Giáo trình Cơ học kết cấu II - Chương 6: Phương pháp chuyển vị
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 57
CHƯƠNG 6. PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ.
ß1. CÁC KHÁI NIỆM.
I. Các giả thiết của phương pháp chuyển vị:
- Giả thiết 1: Các nút của hệ được xem là tuyệt đối cứng. Do đó, khi biến
dạng, các đầu thanh qui tụ vào mỗi nút sẽ có chuyển vị thẳng và góc xoay là như
nhau.
Giả thiết này làm giảm số lượng ẩn số.
- Giả thiết 2: Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt khi xét biến dạng của
các cấu kiện bị uốn.
Giả thiết này không làm thay đổi số lượng ẩn số nhưng làm cho bảng tra nội
lực các cấu kiện mẫu đơn giản hơn.
- Giả thiết 3: Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi dọc trục khi xét biến
dạng của các cấu kiện chịu uốn. (biến dạng dọc trục vì nhiệt độ không được phép bỏ
qua)
Giả thiết này làm giảm số lượng ẩn số.
Ngoài ra, còn tuân theo giả thiết vật
liệu, tuân theo địng luật Hook, biến dạng và
chuyển vị là những đại lượng vô cùng bé.
A
B
l
* Kết luận: Trước và sau khi biến dạng,
khoảng cách giữa 2 nút ở hai đầu thanh theo
phương ban đầu của thanh là không thay đổi
trừ trường hợp thanh có biến dạng dọc trục vì
nhiệt độ hoặc thanh có hai đầu khớp với độ
cứng EF khác vô cùng (H.6.1.1).
B'
A'
l
H.6.1.1
II. Hệ xác định động và hệ siêu động:
u
1. Hệ xác định động: là những hệ khi chịu
chuyển vị cưỡng bức, ta có thể xác định được các
chuyển vị tại các đầu thanh chỉ bằng điều kiện
động học (hình học).
C
C'
C1
B'
Xét hệ trên hình vẽ (H.6.1.2) khi B chịu
chuyển vị cưỡng bức thì các đầu thanh quy tụ vào
C chỉ tồn tại 2 thành phần chuyển vị thẳng (u, v).
Ta có thể xác định được hai thành phần này chỉ
bằng điều kiện động học (hình học). Vậy hệ đã cho
là hệ xác định động.
A
B
H.6.1.2
∆
1
∆
∆
2. Hệ siêu động: là những hệ khi chịu
nguyên nhân là chuyển vị cưỡng bức ta chưa thể
xác định được tất cả các chuyển vị tại các đầu
thanh chỉ bằng điều kiện động học (hình học) mà
phải sử dụng thêm điều kiện cân bằng.
Ví dụ: Khi liên kết thanh chuyển vị ngang ∆
(H.6.1.3), bằng điều kiện động học có thể xác định
được chuyển vị thẳng tại A và B (chuyển vị ngang
bằng ∆, chuyển vị đứng bằng 0). Tuy nhiên, chưa
B
D
B'
A'
A
ϕA
H.6.1.3
ϕB
C
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 58
thể xác định được góc xoay (ϕA, ϕB). Vậy hệ là hệ siêu động.
* Chú ý:
- Khái niệm về hệ siêu động hay xác định động là phụ thuộc vào các giả thiết
chấp nhận.
- Hệ siêu động (xác định động) có thể là hệ tĩnh định hay siêu tĩnh. Ta chỉ tập
trung nghiên cứu hệ siêu động đồng thời là siêu tĩnh.
III. Bậc siêu động:
1. Khái niệm: Bậc siêu động của hệ siêu động chính là số lượng các chuyển
vị độc lập chưa biết của các nút và các khớp không nối đất trong hệ. Ký hiệu n.
n = n1 + n2 (6-1)
n1: số chuyển vị xoay độc lập chưa biết của các nút, n1 chính bằng số nút
trong hệ.
n2: số chuyển vị thẳng độc lập chưa biết của các nút và các khớp không nối
đất.
2. Cách xác định:
a. Xác định n1: Bằng cách tính số lượng nút trong hệ. Nút là nơi giao nhau
giữa các phần tử và được nối bằng liên kết hàn. Trong đó, phần tử là một cấu kiện
mẫu tức là có biểu đồ nội lực cho trước và được lập sẵn thành bảng.
Đối với môn Cơ học kết cấu, phần tử là 1 đoạn thanh thẳng thỏa mãn các
điều kiện:
- Độ cứng không đổi.
- Được nối với các phần tử khác hoặc trái đất chỉ bằng liên kết ở 2 đầu.
Ví dụ: Xác định n1 của các hệ cho trên hình vẽ (H.6.1.4).
