Giáo trình Lý thuyết cán - Chương 6: Cán ngang
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
PhÇn Ii: c¬ së lý thuyÕt c¸n ngang vµ nghiªng
*******
Ch−¬ng 6
C¸n ngang
6.1- BÒ mÆt tiÕp xóc gi÷a dông cô vµ trôc c¸n
Qu¸ tr×nh biÕn d¹ng ngang gi÷a trôc c¸n vµ ph«i ta h×nh dung nh− qu¸ tr×nh
rÌn tù do mét thanh thÐp trßn, sau mçi lÇn ®Ëp bóa ng−êi ta l¹i quay ph«i mét gãc
bÐ vµ tiÕp tôc ®Ëp bóa lÇn thø hai. Qu¸ tr×nh ®−îc tiÕp tôc cho ®Õn khi ph«i ®−îc kÐo
dµi ra vµ tiÕt diÖn ngang bÞ gi¶m ®i. NÕu thùc hiÖn qu¸ tr×nh ®ã theo s¬ ®å c¸n nh−
h×nh 6.1a th× hai trôc c¸n thay thÕ cho bóa ®Ëp.
Qu¸ tr×nh c¸n ngang th−êng
2b
R
gÆp trong c«ng nghÖ s¶n xuÊt
ph«i èng cho c«ng nghÖ c¸n èng
kh«ng hµn, s¶n xuÊt bi cÇu, c¸n
c¸c lo¹i b¸nh r¨ng, bul«ng vµ c¸c
chi tiÕt cã tiÕt diÖn thay ®æi theo
chu kú, c¸n ph«i cho c«ng nghÖ
chÕ t¹o m¸y...
b
∆r
l
r
a)
b)
l
Ngµy nay ph−¬ng ph¸p c¸n
ngang xo¾n ®−îc sö dông réng r·i
trong nÒn c«ng nghiÖp hiÖn ®¹i.
V× vËy, ph−¬ng ph¸p c¸n ngang
®· ®−îc nghiªn cøu s©u réng c¶
H×nh 6.1- S¬ ®å qu¸ tr×nh c¸n ngang
a) C¸n ngang
b) RÌn tù do ph«i trßn
vÒ lý thuyÕt vµ thùc nghiÖm.
6.2- TÝnh c¸c ®¹i l−îng biÕn d¹ng khi c¸n ngang
L−îng biÕn d¹ng khi c¸n ngang chÝnh lµ sù gi¶m nhá cña b¸n kÝnh vËt c¸n
sau mét chu kú c¸n lµ 1/2 vßng quay cña nã (1/2 vßng quay cña ph«i v× ta cã hai
trôc c¸n ®ång thêi nÐn lªn ph«i).
NÕu ta ký hiÖu l−îng biÕn d¹ng ®ã lµ ∆r th× ta cã (h×nh 6.2):
x + y = ∆r
víi,
vµ
x = r − r2 − b2
y = R − R2 − b2
Nh− vËy, ta cã ®−îc l−îng biÕn d¹ng ∆r:
2
2
2
2
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎟
⎠
∆r = R − R − b + r − r − b
(6.1)
⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎝
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
77
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
trong ®ã,
b: chiÒu réng bÒ mÆt tiÕp xóc
R = D/2: b¸n kÝnh trôc c¸n
r: b¸n kÝnh vËt c¸n tr−íc lóc c¸n
d: ®−êng kÝnh vËt c¸n sau 1 lÇn c¸n
R
b
x
y
∆r
r
d
Tõ (6.1) ta cã thÓ ®−a vÒ d¹ng:
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
⎟
b
b
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜
⎟
⎜
∆r = R 1− 1−
+ r 1− 1−
(6.2)
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
l
R
⎝ ⎠
r
