5 mét. Một con
phố có nhiều cây to hai vệ đường, dẫn tới tín
hiệu GPS bị mất trong vài phút. Điều kiện vệ
tinh và chất lượng máy thu rất khiêm tốn. Hầu
hết thời gian đo chỉ thu được tín hiệu 5 vệ tinh.
Đây gần như là giới hạn cuối của chất lượng ca
đo [7]. Đối với ca đo tĩnh thì vừa đủ chất lượng,
nhưng với ca đo động thì chất lượng tín hiệu rất
tồi. Hình 6 trích xuất từ phần mềm Compass
Post Process cho thấy máy thu 100961 trong
thực nghiệm HUNRE chỉ nhận được tín hiệu rõ
ràng của vệ tinh số 17, 6 và 28 (theo thời gian
xuất hiện). Các vệ tinh số 30, 19, 2, 3, 9, 12, 5
(theo thời gian xuất hiện) có tín hiệu yếu và
ngắt quãng.
phương pháp xử lý sau trong công tác thu tín
hiệu GPS động với loại máy thu GPS thông
dụng, nhưng có thể cho ta chất lượng vị trí điểm
đạt độ chính xác cỡ xen ti mét, phù hợp yêu cầu
xây dựng lưới khống chế đo vẽ tỷ lệ lớn, hoặc
đo vẽ chi tiết thành lập bản đồ tỷ lệ 1:500.
Nghiên cứu được tiến hành một cách cẩn thận
công tác thu tín hiệu GPS tại khu vực trường
Đại học Tài Nguyên và Môi trường Hà nội,
ngày 07 tháng 9 năm 2017. Thiết bị thu tín hiệu
GPS gồm 3 máy thu loại tín hiệu một tần số
X20 của hãng Huace – Trung quốc, số hiệu các
máy là: 100957, 100961 và 101533. Loại máy
X20 tương đối cũ, chỉ thu được duy nhất tín
hiệu GPS khoảng cách giả và GPS pha sóng tải,
không thu được tín hiệu Glonass và Beidou. Đặt
góc chân trời 150, tần số lấy mẫu 5 giây.Tọa độ
hai điểm máy 957 và 533 tạo thành cạnh đáy cố
định.Điểm máy 961 được coi là điểm di động
phục vụ kiểm định thuật toán lọc Kalman.
Tam giác được khởi tạo luôn có cạnh đáy ổn
định với một đỉnh di động theo tần số thu tín
hiệu GPS.
Thực nghiệm kéo dài 75 phút, bắt đầu lúc
10 giờ 20 phút, giờ Hà nội, kết thúc lúc 11 giờ
38 phút. Trong 50 phút đầu tiên, ba máy thu ở
chế độ Tương đối – tĩnh, tọa độ nhận được sau
xử lý có độ chính xác từ 1 đến 3 mm và có thể
Khoảng cách giữa các điểm trắc địa khá gần
nhau, từ 229 mét đến 280 mét và phân bố như
hình 4. Hình 5 là tập trị đo và hướng di chuyển
của máy 100961.
961
Hình 4. Sơ đồ điểm thu GPS.
Hình 5. Tập trị đo và hướng di chuyển máy 100961.
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018) 74-85
79
Áp dụng phần mềm RTKLIB [8] tính giá trị
tọa độ (X, Y, Z) trong hệ tọa độ WGS 84, có
thể chuyển sang hệ VN2000 cho từng chu kỳ đo
tương ứng. Mỗi chu kỳ đo được cài đặt trong
máy thu GPS là 5”, tương ứng với một trị tọa
độ vị trí điểm máy thu. Tổng số 250 trị đo được
thống kê một phần ở Bảng 2.
Xử lý dữ liệu đo bằng phần mềm Compas
kèm theo máy. Số liệu đo Tương đối - tĩnh đạt
kết quả tốt. Sai số vị trí điểm thu có độ chính
xác ±3 mm. Lý do là khoảng cách giữa các
điểm khá gần nhau (chưa đến 300 mét). Có 249
trị đo động thời gian từ 4:15:00 GPST đến
4:38:15 GPST. Khoảng thời gian từ 4:28:20
GPST đến 4:30:55 GPST máy thu mất tín hiệu
do di chuyển trên con phố nhỏ, có nhiều cây
xanh ven đường.