1
2
2
2
1
1
1
c)
d)
3
3
a)
4
4
b)
n1 = 2
n1 = 1
n1 = 4
n1 = 4
H.6.1.4
b. Xác định n2: Bằng cách tính số lượng các chuyển vị thẳng độc lập chưa
biết tại các nút và các khớp không nối đất. Để xác định, ta thay các nút, ngàm nối
đất bằng các liên kết khớp để được 1 hệ mới.
Nếu hệ mới là bất biến hình thì n2 = 0; nếu hệ mới là biến hình hay gần biến
hình tức thời thì n2 chính là số liên kết thanh vừa đủ thêm vào để hệ trở thành hệ bất
biến hình.
Ví dụ: Xác định n2 của các hệ cho trên hình vẽ (H.6.1.5 → H.6.1.7).
→
→
→
n2 = 1
H.6.1.5
→
n2
= 0
→
H.6.1.6
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 59
→
n2 = 3
→
→
H.6.1.7
*Chú ý: Khái niệm về bậc siêu động có thể thay đổi và phụ thuộc vào các
yếu tố:
- Các giả thiết chấp nhận: chẳng hạn nếu phủ nhận giả thiết 3 thì n1 không
đổi còn n2 tăng lên.
- Sơ đồ rời rạc hoá chấp nhận (H.6.1.8).
- Các cấu kiện mẫu mà người thiết kế sẵn có (H.6.1.9):
+ Nếu quan niệm mỗi phần tử là 1 thanh thẳng có độ cứng không đổi (AB,
BC, CD, DE, EF) thì n = n1 + n2 = 4 + 3 = 7.
D
C
+ Nếu quan niệm mỗi phần tử là 1 thanh thẳng
(AEC, CD, DFB) thì n = 2 + 1 = 3.
E
F
H.6.1.9
a)
= 5
b)
= 8
n1
n1
A
B
H.6.1.8
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 60
ß2. NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ
I. Hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị:
1. Định nghĩa: Hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị là hệ được suy ra từ
hệ đã cho bằng cách đặt các liên kết phụ thêm vào hệ nhằm ngăn cản chuyển vị của
các nút và các khớp không nối đất
- Nếu các liên kết thêm vào khử được tất cả chuyển vị của các nút và các
khớp không nối đất thì hệ cơ bản là hệ xác định động.
- Nếu các liên kết chỉ khử được 1 phần chuyển vị của các nút thì hệ cơ bản là
hệ siêu động nhưng có bậc siêu động thấp hơn.
Yêu cầu: Hệ cơ bản chỉ tồn tại những cấu kiện mẫu, tức là có biểu đồ nội lực
cho sẵn trong bảng.
2. Các loại liên kết phụ thêm:
a. Liên kết mômen: Là loại liên kết chỉ ngăn
R
cản chuyển vị góc xoay, không ngăn cản chuyển vị
thẳng. Trong liên kết này chỉ phát sinh 1 thành phần
phản lực mômen. Ký hiệu (H.6.2.1).
a)
a)
b)
H.6.2.1
b. Liên kết lực (liên kết thanh): Liên kết này
chỉ ngăn cản chuyển vị dọc theo trục thanh (trục liên
kết). Trong liên kết thanh chỉ phát sinh 1 thành phần
phản lực dọc theo trục thanh.
R
b)
H.6.2.2
Ký hiệu: (H.6.2.2)
3. Các ví dụ tạo hệ cơ bản:
→
H.6.2.3a
→
H.6.2.3b
H.6.2.3c
Nhận xét:
- Khác với hệ cơ bản của phương pháp lực, hệ cơ bản của phương pháp
chuyển vị là duy nhất nếu các yếu tố ảnh hưởng đến bậc siêu động là xác định.
- Hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị thực chất là những cấu kiện rời rạc
và làm việc độc lập nhau.
II. Hệ phương trình cơ bản của phương pháp chuyển vị:
Do đặt các liên kết phụ thêm vào nên hệ cơ bản có những yếu tố khác với hệ
siêu động ban đầu. Vì vậy ta cần so sánh sự khác nhau đó và bổ sung thêm các điều
kiện để hệ cơ bản làm việc giống với hệ ban đầu.
Giả sử xét hệ siêu động trên hình (H.6.2.4a) và hệ cơ bản của nó (H.6.2.4b).
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 61
Z
1
Z
2
P
R
1
R
2
Z
3
P
R
3
D
B
C
A
C
D
B
A
H.6.2.4b
H.6.2.4a
- Về chuyển vị:
Tại C và D có tồn tại chuyển vị Tại C và D không tồn tại chuyển vị.
ngang và góc xoay.
- Về mặt phản lực:
Tại C và D không tồn tại phản lực.
Tại C và D tồn tại phản lực (R1, R2,
R3) tại các liên kết phụ thêm.
Vậy để cho hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu động ban đầu, trên hệ cơ bản
cần:
- Tạo ra các chuyển vị cưỡng bức (Z1, Z2, Z3) tương ứng với các liên kết phụ
thêm vào.
