Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 8: Chuyển động song phẳng của vật rắn

-99-

Ch−¬ng 8

ChuyÓn ®éng song ph¼ng Cña vËt r¾n

8.1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc vµ gia tèc cña c¶

vËt.

8.1.8.§Þnh nghÜa vµ ph©n tÝch chuyÓn ®éng song ph¼ng.

ChuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n lµ chuyÓn ®éng khi mçi ®iÓm thuéc

vËt lu«n lu«n chuyÓn ®éng trong mét mÆt ph¼ng cè ®Þnh song song víi mÆt

ph¼ng quy chiÕu ®· chän tr−íc ( mÆt ph¼ng c¬ së ). Nãi c¸ch kh¸c chuyÓn ®éng

song ph¼ng lµ chuyÓn ®éng cña vËt khi mçi ®iÓm cña nã trong qu¸ tr×nh chuyÓn

®éng cã kho¶ng c¸ch ®Õn mÆt ph¼ng c¬ së lµ kh«ng ®æi .

Trong kü thuËt cã nhiÒu chi tiÕt m¸y chuyÓn ®éng song ph¼ng nh− b¸nh

xe l¨n trªn mét ®−êng th¼ng, thanh biªn trong c¬ cÊu biªn tay quay, rßng räc

®éng ..v..v...

.XÐt vËt r¾n A chuyÓn ®éng song

a

y

ph¼ng cã mÆt ph¼ng c¬ së π (h×nh 8.1 )

M'

(s)

x

O

§−êng th¼ng ab thuéc vËt vu«ng gãc

víi mÆt ph¼ng c¬ së, sÏ thùc hiÖn chuyÓn

®éng tÞnh tiÕn. Mäi ®iÓm n»m trªn ®−êng

th¼ng nµy cã chuyÓn ®éng nh− nhau vµ ®−îc

®Æc tr−ng bëi chuyÓn ®éng cña ®iÓm M n¨m

trªn ab. NÕu xem vËt lµ tËp hîp v« sè c¸c

®−êng ab nh− vËy suy ra chuyÓn ®éng cña

vËt ®−îc ®Æc tr−ng bëi tiÕt diÖn S trªn mÆt

ph¼ng oxy. M« h×nh bµi to¸n chuyÓn ®éng

song ph¼ng cña vËt r¾n ®−îc ®−a vÒ nghiªn

cøu chuyÓn ®éng cña mét tiÕt diÖn (S) trong

mÆt ph¼ng oxy cña nã (h×nh 8.2) gäi t¾t lµ

b

π

H×nh 8.1

y

y₁

(S)

B

ϕ

A

x₁

x

x_A

O

H×nh 8-2

-100-

chuyÓn ®éng ph¼ng cña tiÕt diÖn S.

VÞ trÝ cña tiÕt diÖn (S) trong mÆt ph¼ng oxy ®−îc x¸c ®Þnh khi ta biÕt ®−îc

vÞ trÝ cña mét ®o¹n th¼ng AB thuéc tiÕt diÖn (S).

XÐt chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn (S) tõ

B₂

B₁

vÞ trÝ (1) x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ ®o¹n th¼ng A₁B₁

B'₁

(S)

A₁

®Õn vÞ trÝ (2) x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ cña ®o¹n

th¼ng A₂B₂( h×nh 8.3).

ϕ

²ϕ₁

A'₁

A₂

DÔ dµng thÊy r»ng ta cã thÓ thay thÕ

chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn (S) b»ng hai

chuyÓn ®éng c¬ b¶n sau :

H×nh 8-3

Cho tiÕt diÖn (S) chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo cùc A hay cùc B tõ vÞ trÝ A₁B₁

®Õn vÞ trÝ A^'₁B₂hay A₂B^'₁. TiÕp theo ta quay tiÕt diÖn S quanh A₂hay B₂mét gãc

ϕ₁hay ϕ₂. V× A₂B'₁//A'₁B₂nªn ë ®©y ϕ₁= ϕ₂= ϕ.

Cã thÓ ®i ®Õn kÕt luËn ; chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn (S) trong mÆt ph¼ng cña

nã (chuyÓn ®éng song ph¼ng ) lu«n lu«n cã thÓ ph©n tÝch thµnh hai chuyÓn ®éng:

tÞnh tiÕn theo mét t©m cùc vµ chuyÓn ®éng quay quanh t©m cùc ®ã. ChuyÓn ®éng

tÞnh tiÕn phô thuéc vµo t©m cùc nh−ng chuyÓn ®éng quay kh«ng phô thuéc vµo

t©m cùc. Nh− vËy chuyÓn ®éng song ph¼ng chÝnh lµ chuyÓn ®éng tæng hîp cña

vËt r¾n khi nã ®ång thêi tham gia hai chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc cã

ph−¬ng kh«ng ®æi vµ tÞnh tiÕn theo ph−¬ng vu«ng gãc víi trôc quay.

8.1.2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc vµ gia tèc cña vËt .

