Bài giảng Cơ học đại cương (Cơ học vật rắn – dao động và sóng cơ)

§¹i häc ®µ n½ng

Tr−êng ®¹i häc B¸ch KHOA

khoa s− ph¹m kü thuËt

-------¶

·-------

bµi gi¶ng

c¬ häc ®¹i c−¬ng - MÐcanique gÐnÐrale

(C¥ Häc vËt r¾n – dao ®éng vµ sãng c¬)

dïng cho sinh viªn ch−¬ng tr×nh ®µo t¹o kü s− chÊt l−îng cao

(L¦U HµNH NéI Bé)

Biªn so¹n :

L£ CUNG - Khoa s− ph¹m kü thuËt

®µ n¨ng 2006

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

PHÁN I :

CÅ HOC VÁT RÀN

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

Chæång än táp:

MÄT SÄ KHAI NIÃM VA ÂËNH LY CÅ BAN

CUA ÂÄNG HOC VA ÂÄNG LÆC HOC HÃ CHÁT

§1. Håp ván täc - Håp gia täc :

Xet hã quy chiãu (R₂) chuyãn âäng tæång âäi so våi hã quy

e_z2

G G

G

chiãu (R₁). Goi (O ;e_x1,e_y1,e_z1) va (O₂;e_x2,e_y2,e_z2) la hai hã

1

e_z1

(R₂)

toa âä Descartes lán læåt gàn liãn våi (R₁) va (R₂).

1) Chuyãn âäng tæång âäi cua hai hã quy chiãu :

O₂

a) Vectå quay :

G

(R )

e_y2

1

Vectå quay

cua hã quy chiãu (R₂) âäi våi hã quy

Ω_{R2 / R1}

e_x2

O₁

chiãu (R₁) :

G

våi

:

e_y1

Ω_R2/R1= Ω_x2.e_x2+ Ω_y2.e_y2+ Ω_z2.e_z2

G

de

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

G

y2

Suy ra :

Ω_x2(t) = e_z2.

e_x1

dt

/ R1

G

de

G

⎛

⎞

x2

= Ω_{R2/ R1}× e_x2

⎜

⎝

⎟

⎠

dt

/ R1

G

de

⎛

⎞

G

de

y2

⎛

⎞

z2

= Ω_{R2/ R1}×e_y2

Ω_y2(t) = e_x2.

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎟

dt

⎝

⎠

/ R1

G

de

G

⎛

⎞

⎛

⎞

x2

z2

Ω_z2(t) = e_y2.

= Ω_{R2/ R1}× e_z2

⎜

⎟

⎜

⎟

dt

⎝

⎠

⎝

⎠

/ R1

G

Vectå

âàc træng cho chuyãn âäng quay cua hã (R₂) âäi våi hã (R₁) va âæåc goi la vectå

Ω_{R2 / R1}

quay keo theo.

b) Træång håp (R₂) chuyãn âäng tënh tiãn tæång âäi so våi (R₁) :

G

Ta co :

Ω_{R2 / R1}= 0

G

z2

de

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

de

⎛

⎞

⎛

⎞

y2

x2

;

⇒

;

= 0

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎝

⎟

⎠

dt

/ R1

z₂

z₁

(R₂)

O₂

(R )

1

y₂

O₁

x₂

y₁

x₁

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

va moi vectå gàn liãn våi hã quy chiãu (R₂) âãu la khäng âäi trong hã

Cac vectå

e_x2,e_y2,e_z2

⇒

quy chiãu (R₁).

JJJJJG

⎛

⎞

⎟

⎠

G

dO O₂

1

Ván täc

âàc træng cho chuyãn âäng tënh tiãn cua hã (R₂) so våi hã (R₁).

v(O₂)_{/ R1}

=

⎜

⎝

dt

/ R1

b) Træång håp hã (R₂) quay tæång âäi xung quanh mät truc cä âënh cua hã (R₁):

Gia sæ hã quy chiãu (R₂) quay xung quanh truc cä âënh (O₁z₁)

cua hã quy chiãu (R₁) va gia sæ O₁= O₂, hai truc (O₁z₁) va (O₂z₂)

trung nhau.

z₁= z₂

G

Ω

R₂/R1

Vectå quay cua hã quy chiãu (R₂) âäi våi hã quy chiãu (R₁) :

G

ꢀ

Ω_R2/R1=θ.e_z1

O₁= O₂

JJJG JJJG

y₂

Trong âo :

θ = (O_x1,O_x2) = (O_y1,O_y2)

θ

b) Træång håp täng quat :

Trong træång håp täng quat, chuyãn âäng tæång âäi cua hã (R₂)

cua so våi hã (R₁) co thã xem la håp cua hai chuyãn âäng :

y₁

x₁

x₂

JJJJJG

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

G

dO O₂

1

• Chuyãn âäng tënh tiãn våi ván täc :

v(O₂)_{/ R1}

=

dt

/ R1

G

• Chuyãn âäng quay våi vectå quay

co phæång chiãu thay âäi theo thåi gian.

Ω_R2/R1

2) Âao ham cua mät vectå trong hã (R₁) va trong hã (R₂):

G

Xet mät vectå

phu thuäc vao thåi gian t va âæåc mä ta trong cå så

cua hã (R )

(e_x2,e_y2,e_z2)

U (t)

2

G

nhæ sau :

U(t) =U_x2.e_x2+U_y2.e_y2+U_z2.e_z2

G

dU

dt

G

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

G

dU

dt

dU

dt

dU

2

=

^x2.e_x2+

^y2.e_y2+

^z2.e_z2

Âao ham cua

trong hã (R ) :

U (t)

dt

⎠

/ R2

G

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

dU

dt

dU

dt

trong hã (R ) :

U (t)

1

=

+ Ω_{R2/ R1}×U

/ R1

/ R2

3) Håp ván täc :

Xet hã quy chiãu (R₂) chuyãn âäng tæång âäi so våi hã quy chiãu (R₁). Xet mät âiãm M chuyãn

JJJJJG

⎛

⎞

G

dO₂M

dt

âäng våi ván täc

trong hã quy chiãu (R₂):

va chuyãn âäng våi

v(M )_{/ R2}

v(M )_{/ R}

=

⎜

⎟

2

⎝

⎠

/ R ₂

JJJJJG

⎛

⎞

G

dO M

1

ván täc

trong hã quy chiãu (R₁) :

v(M )_{/ R1}

v(M ) =

⎜

⎟

⎠

/ R

1

dt

⎝

/ R₁

G

Âënh ly håp ván täc : v(M)_{/ R1}=v_e(M) + v(M)_{/ R2}

JJJJJG

G

⎛

⎞

G

dO O₂

1

Trong âo :

v_e(M ) = v(O₂)_{/ R1}+ Ω_{R2 / R1}× O₂M

_;v(O ) =

⎜

⎟

2

/ R

1

dt

⎝

⎠

/ R₁

G

âæåc goi la ván täc theo cua âiãm M.

v_e(M )

4

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

Ván täc theo

cua âiãm M, tai thåi âiãm âang xet, chênh la ván täc trong hã (R ) cua âiãm

v_e(M )

1

M* gàn liãn våi hã (R₂) va tai thåi âiãm âang xet M* trung våi âiãm M. M* goi la trung âiãm