- Thiết lập điều kiện phản lực tại các liên kết phụ thêm vào do các nguyên
nhân (Z1, Z2, Z3, P) bằng không. Các điều kiện này được viết dưới dạng:
R (Z , Z ,Z , P) = 0
1
1
2
3
R (Z , Z , Z , P) = 0
2
1
2
3
R3 (Z1 , Z2 , Z3 , P) = 0
Từ điều kiện này ta có thể giải ra được (Z1, Z2, Z3).
Tương tự như vậy ta mở rộng cho 1 hệ siêu động bất kỳ chịu các nguyên
nhân bên ngoài (P, t, Z). Tạo hệ cơ bản bằng cách đặt n liên kết phụ thêm vào. Để
cho hệ cơ bản làm việc giống hệ ban đầu thì trên hệ cơ bản cần:
- Tạo ta các chuyển vị cưỡng bức (Z1, Z2,..., Zn) tương ứng với các liên kết
phụ thêm vào. Các chuyển vị này có chiều tùy ý, tuy nhiên thường chọn xoay theo
chiều kim đồng hồ, thẳng theo chiều từ trái sang phải. Các chuyển vị này đóng vai
trò là ẩn số.
- Thiết lập điều kiện phản lực tại các liên kết phụ thêm vào do các nguyên
nhân (Z1, Z2,... Zn, P, t, Z) = 0.
Điều kiện thứ 2 được viết:
R (Z ,Z ,...Z , P,t,Z) = 0
1
1
2
n
R (Z ,Z ,...Z , P,t,Z) = 0
2
1
2
n
(6-2)
.....
Rn (Z1 ,Z2 ,...Zn , P,t,Z) = 0
Hệ phương trình này gọi là hệ phương trình cơ bản của phương pháp chuyển
vị.
III. Hệ phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị:
Xét phương trình thứ k của hệ phương trình cơ bản:
Rk(Z1, Z2,... Zn, P, t, Z) = 0.
Khai triển phương trình này theo nguyên lý cộng tác dụng:
Rk(Z1) + Rk(Z2) + ... Rk(Zn) + Rk(P) + Rk(t) + Rk(Z) = 0.
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 62
Gọi rkm là phản lực tại liên kết phụ thêm thứ k do riêng chuyển vị cưỡng bức
tại liên kết phụ thêm thứ m Zm = 1 gây ra trên hệ cơ bản.
Suy ra:
Rk(Zm) = rm.Zm
Gọi RkP, Rkt, RkZ: lần lượt là phản lực tại liên kết phụ thêm thứ k do nguyên
nhân ngoài P, t, Z gây ra trên hệ cơ bản.
Suy ra: Rk(P) = RkP, Rk(t) = Rkt, Rk(Z) = RkZ
Thay tất cả vào phương trình khai triển ta được:
rk1Z1 + rk2 Z2 + ...rkn Zn + RkP + Rkt + RkZ = 0
Cho k = 1,n ta được hệ phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị:
r Z + r Z +...r Z + R + R + R = 0
11
1
12
2
1n
n
1P
1t
1Z
r Z + r Z +...r Z + R + R + R = 0
21
1
22
2
2n
n
2P
2t
2Z
(6-3)
......
rn1Z1 + rn2 Z2 + ...rnn Zn + RnP + Rnt + RnZ = 0
Trong hệ phương trình này:
- rkk: gọi là hệ số chính, rkk > 0; - rkm: (k ≠ m) gọi là hệ số phụ, rkm = rmk
- RkP, Rkt, RkZ: gọi là số hạng tự do.