XÐt tiÕt diÖn (S) chuyÓn ®éng trong

y

mÆt ph¼ng oxy chøa nã. NÕu chän A lµ t©m

(S)

cùc vµ dùng ®o¹n th¼ng AB trªn tiÕt diÖn ta

B

ϕ

sÏ thÊy vÞ trÝ cña tiÕt diÖn (S) trong mÆt ph¼ng

A

y_A

oxy sÏ ®−îc x¸c ®Þnh nÕu ta biÕt vÞ trÝ cña cùc

x_A

x

O

A vµ ph−¬ng cña AB so víi trôc ox. Nãi kh¸c

®i, th«ng sè ®Þnh vÞ cña tiÕt diÖn (S) trong

mÆt ph¼ng oxy lµ x_A, y_A, vµ ϕ (h×nh 8.4).

H×nh 8-4

-101-

Trong thêi gian chuyÓn ®éng c¸c th«ng sè nµy biÕn ®æi theo thêi gian ta

cã :

x_A= x_A(t)

y_A= y_A(t)

(8.1)

ϕ = ϕ(t)

BiÕt quy luËt biÕn ®æi (8.1) ta cã thÓ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña tiÕt diÖn (S) ë bÊt

kü thêi ®iÓm nµo. C¸c ph−¬ng tr×nh (8.1) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña tiÕt

diÖn ph¼ng (S) trong mÆt ph¼ng cña nã (ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng song ph¼ng ).

Tõ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (8.1) ta thÊy vËn tèc vµ gia tèc cña vËt ®−îc

biÓu diÔn bëi hai thµnh phÇn : vËn tèc vµ gia tèc trong chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo

r

t©m cùc A lµ : v_A,w_A. VËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña tiÕt diÖn trong chuyÓn

®éng quay quanh t©m cùc A lµ ω, ε.

V× chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn phu thuéc t©m cùc A nªn vËn tèc vµ gia tèc trong

chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn phô thuéc vµo t©m cùc A. Ta cã :

r

v_A1≠ v_A2≠ v_Ai

r

w_A1≠ w_A2≠ w_Ai

ω

ChuyÓn ®éng quay kh«ng phô thuéc vµo

ε

O

t©m A nªn cã :

S

A

π

ω_A1= ω_A2= ω_Ai= ω

ε_A1= ε_A2= ε_Ai= ε

H×nh 8.5

VËn tèc gãc ω vµ gia tèc gãc ε cã thÓ biÓn diÔn b»ng vÐc t¬ vu«ng gãc víi

tiÕt diÖn (S) nh− h×nh( 8.5) . Khi hai vÐc t¬ nµy cïng chiÒu ta cã chuyÓn ®éng

quay nhanh dÇn vµ nÕu chóng ng−îc chiÒu cã chuyÓn ®éng quay chËm dÇn.

-102-

8.2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm

Trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng

8.2.1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng

XÐt ®iÓm M bÊt kú trªn tiÕt diÖn. Gi¶ thiÕt chän t©m cùc A cã to¹ ®é x_Ay_A

(h×nh 8-6).

y

Ký hiÖu gãc hîp gi÷a AM víi ph−¬ng

M

r'

ox lµ ϕ vµ kho¶ng c¸ch AM = b.To¹ ®é cña

ϕ

A

®iÓm M trong chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi so víi hÖ

quy chiÕu oxy cã thÓ x¸c ®Þnh :

r

r_A

O

x_M= x_A+b.cosϕ ;

y_M=y_A+ b.sinϕ ;

x

H×nh 8.6

C¸c th«ng sè x_A, y_Avµ ϕ lµ c¸c hµm cña tthêi gian, nghÜa lµ :

x_A= x_A(t) y_A= y_A(t) ϕ = ϕ(t)

Do ®ã x_M, y_Mcòng lµ hµm cña thêi gian . Ta cã :

x_M=x_M(t) = x_A(t)+b.cosϕ(t) ;

y_M=y_M(t)=y_A(t)+ b.sinϕ (t);

(8.2)

(8.2) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M.

Còng cã thÓ thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M d−íi d¹ng

vÐc t¬. Trªn h×nh 8-6 cã : r =r(t)=r_A+ r' (8.2a)

ë ®©y r' =AM cã ®é lín kh«ng ®æi b»ng b, vµ quay quanh trôc A víi vËn

tèc gãc lµ ω.

8.2.2. C¸c ®Þnh lý vËn tèc cña ®iÓm

8.2.2.1. C¸c ®Þnh lý vËn tèc cña ®iÓm trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng

§Þnh lý 8-1: VËn tèc cña mét ®iÓm bÊt kú trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng song

ph¼ng b»ng tæng h×nh häc cña vËn tèc t©m cùc A vµ vËn tèc gãc cña ®iÓm ®ã

trong chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn quay quanh trôc A víi vËn tèc gãc ω. Ta cã :

-103-

r

v_M= v_A+ v_MA.

Chøng minh ®Þnh lý : Tõ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (8-2a) ta cã :

r

dr_A

dr

dr'

r

v_M=

=

+

.

dt

r

dr_A

dr'

dt

r

Thay

= v_A;

= v_MA= ω× AM

dt

r

Ta sÏ cã v_M= v_A+ v_MA, ®Þnh lý ®−îc chøng minh. CÇn chó ý vÐc t¬ vËn

r

tèc cña ®iÓm M quay quanh A ký hiÖu lµ v_AMcã ph−¬ng vu«ng gãc víi AM, cã

chiÒu h−íng theo chiÒu quay cña vËn tèc ω (h×nh 8-6).