Bảng 2. Một phần số liệu đo tại HUNRE (hệ tọa độ WGS 84) trích xuất RTKLIB
Thời gian
GPST
x-ecef(m)
y-ecef(m)
z-ecef(m) Q ns sdx(m) sdy(m) sdz(m) sdxy(m) sdyz(m) sdzx(m) age(s) ratio
07/09/2017 04:15:00 -1617958,7940 5731144,3388 2276355,9307 2 5 1,4031 5,9260 1,5439 -2,6521 2,8410 -1,2986 0.00 0.0
07/09/2017 04:15:05 -1617959,8466 5731145,8137 2276356,4557 2 5 0.9989 4,2176 1,0969 -1,8885 2,0204 -0.9240 0.00 0.0
07/09/2017 04:15:10 -1617960,6835 5731149,0690 2276357,2457 2 5 0.8184 3,4564 0.8975 -1,5480 1,6546 -0.7568 0.00 2.1
07/09/2017 04:15:15 -1617960,3875 5731148,4627 2276356,9508 2 5 0.7105 3,0018 0.7783 -1,3446 1,4360 -0.6569 0.00 1.4
07/09/2017 04:15:20 -1617959,7839 5731145,7973 2276356,2282 2 5 0.6367 2,6912 0.6967 -1,2056 1,2866 -0.5886 0.00 1.3
07/09/2017 04:15:25 -1617959,5958 5731146,9023 2276356,2593 2 5 0.5822 2,4616 0.6364 -1,1028 1,1761 -0.5381 0.00 1.8
07/09/2017 04:15:30 -1617959,4623 5731147,0736 2276356,5076 2 5 0.5397 2,2828 0.5894 -1,0227 1,0900 -0.4987 0.00 2.3
Hình 6. Biểu đồ vệ tinh trong thực nghiệm HUNRE.
cao hiệu suất của bộ lọc và tối ưu hóa sau mỗi
bước lọc được triển khai dưới dạng đa thức. Do
vậy, lọc Kalman cũng được triển khai ở dạng đa
thức. Áp dụng các kết quả từ Các bảng và công
thức toán học chuẩn [6], Kỹ thuật làm trơn liên
tục và dự báo [9], chúng tôi thực hiện lọc
Kalman theo các bậc đa thức.
3. Xử lí số liệu với lọc Kalman mở rộng
tham số
Lọc Kalman được triển khai theo phương
pháp sử dụng tích phân Euler và phương pháp
Bình phương nhỏ nhất. Các phương trình
Riccati nhằm giải quyết vấn đề phi tuyến, nâng
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2(2018)74-85
80
Đối với bậc 0, ta co phương tri nh ma trâṇ
̉
(trạng thái 1) tại thời đoạn k; 푧푘 trị đo tại thời
đoạn k.
́
̀
cơ sơ ban đầu như sau:
Độ lệch của lọc bậc 0 được định nghĩa:
.
푥푘 = 푥푘−1 + 퐾푘 푧푘 − 푥푘−1
(12)
푅푒푠푘 = 푧푘 − 푥푘−1
Lọc bậc 1 kèm theo vận tốc co daṇ g như
Ký hiệu: 푥푘 ước lượng Kalman tại thời
đoạn k; 푥푘−1 ước lượng Kalman thời đoạn k-1;
́
sau:
퐾1 hiệu ích của ước lượng Kalman bậc 0
푘
퐾1
퐾2
푥푘
푥푘
푥푘−1
푥푘−1
푥푘−1
푥푘−1
1
0
푇
1
1
0
푇
1
푘
푠
푠
1
0
=
+ 푧푘 −
.
(13)
푘
Hiệu ích của lọc Kalman bậc 1 được tính
Ký hiệu: 푇 tần số đo (khoảng cách giữa các
푠
theo phương pháp bình phương nhỏ nhất đệ
quy:
thời đoạn); 퐾1 hiệu ích Kalman đối với vị trí
푘
điểm; 퐾2 hiệu ích Kalman đối với vận tốc
푘
2(2푘 − 1)
푘(푘 + 1)
푘 = 1,2, … , 푛 .
Lọc bậc 2 kèm theo gia tốc và vận tốc co
6
chuyển động của điểm; 푥푘 ước lượng vận tốc
điểm Kalman tại thời đoạn k; 푥푘 ước lượng gia
tốc điểm Kalman tại thời đoạn k;푥푘−1 ước
lượng vận tốc của điểm tại thời đoạn k-1.