IV. Bảng tra nội lực cho một số phần tử:
1. Nguyên nhân tải trọng:
q
P
M
b
A
B
A
B
A
B
b
a
a
l
l
l
q2l
8
Pab
l
MA
MB
MA
MB
MB
d
M
MA
b
(ab//cd)
a
c
Pab 2
l 2
Pa2b
l2
ql 2
12
Mb(2a − b}
M A =
M A = −
M A = −
M B = −
l2
ql 2
Ma(a − 2b)
M B = −
M B = −
l2
12
q
P
M
b
A
B
A
B A
B
a
b
a
l
l
l
q2l
8
Pab
l
MA
MA
M
b
c
MA
d
a
(ab//cd)
ql 2
M B = 0
Pab(2l − a)
2l2
M A = −
M B = 0
M A = −
M
3b2
8
M A =
(1−
)
l2
M B = 0
2
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 63
B
q
P
l
M
b
A
B A
B
A
b
a
a
l
l
q2l
8
Pab
l
a
b
c
MA
MA
(ab//cd)
M
MB
MB
MB
MA
d
ql2
Mb
l
Pa
a
M A = −
(2 − )
M A = −
M A = −
2
l
3
Pa2
ql2
Ma
M B =
M B =
M B =
l
2l
6
2. Nguyên nhân biến thiên nhiệt độ:
(t > t
2
1
)
(t
2
> t
1
)
(t2
> t )
1
t
1
t1
t1
A
B
A
B
A
B
t
2
t
2
t2
EJ, h, α
EJ, h, α
EJ, h, α
l
l
l
MB
MB
MA
M
A
MA
α
h
3 α
2 h
α
h
M A = − EJ(t2 − t1 )
M A = −
M B = 0
EJ(t2 − t1 )
M A = − EJ(t2 − t1 )
M B = M A
M B = M A
3. Nguyên nhân là chuyển vị cưỡng bức:
ϕ
ϕ
ϕ
EJ
EJ
EJ
A
B
A
B A
B
l
l
l
MA
MB
MA
MA
MB
4EJ
3EJ
EJ
l
M B = M A
M A =
ϕ
M A =
ϕ
M A =
ϕ
l
l
2EJ
M B = 0
M B = −
ϕ
l
EJ
EJ
A
B
A
B
l
l
M
A
M
A
MB
6EJ
3EJ
l2
M A = −
∆
l2
M A = −
M B = 0
∆
6EJ
M B =
∆
l2
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 64
V. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc:
1. Vẽ các biểu đồ mômen uốn trong hệ cơ bản xác định động:
a. Biểu đồ (Mk ): Là biểu đồ mômen uốn do riêng nguyên nhân Zk = 1 gây ra
trên hệ cơ bản.
a.1. Trường hợp Zk là chuyển vị góc xoay:
Nguyên nhân này chỉ gây ảnh hưởng cục bộ tại liên kết chịu Zk, nghĩa là chỉ
có các thanh có đầu quy tụ vào nút đó mới chịu ảnh hưởng. Do vậy biểu đồ ( Mk )
được vẽ bằng cách rời rạc hệ cơ bản và tra bảng cho các phần tử chịu chuyển vị góc
xoay tại đầu thanh.
a.2. Trường hợp Zk là chuyển vị thẳng:
Khi một nút chuyển vị thẳng sẽ gây ra chuyển vị thẳng tại nhiều nút trong hệ,
do đó sẽ gây ra nội lực trong nhiều thanh. Mặc khác chỉ có chuyển vị thẳng tương
đối theo phương vuông góc với trục thanh mới gây ra nội lực.
a.2.1 Khi hệ chỉ gồm các thanh đứng song song:
Nếu bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng dọc trục thanh, khi 1 nút nào đó
chuyển vị thẳng thì các thanh ngang và nghiêng sẽ tịnh tiến nghĩa là các thanh phần
chuyển vị tương đối theo phương vuông góc với trục thanh bằng không, còn các
thanh đứng trong phạm vi mỗi tầng sẽ có chuyển vị tương đối như nhau theo
phương vuông góc với trục thanh (H.6.2.5a & b).
∆
∆
∆
∆
C'
∆
C
D
A
E
D'
E'
F
F'
D
B
D'
C
B
H.6.2.5a
A
H.6.2.5b
a.2.2.Khi hệ có các thanh đứng không song song:
Thành phần chuyển vị thẳng cần tìm nói chung sẽ tồn tại trong tất cả các
thanh, giá trị của chúng sẽ khác nhau trong mỗi thanh đứng. Các thành phần nay có
thể tìm bằng cách lập sơ đồ chuyển vị.
* Cơ sở của việc lập sơ đồ: Chuyển vị thẳng tại 1 nút sẽ biết nếu như biết
được ít nhất 1 chuyển vị tại 2 đầu thanh đối diện qui tụ vào nút. Xem sự phân tích
trên hình (H.6.1.2)
* Mục đích của việc lập sơ đồ chuyển vị là biểu diễn sự thay đổi vị trí của
các đầu thanh lên sơ đồ mà trên đó ta có thể xác định được chuyển vị thẳng tương
đối tại các đầu thanh. Ta tìm hiểu cách lập sơ đồ qua hệ cho trên hình vẽ (H.6.2.6a).
Trong đó, giả sử nút 1 chịu chuyển vị δ.
Bước 1: Chọn 1 điểm O làm gốc và tượng trưng cho các điểm không có
chuyển vị. Vậy nếu gọi A, B, C là tượng trưng cho các điểm a, b, c trên sơ đồ
chuyển vị thì A, B, C trùng với O.
Bước 2: Qua O kẻ 1 đoạn OI = δ theo phương và chiều của chuyển vị nút 1,
có độ lớn theo tỷ lệ xích tuỳ chọn. Điểm I là tượng trưng cho chuyển vị của nút 1
trên sơ đồ chuyển vị.