§Þnh lý 8-2 : §Þnh lý vÒ h×nh chiÕu vËn tèc hai ®iÓm

Trong chuyÓn ®éng song ph¼ng cña tiÕt diÖn S (chuyÓn ®éng song ph¼ng)

h×nh chiÕu vËn tèc cña hai ®iÓm bÊt kú trªn tiÕt diÖn lªn ph−¬ng nèi hai ®iÓm ®ã

lu«n lu«n b»ng nhau.

r

(

)

(

)

v_A

= v_B

AB

Chøng minh ®Þnh lý : Theo ®Þnh lý 8-1, nÕu chän A lµm t©m cùc th× vËn

tèc ®iÓm B x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :

r

v_B= v_A+ v_BAvíi v_BAvu«ng gãc

v_B

AB. ChiÕu biÓu thøc trªn lªn ph−¬ng AB ta

r

v_BA

90

cã :

(

v_B

)

=

(

v_A

)

+

(

v_BA

)

_AB. Trong ®ã :

v_A

α

v_A

AB

β

α

r

a

(

v_BA

)

= 0

v ⊥AB

v×

.

b

A

B

BA

AB

§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.

H×nh 8.7

Ta cã thÓ minh häa ®Þnh lý trªn b»ng

h×nh vÏ( 8-7). Trªn h×nh vÏ ta cã :

Aa = Bb hay v_Acosα = v_Bcosβ.

8.2.2.2. T©m vËn tèc tøc thêi - X¸c ®Þnh vËn tèc cña ®iÓm trªn tiÕt diÖn

chuyÓn ®éng ph¼ng theo t©m vËn tèc tøc thêi

- T©m vËn tèc tøc thêi lµ ®iÓm thuéc tiÕt diÖn cã vËn tèc tøc thêi

-104-

b»ng kh«ng. NÕu gäi P lµ t©m vËn tèc tøc thêi th× : v_P= 0.

§Þnh lý 8-3 : Trong chuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n t¹i mçi thêi

®iÓm lu«n lu«n tån t¹i mét vµ chØ mét t©m vËn tèc tøc thêi.

Chøng minh ®Þnh lý :

r

XÐt tiÕt diÖn (S) chuyÓn ®éng ph¼ng víi vËn tèc cña t©m cùc A lµ v_Avµ

vËn tèc gãc trong chuyÓn ®éng quay lµ ω . Quay vÐc t¬ V ®i mét gãc b»ng 90

theo chiÒu quay cña ωta sÏ dùng ®−îc tia

ω_A

∆ . Trªn tia ∆ lÊy mét ®iÓm P c¸ch A mét

A

v_A

®o¹n AP =

(h×nh 8.8)

ω

d

Theo biÓu thøc (8-2) ta cã

:

(S)

v_A

r

v_P= v_A+ v_PA. ë ®©y v_PA= ω.PA = ω

v_A

ω

P

∆

v_PA

H×nh 8.8

= v_A.

r

Ph−¬ng cña v_PAvu«ng gãc víi AP

r

h−íng theo chiÒu quay vßng cña ω nghÜa lµ v_PAcã ®é lín b»ng víi ®é lín cña

r

v_A, cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu víi v_A.

r

Thay vµo biÓu thøc tÝnh v_Pta ®−îc v_P= v_A- v_A= 0 chÝnh lµ t©m vËn tèc

tøc thêi.

Chøng minh tÝnh duy nhÊt cña t©m vËn tèc tøc thêi :

Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm trªn vËt cã hai t©m vËn tèc tøc thêi P₁vµ P₂víi v_P1=

0 vµ v_P2= 0.

r

Theo ®Þnh lý 8-1 ta cã : v_P2= v_P1+ v_P2P1hay 0 = 0 + v_P2P1

.

Thay v_P2P1= ω . P₂P₁ta thÊy v_P2P1= 0 khi ω = 0 hoÆc P₂P₁= 0. V× vËt

chuyÓn ®éng song ph¼ng nªn ω ≠ 0 vËy chØ cã thÓ P₂P₁= 0. §iÒu nµy cã nghÜa

P₁trïng víi P₂. Kh«ng thÓ cã hai t©m vËn tèc tøc thêi kh¸c nhau cïng tån t¹i ë

mét thêi ®iÓm.

-105-

- X¸c ®Þnh vËn tèc trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng theo t©m vËn tèc tøc

thêi P.

XÐt vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng cã vËn tèc gãc ω vµ t©m vËn tèc tøc thêi

P. Theo biÓu thøc (8-2) nÕu lÊy P lµm t©m cùc ta viÕt biÓu thøc vËn tèc cña ®iÓm

M nh− sau :

r

90⁰

v_A

A

v_M= v_P+ v_MP

B

90⁰

r

(S)

Thay v_P= 0 ta cã : v_M= v_MP

v_B

Nh− vËy vËn tèc tøc thêi cña ®iÓm M ®−îc

tÝnh nh− vËn tèc cña ®iÓm M trong chuyÓn ®éng cña

vËt quay tøc thêi quanh t©m vËn tèc tøc thêi P.