G

cua M tai thåi âiãm noi trãn :

v_e(M ) = v(M*)_{/ R1}

4) Håp gia täc :

Xet hã quy chiãu (R₂) chuyãn âäng tæång âäi so våi hã quy chiãu (R₁). Xet mät âiãm M chuyãn

G

âäng trong hã quy chiãu (R₂) våi gia täc

va trong hã quy chiãu (R₁) våi gia täc

a(M )_{/ R2}

G

.

a(M )_{/ R1}

G

Âënh ly håp gia täc : a(M )_{/ R1}= a_e(M) + a_C(M) + a(M )_{/ R2}

G

JJJJJG

G

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

G

dΩ_{R2/ R1}

Trong âo :

a (M) = a(O ) +

×O₂M + Ω_{R2/ R1}×(Ω_{R2/ R1}×O₂M)

e

2 R1

dt

/ R1

G

âæåc goi la gia täc theo cua âiãm M.

a_e(M )

G

Gia täc theo

cua âiãm M, tai thåi âiãm âang xet, chênh la gia täc trong hã (R ) cua trung

a_e(M )

1

G

âiãm M* cua âiãm M tai thåi âiãm noi trãn :

a_e(M ) = a(M*)_{/ R1}

G

Va :

a_C(M ) = 2Ω_{R2 / R1}× v(M )_{/ R2}

âæåc goi la gia täc Coriolis cua âiãm M.

G

a_C(M )

5) Cac træång håp chuyãn âäng âàc biãt cua (R₂) âäi våi (R₁):

a) Hã (R₂) chuyãn âäng tënh tiãn âäi våi hã (R₁) :

z₁= z₂

H

G

Ta co :

Ω_R2/R1=0

G

Do âo :

v_e(M)=v(O )_/R1

2

M = M*

G

a_e(M) =a(O )_/R1

2

y₂

G

Ω

R2/R1

a_C(M) =0

O₁= O₂

θ

b) Hã (R₂) quay quanh mät truc cä âënh cua (R₁) :

Gia sæ hã quy chiãu (R₂) quay xung quanh truc cä

âënh (O₁z₁) cua hã quy chiãu (R₁) va gia sæ O₁= O₂,

hai truc (O₁z₁) va (O₂z₂) trung nhau.

y₁

x₁

θ

x₂

Vectå quay cua hã quy chiãu (R₂) âäi våi hã quy

G

ꢀ

chiãu (R₁) : Ω_R2/R1=θ.e_z1

Trong træång håp nay, ta co :

G

(do O₂cä âënh trong R₁)

v(O₂)_{/ R1}= 0

JJJJG

G

ꢀ

v_e(M ) =θ.e_z1× HM

G

a(O₂)_{/ R1}= 0

JJJJG

G

2

ꢀꢀ

ꢀ

a_e(M ) =θ.e_z1× HM −θ .HM

Trong âo : H la hçnh chiãu cua M trãn truc quay Oz₁= Oz₂.

JJJJG

G

ꢀꢀ

vuäng goc våi

a_τ=θ.e_z1× HM

•Ghi chu : Gia täc

gäm hai thanh phán : Thanh phán

a_e(M )

JJJJG

G

2

ꢀ

HM (gia täc tiãp tuyãn) va thanh phán a_n= −θ .HM hæång tæ M vã H (gia täc hæång tám).

5

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

§2. Khäê læång va khäi tám cua hã chát - Hã quy chiãu khäi tám :

2) Khäi læång cua hã :

• Xet mät hã chát (S) gäm n chát âiãm M_ikhäi læång m_i.

(dV)

(V)

Khäi læång m cua hã (S) :

M

m =

m

i

∑

i

• Nãu hã (S) la mät táp håp vä han cac chát âiãm phán bä liãn tuc

trong thã têch V, khäi læång m cua hã:

^{m =}∫∫∫^{ρ(M ).dV}

V

Våi : ρ(Μ) la khäi læång riãng cua phán tä thã têch dV cua hã bao quanh âiãm M (khäi læång cua

phán tä dV: ).

dm = ρ(M ).dV

• Hã goi la âäng nhát nãu nhæ khäi læång riãng ρ = hàng sä va khäng phu thuäc vao âiãm M.

2) Khäi tám (Quan tám) :

Xet mät hã kên (S) (khäng trao âäi chát våi mäi træång ngoai bao quanh hã) gäm n chát âiãm M_i

co khäi læång m_i. Goi O la mät âiãm bát ky.

Khäi tám G cua hã (S) âæåc xac âënh båi :

JJJJJG

JJJK

våi :

m.OG = m .OM

m =

m

i

∑

i

JJJJJG

m .GM = 0

Nãu chon O å G:

thç :

O ≡ G

∑

i

Ghi chu :

• Gia sæ hã (S) bao gäm tæ hai hã (S₁) va (S₂) lán læåt co khäi tám la G₁va G₂, co khäi læång la

m₁va m₂, khäi tám chung G cua hã (S) âæåc xac âënh båi :

JJJJG

JJJK

(m₁+ m₂).OG = m₁.OG₁+ m₂.OG₂

• Khi mät hã la âäng nhát va co mät phán tæ âäi xæng (màt âäi xæng, truc âäi xæng..), khäi tám

G cua hã se nàm trãn phán tæ âäi xæng nay.

3) Hã quy chiãu khäi tám:

Chuyãn âäng cua hã chát (S) âæåc nghiãn cæu trong hã quy chiãu (R).

Hã quy chiãu khäi tám (R*), tæång æng våi hã quy chiãu (R), la hã quy chiãu gàn liãn våi khäi

G

tám G cua hã chát (S) va chuyãn âäng tënh tiãn âäi våi hã quy chiãu (R) våi ván täc v(G)_{/ R}

.

Khi âo, theo âënh ly håp ván täc va håp gia täc, ta co:

z

G

v(M )_{/ R}= v (G)_{/ R}+ v(M ) *

z

G

(R*)

våi :

v(M )* = v(M )_{/ R*}

G

a(M )_{/ R}= a(G)_{/ R}+ a(M ) *

(R)

x

G

y

våi :

a(M )* = a(M )_{/ R*}

O

y

Chæng minh:

x

Do hã (R*) chuyãn âäng tënh tiãn trong hã (R), nãn:

G

;

v_e(M) = v(G)_{/ R}a_e(M ) = a(G)_{/ R}a_C(M ) = 0

6

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

Thã ma:

⇒

v(M)_{/ R}= v_e(M) +v(M)_{/ R*}

G

v(M )_{/ R}= v (G)_{/ R}+ v(M ) *

G

Va :

⇒

a(M )_{/ R}= a_e(M ) + a_C(M ) + a(M )_{/ R*}

G

a(M )_{/ R}= a(G)_{/ R}+ a(M ) *

§3. Âäng læång va momen âäng læång cua mät hã chát:

1) Âäng læång :

a) Âënh nghéa :

G

Xet hã (S) gäm n chát âiãm M_ico khäi læång m_i, co ván täc v_itrong hã quy chiãu (R).