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 65
⊥
23
⊥
3c
1
2
III
3
δ
1'
II
C≡A≡B≡O
c
a
b
δ
H.6.2.6a
I
H.6.2.6b
⊥
12
Bước 3: Xác định điểm II tượng trưng
cho nút 2 trên sơ đồ chuyển vị.
Nút 2 có 2 đầu thanh đối diện đã biết trên sơ đồ chuyển vị là 1→ I, b → B.
Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với thanh 12, qua B kẻ đường thẳng vuông góc
với thanh 2b. Giao điểm chính là II.
Bước 4: Xác định điểm III tượng trưng cho nút 3 trên sơ đồ chuyển vị.
Tương tự bước 3, qua II kẻ đường thẳng vuông góc với thanh 23, qua C kẻ
dường thẳng vuông góc với thanh 3c. Giao điểm là điểm III.
Bước 5: Xác định kết quả. Để xác định chuyển vị thẳng tương đối theo
phương vuông góc với trục thanh của thanh ik ta chỉ việc đo chiều dài của đoạn IK
tương ứng trên sơ đồ chuyển vị hoặc giải các tam giác với các góc và các cạnh đã
biết trên sơ đồ chuyển vị.
* Sau khi đã xác định chuyển vị thẳng, ta vẽ biểu đồ ( Mk ) bằng cách rời rạc
và tra bảng cho từng cấu kiện.
b. Biểu đồ ( M Po ): Là biểu đồ mômen uốn do tải trọng gây ra trên hệ cơ bản.
(M Po ) được vẽ bằng cách rời rạc và tra bảng cho từng cấu kiện.
c. Biểu đồ ( Mto ): Là biểu đồ mômen uốn do biến thiên nhiệt độ gây ra trên
hệ cơ bản.
Phân tích nguyên nhân này ra làm hai thành phần:
- Thành phần biểu thị sự thay đổi nhiệt độ của thớ trên và thớ dưới trong
phạm vi mỗi cấu kiện và được đặc trưng bằng ∆t = t2 - t1. Thành phần này gây ra
(M ∆ot ).
- Thành phần biểu thị sự thay đổi nhiệt độ dọc trục thanh và được đặc trưng
bằng tc. Thành phần này gây ra (Mtoc ).
Theo nguyên lý cộng tác dụng:
(Mto ) = (Mtoc ) + (M∆ot )
- (M ∆ot ) là do ∆t gây ra. Nhưng sự chênh lệch nhiệt độ ∆t chỉ làm cho thanh
bị uốn cong mà không thay đổi chiều dài. Điều này có nghĩa ∆t chỉ gây ra mômen
uốn trong thanh đó mà không ảnh hưởng đến các thành phần tử khác. Vậy (M ∆ot )
được vẽ bằng cách rời rạc hệ và tra bảng cho cái phần tử chịu ∆t.
- (Mtoc ) do tc gây ra. Mặc dù tc không làm cho thanh bị uốn cong nhưng làm
thay đổi chiều dài. Điều này gây ra chuyển vị thẳng tại các nút và gây ra nội lực
trong hệ. So sánh với trường hợp hệ chịu nguyên nhân Zk là chuyển vị thẳng thì có
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 66
sự tương tự nhưng ở đây sự chuyển vị của các nút do sự thay đổi chiều dài của các
thanh. Vậy ta cũng đi lập sơ đồ chuyển vị (còn gọi là giản đồ Williot) như khi lập
cho Zk là chuyển vị thẳng nhưng cần bổ sung sự chuyển vị các nút do sự thay đổi
chiều dài trong mỗi thanh.
Ta sẽ tìm hiểu cách lập sơ đồ chuyển vị qua hệ trên hình (H.6.2.7.a).
Biến dạng dọc trục của thanh ik được xác định bằng biểu thức
∆lik = αlik tcik
+ α hệ số dãn nở vì nhiệt
+ tcik, lik là biến thiên nhiệt độ dọc trục và chiều dài thanh ik
Trong ví dụ này giả sử biến dạng trong các thanh tương ứng là ∆la3, ∆l23,
∆l21, ∆l1c (giãn ra) và ∆l2b: (co ngắn lại)
Các bước thực hiện như sau:
Bước 1: Chọn 1 điểm O làm chuẩn, O tượng trưng cho những điểm không có
chuyển vị. Như vậy nếu gọi A, B, C, D là tượng trưng cho các điểm a, b, c, d trên sơ
đồ chuyển vị thì A, B, C, D trùng với O.
Bước 2: Xác định điểm I tượng trưng cho nút 1 trên sơ đồ chuyển vị.
Ta nhận thấy nút 1 chỉ có thể chuyển vị theo phương dọc trục thanh 1c nên
trên giản đồ ta dựng 1 đoạn I = ∆l1c.
Bước 3: Xác định điểm II tượng trưng cho nút 2 trên sơ đồ chuyển vị.
Nút 2 có 2 đầu thanh đối diện dã biết trên sơ đồ chuyển vị là b → B; 1 → I.