P

ω

b

a

H×nh 8.9

r

v_Mcã ph−¬ng vu«ng gãc víi PM, h−íng

theo chiÒu quay vßng cña ω quanh P, cã ®é lín v_M=PM . ω

Ta cã kÕt luËn : vËn tèc cña ®iÓm bÊt kú trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng

lu«n lu«n h−íng vu«ng gãc vµ tû lÖ thuËn víi kho¶ng c¸ch tõ t©m vËn tèc tøc

thêi ®Õn ®iÓm. Quy luËt ph©n bè vËn tèc c¸c ®iÓm biÓu diÔn trªn h×nh ( 8-9.).

Trong thùc hµnh cã thÓ x¸c ®Þnh t©m vËn tèc tøc thêi P theo mét sè tr−êng hîp

sau :

Tr−êng hîp 1 : VËt chuyÓn ®éng l¨n kh«ng tr−ît trªn mét ®−êng th¼ng

hay ®−êng cong ph¼ng cè ® Þnh (h×nh 8-10a) cã thÓ x¸c ®Þnh ngay ®iÓm tiÕp xóc

chÝnh lµ t©m vËn tèc tøc thêi v× r»ng ®iÓm ®ã cã vËn tèc b»ng kh«ng.

Tr−êng hîp 2: Khi biÕt ph−¬ng vËn tèc hai ®iÓm hay quü ®¹o chuyÓn ®éng

cña hai ®iÓm trªn vËt chuyÓn ®éng song ph¼ng th× t©m vËn tèc tøc thêi lµ giao

®iÓm cña hai ®−êng th¼ng kÎ vu«ng gãc víi hai ph−¬ng vËn tèc hay hai ph−¬ng

tiÕp tuyÕn cña quü ®¹o t¹i hai ®iÓm ®ã (h×nh 8-10b). Trong tr−êng hîp nµy nÕu

hai ®−êng ®ã song song víi nhau cã nghÜa t©m P ë xa v« cïng, ta nãi vËt tøc thêi

chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn (h×nh 8-10b).

Tr−êng hîp 3: Khi biÕt ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu vËn tèc hai ®iÓm n»m trªn

cïng mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi vËn tèc hai ®iÓm ®ã (h×nh 8-10c), t©m P lµ

-106-

giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng ®i qua hai mót vÐc t¬ vËn tèc vµ ®−êng th¼ng ®i qua

hai ®iÓm ®ã.

v_A

v_B

v_A

S

A

P

A

B

v_A

v_B

P

B

P

c)

PÆ∞

b)

a)

H×nh 8.10

r r

ThÝ dô 8.1: C¬ cÊu ph¼ng biÓu diÔn trªn h×nh (8-11) cã vËn tèc v_A,v_Bcña

hai con tr−ît A vµ B ®· biÕt. X¸c ®Þnh vËn tèc cña khíp C.

Bµi gi¶i:

Khi c¬ cÊu ho¹t ®éng th× c¸c thanh biªn

K

AC vµ BC chuyÓn ®éng song ph¼ng. §Ó x¸c

v_c

®Þnh vËn tèc cña ®iÓm C ta ¸p dông ®Þnh lý h×nh

C₂

v_A

C₁

chiÕu vËn tèc cho thanh AC vµ BC. V× v_Avµ v_B

C

a

b

®· biÕt nªn dÔ dµng x¸c ®Þnh ®−îc h×nh chiÕu

cña chóng lªn ph−¬ng AC vµ BC lµ Aa vµ Bb.

v_B

A

B

T¹i C kÐo dµi c¸c ®o¹n th¼ng AC vµ BC, Trªn

®ã lÊy c¸c ®iÓm C₁, C₂víi CC₁= Aa, CC₂= Bb.

H×nh 8.11

C¸c ®o¹n nµy lµ h×nh chiªó cña V_Clªn hai ph−¬ng AC vµ BC. Ta vÏ tø gi¸c

vu«ng gãc t¹i C₁vµ C₂(h×nh 8-11) ®−êng chÐo CC' cña tø gi¸c ®ã chÝnh lµ vËn

tèc V_C.

2

ThÝ dô 8-2 : Tay quay OA

1

A

quay quanh trôc O víi vËn tèc gãc

O

kh«ng ®æi n =60 vßng / phót vµ

dÉn ®éng cho thanh biªn AB g¾n

víi b¸nh xe 2 (h×nh 8-12). B¸nh xe

B

2 truyÒn chuyÓn ®éng cho b¸nh xe

H×nh 8.12

-107-

1 kh«ng g¾n víi tay quay OA nh−ng quay quanh trôc O.

X¸c ®Þnh vËn tèc con tr−ît B; VËn tèc gãc cña b¸nh xe 1 t¹i thêi ®iÓm khi

tay quay OA song song vµ vu«ng gãc víi ph−¬ng ngang.

Cho biÕt c¬ cÊu cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng vµ r₁= 50 cm ; r₂= 20 cm;

AB = 130 cm.

Bµi gi¶i :

C¬ cÊu cã 5 kh©u : b¸nh xe 1 chuyÓn ®éng quay quanh trôc O; con tr−ît B

chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo ph−¬ng ngang; Thanh AB chuyÓn ®éng song song

ph¼ng; B¸nh xe 2 chuyÓn ®éng song ph¼ng; tay quay OA chuyÓn ®éng quay

quanh O.