퐾1
=
, 퐾2
=
,
푘
푘
푘(푘 + 1)푇
푠
́
dạng như sau:
Độ lệch của lọc bậc 1 được định nghĩa:
푅푒푠푘 = 푧푘−푥푘−1 − 푇 푥푘−1
푠
퐾1
퐾
퐾3
푥푘
푥푘−1
푥푘−1
푘
1
0
0
푇
1
0
0.5 푇2
1
0
0
푇
1
0
0.5 푇2
푠
푠
푠
푠
푥
푥
0
푥
=
+ 푧푘 −
(14)
1
0
2
푇
푇
푘
푘−1
푘−1
푘
푠
푠
1
1
푥푘
푥푘−1
푥푘−1
푘
qua ước lượng từ 3 đến 5 trị đo đầu tiên chúng
ta sẽ nhận được 푃0 chuẩn xác. Thay các trị đo
bằng số vào các phương trình từ (12) đến (18),
thực hiện trên bảng tính Excel, ta dễ dàng tính
được các giá trị 푥1, 푥2, … 푥243 của thực nghiệm
Văn Quán, và các giá trị 푥1, 푥2, … 푥249 của thực
nghiệm HUNRE.
Ký hiệu:푥푘 ước lượng gia tốc điểm Kalman
tại thời đoạn k;푥푘−1 ước lượng gia tốc của điểm
tại thời đoạn k-1; 퐾3 hiệu ích Kalman đối với
푘
gia tốc chuyển động của điểm.
Độ lệch của lọc bậc 2 được định nghĩa:
푅푒푠푘 = 푧푘−푥푘−1 − 푇 푥푘−1 − 0.5푇2푥푘−1 (15)
푠
푠
Hiệu ích của lọc Kalman bậc 2 được tính:
Sau khi thực hiện các bậc lọc 0, 1 và 2 của
đa thức biểu diễn lọc Kalman. So sánh kết quả
giữa trị đo, trị thực và giá trị lọc. Chúng tôi
nhận thấy lọc bậc 1 phù hợp với chuyển động
thực tế của máy thu GPS trong đo đạc bản đồ.
Kết quả lọc bậc 1 thể hiện trên hình 7 cho thấy
độ lệch giữa trị thực và giá trị lọc tối đa là 4,1
mm, tốt hơn nhiều so với trị đo sau xử lý
GPSurvey 2.35 (11,4 mm).
3(3푘2 − 3푘 + 2)
퐾1
=
, 푘 = 1,2, … , 푛, (16)
푘
푘 푘 + 1 (푘 + 2)
18(2푘 − 1)
퐾2
=
,
(17)
(18)
푘
푘(푘 + 1)(푘 + 2)푇
푠
60
퐾3
=
,
푘
2
푘 푘 + 1 푘 + 2 푇
푠
Ma trận hiệp phương sai ban đầu 푃0 được
ước lượng tuần tự theo bước lọc. Chỉ cần thông
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018) 74-85
81
2320017.480
2320017.460
2320017.440
2320017.420
2320017.400
2320017.380
2320017.360
2320017.340
Kalman
Hình 7. Biểu diễn lọc Kalman tại thực nghiệm Văn Quán (VN2000).
Tiếp tục áp dụng bộ lọc Kalman dạng đa
thức bậc 1 vào thực nghiệm thứ hai tại
HUNRE. Kết quả ước lượng tối ưu vị trí điểm
đo động bằng lọc Kalman được chú ý so sánh
tại 80 trị đo cuối, bởi vì khoảng thời gian này
máy thu GPS ở vị trí ổn định nhưng được tiến
hành đo theo phương pháp “động”. Biểu diễn
kết quả lọc Kalman trên giá trị tọa độ X và giá
trị tọa độ Y, giữa trị đo và giá trị lọc Kalman
(hình 8 và 9). Chúng tôi sử dụng 50 phút đầu
tiên đo theo phương pháp Tương đối Tĩnh để
xác định giá trị “thực” của vị trí điểm. So sánh
với trị đo “động” không lọc và trị sau lọc
Kalman sẽ cho ta bức tranh toàn cảnh.