+ Qua 1 kẻ 1 đoạn ∆l12 (độ giãn của thanh 12) được 21
+ Qua B kẻ 1 đoạn ∆l2b (độ co ngắn của thanh 2b) được 22
+ Qua 21 kẻ đường vuông góc với thanh 12.
+ Qua 22 kẻ đường vuông góc với thanh 2b.
Giao điểm của 2 đường này là II.
Bước 4: Xác định điểm III tượng trưng cho nút 3 trên sơ đồ chuyển vị.
Nút 3 có 2 đầu thanh đối diện đã biết trên sơ đồ chuyển vị là 2 → II, a→ A.
Ta thực hiện tương tự như bước 3.
tc23
tc12
∆l12
∆l23
III
3
2
1
32
I
d
⊥
3a
tc2b
∆l2b
tc1c
tc3a
∆l3a
21
∆l1c
b
a
c
H.6.2.7a
O≡A≡B
≡C≡D
⊥
23
Bước 5: Xác định kết quả.
Muốn tìm chuyển vị tương đối
22
theo phương vuông góc với trục thanh
của thanh ik, ta chiếu đoạn IK tương
ứng trên giản đồ lên phương cần tìm.
31
II
∆l23
⊥
12
⊥
2b
∆l12
H.6.2.7b
Sau khi đã xác định được
chuyển vị thẳng tương đối theo phương
vuông góc với trục thanh ta sẽ tra bảng vẽ được (Mtoc ).
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 67
d. Biểu đồ ( M Zo ): là biểu đồ mômen uốn do chuyển vị cưỡng bức tại các gối
tựa gây ra trên hệ cơ bản.
Phân tích nguyên nhân này ra làm 2 loại: chuyển vị thẳng (∆) và chuyển vị
góc xoay (ϕ) .
Theo nguyên lý cộng tác dụng:
(MZo ) = (Mϕo ) + (M ∆o )
(Mϕo ): do nguyên nhân (ϕ) gây ra, vẽ tương tự biểu đồ ( Mk ) do Zk là chuyển
vị góc xoay.
(M∆o ): do nguyên nhân (∆) gây ra, vẽ tương tự biểu đồ (Mk ) do Zk là chuyển
cị thẳng. Tất nhiên là có thể lập sơ đồ chuyển vị nếu cần.
2. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc:
a. Trường hợp liên kết k là liên kết mômen:
- Xác định rkm: Tách nút k trên biểu đồ mômen (M m ) và xét cân bằng mômen
nút.
- Xác định RkP, Rkt, RkZ. Tương tự, tách nút k trên các biểu đồ mômen tương
ứng và xét cân bằng mômen nút.
b. Trường hợp liên kết k là liên kết lực:
Tương tự như ở trên bằng cách thực hiện 1 mặt cắt qua liên kết k trên biểu đồ
mômen tương ứng nhằm tách ra khỏi hệ một bộ phận và xét cân bằng lực.
* Chú ý:
- Chiều dương của phản lực lấy theo chiều của chuyển vị cưỡng bức đặt
thêm vào trên hệ cơ bản.
- Khi liên kết k là liên kết mômen, thì chỉ cần xác định mômen quanh nút k
là đủ để viết phương trình cân bằng mômen. Khi liên kết k là liên kết lực thì ta chỉ
cần xác định các lực cắt hoặc lực dọc vừa đủ để tham gia phương trình cân bằng
hình chiếu.
VI. Vẽ biểu đồ nội lực:
Sau khi giải hệ phương trình chính tắc sẽ xác định được (Z1, Z2,... Zn) và có
thể giải hệ theo cách tính trực tiếp hay theo nguyên lý cộng tác dụng như phương
pháp lực. Trong vẽ thực hành người ta thường sử dụng phương pháp cộng tác dụng
để vẽ biểu đồ mômen:
(M ) = (M1 )Z1 + (M2 )Z2 + ...(Mn )Zn + (M Po ) + (Mto ) + (M Zo )
Biểu đồ lực cắt được suy ra từ biểu đồ mômen và biểu đồ lực dọc được suy
ra từ biểu đồ lực cắt như trong phương pháp lực.
CÁC VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN VỊ
Ví dụ: Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ cho trên hình (H.6.2.8a). Cho biết độ
cứng trong các thanh là EJ = const và chỉ xét biến dạng uốn.
* Hệ đối xứng chịu nguyên nhân đối xứng, ta lập sơ đồ tính một nữa hệ
tương đương như trên hình (H.6.2.8b) và đi giải bài toán trên một nửa hệ tương
đương.