G

Âäng læång P cua hã (S) trong hã quy chiãu (R) :

G

P = m .v

∑

i

Cung co thã viãt:

JJJJJG

JJJG

mOG

G

dOM_id ⎛

⎞

d

P =

m

=

⎜

m OM =

(

)

∑

i

⎟

dt

i

⎝

i

⎠

G

⇒

våi :

P=m.v(G)

m =

m

i

∑

i

b) Âäng læång trong hã quy chiãu khäi tám (R*) :

Trong hã quy chiãu khäi tám (R*), khäi tám G la âiãm cä âënh ⇒ Ván täc cua khäi tám G trong

G

hã quy chiãu khäi tám (R*) :

⇒ Âäng læång P* cua hã (S) trong hã quy chiãu khäi

v(G)*=0

P* = m.v(G)* = 0

G

tám (R*) :

2) Momen âäng læång :

a) Âënh nghéa :

G

Xet mät hã (S) gäm n chát âiãm M_ico khäi læång m_i, co ván täc v_itrong hã quy chiãu (R).

G

Momen âäng læång L₀cua hã (S) âäi våi mät âiãm O trong hã quy chiãu (R) :

JJJJJG

G

L = OM × m v

∑

0

i

i i

i

b) Âënh ly Koenig vã momen âäng læång :

G

• Momen âäng læång

cua hã (S) âäi våi âiãm O trong hã quy chiãu (R) :

L₀

JJJG

G

L₀= OG × mv(G) + L_G*

G

våi :

: Momen âäng læång cua hã (S) âäi våi âiãm G trong hã quy chiãu (R*); G la khäi

L_G*

G

tám cua hã;

: Ván täc cua khäi tám G trong hã quy chiãu (R).

v(G)

G

• Suy ra, momen âäng læång

cua hã (S) âäi våi khäi tám G trong hã quy chiãu (R) :

L_G

JJJG

G

⇒ L_G= L_G*

L_G= GG × mv(G) + L_G*

3) Mämen âäng læång khäi tám:

Momen âäng læång cua mät hã (S) trong hã quy chiãu khäi tám (R*) khäng phu thuäc vao âiãm

tênh toan.

7

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

Thát váy, goi A la mät âiãm bát ky,

la momen âäng læång cua hã (S) âäi våi âiãm A trong

L_A*

G

hã quy chiãu (R*), v^*la ván täc cua âiãm M_itrong hã quy chiãu khäi tám (R*), ta co:

i

JJJJJG

JJJG JJJJJG

JJJG

JJJJJG

GM × m v^*

G

L * = AM × m v^*=

AG + GM × m v^*= AG ×

m v^*+

(

)

(

)

(

)

∑

A

i

i i

i

G

Gⁱ

G

m v^*= 0

Båi vç:

Suy ra:

L_A*= L_G*

P* =

(

)

∑

i

4) Momen âäng læång âäi våi mät truc :

G

Hçnh chiãu cua momen âäng læång

cua hã chát (S) âäi våi âiãm O, trãn truc ∆ âi qua O âæåc

L₀

goi la momen âäng læång cua hã (S) âäi våi truc ∆.

G

vectå âån vë cua truc ∆

e_∆

G

våi :

L_∆= L₀.e_∆

§4. Täng âäng læc va mämen âäng læc cua mät hã chát :

1) Täng âäng læc:

G

Xet hã (S) gäm n chát âiãm M_ico khäi læång m_i, co gia täc a_itrong hã quy chiãu (R).

G

• Täng âäng læc S cua hã (S) trong hã quy chiãu (R):

G

S = m a

∑

i

• Tæång tæ nhæ âäng læång, ta co:

G

S = ma(G)

våi :

m =

m

∑

i

G

dv_id ⎛

G ⎞

d

G

Chæng minh:

S =

m

=

⎜

m v =

mv = ma(G)

(

)

∑

i

G

⎟

dt dt

dt

i

⎝

i

⎠

G

dP

• Giæa täng âäng læc S va âäng læång P co hã thæc:

S =

dt

2) Momen âäng læc:

G

• Momen âäng læc D_Ocua hã (S) âäi våi mät âiãm O trong hã quy chiãu (R):

JJJJJG

G

D = OM ×m a

∑

O

i

i i

i

• Tæång tæ momen âäng læång, cung co âënh ly Koenig vã momen âäng læc:

JJJG

G

D_O= OG × ma(G) + D_G^*

G

D_G^*

: momen âäng læc cua hã (S) âäi våi khäi tám G trong hã quy chiãu khäi tám (R*); G la khäi

G

tám cua hã,

la gia täc cua khäi tám G trong hã quy chiãu (R).

a(G)

G

• Suy ra momen âäng læc D_Gcua hã chát (S) âäi våi khäi tám G trong hã quy chiãu (R) :

G

JJJG

G

D = D *

⇒

.

D_G= GG × ma(G) + D_G*

G

• Tæång tæ momen âäng læång, momen âäng læc âäi våi hã quy chiãu khäi tám (R*) khäng phu

thuäc vao âiãm tênh toan. Nãu goi A la mät âiãm bát ky, ta co:

G

D_A^*= D^*

^GG

G

dL_O

G

• Giæa

va

ta co hã thæc:

D_O

L_O

= D_O− v(O)×mv(G)

dt

8

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

dL_O

Nãu O la mät âiãm cä âënh trong (R) hay

thç:

O ≡ G

= D_O

dt

Chæng minh:

G

JJJJJG

i

dL_Od ⎛

dt

G ⎞

G

i i

Ta co:

=

⎜

OM × m v =

v − v(O) ×m v + OM × m a

(

)

∑

G

∑

i

⎟

dt

⎝

i

⎠

i

G

G G

G

dL_O

dt

G

Thã ma:

va

, nãn :

v_i×v_i= 0

= D₀− v(O)× mv(G)

m v = mv(G)

∑

i

G

dL_O

Nãu O cä âënh trong R hay

, sä hang thæ hai cua vã phai bàng 0, va:

O ≡ G

= D₀

dt

§5. Âäng nàng cua mät hã chát :

1) Âënh nghéa :

G

Âäng nàng cua hã (S) gäm n chát âiãm M_i, co khäi læång m_ichuyãn âäng våi ván täc v_itrong hã

1

m_iv_i²

quy chiãu (R) :

E =

∑

K

2

i

2) Âënh ly Koenig vã âäng nàng :

Âäng nàng cua hã (S) trong hã quy chiãu (R) :

1

2

våi :

E_K= mv(G) + E_K*

m =

m

i

∑

2

i

Våi :

: Âäng nàng cua hã (S) trong hã quy chiãu khäi tám (R*).