579530
579520
579510
579500
579490
579480
579470
579460
579450
Measurements
Kalman
Reals
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120130140150160170180190200210220230240250
Times
Hình 8. Biểu diễn lọc Kalman 250 giá trị tọa độ Y tại thực nghiệm HUNRE (VN2000).
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2(2018)74-85
82
2328360
2328355
2328350
2328345
2328340
Measurements
2328335
2328330
2328325
2328320
2328315
2328310
Times
Kalman
Reals
Hình 9. Biểu diễn lọc Kalman 250 giá trị tọa độ X tại thực nghiệm HUNRE (VN2000).
Trong khoảng thời gian 80 chu kỳ đo (7
sánh với giá trị tọa độ ca đo động sau lọc
Kalman. Chúng tôi không thể đưa cả 80 trị đo
và trị ước lượng Kalman vào bài báo vì sẽ làm
cho bài báo quá dài, nên chỉ đưa 12 trị đo cuối.
Nếu tính trung bình đồng thời kết quả 80 trị
thực và trị lọc Kalman, kết quả độ lệch là ± 3
cm, khá tương đồng với kết quả 12 trị đo cuối.
Đây chỉ là trùng hợp ngẫu nhiên.Tất cả số liệu
được thống kê đầy đủ trong đề tài mã số
13.01.17.O.03 của HUNRE.
phút cuối) máy 100961 ở trạng thái tĩnh. Theo
đồ thị 8 và 9, phương pháp thu GPS động nhận
được trị đo X và Y có biến động rất lớn, thậm
chí hơn 10 mét. Lý do có sai số lớn là máy thu
chất lượng thấp, hiện trường bị che lấp bởi cây
xanh và nhà cao tầng. Sử dụng bộ lọc Kalman
cho ta một ước lượng tốt hơn rất nhiều thể hiện
ở bảng 3. Giá trị tọa độ X và Y của ca đo
Tương đối – Tĩnh có thể lấy làm trị thực để so
THANH QUA TOA DO PHANG SAU BINH SAI
HE TOA DO PHANG VN2000, ELLIPSOID WGS84
KINH TUYEN TRUC 105°00', MUI CHIEU 3 DO (k=0.9999)
Ca đo 50 phút theo phương pháp Tương đối Tĩnh (HUNRE)
+================================================================+
|S|
|T| TEN |-----------------------------|-----------------------|
|T| DIEM | x(m) | y(m) | h(m) | mx | my | mh | mp |
|=|========|===========|==========|======|=====|=====|=====|=====|
|
TOA DO
| SSTP vi tri diem (m) |
|1|
|2|
|3|
957|2328284.299|579509.994|10.329|0.003|0.003|0.004|0.004|
961|2328352.783|579494.709| 9.927|0.002|0.003|0.003|0.004|
533|2328379.944|579426.390|10.000|-----|-----|-----|-----|
+================================================================+
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018) 74-85
83
Bảng 3. So sánh tọa độ lọc Kalman trị đo “động” với trị thực và trị đo của máy thu 100961 (thực nghiệm
HUNRE, ngày 07/9/2017)
Độ
lệch
với trị
đo (m)
Độ
lệch
với trị
đo (m)
Độ lệch
với trị
thực (m)
Độ lệch
với trị
thực (m)
Thời đoạn
Trị đo Y
(m)
Kalman Y
(m)
Trị đo X (m) Kalman X (m)
(GPST)
4:37:20 AM 579483.038
4:37:25 AM 579482.858
4:37:30 AM 579484.311
4:37:35 AM 579468.946
4:37:40 AM 579473.200
4:37:45 AM 579476.931
4:37:50 AM 579478.486
4:37:55 AM 579480.542
4:38:00 AM 579481.694
4:38:05 AM 579489.981
4:38:10 AM 579488.686
4:38:15 AM 579489.372
Trung bình
579494.921
579494.883
579494.843
579494.803
579494.760
579494.714
579494.667
579494.618
579494.568
579494.516
579494.464
579494.412
-11.883 0.212
-12.025 0.174
-10.533 0.135
-25.857 0.094
-21.559 0.051
-17.783 0.005
-16.180 -0.042
-14.076 -0.091
-12.874 -0.141
2328352.158 2328352.836
2328352.241 2328352.841
2328352.294 2328352.846
2328350.426 2328352.820
2328351.287 2328352.809
2328351.581 2328352.803
2328351.726 2328352.799
2328352.058 2328352.800
2328352.184 2328352.804
2328351.951 2328352.804
2328352.094 2328352.806
2328352.174 2328352.809
-0.678
-0.600
-0.551
-2.394
-1.522
-1.222
-1.073
-0.743
-0.620
-0.853
-0.712
-0.635
-0.967
0.053
0.058
0.063
0.037
0.026
0.020
0.016
0.018
0.021
0.021
0.023
0.026
0.032
-4.535
-5.779
-5.040
-0.193
-0.245
-0.297
-13.177 -0.028
Bảng 4. So sánh giá trị tọa độ RTKLIB với trị thực
(thực nghiệm HUNRE, ngày 07/9/2017)
Nghiên cứu đã tham khảo thực nghiệm do
Heiner Kuhlmann và các đồng nghiệp tiến hành
[10]. Mặc dù thời gian và khoảng cách địa lý rất
xa nhau, các phương pháp tiến hành cũng khác
nhau, chúng tôi nhận thấy bộ lọc Kalman với
các tham số mở rộng chứng tỏ sự phù hợp với
thực trạng công tác đo đạc bản đồ tỷ lệ lớn ở
Việt Nam.