1. Bậc siêu động:
n = n1 + n2 = 1 + 0 = 1
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 68
Z1
q
q
B
C
H.6.2.8a
2a
H.6.2.8b
H.6.2.8c
A
a
2. Hệ cơ bản và hệ phương trình chính tắc:
- Hệ cơ bản: (H.6.2.8c)
- Hệ phương trình chính tắc:
r11Z1 + R1P = 0
3. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc:
- Vẽ các biểu đồ (M1 ), (M Po ): kết quả trên hình vẽ (H.6.2.8d & H.6.2.8e).
qa2
Z1 = 1
qa2
4qa2
8
4EJ
3
15
qa2
a
qa2
EJ
a
15
M Po
H.6.2.8e
(M 1 )X1
M 1
2EJ
6
2qa2
H.6.2.8f
H.6.2.8d
- Xác định các hệ số:
* r11: Tách nút B trên (M1 ) và
15
a
r11
xét cân bằng nút.
5EJ
EJ
a
Kết quả r11 =
a
* R1P: Tách nút B trên (M Po ) và xét cân bằng nút.
qa2
4EJ
Kết quả R1P = −
a
3
Thay vào hệ phương trình chính tắc:
5EJ
qa2
qa3
Z1 −
= 0 → Z1 =
> 0
R1P
a
3
15EJ
qa2
4. Vẽ các biểu đồ nội lực:
a. Biểu đồ mômen:
−
3
(M ) = (M1 )Z1 + (M Po )
qa2
4
qa2
qa
15
8
3,5
15
qa2
6
qa
N
Q
M
15
6
2
qa
qa2
qa
15
15
H.6.2.8g
H.6.2.8l
H.6.2.8k
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 69
b. Biểu đồ lực cắt: được suy ra từ biểu đồ mômen. Kết quả trên hình vẽ
(H.6.2.8k).
c. Biểu đồ lực dọc: suy ra từ biểu đồ lực cắt. Kết quả trên hình vẽ (H.6.2.8l).
Sau khi đã có kết quả trên 1 nửa hệ, ta suy ra kết quả trên toàn hệ theo tính
chất của hệ đối xứng chịu nguyên nhân đối xứng.
Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực của hệ trên hình (H.6.2.9a). Cho biết độ cứng
trong thanh đứng là 2EJ, trong các thanh ngangg là EJ. Chỉ xét ảnh hưởng của biến
dạng uốn.
Z
1
M = 4T.m
Z
2
P = 2T
C
D
B
H.6.2.9b
H.6.2.9a
3m
A
3m
Z1 = 1
EJ
EJ
1. Bậc siêu động:
n = n1 + n2 = 1 + 1 = 2
2. Hệ cơ bản và hệ phương trình chính tắc:
- Hệ cơ bản: (H.6.2.9b)
2EJ
H.6.2.9c
M 1
- Hệ phương trình chính tắc:
r Z + r Z + R = 0
11
1
12
2
1P
EJ
r21Z1 + r22 Z2 + R2P = 0
3. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc:
- Vẽ các biểu đồ (M1 ),(M2 ),(M Po ): kết quả trên hình vẽ (H.6.2.9c →
Z2 = 1
M = 4T.m
H.6.2.9e).
P = 2T
3
4
EJ
M 2
M Po
H.6.2.9d
H.6.2.9e
3
EJ
4
- Xác định các hệ số:
* r11: Tách nút C trên (M1 ), r11 = 4EJ
* r12 = r21: Tách nút C trên (M2 )
r12 = r21 = 0,75EJ
r12
r11
R1P
EJ
EJ
* r22 cắt 1 phần hệ trên ( M2 )
(H.6.2.9g).
Q được suy ra từ ( M2 ). Q = Qtr
trên đoạn AC:
3
2EJ
M = 4
EJ
4
H.6.2.9f
0,75EJ - (-0,75EJ)
Q =
= 0,375EJ
4
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 70
Chiếu lên phương X → r22 = Q = 0,375EJ
* R1P: tách nút C trên (M Po )
→ R1P = - M = -4
* R2P: cắt 1 phần hệ trên (M Po )(H.6.2.9h). Chiếu lên phương X
M = 4
→ R2P = -P = -2
r22
P = 2
R2P
Q
N
Q = 0
N
H.6.2.9g
H.6.2.9h
Thay vào hệ phương trình chính tắc:
4EJ.Z1 − 0,75EJ.Z2 − 4 = 0
Z = 3,2/ EJ
1
− 0,75EJ.Z1 + 0,375EJ.Z2 − 2 = 0
Z2 = 11,733/ EJ
4. Vẽ các biểu đồ nội lực:
a. Biểu đồ mômen: (M ) = (M1 )Z1 + (M2 )Z2 + (M Po )
Kết quả thể hiện trên hình vẽ (H.6.2.9k)
b. Biểu đồ lực cắt: Suy ra từ (M)
c. Biểu đồ lực dọc: Suy ra từ (Q).