E_K*

Chæng minh:

2

1

2

1

2

G

1 G

G

1

2

G

m_iv_i^*

E =

m v²=

m v(G) + v^*) = mv(G)²+ E^*+ 2v(G)

Ta co:

(

)

∑

K

i

k

2

i

G

1

G_*

E_K= mv(G)²+ E_K*

Thã ma:

, nãn:

P*= mv = 0

∑

i

2

i

§6. Mät sä âënh ly cå ban cua âäng læc hoc hã chát :

1) Âënh ly vã täng âäng læc (hay âënh ly vã âäng læång) :

G

• Trong hã quy chiãu Galilee (Rg), täng âäng læc S cua mät hã chát khep kên (S) bàng täng

G

F^extcua tát ca cac ngoai læc tac dung lãn hã:

S = F^ext

G

• Trong hã quy chiãu Galilee (Rg), âao ham theo thåi gian cua täng âäng læång P cua mät hã

chát khep kên (S) bàng täng F^extcua tát ca cac ngoai læc tac dung lãn hã :

G

dP

= F^ext

dt

G

dP

dt

G

= S =ma(G) = F^ext

Nhæ váy ta co:

2) Âënh ly vã momen âäng læc (hay âënh ly vã momen âäng læång):

G

•

Trong hã quy chiãu Galilee (Rg), momen âäng læc

cua mät hã chát khep kên (S) âäi våi

D_O

G

ext

âiãm O bàng momen

hã:

âäi våi âiãm O cua täng ^extcua tát ca cac ngoai læc tac dung lãn

M_O(F )

F

G

D_O= M_O(F^ext)

9

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

• Trong hã quy chiãu Galilee (Rg), âao ham theo thåi gian cua momen âäng læång L_Ocua mät

G

M_O(F^ext)

hã chát (S) khep kên âäi våi âiãm O cä âënh trong (Rg) bàng momen

âäi våi âiãm O

G

G G

dL_O

dt

ext

= D =M_O(F^ext)

cua täng

cua tát ca ngoai læc tac dung lãn hã:

(Våi O la âiãm cä

F

O

âënh trong (Rg)).

G

dL_O

G

Thát váy, ta co:

våi O la mät âiãm bát ky. Khi O la âiãm cä âënh

= D_O− v(O)×mv(G)

dt

G

G G

G

dL_O

dt

= D_O

= D =M_O(F^ext)

trong Rg, ta co:

, do âo:

. Tæ âo suy ra:

v(O) = 0

O

dt

Ghi chu:

• Træång håp O khäng phai la âiãm cä âënh trong (Rg), nhæng O trung våi âiãm G, ta cung co:

G

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

dL_G

, do âo:

Âënh ly vã momen âäng læång ván nghiãm âung:

⇒

v(O)×mv(G) = 0

= D

G

dt

G

G G

G

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

dL_G

dt

ext

(màt dáu G khäng cä âënh trong hã (Rg)).

= D =M (F )

G

*

D =D^*

• Do

va L_G= L_Gvåi L_G: momen âäng læång cua hã (S) âäi våi âiãm G trong hã quy

G

*

chiãu (Rg), L_G: momen âäng læång cua hã (S) trong hã quy chiãu (R*).

G

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

dL_G*

Màc khac, do (R*) chuyãn âäng tënh tiãn âäi våi (Rg), nãn :

=

dt

Rg

R*

G

G G

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

dL_G*

= D *=M_G(F^ext)

Suy ra:

G

dt

R*

Nhæ váy âënh ly vã momen âäng læång co thã ván dung cho âiãm G trong hã quy chiãu khäi

tám (R*) (màc dáu hã quy chiãu (R*) co thã khäng phai la hã quy chiãu Galilee).

3) Âënh ly vã momen âäng læång âäi våi mät truc cä âënh:

Trong hã quy chiãu Galilee Rg, âao ham theo thåi gian cua momen âäng læång L_∆cua mät hã

G

ext

chát (S) khep kên âäi våi mät truc

cä âënh trong (Rg) bàng momen

âäi våi truc

∆

M_∆(F )

G

ext

cua täng

cua tát ca cac ngoai læc tac dung lãn hã:

F

G

dL_∆

=M_∆(F^ext)

dt

Thát váy, chiãu âënh ly vã momen âäng læång âäi våi âiãm O cä âënh trãn truc

cua hã (S):

∆

•

G

G G

dL_∆

dL_O

=M_∆(F^ext)

ext

lãn truc , suy ra:

∆

= M_O(F )

dt

4) Âënh ly vã âäng nàng :

Âao ham theo thåi gian cua âäng nàng cua mät hã chát (S) khep kên trong hã quy chiãu Galilee

•

(Rg) bàng täng cäng suát cua tát ca cac näi læc va ngoai læc tac dung lãn hã (S).

10

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

i

Xet mät hã (S) khep kên gäm n chát âiãm M_ico khäi læång m_i. Goi F^eva Fⁱla ngoai læc va näi

i

G

v

læc tac dung lãn chát âiãm thæ i cua hã (S). la ván täc trong (Rg) cua chát âiãm thæ i. Goi E_Kla

i

âäng nàng cua hã (S) trong (Rg).

G

i

G

dE_K

dt

=

Fⁱ.v + F^e.v

Ta co :

∑

i

Âä biãn thiãn âäng nàng ∆E_Kcua mät hã chát khep kên trong hã quy chiãu Galilee (Rg) trong

•

mät khoang thåi gian (t₀,t) nao âo bàng täng cäng cua tát ca cac ngoai læc va näi læc sinh ra trong

chuyãn dåi tæång æng våi khoang thåi gian âo:

∆E_K(t₀,t) = E_k(t)− E_k(t₀) =W +W

ext

int

Våi: W la cäng cua cac ngoai læc, W la cäng cua tát ca cac näi læc ung våi chuyãn dåi noi

ext

int

trãn.

11

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

Chæång 1 :

CHUYÃN ÂÄNG CUA VÁT RÀN

G

§1. Vát ràn trong cå hoc :

1) Khai niãm vã vát ràn :

gäi tæa

F

Trong cå hoc, vát ràn la mät vát thã khäng biãn dang : Khoang cach

giæa hai âiãm bát ky cua vát ràn khäng âäi theo thåi gian.

dám kim loai

Hçnh 1

Khai niãm vát thã khäng biãn dang chè la mät mä hçnh. Vç váy, mät tå giáy

mong træåt trãn màt ban va khäng bë biãn dang ván co thã xem nhæ la mät vát

JG

ràn. Trong khi âo mät dám kim loai âàt trãn hai gäi tæa va chëu læc F kha lån,

se bë biãn dang kha nhiãu trong qua trçnh chëu læc ⇒ trong træång håp nay, khäng thã coi dám la vát ràn.

2) Hã quy chiãu gàn liãn våi vát ràn :

Xet mät vát ràn (S) co dang hçnh vanh tron,

⊕

z

z_S

(R )

S

tám C, chuyãn âäng trong màt phàng thàng

âæng trãn màt âát nàm ngang, trong hã quy

chiãu trai âát R(O;e_x;e_y;e_z) . Âiãm C, tám

G G G

(R)

θ

xs

CM

x_S

x

cua vanh tron, cung co thã xem nhæ la mät

âiãm thuäc vát ràn, màc âáu tai C khäng co vát

chát, båi vç khi vanh tron chuyãn âäng, âiãm C

cung chuyãn âäng cung våi vanh tron. Täng

quat hån, moi âiãm trong khäng gian (màc dáu

tai âo khäng co vát chát), liãn kãt chàt che våi

(S) va chuyãn âäng cung våi (S) cung co thã

xem la cac âiãm thuäc vát ràn (S).

G

e

y = y_S

O

Hçnh 2

z_S

z

(S)

O_S

(R_S)

y_S

γ

Nhæ váy nãu gàn cæng trãn vát ràn (S) mät hã

(R)

G G G

quy chiãu R_S(C;e_x;e_y;e_z)(¹) liãn kãt chàt

S

β

α

x_S

y

O

che våi vát ràn va chuyãn âäng cung våi vát

ràn. Khi âo, chuyãn âäng cua vát ràn (S) trong

hã quy chiãu (R) co thã xem nhæ tæång âæång

våi chuyãn âäng cua hã quy chiãu (R_S) so våi

hã quy chiãu (R).