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Khai triÓn vµ bá ®i c¸c sè h¹ng bËc cao ta
nhËn ®−îc:
H×nh 6.2- S¬ ®å tÝnh
l−îng biÕn d¹ng ∆r
2
2
b
1 b
⎛ ⎞
2 R
⎝ ⎠
⎛ ⎞
1−
≈1−
≈1−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
R
⎝ ⎠
(6.3)
2
2
b
1 b
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
2 r
r
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Thay (6.3) vµo (6.2) ta cã:
2.R.r.∆r
b =
(6.4)
R + r
NÕu tiÕp tôc biÕn ®æi (6.4) b»ng c¸ch thay: r = d/2 + ∆r, ta cã:
∆r.d + 2∆r2
b =
(6.5)
d
2∆r
D
1+
+
D
Qua biÓu thøc (6.5) ta nhËn xÐt: nÕu D → ∞ (tr−êng hîp Ðp ph«i gi÷a hai
tÊm ph¼ng) vµ víi l−îng Ðp ∆r rÊt bÐ so víi D th×:
d
∆r
D
≈
≈ 0
D
®ång thêi nÕu bá qua ®¹i l−îng 2∆r2, ta cã:
b = ∆r.d
∆r
d
(6.6)
Ký hiÖu
= ε lµ l−îng biÕn d¹ng cña ph«i sau 1/2 lÇn quay cña nã so víi
b
®−êng kÝnh, vËy:
= ε
(6.7)
d
V× trong qu¸ tr×nh c¸n, tiÕt diÖn cña ph«i cã h×nh d¸ng ovan nªn ®é dµi cung
tiÕp xóc cã lín lªn, v× thÕ biÓu thøc (6.7) ®−îc viÕt d−íi d¹ng:
b
= ϕ ε
(6.8)
d
trong ®ã,
ϕ: hÖ sè biÕn ®æi chiÒu réng cña bÒ mÆt tiÕp xóc khi c¸n ngang.
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
78
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
B©y giê chóng ta sÏ xÐt xem l−îng biÕn d¹ng tíi h¹n ε cã gi¸ trÞ bao nhiªu?
§Ó xÐt vÊn ®Ò nµy chóng ta kh¶o s¸t s¬ ®å
m«men quay cña ph«i vµ m«men c¶n l¹i sù quay
nµy trªn h×nh 6.3.
Ph«i quay ®−îc lµ do m«men cña lùc ma
s¸t T t¹o ra víi tay ®ßn a. Ta ký hiÖu m«men nµy
c
x
S/2
P
S/2
f.P
α
P
lµ M1:
M1 = T.a = P.f.a
Hai trôc c¸n t¸c ®éng lªn ph«i c¸c lùc lµ
(6.9)
f.P
a
P, c¸c lùc nµy t¹o ra mét m«men quay víi tay
®ßn lµ c, ký hiÖu lµ M2:
D/2
M2 = P.c
Trong tr−êng hîp ph«i ngõng quay th× M1
= M2, nªn: f.a = c (6.11)
(6.10)
H×nh 6.3- S¬ ®å m«men
khi c¸n ngang
Gi¶ thiÕt r»ng chiÒu dµi cung tiÕp xóc b»ng ®é dµi d©y cung vµ ®iÓm ®¹t cña
lùc P ë chÝnh gi÷a d©y cung. Víi mét gi¸ trÞ cña c nh− ë h×nh 6.3, ta cã:
C = S + d.sinα
(d.sinα = x)
trong ®ã,
S: ®é dµi d©y cung
a = d.cosα (d: ®−êng kÝnh vËt c¸n sau mét lÇn c¸n)
Thay c vµ a vµo (6.11) ta cã:
S
= f.cosα − sinα
(6.12)
d
MÆt kh¸c, tõ h×nh 6.3 ta nhËn thÊy
2
S
S
⎛
⎜
⎞
⎟
= sinα, dovËy cosα = 1− sin2 α = 1−
D
D
⎝
⎠
Thay vµo (6.12) ta cã:
2
⎡
⎤
⎥
S
S
S
⎛
⎜
⎞
⎟
⎢
= f 1−
−
(6.13)
(6.14)
d
⎢
⎣
D
⎥ D
⎝
⎠
⎦
S