Thời điểm Lệch tọa độ Y
Lệch tọa độ X
(m)
(m)
4:37:20
4:37:25
4:37:30
4:37:35
4:37:40
4:37:45
4:37:50
4:37:55
4:38:00
4:38:05
4:38:10
4:38:15
0,4965
0,4957
0,5055
0,4962
0,4986
0,4987
0,4967
0,5031
0,4966
0,4966
0,4963
0,4989
0,4982
0,2672
0,4503
0,2585
0,2632
0,2656
0,2679
0,2618
0,4869
0,2670
0,2657
0,2704
0,2694
0,2995
Nghiên cứu cũng tiến hành so sánh giá trị
tọa độ X và Y mà phần mềm RTKLIB xử lý với
giá trị tọa độ thực (Bảng 4). Lưu ý rằng
RTKLIB cũng ứng dụng lọc Kalman nhưng áp
dụng cho các trị đo pha sóng tải, trị đo code và
mô hình tầng đối lưu, tầng điện ly ở dữ liệu đầu
vào trước khi xử lý. Hoàn toàn khác với phương
pháp mà chúng tôi đã sử dụng, ứng dụng bộ lọc
Kalman cho giá trị tọa độ theo thời gian của
tiến trình động, đúng với nguyên lý ước lượng
mà Kalman đặt ra đối với một tiến trình động
theo cách hiểu của chúng tôi.
Trung
bình
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2(2018)74-85
84
Độ lệch từ 26 cm đến 50 cm so với trị thực
cứu khoa học cấp cơ sở mã số 13.01.17.O.03
của Trường Đại học Tài nguyên và Môi trường
Hà Nội, do tác giả chủ trì năm 2017 - 2018.
là một ước lượng tối ưu đáng kể của RTKLIB
khi mà trị đo thực tế lệch tới 10 m so với trị
thực (từ thời đoạn 4:37:20 đến 4:38:00). Giá trị
sai số trung phương của những so sánh trên là:
푅푀푆푋푅푇퐾퐿퐼퐵 = ±0.3227 (푚);
푅푀푆푌푅푇퐾퐿퐼퐵
=
Tài liệu tham khảo
±0.5204 (푚); 푅푀푆푋퐾푎푙푚푎푛 = ±0.0332 (푚);
푅푀푆푌퐾푎푙푚푎푛 = ±0.1716 (푚).
[1] R.E. Kalman,
A
New Approach to Linear
Filtering and Prediction Problems, Journal of
Basic Engineering, 82 (series D):34-45. Copyright
@ 1960 by ASME.1960.
4. Kết luận
[2] Phan Văn Hiến, Đinh Xuân Vinh, Ứng dụng lọc
Kalman trong phân tích biến dạng nhà cao tầng do
bức xạ nhiệt mặt trời. Tạp chí Xây dựng, số 5-
2010. ISSN 0866-0762.2010.
[3] Grewal, Mohinder S, Angus P. Andrews. Kalman
filtering : theory and practice using MATLAB.