G

e_xs

x

Hçnh 3

3) Thäng sä cán thiãt âã mä ta chuyãn âäng cua vát ràn :

• Âäi våi mät hã chát âiãm (S) gäm n chát âiãm M_i. Âã mä ta chuyãn âäng cua hã (S) trong hã

quy chiãu(R), cán phai biãt 3n thäng sä (våi mäi chát âiãm cán biãt ba toa âä x, y, z cua no).

G G G

la cac hã toa âä De scartes

(O;e_x;e_y;e_x) (C;e_x;e_y;e_z)

G G

G

¹Cac hã toa âä

va

S

S S

12

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

• Tuy nhiãn, âã mä ta chuyãn âäng cua vát ràn (S) trong hã quy chiãu (R), chè cán biãt nhiãu

nhát la 6 thäng sä, nhàm mä ta chuyãn âäng cua hã quy chiãu (R_S) gàn liãn våi vát ràn âäi våi

hã quy chiãu (R):

+ Ba thäng sä âã xac âënh vë trê cua gäcO_Scua hã quy chiãu (R_S) âäi våi hã quy chiãu (R) : ba

toa âä x_OS, y_OS, z_OScua âiãm O_Strong hã (R)

+ Ba thäng sä (ba goc) âã xac âënh phæång chiãu cua vectå âån vë e cua hã (R_S) âäi våi hã (R):

G

x_S

α, β, γ

• Trong træång håp chuyãn âäng cua vát ràn âæåc dán hæång båi mät sä rang buäc, sä thäng sä

cán thiãt âã mä ta chuyãn âäng cua vát ràn co thã < 6. Vê du, vanh tron chuyãn âäng trong màt

phàng thàng âæng va luän tiãp xuc våi màt âát nàm ngang ⇒ chè cán hai thäng sä âã mä ta

chuyãn âäng cua vát ràn trong hã quy chiãu (R) (Hçnh 2):

+ Hoanh âä x cua tám C cua vanh tron trong hã (R)

G

+ Goc θ xac âënh phæång chiãu cua vectå âån vë e cua hã (R_S) trong (R).

x_S

§2. Træång ván täc :

1) Quan hã ván täc va gia täc :

z_S

z

(R_S)

(S)

° M

Xet mät vát ràn (S) chuyãn âäng trong hã quy chiãu

(R). Goi (R_S) la hã quy chiãu gàn liãn våi vát ràn (S)

va co gäc P, våi P la mät âiãm cä âënh trãn (S).

y_S

P

K

(R)

O

@ Goi v(M )_{/ R}la ván täc cua âiãm M thuäc vát ràn

x_S

(S) trong hã quy chiãu (R). Ap dung âënh ly håp ván

K

täc : v(M )_{/ R}= v_e(M ) + v(M )_{/ R}

y

S

K

Hçnh 4

våi : v_e(M ) : ván täc theo cua âiãm M.

K

x

v(M )_{/ R}: ván täc cua âiãm M trong hã quy

S

K

chiãu (R_S) (Âiãm M cä âënh trong hã quy chiãu (R_S) : v(M ) = 0 )

/ R_S

K

Goi Ω_{R / R}la vectå quay tæc thåi cua vát ràn (S) trong hã quy chiãu (R) (vectå quay cua hã quy

S

chiãu (R_S) âäi våi hã quy chiãu (R))

JJJJK

K

⇒ v(M )_{/ R}= v_e(M ) = v(P)_{/ R}+ Ω_R_{/ R}× PM

S

JJJJK

K

Viãt gon lai, ta co :

(1)

v(M ) = v(P) + Ω × PM

K

Nhæ váy, khi biãt ván täc cua mät âiãm P va vectå quay tæc thåi Ω cua vát ràn (S) ⇒ co thã xac

âënh ván täc cua mät âiãm M bát ky thuäc vát ràn (S) theo biãu thæc (1).

G

@ Tæång tæ, goi a(M )_{/ R}la gia täc cua âiãm M thuäc vát ràn (S) trong hã quy chiãu (R). Ap

dung âënh ly håp gia täc :

G

a(M )_{/ R}= a_e(M ) + a_C(M ) + a(M )_{/ R}

S

G

våi : a_e(M ) la gia täc theo cua âiãm M :

G

JJJJG

G

S

dΩ_{R / R}

G

S

a_e(M ) = a(P)_R+

× PM + Ω_{R / R}× (Ω_{R / R}× PM )

S

dt

G

la gia täc Coriolis :

a_C(M )

13

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

do

a (M) = 2.Ω_{R / R}×v(M)_/_Rs= 0

v(M)_{/ R}= 0

G^C

s

S

a(M )_{/ R}: gia täc cua âiãm M trong hã quy chiãu (R_S) (Âiãm M cä âënh trong hã quy

S

G

chiãu (R_S) : a(M ) = 0 )

/ R_S

G

JJJJG

G

dΩ

Viãt gon lai, ta co :

(2)

a(M) = a(P) +

× PM + Ω× (Ω× PM)

dt

K

Nhæ váy, khi biãt gia täc cua mät âiãm P, vectå quay tæc thåi Ω (con goi la vectå ván täc goc tæc

G

dΩ

thåi) va vectå gia täc goc tæc thåi

cua vát ràn (S) trong hã quy chiãu (R) ⇒ co thã xac âënh

dt

gia täc cua mät âiãm M bát ky thuäc vát ràn (S) theo biãu

thæc (2).

z

(S)

2) Cac træång håp âån gian :

a) Vát ràn (S) chuyãn âäng tënh tiãn :

K

Nãu vát ràn S chuyãn âäng tënh tiãn trong (R)⇒ Ω = 0

(R)

O

K K K

⇒

v(M ) = v(P) = v(t)

Ván täc cua moi âiãm M trãn vát ràn tai thåi âiãm t cho træåc

âãu bàng nhau.

y

Hçnh 5

K

G

dv

K

= a(t)

Tæång tæ cho gia täc :

a(M ) = a(P) =

dt

x

G

b) Vát ràn (S) quay xung quanh mät truc Oz cä âënh

trong (R):

Xet vát ràn (S) quay xung quanh truc Oz cä âënh trong

Ω

z = z_S

(R)

G G G

G

hã quy chiãu

. Gàn cæng våi vát ràn mät

R(O;e_x;e_y;e_z)

e

z

(R_S)

y_S

hã quy chiãu R_S(O; x_S, y_S, z_S) nhæ hçnh 6 våi Oz = Oz_S.

H

r

Goi θ la goc quay cua vát ràn (S) quanh truc Oz (goc

quay cua hã quy chiãu (R_S) xung quanh truc Oz cua hã

quy chiãu (R)).