d
f
hay,
=
⎛
2
d
⎞
⎟
1+
+ f2
⎜
D
⎝
⎠
V× hÖ sè ma s¸t f < 1 nªn f2 cã thÓ bá qua vµ trÞ sè gÇn ®óng cña biÓu thøc
(6.14) cã thÓ viÕt nh− sau:
S
f
≈
(6.15)
d
d
1+
D
Nh− ®· nãi ë trªn, qu¸ tr×nh quay cña ph«i lu«n cã hiÖn t−îng t¹o «van nªn
trÞ sè tíi h¹n cña tû sè S/d (®é dµi tiÕp xóc tíi h¹n) cã gi¸ trÞ:
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
79
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
S
ϕ.f
⎛ ⎞
=
(6.16)
⎜ ⎟
d
d
⎝ ⎠th
1+
D
Ta coi ®é dµi cung tiÕp xóc cã gi¸ trÞ nh− chiÒu réng b ®· t×m ®−îc (6.8) th×:
ϕ.f
= ϕ εth
(6.17)
(6.18)
d
1+
D
f2
V× vËy,
εth =
2
d
⎛
⎜
⎞
⎟
1+
D
⎝
⎠
Trong thùc tÕ th× tû sè gi÷a chiÒu réng cña bÒ mÆt tiÕp xóc víi ®−êng kÝnh
cña ph«i lµ rÊt bÐ, lùc ma s¸t còng rÊt nhá. V× vËy, cã thÓ ®¸nh gi¸ mét c¸ch gÇn
®óng tû sè l/d vµ εth trong khi hÖ sè ma s¸t biÕn ®æi trªn chiÒu réng cña bÒ mÆt tiÕp
xóc tõ 0 (ë gi÷a) ®Õn mét gi¸ trÞ tíi h¹n còng chØ b»ng hÖ sè ma s¸t tr−ît, cã nghÜa
lµ:
0 < f < ftr−ît
V× vËy, trÞ sè hÖ sè ma s¸t trung b×nh cã gi¸ trÞ:
fTB = 0,5.ftr−ît
NÕu ta gi¶ thiÕt r»ng ftr−ît = 0,3 vµ khi tû sè d/D ≈ 0 th× theo biÓu thøc (6.18)
l−îng biÕn d¹ng tû ®èi tíi h¹n εth cã gi¸ trÞ:
2
(
0,5.0,3
)
εth =
≈ 2,25%
1+ 0
VËy, khi c¸n ngang l−îng biÕn d¹ng tû ®èi rÊt bÐ, bÐ h¬n gi¸ trÞ tíi h¹n trªn.
6.3- Sù xuÊt hiÖn biÕn d¹ng dÎo khi c¸n ngang
D−íi t¸c dông cña ngo¹i lùc (lùc cña trôc c¸n) sù diÔn biÕn cña biÕn d¹ng
dÎo trªn mét mÆt c¾t nµo ®ã cña vïng biÕn d¹ng sÏ lµ mét tæng vµ sù t−¬ng quan
gi÷a c¸c øng suÊt trong vïng biÕn d¹ng còng nh− biÕn d¹ng khi c¸n däc. Muèn
nghiªn cøu vÊn ®Ò nµy ph¶i gi¶i ®−îc bµi to¸n vÒ øng suÊt, ë ®©y còng lµ bµi to¸n
ph¼ng v× ta chØ xÐt trªn mét mÆt c¾t nµo ®ã cña tiÕt diÖn.
Gi¶ thiÕt tiÕt diÖn lµ mét vßng trßn, trªn mét ®−êng kÝnh th¼ng ®øng cã hai
lùc (nÐn) xuyªn t©m vµ ®−îc tËp trung ë t©m. Ta biÕt r»ng, nÕu mét ®Üa chÞu hai lùc
nÐn nh− ë h×nh 6.4 th× ë t©m ®Üa chÞu mét hÖ thèng øng suÊt nÐn ®µn håi mµ ph−¬ng
tr×nh viÕt trong hÖ täa ®é trô lµ:
P
π.r
P
⎧
⎪
σρ = −
(
1+ 2cos2θ
)
)
⎪
⎪
⎨
σ = −
(
1− 2cos2θ
(6.19)
θ
π.r
⎪
2P
⎪
τρθ
=
sin2θ
⎪
⎩
π.r
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
80
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
víi θ: gãc biÕn ®æi (h×nh 6.4).