1) XÐt tr−êng hîp tay quay OA ë vÞ trÝ song song víi ph−¬ng ngang (h×nh

8-12a).

πn 60π

30 30

VËn tèc gãc thanh OA lµ : ω =

=

= 2π1/s.

VËn tèc ®iÓm A : v_A=OA . ω = 2π . (r₁- r₂) = 60π = 188,5 cm / s.

Trªn thanh AB cã ph−¬ng vËn tèc hai ®iÓm A vµ B ®· biÕt nªn x¸c ®Þnh

®−îc t©m vËn tèc tøc thêi P₁(h×nh 8-12a).

v_C

v_A

C

v_A

v_C

C

A

ω₂

II

ω_I

I

II

P_AB

O

P₂

A

I

v_B

b)

a)

B

H×nh 8.12

-108-

Tõ h×nh vÏ x¸c ®Þnh ®−îc :

P₂B = r₁= 50cm

P₂A = AB²− P_ABB²= 130²+ 50²=120cm

P₂C = P_AB- r₂= 120 - 20 = 100cm

X¸c ®Þnh vËn tèc cña c¸c ®iÓm A, B, C theo t©m vËn tèc tøc thêi P₂vµ vËn

tèc ω₁cña thanh AB ta cã ;

V_A= ω₂. P₂A;

V_B= ω₂. P₂B;

V_c= ω₂. P₂C;

V_A60π π

Trong ®ã : ω₂=

=

= (1/s)

P₂A 120 2

Thay vµo c¸c biÓu thøc cña V_Bvµ V_Cta cã :

π

V_B= .50 = 25π(cm/s)

2

π

V_C= .100 = 50π(cm/s)

2

V× b¸nh xe 2 ¨n khíp víi b¸nh xe 1 nªn vËn tèc ®iÓm C cßn cã thÓ x¸c

®Þnh theo c«ng thøc :

V_C

V_C= ω₁. r₁

suy ra : ω₁=

= π

(1/s)

r

1

2) Tay quay OA ë vÞ trÝ th¼ng ®øng (h×nh 8-12b).

T¹i vÞ trÝ nµy vËn tèc hai ®iÓm A vµ B song song víi nhau v× thÕ theo ®Þnh

r

lý h×nh chiÕu ta cã : V_Acosα = V_Bcosα suy ra V_A= V_B. Thanh AB tøc thêi

chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn. Mäi ®iÓm trªn nã vµ b¸nh xe 2 g¾n víi nã cã chuyÓn

®éng nh− nhau. Ta cã :

-109-

60π

50

V_B= V_C= V_A=

=188,5(cm/s) .

Ph−¬ng chiÒu cña c¸c vËn tèc biÓu diÔn trªn h×nh vÏ .

VËn tèc gãc cña b¸nh xe 1 dÔ dµng t×m ®−îc :

v_c

r₁

60π 6

= π

ω_r=

=

(rad/s)

50

5

ThÝ dô 8-3: tay quay OA quay quanh O víi vËn tèc gãc ω_oA, truyÒn

chuyÓn ®éng cho b¸nh r¨ng I ¨n khíp víi b¸nh r¨ng II cè ®Þnh. Hai b¸nh r¨ng cã

b¸n kÝnh nh− nhau vµ b»ng R. Thanh truyÒn BD cã ®Çu B liªn kÕt víi b¸nh xe I

b»ng khíp b¶n lÒ cßn ®Çu D nèi

b»ng khíp b¶n lÒ víi tay quay CD

(h×nh 8-13).

II

I

P

A

O

v_A

X¸c ®Þnh vËn tèc gãc cña

thanh truyÒn BD t¹i thêi ®iÓm cã

gãc BDC = 45⁰. Cho BD = 1 (cm).

P

B

45⁰

C

90⁰

v_B

P₁

Bµi gi¶i :

45⁰

Trong c¬ cÊu b¸nh r¨ng I vµ

thanh truyÒn BD chuyÓn ®éng song

ph¼ng. B¸nh r¨ng 1 cã t©m vËn tèc

tøc thêi P. VËn tèc ®iÓm A ®−îc

tÝnh nh− sau :

90⁰

D

H×nh 8.13

V_A=ω_OA. 2R.

r

V_Ah−íng vu«ng gãc víi OA theo chiÒu quay vßng cña ω_OA. Suy ra vËn

tèc gãc cña b¸nh r¨ng 1 :

2R.ω_OA

V_A

R

ω₁=

=

= 2ω_OA.

R

VËn tèc ®iÓm B cã ®é lín :

-110-

V_B= PB.ω1= 2R.ω₁= 2 2Rω_OA.

V_BCã ph−¬ng vu«ng gãc víi víi PB cã chiÒu theo chiÒu quay cña b¸nh

r¨ng 1 quanh P (h×nh vÏ 8-13).

Thanh BD chuyÓn ®éng song ph¼ng, §Çu B cã vËn tèc ®· x¸c ®Þnh, ®Çu D

cã ph−¬ng vËn tèc vu«ng gãc víi CD do ®ã nhËn ®−îc t©m vËn tèc thøc thêi P₁

nh− trªn h×nh vÏ .