°

M

z

O

θ

G

e

JJK

K

θ

y

ꢀ

Vectå quay cua vát ràn (S) trong (R):

Ω =θ (t).e_z

G

e

r

θ

Mäi âiãm M cua vát ràn vach nãn mät quy âao hçnh tron,

co truc la Oz. Trong hã toa âä tru, vë trê cua M âæåc xac

âënh bàng :

x

Hçnh 6

x_S

JJJJG

G

OM = r.e_r+ z.e_z

(r va z khäng phu thuäc vao t)

@ Ván täc cua âiãm M trong (R) :

JJJJG

JJJJK

K

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

dOM

G

= v(O) + Ω×OM = Ω×OM = Ω× HM (²)

K

v(M ) =

dt

/ R

JJK

K

ꢀ

⇒

v(M ) = r.θ.e_θ

K

Vectå

vuäng goc våi HM va hæång theo chiãu chuyãn âäng cua (S) trong hã quy chiãu R.

v(M )

JJJJK

K

G

; Ο cä âënh trong R nãn

v(O) = 0

K

²O va M la hai âiãm thuäc vát ràn nãn :

v(M ) = v(O) + Ω×OM

14

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

@ Gia täc cua âiãm M trong (R) :

G

θ

K

ꢀ

dt

JJK

⎛

⎞

⎟

⎠

G

d(v(M ))

d(r.θ.e )

de

⎛

⎞

⎛

⎞

θ

ꢀ

ꢀꢀ

+ r.θ.e

/ R

a(M ) =

=

= r.θ.

⎜

⎝

θ

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎝

⎟

⎠

dt

/ R

G^{/ R}

G

ꢀ

G

(³)

G

de

⎛

⎞

⎛

⎞

θ

ꢀ

våi :

=

+ Ω×e_θ= Ω× e_θ=θe_z× e_θ= −θe_r

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎝

⎟

dt

⎠

/ R

/ R_S

K

JK

JJK

G

d(v(M ))

⎛

⎞

2

ꢀ

ꢀꢀ

⇒

a(M ) =

= −r.θ .e_r+ r.θ.e_θ

⎜

⎟

⎠

dt

⎝

/ R

G

@ Ghi chu : Gia täc

cua âiãm M co thã phán thanh hai thanh phán : Thanh phán

a(M )

JK

JJK

G

2

ꢀ

ꢀꢀ

hæång tæ M vã H (goi la gia täc hæång tám) va thanh phán

a_n(M ) = −r.θ .e_r

a_t(M ) = r.θ.e_θ

vuäng goc våi HM (gia täc tiãp tuyãn).

3) Vát ràn quay xung quanh truc co phæång khäng âäi trong (R):

a) Vê du 1 : Chuyãn âäng cua thanh truyãn :

Xet cå cáu tay quay- con træåt nhæ hçnh 7, dung âã biãn chuyãn âäng quay cua kháu OA thanh

chuyãn âäng tënh tiãn cua con træåt B va ngæåc lai. Hay nghiãn cæu chuyãn âäng cua thanh

truyãn AB co khäi tám la G.

Âã nghiãn cæu chuyãn âäng cua thanh truyãn AB,

ta xet thãm hã quy chiãu khäi tám R*(G;e_x,e_y,e_z)

⊕

y

G G G

y

tæång æng våi hã quy chiãu (R).

A

(R*)

@ Trong hã quy chiãu khäi tám (R*), thanh truyãn

AB quay xung quanh truc Gz cä âënh. Goi M la

mät âiãm bát ky cua thanh truyãn AB, ta co :

(R)

x

M

G

θ

JJJJK

K

z

K

v(M )* = v(G)*+Ω*×GM

:

x

K

O

våi : v(M )* va v(G)* la ván täc cua M va G

B

K

trong hã quy chiãu khäi tám (R*), Ω * la

Hçnh 7

vectå quay tæc thåi cua thanh truyãn AB

JJK

K

ꢀ

trong hã (R*) : Ω* = θ (t).e_z

JJJJK

K

Do khäi tám G cä âënh trong hã (R*) ⇒ v(G)* = 0 ⇒ v(M )* = Ω*×GM

Sæ dung âënh ly håp ván täc, trong hã quy chiãu (R), ta co :

K

v(M ) = v_e(M ) + v(M )*

Hã quy chiãu khäi tám (R*) chuyãn âäng tënh tiãn âäi våi hã quy chiãu (R)

K

⇒ v_e(M ) = v(G)

JJJJK

K

⇒ v(M ) = v(G) + Ω *×GM

(1)

K

@ Màc khac, goi Ω la vectå quay tæc thåi cua thanh truyãn AB trong hã (R), ta co :

JJJJK

K

v(M ) = v(G) + Ω× GM

(2)

G

de

⎛

⎞

³Chu y ràng trong R_S, e khäng âäi nãn

θ

= 0

θ

⎜

⎝

⎟

⎠

dt

/ R_S

15

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

JJK

K

ꢀ

Tæ (1) va (2), suy ra :

Ω* = Ω =θ (t).e_z

Vectå quay tæc thåi cua vát ràn la nhæ nhau trong hai hã quy chiãu (R) va (R*). Må räng ra, vectå quay

tæc thåi cua vát ràn la nhæ nhau trong cac hã quy chiãu chuyãn âäng tënh tiãn tæång âäi âäi våi nhau.

@ Ghi chu: Chuyãn âäng cua thanh truyãn AB trong hã quy chiãu (R) co thã xem nhæ håp cua

hai chuyãn âäng:

• Chuyãn âäng tënh tiãn cung våi khäi tám G trong hã quy chiãu (R).

• Chuyãn âäng quay xung quanh mät truc Gz âi qua khäi tám G trong hã quy chiãu khäi tám

(R*) (Truc Gz cä âënh trong hã quy chiãu khäi tám (R*)).

b) Vê du 2 : Chuyãn âäng cua mät banh xe :

@ Xet mät banh xe, coi nhæ mät âéa tron, ban kênh b, tám C, chuyãn âäng trong màt phàng thàng

âæng trãn màt âát nàm ngang cä âënh trong hã quy chiãu (R) (Hçnh 8).

Goi I la âiãm tiãp xuc cua banh xe va màt âát tai thåi âiãm t. Tai chä tiãp xuc I vao thåi âiãm t,

cán phán biãt ba âiãm khac nhau:

• Âiãm I_Scua màt âát, cä âënh trong (R).

• Âiãm I_Rcua banh xe. Do banh xe làn ⇒ tai mät thåi âiãm sau âo I_Rkhäng con nàm trãn màt

âát næa.

• Âiãm hçnh hoc I xac âënh vë trê tiãp xuc.

Hçnh 8

G

ꢀ

:

Ω = θe_z

⊕

∆x y

y

G

⊕

^:Ω

tai t + ∆t

tai t

y

Hçnh 9

Ω.dt

(R)

M

(R*)

x

b

θ

C’

tai t + δt

C

tai t

(R)

C’

C

J_R

z

:

O

x

:

x

O

I

I = I_R= I_S

J_S= J

(∆)

x

Tai thåi âiãm t, ba âiãm I_S, I_Rva I co ván täc khac nhau trong (R) :

K

v(I_S) = 0

K

v(I) = v(C) , båi vç I va C luän luän nàm trãn cung mät âæång thàng âæng.

JJK

v(I_R) = v(C) + Ω× CI våi : Ω la vectå quay cua banh xe trong (R).

K

Ván täc v(I_R) = v_gâæåc goi la ván täc træåt cua banh xe trãn màt âát (nhå ràng màt âát la cä

K

âënh trong R). Ta tháy v_gnàm theo phæång tiãp tuyãn chung tai I giæa banh xe va màt dát.