øng suÊt trªn biªn giíi
gi÷a vïng ®µn håi vµ dÎo ë t¹i
t©m vßng trßn ph¶i tho¶ m·n
c¸c ph−¬ng tr×nh vÒ ®µn håi vµ
dÎo, nghÜa lµ ph¶i tho¶ m·n
®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh (6.20):
σy=σρ
A
r0
A
σx=σθ
γ
b
O
r
θ
θ
r1
∂σ
∂τ
σρ − σθ
ρ
⎧
⎪
⎪
B
1
B
ρ
ρθ
= −
+
= 0
∂ρ
ρ ∂θ
∂τρθ
τxy
fk
⎪
⎪
⎨
τρθ
= 0
ρ
∂σ
1
θ
+
+ 2
σy
ρ ∂θ
∂ρ
⎪
⎪
⎪
2
∇
(
σρ − σθ
)
= 0
H×nh 6.4- S¬ ®å t¸c dông lùc trªn
mét tiÕt diÖn trßn khi c¸n ngang
2
+ 4τρ2θ = K2
⎪
(
σρ − σθ
)
⎩
ë ®©y ký hiÖu ∇ lµ ®¹o hµm bËc hai cña hai øng suÊt σρ vµ σθ (σx vµ σy).
2
2
∂
∂
∇2 =
+
∂ρ2 ∂θ2
NÕu ta thay ®æi c¸c gi¸ trÞ cña øng suÊt ë biÓu thøc (6.19) vµo ph−¬ng tr×nh
dÎo ë biÓu thøc (6.20), ta cã:
2
2
P
P
⎛
⎜
⎞
⎟
⎛
⎜
⎞
⎟
16
P
.cos2 2θ +16
sin2 2θ = K2
(6.21)
π.r
π.r
⎝
⎠
⎝
⎠
K
4
Suy ra,
= ±
(6.22)
π.r
Cã nghÜa lµ víi mét ®iÒu kiÖn nh− ë biÓu thøc (6.22) th× ph−¬ng tr×nh dÎo
tho¶ m·n, cã nghÜa lµ ë t©m vßng trßn b¾t ®Çu cã biÕn d¹ng dÎo.
VËy víi l−îng Ðp bao nhiªu th× ë t©m vßng trßn b¾t ®Çu cã biÕn d¹ng dÎo ?
Lùc toµn bé t¸c dông lªn bÒ mÆt tiÕp xóc khi c¸n ngang lµ:
P = p.l
(N)
trong ®ã, l lµ chiÒu réng bÒ mÆt tiÕp xóc (®é dµi trªn h×nh trô lµ l).
Tõ biÓu thøc (6.22) ta suy ra:
1
r
π K
4 p
1
d
π K
8 p
=
⇔
=
(6.23)
NÕu víi mét lùc ®¬n vÞ trung b×nh tÝnh theo biÓu thøc (4.36) ta nhËn thÊy
r»ng: ¶nh h−ëng cña ma s¸t tiÕp xóc khi c¸n ngang lµ kh«ng ®¸ng kÓ v× t¶i träng
mang tÝnh tËp trung, ®ång thêi tû sè gi÷a chiÒu réng b vµ d cïng rÊt nhá, cho nªn cã
thÓ coi nσ ≈ 1.
¶nh h−ëng cña biÕn cøng vµ tèc ®é biÕn d¹ng cïng cã gi¸ trÞ nH = nv = 1 v×
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
81
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
qu¸ tr×nh lµ c¸n nãng, mÆt kh¸c t¶i träng còng lµ t¶i träng tÜnh. V× vËy biÓu thøc
(4.36) cã d¹ng:
p = nβ.nc.σS
(6.24)
Trªn c¬ së thùc nghiÖm cña Smirn«p th×:
l
l
nc = 2 −
v× nhá nªn nc = 2.