1 2

Trªn h×nh ta cã P B =

. VËn tèc ®iÓm B ®−îc x¸c ®Þnh theo P₁:

1

2

V_B

R

V_B= P₁.B.ω_BD

suy ra :ω_BD=

= 4. ω_OA

P B

1

ChiÒu quay cña ω_BDnh− h×nh vÏ.

8.2.3. Gia tèc cña ®iÓm

8.2.3.1. §Þnh lý 8-3 : Gia tèc cña ®iÓm M bÊt kú thuéc tiÕt diÖn (S)

chuyÓn ®éng song ph¼ng, b»ng tæng h×nh häc gia tèc cña t©m cùc A vµ gia tèc

cña ®iÓm M trong chuyÓn ®éng cña tiÕt diÖn quay quanh A (h×nh 8-14).

r

w_M= w_A+ w_MA

(8-4)

r

r _τ

r _n

Trong ®ã : w_MA= w_MA+ w_MA

Víi : W^τ_MA= ε.AM vµ Wⁿ_MA= ω².AM

Chøng minh ®Þnh lý :

§¹o hµm bËc hai theo thêi gian ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (8-2) ta cã :

r

d²r d²r_Ad²r'

w_M=

=

+

dt²

r

d²r_A

d²r' d r

r

= w_Acßn

=

(

ω× AM

)

= w_MA

Thay

dt²

dt²dt

r

dω

d

w_MA

=

× AM + ω× AM = ε × AM + V_MA

dt

-111-

r

d

Víi chó ý AM cã ®é lín kh«ng ®æi nªn

(

AM

)

= ω× AM = V_MA

dt

r

Ta cã :w_M= w_A+ ε × AM + ω× V_MA

r

ε × AM lµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña M trong chuyÓn ®éng cña (S) quay

quanh A.

r

ω× V_MAlµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña M trong chuyÓn ®éng cña (S) quay

quanh A. Ta ®· chøng minh ®−îc :

r

r _τ

r _n

w_M= w_A+ w_MA+ w_MA

V× c¸c vÐc t¬ ω cã ph−¬ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña tiÕt diÖn nghÜa lµ

r

vu«ng gãc víi AM vµ V_MAnªn dÔ dµng t×m ®−îc :

W_MA^τ= AM . ε cßn W_MAⁿ= AM . ω²

Suy ra : w_MA= AM. ε²+ ω⁴

ε

ω²

r

VÐc t¬ w_MAcã ph−¬ng hîp víi AM mét gãc µ víi tgµ =

(h×nh 8.14).

8.2.3.2. T©m gia tèc tøc thêi

§iÓm trªn tiÕt diÖn cã gia tèc tøc thêi b»ng kh«ng gäi lµ t©m gia tèc tøc

thêi. Ký hiÖu t©m gia tèc tøc thêi lµ J . Ta cã : W_j= 0.

§Þnh lý 8-4 :

T¹i mçi thêi ®iÓm trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng song ph¼ng lu«n tån t¹i mét

vµ chØ mét t©m gia tèc tøc thêi J.

Chøng minh tÝnh tån t¹i cña t©m gia tèc tøc thêi : gi¶ thiÕt tiÕt diÖn chuyÓn

®éng song ph¼ng víi vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc lµ ω vµ ε. Trªn tiÕt diÖn cã ®iÓm

A biÕt gia tèc W_A(h×nh 8-15). Xoay W_Atheo chiÒu quay cña ε quanh A ®i mét

ε

gãc µ víi tgµ =

. Dùng nöa ®−êng th¼ng Ax theo ph−¬ng ®ã.vµ lÊy trªn Ax

ω²

-112-

w_A

ε²+ ω⁴

mét ®iÓm J c¸ch A mét ®o¹n AJ =

.

§iÓm J ®ã cã gia tèc :

r

w_J= w_A+ w_JA

Trong ®ã W_JAcã ®é lín b»ng w = AJ. ε²+ ω⁴.'

JA

w_Aε²+ ω⁴

w_A

ε²+ ω⁴

Thay AJ =

. Ta ®−îc : w_JA=

= w_A.

ε²+ ω⁴

ε

r

tgµ =

h−íng theo chiÒu quay cña ε

w_JAhîp víi AJ mét gãc µ víi

ω²

r

quanh A. Nh− trªn h×nh vÏ (8-15) ta thÊy hai vÐc t¬ gia tèc w_Avµ w_JAcã ®é lín

b»ng nhau song song vµ ng−îc chiÒu do ®ã :

r

w_J= w_A+ w_JA= 0

x

w_A

w_M

w_A

w_M

µ

ε

A

w_B

w_C

µ

w_A

J

µ

w_M

ϕ

B

w_A

M

C

ω

ε

µ

w_A

ε

A

J

H×nh 8.16

H×nh 8.15

H×nh 8.14

§iÓm J chÝnh lµ t©m gia tèc tøc thêi cña tiÕt diÖn .

TiÕp theo ta chøng minh tÝnh duy nhÊt cña t©m gia tèc tøc thêi J : gi¶ thiÕt

t¹i thêi ®iÓm trªn tiÕt diÖn cã hai t©m gia tèc tøc thêi J₁vµ J₂.

Khi ®ã W_J1= 0 vµ W_J2= 0.

Theo biÓu thøc (4-8) ta cã thÓ viÕt :

r

w_J2= w_J1+ w_J2J1

.