K

v = v(I ) = 0

@ Banh xe âæåc goi la làn khäng træåt nãu nhæ :

.

g

R

16

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

Khi banh xe làn khäng træåt trãn màt âát, tai thåi âiãm t âang xet, âiãm I_Rcua banh xe tiãp xuc

våi màt âát co ván täc bàng khäng ⇒ Khi banh xe làn khäng træåt trãn màt âát, giæa hai thåi

âiãm t va t + dt rát gán nhau banh xe co thã xem nhæ chuyãn âäng quay tæc thåi xung quanh mät

K

truc ∆ âi I va song song våi Ω . Truc ∆ âæåc goi la truc quay tæc thåi cua banh xe (⁴) (Hçnh 9).

@ Chuyãn âäng cua banh xe co thã xem nhæ håp cua hai chuyãn âäng :

JJJG

G

ꢀ

+ Chuyãn âäng tënh tiãn cung våi khäi tám C (OC = x.e_x+ b.e_y) våi ván täc la v_C= x.e_x

JJG

Cz

+ Chuyãn âäng quay xung quanh truc

âi qua khäi tám C trong hã quy chiãu khäi tám R* våi

ván täc goc Ω = θ (t).e_z, trong âo θ la goc giæa truc Cx va mät ban kênh CM gàn cæng trãn banh

JJK

K

ꢀ

xe.

@ Ván täc cua âiãm I trãn banh xe tai thåi âiãm t:

^RK

K

JJK

K

G

v(I_R) = v(C) + Ω×CI

G

K

ꢀ

⇒

v(I_R) = x.e_x+θ.e_z×(−b.e_y)

G

K

ꢀ

v(I_R) = x.e_x+θ.b.e_x

G

K

ꢀ

v = v(I_R) = (x +θ.b).e

Suy ra ván täc træåt cua banh xe trãn màt âát :

G^x

G

K

K ^g

ꢀ

@ Banh xe làn khäng træåt trãn màt âát khi: v_g= v(I_R) = 0 . Thã ma : v_g= (x +θ.b).e_x. Do âo,

ꢀ

x +θ.b = 0

khi banh xe làn khäng træåt :

Màt khac, nãu goi ∆x va ∆θ lán læåt la dëch chuyãn cua tám C cua banh xe va goc quay cua banh

xe trong khoang thåi gian ∆t; J_Rva J_Slán læåt la cac âiãm cua banh xe va cua màt âát, ma tai thåi

âiãm t + ∆t âãn tiãp xuc våi nhau tai J, ta co : I_SJ_S= ∆x va cung I_RJ_R= b. ∆θ

Khi banh xe làn khäng træåt trãn màt âát thç:

q

I_SJ_S= I_RJ_R

ꢀ

x +θ.b = 0 ⇒ ∆x = b. ∆θ ⇒

@ Ghi chu : Chuyãn âäng cua thanh truyãn (vê du 1) va cua banh xe (vê du 2) con âæåc goi la

chuyãn âäng song phàng. Trong chuyãn âäng song phàng, mät âiãm M bát ky cua vát ràn chuyãn

âäng trong cung mät màt phàng hay trong cac màt phàng song song våi mät màt phàng quy chiãu

âënh træåc. Chuyãn âäng song phàng cua mät vát ràn co thã xem la täng håp cua hai chuyãn

âäng: Chuyãn âäng tënh tiãn cung våi khäi tám G va chuyãn âäng quay xung quanh truc Gz âi

qua khäi tám va vuäng goc våi màt phàng quy chiãu noi trãn.

§3. Cac âai læång âäng hoc :

1) Træång håp vát ràn chuyãn âäng quay xung quanh mät truc cä âënh :

a) Momen âäng læång âäi våi mät âiãm trãn mät truc :

Xet mät vát ràn (S) quay xung quanh mät truc ∆ gàn cæng våi (S) (truc ∆ cä âënh trong hã quy

K

chiãu R(O ; x, y, z)), våi vectå quay la : Ω . Láy truc Oz cua hã R trung våi truc quay ∆. Goi θ la

K

G

ꢀ

goc quay cua hã quy chiãu (R_S) gàn cæng våi vát ràn so våi hã (R), ta co : Ω = Ω.e_z=θ.e_z(Hçnh

10).

Goi M la mät âiãm bát ky cua vát ràn (S), dm la khäi læång cua mät phán tä thã têch vát ràn bao

quanh âiãm M.

4

Khi banh xe chuyãn âäng, truc quay tæc thåi ∆ dëch chuyãn theo âiãm tiãp xuc I giæa banh xe va màt âát

K

va luän luän song song våi vectå Ω .

17

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

Momen âäng læång L_Acua vát ràn âäi våi âiãm A cä âënh trãn truc Oz trong hã quy chiãu (R) :

JJJJG

G

AM × v(M )dm

^{L =}∫∫∫

A

(S )

z = z_S

(R)

Do M va A la hai âiãm thuäc vát ràn (S) nãn

JJJJG

G

v(M ) = v(A) + Ω× AM = Ω.e_z× AM (Âiãm A cä

G

(S)

âënh trãn truc Oz : v(A) = 0 )

H

y_S

Suy ra :

r

(R )

M

JJJJG

G

^Sθ

G

L_A= Ω. AM × (e_z× AM )dm

∫∫∫

O

(S )

y

Hay :

G

JJJJG₂

JJJJG JJJJG

⎤

G

G G

Ω

⎡

∫∫∫_⎢_⎣

(S )

L_A= Ω.

AM .e_z− (AM.e_z)AM dm

θ

⎥

⎦

x

Hçnh 10

x_S

G

G G

G

A

(Ghi chu : A×(B×C) = B(C.A) −C(A.B) )

(∆)

Goi H la hçnh chiãu cua M trãn truc quay ∆, ta co :

JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG

JJJJG

G G

AM = AH + HM = (AM.e_z).e_z+ HM

Suy ra :

JJJJG JJJJG JJJJG

G

G G

L_A= Ω. AM ².dm − Ω. (AM.e_z) (AM.e_z)e_z+ HM dm

⎡

⎤

∫∫∫

⎣

⎦

(S )

(S)

JJJJG

G

L_A= Ω. AM ².dm −Ω.

AH .e_z+ (AM.e_z).HM dm

2

⎡

⎤

∫∫∫

∫∫∫_⎣

⎦

(S )

(S)

JJJJJG

JJJJG

G

L_A= Ω. AM ².dm − Ω. AH ².dm − Ω. (AM.e_z).HM.dm

∫∫∫

(S )

Màc khac :

Suy ra :

HM²= AM²AH²

JJJJG JJJJG

G

L_A= Ω. HM ².dm − Ω. ((AM.e_z)HM )dm

∫∫∫

(S )

G

Nhæ váy, momen âäng læång L_Agäm hai phán :

G

L_{A //}= Ω. HM ².dm

•

song song våi vectå quay Ω.

∫∫∫

(S )

JJJJG JJJJG

G

L_A⊥= −Ω. ((AM.e_z)HM )dm

•

vuäng goc våi vectå quay Ω.

∫∫∫

(S )

G

Ghi chu : Thanh phán L_A⊥= 0 khi :

@ Vát ràn nhán truc ∆ lam truc âäi xæng.