d
d
Nh− chóng ta ®· biÕt ¶nh h−ëng cña chiÒu réng còng cã nghÜa lµ ¶nh h−ëng
cña σ2. Trong biÕn d¹ng ph¼ng trÞ sè K = nβ.σS = 1,15.σS vµ v× vËy trªn c¬ së cña
biÓu thøc (6.24):
p = nβ.nc.σS = 2.K
(6.25)
K
p
1
Do ®ã,
= . Thay gi¸ trÞ nµy vµo biÓu thøc (6.23) ta cã:
2
l
π 1
4 2
= . ≈ 0,2
d
Nh− vËy trë l¹i biÓu thøc (6.8) ta nhËn ®−îc l−îng biÕn d¹ng:
⎛ l l ⎞2
ε = ⎜ . ⎟ (v× l = b)
⎜
⎟
d ϕ
⎝
⎠
0,04
ϕ2
hay,
ε =
ë ®©y ϕ lµ ®é «van khi c¸n ngang vµ nÕu ϕ cµng t¨ng th× l−îng biÕn d¹ng cµng bÐ.
C¸c sè liÖu thùc nghiÖm cho thÊy: ϕ = 1,4.
Nh− vËy trÞ sè ε sÏ lµ:
0,04
1,42
ε =
= 2%
So s¸nh gi¸ trÞ nµy víi sè liÖu thùc nghiÖm cña mét sè tac sgi¶ cho thÊy kh¸
bÐ. Víi sè liÖu thùc nghiÖm cña ¤r¬nop vµ S¬v©ykin lµ 4%, cña Phor¬mitrep lµ 5%,
cña Xevedenc« lµ 8%.
VÊn ®Ò nµy mét lÇn n÷a cho thÊy r»ng, khi c¸n ngang vµ c¸n nghiªng cã mét
sù gi¶m c−êng ®é biÕn d¹ng dÎo tõ ngoµi vµo trong t©m cña tiÕt diÖn do trÞ sè rÊt
nhá cña l−îng Ðp tíi h¹n.
NÕu nh− biÕn d¹ng dÎo nhê mét lo¹t c¸c l−îng Ðp tíi h¹n mµ thÈm thÊu ®Õn
t©m cña tiÕt diÖn th× trªn c¬ së cña c¸c biÓu thøc (6.19) vµ (6.22) øng suÊt cña ngo¹i
lùc ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc:
K
4
K
4
⎧
⎪
σρ = −
(
1+ 2cos2θ
)
)
⎪
⎪
⎨
σ = −
(
1− 2cos2θ
(6.26)
θ
⎪
K
2
⎪
τρθ
=
sin2θ
⎪
⎩
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
82
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
NÕu nh− biÕn d¹ng dÎo ch−a thÈm thÊu ®Õn t©m tiÕt diÖn th× øng suÊt ë t©m
cña tiÕt diÖn ®−îc tÝnh theo biÓu thøc:
K
4
K
4
⎧
⎪
σρ = −n.
(
1+ 2cos2θ
)
)
⎪
⎪
⎨
σ = −n.
(
1− 2cos2θ
(6.27)
θ
⎪
K
⎪
τρθ = n. sin2θ
⎪
⎩
2
víi, n lµ mét hÖ sè biÕn ®æi trong ph¹m vi tõ 0 < n < 1 tuú thuéc vµo gi¸ trÞ cña
ngo¹i lùc hoÆc l−îng Ðp hÖ sè n còng cã thÓ t×m tõ ®iÒu kiÖn:
P
K
4
(
1+ 2cos2θ
)
= n
(
1+ 2cos2θ
)
π.r
4P
4 P
Suy ra:
n =
=
π.r.K π.r K
V× P = p.l vµ r = d/2 nªn:
8 p l
n = . .