Published by John Wiley & Sons, Inc., Hoboken,
Nghiên cứu ứng đã dụng bộ lọc Kalman và
đề xuất lọc Kalman Mở rộng Tham số thông
qua phương trình vận tốc của điểm với hai thực
nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm đánh giá
khả năng hoạt động của bộ lọc phù hợp trong
điều kiện thu tín hiệu GPS rất tốt. Thực
nghiệm thứ hai ứng dụng thực tiễn trong công
tác đo đạc bản đồ trong điều kiện thu tín hiệu
GPS rất kém.
New
Jersey.
ISBN
978-0-470-17366-4
(cloth)2008.
[4] Đinh Xuân Vinh, Phan Văn Hiến, Nguyễn Bá
Dũng, Lý thuyết và phương pháp phân tích biến
dạng. Nhà xuất bản Tài nguyên Môi trường và
Bản đồ Việt Nam. ISBN: 978-604-904-875-
3.2016.
[5] Arthur Gelb, Joseph F. Kasper, Raymond A.
Nash, Charles F. Price, Arthur A. Sutherland.
Applied Optimal Estimation. Technical Staff the
Analytic Sciences Corporation. THE M.I.T.
PRESS. Massachusetts Institute of Technology.
[6] Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical
Tables and Formulae. CRC Press. 2003.
[7] Alfred Leick. GPS Satellite Surveying. John
Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. ISBN 0-
471-05930-7 (cloth).2004.
[8] Tomoji TAKASU. “RTKLIB: Open Source
Program Package for RTK-GPS”. Tokyo
University of Marine Science and Technology.
2009.
[9] Norman Morrison, Intro to Sequential Smoothing
and Prediction. McGraw-Hil Book Company,
New York. 1969.
Thực nghiệm thứ nhất cho thấy độ lệch lớn
nhất giữa trị sau bình sai với trị thực là 11,4
mm. Độ lệch lớn nhất giữa trị sau lọc K với trị
thực là 4,1 mm.
Thực nghiệm thứ hai cho thấy độ lệch giữa
trị sau bình sai RTKLIB với trị thực từ 262 mm
đến 505,5 mm. Độ lệch giữa trị sau lọc K với trị
thực từ 16 mm đến 297 mm. Độ lệch thực tế
của trị đo so với trị thực tới trên 10 mét khi đo
“động” chỉ ra điều kiện đo kém và chất lượng
máy thu chưa tốt.
Những nghiên cứu bước đầu đã ứng dụng
trong công tác thành lập bản đồ hoặc thu thập
dữ liệu thông tin địa lý có thể giảm chi phí và tăng
khả năng tận dụng máy cũ của đơn vị sản xuất.
[10] Heiner Kuhlmann, “Kalman – filtering with
coloured measurement noise for deformation
analysis”, Proceedings, 11th FIG Symposium on
Deformation Measurements, Santorini, Greece,
2003.
Lời cảm ơn
Tác giả xin chân thành cảm ơn các sinh viên
ĐH5QĐ9 đã nhiệt tình tham gia thực nghiệm.
Bài viết này là kết quả thực hiện đề tài nghiên
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018) 74-85
85
Apply Kalman Filter to Enhance the Accuracy
of Kinematic GPS Measurements
Dinh Xuan Vinh
Hanoi University for Natural Resources and Environment, 41A Phu Dien, Bac Tu Liem, Hanoi, Vietnam
Abstract: The article discusses the Kalman filter application for temporal random motion of the
GPS receiver location. The motion of the GPS receiver is a space state model with time-varying. The
spatial state model is usually represented by linear differential equations with white noise. When the
state of space fluctuates over time, it is represented by Riccati equations, ie nonlinear differential
equations. We proposed extending the Kalman filter with parameters suitable for the measurement
conditions established large scale maps in Vietnam today.Coordinate points of GPS mobile over time
is compared with coordinate values in a case of static measurements previously with high precision,
confirming the Kalman filter extended with parameters suitable to estimate the optimal mobile GPS
receiver location. This reduces the investment cost and increases the efficiency of using a common
GPS receiver.
Key words: Kalman filter, kinematic GPS.
12 trang
12/01/2024
16320
Free
Bạn đang xem tài liệu "Áp dụng bộ lọc Kalman để nâng cao độ chính xác đo GPS động", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- ap_dung_bo_loc_kalman_de_nang_cao_do_chinh_xac_do_gps_dong.pdf