Thay W_J1= 0 vµ W_J2= 0 vµo biÓu thøc trªn ta ®−îc W_J2J1= 0.

-113-

V× w_J2J1= J₂J₁ε²+ ω⁴trong ®ã ε ≠ 0

ω ≠ 0

nªn W_J2J1chØ cã thÓ b»ng kh«ng khi J₂J₁= 0 nghÜa lµ J₂trïng víi J₁.

Kh«ng thÓ cã hai t©m gia tèc cïng mét thêi ®iÓm trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng

ph¼ng.

NÕu trªn tiÕt diÖn cã mét t©m gia tèc tøc thêi J vµ chän J lµ t©m cùc th×

gia tèc cña ®iÓm M trªn tiÕt diÖn cã thÓ x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :

r

w_M= w_J+ w_MJ.

V× w_J= 0 nªn cã thÓ viÕt :

r

r _τ

r _n

w_M= w_MJ= w_MJ+ w_MJ.

VÒ trÞ sè w_M= MJ. ε²+ ω⁴cã ph−¬ng hîp víi MJ mét gãc µ víi

ε

ω²

tgµ =

theo chiÒu quay cña ε quanh J (h×nh 8-16). Nh− vËy ta nhËn thÊy gia

tèc cña c¸c ®iÓm trªn tiÕt diÖn chuyÓn ®éng song ph¼ng lu«n lu«n hîp víi

bè gia tèc c¸c ®iÓm trªn tiÕt diÖn biÓu diÔn nh− trªn h×nh (8-16). Còng tõ c¸c

diÔn trªn c¸c h×nh (8-17), (8-18) , (8-19), (8-20), (8-21), (8-22).

ε

w_B

B

A

α

J

α

J

A

α

w_B

B

J

α

w_B

w_A

H×nh 8.17

w_A

H×nh 8.18

H×nh 8.19

-114-

w_A

w_B

ε

w_B

ε

µ

A

w

A

_AB

B

J --> ∞

µ

B

J

α

w_A

J

B

H×nh 8.22

H×nh 8.20

H×nh 8.21

Trªn h×nh (8-17) vµ (8-18) khi 0<µ<90⁰;ω ≠ 0,ε ≠ 0

Trªn h×nh (8-19) vµ (8-20) khi µ=90⁰;ω ≠ 0,ε ≠ 0

Trªn h×nh (8-21) vµ (8-22) khi µ = 0;ω ≠ 0,ε = 0

r

Trªn h×nh (8-23) w_A= w_B.

ThÝ dô 8-4 : B¸nh xe tÇu ho¶, b¸n kÝnh vµnh ngoµi R b¸n kÝnh vµnh l¨n lµ

r l¨n kh«ng tr−ît trªn ray th¼ng. Cho biÕt vËn tèc vµ gia tèc cña tÇu lµ Vc = 0,4

m/s vµ W_C= 0,2 m/s². X¸c ®Þnh gia tèc

w^τ_MC

w_C

cña c¸c ®iÓm M₁, M_2,M₃, M₄trªn vµnh

ngoµi cña b¸nh xe t¹i thêi ®iÓm ®ang

xÐt nh− h×nh (8-23). BiÕt r = 40cm, R =

50cm.

M₂

wⁿ

ε

ω

MC

w₂

w₁

w^τ_MC

M₁

wⁿ

w_C

M₃

MC

wⁿ

w_C

Bµi gi¶i :

MC

C

w^τ_MC

w₃

B¸nh xe chuyÓn ®éng song

wⁿ

w₄

MC

w^τ_MC

Tr−íc hÕt x¸c ®Þnh vËn tèc gãc

w_C

M₄

vµ gia tèc gãc cña b¸nh xe.

H×nh 8.23

Cã thÓ x¸c ®Þnh vËn tèc gãc theo

v_Cv_C

0,4

ω =

=

=1(rad/s).

PC

r

Gia tèc gãc :

-115-

v

dv_Cw_C

dω d

1

0,2

⎛

⎝

⎞

⎟

= 0,59(rad/s²)

C

ε =

=

= .

r dt

=

⎜

dt dt r

r

0,4

⎠

X¸c ®Þnh gia tèc c¸c ®iÓm M theo biÕu thøc :

r

r _r

r _n

r _rr _n

C¸c vÐc t¬ w_MC,w_MCcña c¸c ®iÓm cã trÞ sè nh− nhau, chØ kh¸c nhau vÒ

ph−¬ng chiÒu.

τ

VÒ ®é lín ta cã : W_MC= CM.ε = R.ε =0,5.0,5 = 0,25 m/s²;

W_MCⁿ= CM.ω²= R.ω²= 0,5.1²= 0,5 m/s²;

Ph−¬ng chiÒu c¸c vÐc t¬ nµy ë c¸c ®iÓm biÓu diÔn trªn h×nh vÏ. C¨n cø vµo

h×nh vÏ vµ trÞ sè ®· thu ®−îc ta cã thÓ tÝnh gia tèc c¸c ®iÓm M₁, M_2,M₃, M₄nh−

sau :

2

w₁=

w₂=

w₃=

w₄=

(

w_C+ wⁿ_MC

)

+ w^τ_MC

=

(

0,2 + 0,5

)