π K d
l
K
p
1
2
p
Tr−íc ®©y chóng ta ®· cã:
= ϕ ε;
=
hay = 2
d
K
16
VËy,
n = .ϕ ε
π
Víi ϕ = 1,4: n = 7,1 ε
Nh− h×nh 6.4, θ lµ gãc biÕn ®æi tõ 0 ÷ γ víi mét gi¸ trÞ rÊt bÐ cho nªn cos2θ
= 1 vµ sin2θ = 0. V× vËy, tõ biÓu thøc (6.26) ta cã:
σ = 0,75.n.K
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
ρ
σ = 0,25.n.K
(6.28)
θ
τρθ = 0
6.4- T×m gi¸ trÞ øng suÊt do ngo¹i lùc g©y ra trong vïng biÕn d¹ng b»ng c¸ch
gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng khi biÕn d¹ng ph¼ng
Víi bµi to¸n ph¼ng, ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn dÎo lµ:
∂τxy
⎧
⎪
⎪
∂σx
∂x
+
= 0
∂y
⎪
⎪
∂σy ∂τxy
+
= 0
(6.29)
⎨
⎪
⎪
⎪
∂y
∂x
2
(
σx − σy
)
+ 4τ2xy = 4K2
⎪
⎩
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
83
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
NÕu ta tiÕp tôc lÊy ®¹o hµm bËc hai cña biÓu thøc (6.29) víi x, y th×:
∂2τxy ∂2τxy
2
∂
(
σx − σy
)
=
−
∂2x
∂2y
∂x∂y
(
σx − σy
)
= ±2 K2 − τ2xy
vµ víi:
xÐt:
∂2τxy ∂2τxy
−
2
∂
Ta cã:
= ±2
K2 − τ2xy
(6.30)
∂2x
∂2y
∂x∂y
§Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh (6.30) víi c¸n nghiªng cÇn cã nh÷ng gi¶ thiÕt vµ nhËn
- Tû sè l/d rÊt bÐ.
- TrÞ sè øng suÊt tiÕp thay ®æi tõ 0 ®Õn f.K khi ®i gi÷a bÒ mÆt tiÕp xóc
ra ngoµi biªn. V× vËy ta coi τxy = 0 th× nã kh«ng phô thuéc vµo täa ®é y.
∂2τxy
∂2x
V× vËy,
= 0
τxy = C1x + C2
víi h»ng sè C1 vµ C2 lÊy theo ®iÒu kiÖn biªn nh− sau:
x = 0 vµ τxy = 0 th× C2 = 0
Suy ra,
τxy = C1x
V× vËy tõ biÓu thøc (6.29) ta rót ra:
∂σy
∂τxy
= −
= C1
(6.31)
(6.32)
∂y
∂x
LÊy tÝch ph©n ta cã: σy = C1y + f(x)
VÒ mÆt trÞ sè th×:
σy = p = nσ.nH.nv.nc.nβ.σS
trong ®ã, nσ = 1; nH = 1; nv = 1; nc = 2 vµ nβ.σS = K
Khi y = r th× σy = -2K
NÕu biÕn d¹ng thÈm thÊu ®Õn t©m tiÕt diÖn vµ gi¶ thiÕt n = 1 th× tõ biÓu thøc
(6.28) khi y = 0; σy = -0,75K. D×ng ®iÒu kiÖn biªn nµy cho biÓu thøc (6.32) ta cã:
1,25K
f(x) = -0,75K; C1 =
r
y
VËy,
σy =1,25K −0,75K
(6.33)
(6.34)
r
Víi τxy = C1x, ta cã:
τxy = ±1,25
Kx
r
Khi b = x, ta cã: f.K = Kb/r nªn f = 1,25b/r = 1,25γ
Thùc tÕ gi¸ trÞ nµy rÊt bÐ so víi 1 nªn 1,25x/r còng lµ mét ®¹i l−îng rÊt bÐ, v×
vËy mµ ph−¬ng tr×nh dÎo cã thÓ viÕt d−íi d¹ng:
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
84