@ Khi vát ràn la vát ràn phàng nàm trong màt phàng qua A va vuäng goc våi truc ∆.

b) Momen âäng læång âäi våi truc ∆ - Momen quan tênh :

G

• Hçnh chiãu L_∆cua momen âäng læång L_Alãn truc quay ∆ âæåc goi la momen âäng læång

cua vát ràn (S) âäi våi truc ∆ :

G

A//

G

Z

HM ².dm

^{L = L .e = L .e = Ω}∫∫∫

∆

A

Z

(S )

L_∆khäng phu thuäc vao vë trê cua âiãm A trãn truc ∆.

• Momen quan tênh cua vát ràn (S) âäi våi truc quay ∆ âæåc âënh nghéa nhæ sau :

18

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

r².dm

^{J =}∫∫∫

∆

(S )

våi : r la khoang cach tæ âiãm M cua vát ràn âãn truc quay ∆.

G

L_∆= J_∆.Ω

L_A//= J_∆.Ω

va :

• Nhæ váy :

Ghi chu : Træång håp vát ràn (S) bao gäm hai phán (S₁) va (S₂), lán læåt co momen quan tênh âäi våi truc

∆ la J_∆1va J_∆2. Khi âo, momen quan tênh cua (S) âäi våi truc âäi våi truc ∆ se bàng : J_∆= J_∆1+ J_∆2

c) Âäng nàng :

Âäng nàng cua vát ràn (S) noi trãn trong hã quy chiãu (R) :

JJJJG

G

1

G

.v²(M ).dm våi : v(M ) = Ω × AM

^{E =}∫∫∫ ₂

K

(S )

JJJJG

G

1

G

Suy ra :

E_K= . (Ω× AM ).v(M ).dm

₂∫∫∫

(S )

JJJJG

⎡

⎤ G

⎥

⎦

1

G

⇒ E = .

(AM × v(M )).dm .Ω

⎢

⎥

K

_⎢∫∫∫

2

(S )

⎣

JJJJG

G

G G

G

Ta co : (Ω× AM ).v(M ) =(AM × v(M )).Ω båi vç : A(B ×C) = B(C × A) = C(A× B) )

G G

1

⇒ E_K= .L_A.Ω = L_{A //}.Ω

2

1

2

1

E = .L .Ω = .J .Ω²

⇒

K

∆

2

2) Ap dung cac âënh ly Koenig :

a) Momen âäng læång va âäng nàng cua vát ràn:

@ Âã nghiãn cæu chuyãn âäng cua mät vát ràn (S)

trong hã quy chiãu R(O,x,y,z), ta âæa thãm vao hã

quy chiãu khäi tám R*(G,x,y,z). Khi âo, ap dung cac

âënh ly Koenig:

z

(R*)

G

Ω

z

G

y

(R)

JJJG

L_A= AG×mv(G) + L_G^*

G

x

Vã momen âäng læång :

(S)

A

O

G

våi : L_G^*la momen âäng læång cua (S) âäi våi khäi

y

x

G

Hçnh 11

tám G trong hã quy chiãu (R*); L^*= L^*+ L_G^*_⊥våi

L_G^*_//: thanh phán cua L_G^*song song våi Ω ; L^*: thanh phán cua L_G^*vuäng goc våi Ω .

G

G //

G

G⊥

1

E_K= .mv²(G) + E_K^*

Vã âäng nàng :

2

våi : E_K^*la âäng nàng cua (S) trong hã quy chiãu (R*).

K

@ Træång håp vectå quay Ω cua vát ràn (S) luän luän khäng thay âäi phæång trong suät qua

K

trçnh chuyãn âäng, chàng han Ω luän nàm theo phæång truc Oz (Hçnh 11) (⁵) :

Trong (R*), (S) quay quanh truc cä âënh Gz, ta co:

K

5

Vectå quay Ω la nhæ nhau trong hai hã quy chiãu (R) va (R*)

19

Bai giang Cå hoc âai cæång (Me canique Generale)

PFIEV Âa nàng

G

Gz

G

G⊥

1

L^*= L^*+ L_G^*_⊥= J .Ω + L^*

E_K^*= .L_Gz. Ω = .J_Gz.Ω²

*

G

G //

2

Våi: J_Gz: momen quan tênh cua vát ràn âäi våi truc Gz.

*

L_Gz: momen âäng læång cua vát ràn âäi våi truc Gz trong hã R.

Ghi chu : Trong biãu thæc cua momen âäng læång va âäng nàng ta tháy gäm hai thanh phán:

JJJG

G

1

.mv²(G)

Thanh phán AG×mv(G) hay

tæång æng våi chuyãn âäng tënh tiãn cua toan bä vát ràn

2

G

1

(S) cung våi khäi tám G; thanh phán L^*= J_Gz.Ω + L_G^*_⊥hay

tæång æng våi chuyãn

E^*= .J_Gz.Ω²

G

K

2

âäng quay cua vát ràn (S) quanh truc Gz trong hã quy chiãu khäi tám (R*).

@ Trå lai bai toan chuyãn âäng cua banh xe làn trãn màt âát nàm ngang cä âënh trong hã quy

chiãu trai âát (R). Trong hã quy chiãu khäi tám R*(C, x, y, z), banh xe quay quanh truc Cz cä

G

1

âënh trong R*, ta co: L_C^*= J_CzΩe_zvåi: J_Cz= mb²; E^*= J_CzΩ².

K

2

Ap dung âënh ly Koenig, trong hã (R) ta co :

JJJG

G

L_O= OC×mv(C) + L_C^*⇒

L_O= OC×mv(C) + J_GzΩe_z

1

E_K= .mv²(G) + J_GzΩ²

E_K= .mv²(G) + E_K^*

⇒

2

(Chu y : Âáy la træång håp vát ràn phàng chuyãn âäng trong màt phàng qua C va vuäng goc våi truc quay

G

Cz, do âo thanh phán L_C^*_⊥= 0, chè con lai thanh phán L_C^*_//)

b) Âënh ly Huygens :

G

z

Xet vát ràn (S) quay xung quanh mät truc cä âënh

Ω

(S)

(∆) trung våi truc Oz cua hã quy chiãu R âang xet

G

(R*)

(R)

våi vec tå quay Ω . Goi G la khäi tám cua vát ràn

(Hçnh 11). Trong (R*), (S) quay xunh quanh truc cä

âënh (∆_G) trung våi Gz va song song våi truc (∆).

a

G

H

Theo âënh ly Koenig :

y

1

E_K= .mv²(G) + E^*

(1)

(∆_G)

K

2

y

x

O

våi m : khäi læång cua vát ràn

E_Kla âäng nàng cua vát ràn trong (R) :

(∆)

Hçnh 12

x

1

E_K= .J_∆.Ω²

(a)

2

1

E_K^*la âäng nàng cua vát ràn trong R* :

E^*= .J_∆G.Ω²

(b)

K

2

Màt khac, trong R, khäi tám G chuyãn âäng trãn vong tron tám H ban kênh a (H la hçnh chiãu cua

G trãn truc (∆)) våi ván täc goc la Ω , do âo : v²(G) = a²Ω²

J_∆= ma²+ J_∆G

(c)

Thay (a) (b) (c) vao (1), suy ra :

Âáy chênh la âënh ly Huygens.

20

Bài giảng Cơ học đại cương (Cơ học vật rắn – dao động và sóng cơ) - Lê Cung