+ 0,25²= 0,74m/s²

2

(

w_C+ w^τ_MC

)

+ wⁿ_MC

+ w^τ_MC

+ wⁿ_MC

(

0,2 + 0,25

)

+ 0,5²= 0,67m/s²

2

(

w_Cⁿ_M+ w_C

)

(

0,5 + 0,2

)

+ 0,25²= 0,39m/s²

2

(

w_C^τ_M+ w_C

)

(

0,25 + 0,2

)

+ 0,5²= 0,50m/s²

ThÝ dô 8-5 : Tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω_OA. T×m gia tèc cña

con tr−ît B vµ gia tèc gãc cña thanh AB trªn c¬

v_A

A

J

cÊu h×nh vÏ (8-24). Cho biÕt t¹i thêi ®iÓm kh¶o

s¸t gãc BOA = 90⁰; ®é dµi OA = r ; AB = 1.

r

ε

w A

l

r

Bµi gi¶i :

ω₀

w_B

v_B

O

T¹i vÞ trÝ kh¶o s¸t cã :v_A= v_B

B

H×nh 8.24

Thanh AB tøc thêi chuyÓn ®éng tÞnh

tiÕn: ω_AB= 0

n

Gia tèc ®iÓm A b»ng : W_A= W_A= rω₀²cã ph−¬ng chiÒu h−íng tõ A vµo O.

-116-

Gia tèc ®iÓm B lu«n cã ph−¬ng n»m ngang.

ε

ω²

tgµ =

= ∞

do ®ã µ = 90⁰

®−êng th¼ng h¹ vu«ng gãc víi ph−¬ng W_Avµ W_Bt¹i A vµ B.

V× ω_AB= 0 nªn cã thÓ viÕt : W_A=JA.ε_AB

; W_B=JB.ε_AB

w_Aw_B

Suy ra :

=

,

JA JB

r²

l²− r²

.ω²rad/s²

r

Ph−¬ng cña w_Btheo ph−¬ng ngang, chiÒu h−íng theo chiÒu quay vßng

cña ε_ABquanh J nh− h×nh vÏ.

w_A

JA

w_A

l²− r²

Tõ biÓu thøc : W_A= JA.ε_ABsuy ra ε_AB=

=

.ω²rad/s²

r

Thay W_A= r.ω₀²ta ®−îc : ε_AB=

.ω²rad/s²

l²− r²

ThÝ dô 8-6 : Cho c¬ cÊu gåm hai b¸nh r¨ng ¨n khíp víi nhau. B¸nh r¨ng

1 b¸n kÝnh r₁= 0,3 m cè ®Þnh; B¸nh

2

r¨ng 2 b¸n kÝnh r₂= 0,2 m l¨n trªn vµnh

ε₂

b¸nh r¨ng 1 vµ nhËn chuyÓn ®éng tõ

tay quay OA quay víi vËn tèc gãc lµ

ω_OAvµ gia tèc gãc ε_OA(h×nh 8-25a).

y

w_A

ω₂

τ

w^τ_D

v_A

D

w_An

ε₂

wⁿ

P

A

D

x

w_A

ω

ε

τ

ω₂

w_An

X¸c ®Þnh gia tèc ®iÓm D trªn

vµnh b¸nh r¨ng 2 t¹i thêi ®iÓm cã ;

O

b)

a)

1

H×nh 8.25

ω_OA=1 rad/s²

vµ ε_OA= =4 rad/s².

-117-

Bµi gi¶i : B¸nh r¨ng 2 chuyÓn ®éng song ph¼ng. VËn tèc vµ gia tèc cña

v_A= OA.ω_OA= 0,5 m/s ;

τ

n

W_A= OA.ε_OA= -2 m/s²;

W_A= OA.ω²= 0,5 m/s².

Ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc gãc ω₂cña b¸nh r¨ng 2 :

v_A0,5

ω₂=

=

= 2,5rad/s

r₂0,2

ChiÒu quay cña ω₂nh− h×nh vÏ (8-25).

Gia tèc gãc ε₂cña b¸nh r¨ng 2 ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc :

dω₂

dt

dv_Aw_a^τ

l

− 2

0,2

ε₂=

= .

=

= −10rad/s²

r²dt

r₂

§iÒu nµy chøng tá b¸nh r¨ng 2 chuyÓn ®éng chËm dÇn, chiÒu cña ε₂ng−îc

chiÒu víi ω₂.

Gia tèc ®iÓm D cã thÓ viÕt :

r _τ

r

r _n

w_D= w^τ_A+ wⁿ_A+ w_DA+ w_DA

(a)

T¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t cã :

τ

W_DA= DA.ε₂= r₂ε₂= 0,2.(10) = 2 m/s²;

W_DAⁿ= DA.ω₂= r₂ω₂²= 0,2.(2,5)²= 1,25 m/s².

ChiÕu hai vÕ ®¼ng thøc (a) lªn hai trôc Dx vµ Dy (h×nh 8-25b) ta ®−îc :

τ

n

W_Dx= W_A+ W_DA= 2 + 1,25 = 3,25 m/s²;

τ

n

W_Dy= W_DA- W_A= 2 - 0,5 = 1,5 m/s².

Suy ra :

w_D= w²_Dx+ w²_Dy= 3,25²+1,5²≈ 3,58m/s²