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
2
2
2τ
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2,5.x
r
xy
⎛
⎜
⎞
⎟
(
σx − σy
)
= ν.K 1−
= ν.K 1−
≈ ν.K
(6.35)
K
⎝
⎠
Víi ®iÒu kiÖn biªn n = 1 vµ ν = ±1 th× tõ biÓu thøc (6.28) ta x¸c ®Þnh øng
suÊt σθ = σx. Trªn c¬ së c¸c biÓu thøc (6.33) vµ (6.35) ta cã:
y
σx = −1,25K + 0,25K
(6.36)
r
C¸c hµm sè theo biÓu thøc (6.33) vµ (6.36) còng sÏ tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh vi
ph©n c©n b»ng (6.29) víi mäi gi¸ trÞ cña hÖ täa ®é x, y. Khi x = 0, ®iÒu kiÖn dÎo viÕt
d−íi d¹ng cña biÓu thøc (6.35) vµ biÓu thøc nµy cã d¹ng nh− ®iÒu kiÖn dÎo viÕt
trong hÖ trôc chÝnh (x = 0 trªn mét ®−êng kÝnh th¼ng ®øng, h×nh 6.4), ta cã:
⎧
τ
= τρθ = 0
⎪
xy
⎪
⎪
⎨
Kρ
r
Kρ
r
σ = σ = −1,25
− 0,75K
+ 0,25K
(6.37)
y
ρ
⎪
⎪
σx = σθ = −1,25
⎪
⎩
NÕu nh− biÕn d¹ng dÎo ch−a thÈm thÊu ®Õn t©m tiÕt diÖn th× ®iÒu kiÖn biªn
cña bµi to¸n theo biÓu thøc (6.28) vµ ph−¬ng tr×nh dÎo cã d¹ng:
σx - σy = ν.n.K
(6.38)
B»ng c¸ch gi¶i t−¬ng tù nh− trªn, ta nhËn ®−îc kÕt qu¶:
⎧
τ
= 0
⎪
ρθ
⎪
⎪
⎨
Kρ
r
Kρ
r
σ =
(
− 2 + 0,75n
)
)
− 0,75K
+ 0,25K
(6.39)
ρ
⎪
⎪
σθ = − 2 + 0,75n
(
⎪
⎩
Tæng hîp c¸c biÓu thøc (6.26) vµ (6.37) ta cã c¸c kÕt qu¶ nh− b¶ng:
øng suÊt cña ngo¹i lùc t¹i t©m tiÕt diÖn cña ph«i
θ (®é)
0
TrÞ sè øng suÊt σρ TrÞ sè øng suÊt σθ σz = (σρ + σθ)/2
- 0,75K.n
- 0,25K.n
+ 0,25K.n
+ 0,25K.n
- 0,25K.n
- 0,75K.n
- 0,25K.n
- 0,25K.n
- 0,25K.n
45
90
øng suÊt cña ngo¹i lùc trªn chu vi cña ph«i
TrÞ sè øng suÊt σρ TrÞ sè øng suÊt σθ σz = (σρ + σθ)/2
θ (®é)
0
- 2K
- K
- K
- K
- 1, 5K.n
- 0,5K.n
- 0,5K.n
45
0
0
90
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
85
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
Nh− chóng ta ®· biÕt khi c¸n ngang th× ph«i võa quay võa bÞ biÕn d¹ng vµ
sau mét vµi l−îng Ðp tíi h¹n trong ph«i xuÊt hiÖn øng suÊt kÐo theo ph−¬ng h−íng
kÝnh do qu¸ tr×nh biÕn d¹ng kh«ng ®Òu g©y ra vµ còng lµ kÕt qu¶ cña ®Æc ®iÓm tËp
trung ngo¹i lùc trªn mét ®−êng kÝnh. Ngoµi ra khi c¸n ngang ph«i chÞu ®iÒu kiÖn
biÕn d¹ng ph©n líp trªn c¸c ph©n tè vßng trßn, song ph«i l¹i lµ mét quÇn thÓ ®Æc sÝt
v× thÕ mµ trong ph«i xuÊt hiÖn ra øng suÊt kÐo trong khi ®ã øng suÊt ë ngoµi l¹i chÞu
øng suÊt nÐn do trôc c¸n ®em l¹i.
6.5- Nh÷ng kÕt qu¶ thùc nghiÖm khi c¸n ngang
Ng−êi ta tiÕn hµnh c¸n trªn 3 mÉu cã tû sè gi÷a chiÒu dµi vµ ®−êng kÝnh kh¸c
nhau (h×nh 6.5). Sè liÖu thùc nghiÖm nghiªn cøu tû sè d·n dµi cña c¸c líp ë chu vi bªn
ngoµi cña h×nh trô llk/l0 vµ c¸c líp ë t©m cña mÉu thö llu/l0 khi ε kh«ng ®æi.
l0/d0 < 3
l0/d0 = 3
llk/l0; llu/l0
1,06
1,04
1,02
1,00
0,98
ε = 1,5%
llk/l0
llu/l0
1%
0,5%
l0/d0 > 3
0,5%
1,5%
1%
2
0
1
3
4
5
l0/d0
a)
b)
H×nh 6.5- Sù phô thuéc hÖ sè kÐo dµi ë c¸c líp mÆt ngoµi vµ
t©m trôc cña ph«i vµo tû sè gi÷a chiÒu dµi vµ ®−êng kÝnh mÉu
a) Sè liÖu thùc nghiÖm; b) S¬ ®å
KÕt qu¶ thùc nghiÖm nh− trªn h×nh 6.5a. Tõ c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm ta cã
nhËn xÐt:
- Khi l0/d0 < 3 th× ë t©m cã hiÖn t−îng co.
- Khi l0/d0 > 3 th× cã d·n dµi.
- Khi l0/d0 = 3 ta cã chiÒu dµi kh«ng ®æi ë mäi l−îng Ðp ®Õn chõng
nµo mµ t¹i t©m ch−a h×nh thµnh nh÷ng vÕt rçng. Chóng ta còng nhËn ra r»ng, khi
ls/dv = 3 th× s¬ ®å biÕn d¹ng ë t©m ph«i lµ biÕn d¹ng ph¼ng v× ë ®©y ®· xuÊt hiÖn
nh÷ng lç rçng.
C¸n ngang cã mét quy luËt rÊt kh¾t khe gi÷a biÕn d¹ng ®µn håi vµ biÕn d¹ng
dÎo, do vËy cïng t©m ph«i dÔ bÞ ph¸ huû. Còng v× vËy mµ kÝch th−íc h×nh häc cña
ph«i còng sÏ bÞ biÕn ®æi theo mét quy luËt nhÊt ®Þnh theo chiÒu trôc cña c¸c l−îng
Ðp theo ®−êng kÝnh. Sù h×nh thµnh c¸c lç rçng lµ kÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh chuyÓn tõ
tr¹ng th¸i dÎo sang tr¹ng th¸i ph¸ huû.
Ng−êi ta c¸n mét ph«i thÐp h×nh trô ë nhiÖt ®é 10600C trªn m¸y c¸n cã
®−êng kÝnh D = 400 mm. KÕt qu¶ thùc nghiÖm nh− ë h×nh 6.6. Qua ®å thÞ ta thÊy
khi l−îng Ðp ∆d/d0% lµ 7,75% th× biÕn d¹ng cña líp ngoµi vµ líp trong kh¸c biÖt
nhau rÊt lín, l−îng Ðp cµng t¨ng cµng cã sù kh¸c biÖt. Trªn h×nh 6.6 cßn cho biÕt sù
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
86
Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
thay ®æi tû sè Vn/V0 (tû träng khèi l−îng riªng). ë l−îng Ðp 7,75% vïng t©m ph«i
bÞ ph¸ huû vµ nã ®−îc coi lµ l−îng Ðp tíi h¹n.
llk/l0; llu/l0
Vn/V0.100%
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
4,0
3,0
2,0
1,0
0
Vn/V0
llk/l0
llu/l0
0
1
2
3 4
5
6
7
8
∆d/d0.100%
H×nh 6.6- Sù kh¸c nhau cña hÖ sè kÐo dµi ë líp ngoµi vµ trong
t©m khi c¸n ngang mét ph«i trßn thÐp 0,16%C ë nhiÖt ®é 10600C
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng
87
11 trang
20020
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Lý thuyết cán - Chương 6: Cán ngang", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_ly_thuyet_can_chuong_6_can_ngang.pdf