3,2
2,4
3,2
1,066
1,066
H.6.2.9l
2
H.6.2.9m
H.6.2.9k
5,6
M
Q
N
(T.m)
(T)
(T)
20°C
2
Ví dụ 3: Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ
cho trên hình vẽ (H.6.2.10a). Cho biết độ cứng
trong các thanh là như nhau EJ = 2000T.m2; h =
0,4m; α = 1,2.105.0C-1. Chỉ xét ảnh hưởng của
biến dạng uốn.
B
10°C
A
30°C
C
10°C
H.6.2.10a
4m
ϕ
* Chiều dài trong thanh BC:
3 3
1
3 3 / 2
lBC
=
.
= 3(m)
cos300
2
1. Bậc siêu động:
n = n1 + n2 = 1 + 0 = 1
2. Hệ cơ bản và hệ phương trình chính tắc:
- Hệ cơ bản (H.6.2.10b)
- Hệ phương trình chính tắc:
r11.Z1 + R1t = 0
3. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc:
a. Vẽ các biểu đồ (M1 ), (Mto )
+ (M1 ) do Z1 = 1 gây ra trên hệ cơ bản (H.6.2.10c)
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 71
+(Mto ) = (Mtoc ) + (M∆ot )
Z1 = 1
Z
1
α
h
EJ
EJ(t2 − t1 ) = 0,6
EJ
3 α
2 h
(t2 − t1 ) = 1,8
0,5EJ
M 1
H.6.2.10c
H.6.2.10b
(M ∆ot )
H.6.2.10d
*(M ∆ot )Rời rạc hệ và tra bảng cho các cấu kiện chịu nguyên nhân biến thiên
nhiệt độ ở thớ trên và thớ dưới (H.6.2.10d)
*(Mtoc ) : do biến thiên nhiệt độ dọc trục gây ra chuyển vị thẳng tại nút. Ta sẽ
đi xác định chuyển vị thẳng tương đối theo phương vuông góc với trục thanh bằng
sơ đồ chuyển vị (giản đồ Williot)
+ Biến thiên chiều dài trong các thanh:
10 + 20
∆lAB = α.lAB .tcAB = 1,2.10−5.4.
10 + 30
= 0,72mm
(dãn dài ra)
2
∆lBC = α.lBC .tcBC = 1,2.10−5.3.
= 0,72mm
2
(dãn dài ra)
+ Lập sơ đồ chuyển vị: (H.6.2.10e)
B'
⊥ΒC
+ Chuyển vị thẳng tương đối theo phương
vuông góc với thanh AB là chiếu đoạn A’B' lên
phương cần tìm chuyển vị. Đo bằng đoạn B1B'.
+ Tương tự đối với thanh BC là bằng đoạn
B'B2. Bằng quan hệ hình học dễ thấy:
B
2
⊥AB
30°
B1
∆lBC
0,72
∆
= ∆BC
=
=
= 2,687(mm)
O≡A'≡C'
AB
tg150 tg150
AB
∆l
+ Rời rạc hệ và tra bảng theo các chuyển vi
thẳng tương đối theo phương vuông góc với trục
thanh (H.6.2.10f).
H.6.2.10e
6EJ
lA2B
b. Xác định các hệ số:
∆
= 2,015
3EJ
lB2C
AB
* r11: r11 = 2EJ
* R1t = R1tc + R1∆t
+ R1∆t: R1∆t = 1,2
+ R1tC: R1tc = 0,224
.∆BC = 1,791
(Mtoc )
→ R1t = 1,424
Thay vào phương trình:
2,015
− 0,712
2EJ.Z1 +1,424 = 0 → Z1 =
< 0
H.6.2.10f
EJ
R1∆t
R1tc
r11
H.6.2.10g
0,6
2,015
EJ
1,8
EJ
1,791
4. Vẽ biểu đồ nội lực:
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 72
a. Mômen: (M ) = (M1 )Z1 + (Mtoc ) + (M∆ot ) (Xem H.9.10h)
b. Biểu đồ lực cắt (Q), và biểu đồ lực dọc
(N), vẽ tương tự các ví dụ trước.
0,703
0,703
Ví dụ 4: Vẽ các biểu đồ nội lực của hệ cho
như trên hình vẽ (H.6.1.2.11a). Các số liêu bài toán
tương tự ví dụ 3. Cho ϕ = 0,005rad; ∆1 = ∆2 =
0,02m.
M
2,259
(T.m)
H.6.2.10h
Hệ có sơ đồ giống ví dụ 3 nhưng chịu
nguyên nhân là chuyển vị cưỡng bức thay vì
nhiệt độ nên trong phương trình chính tắc chỉ
khác số hạng tự do (dùng R1Z, thay vì R1t).
Vậy ta cần xác định số hạng tự do.
ϕ
B
A
H.6.2.11a
+ Vẽ biểu đồ:
30°
C
(M Zo ) = (Mϕo ) + (M ∆o )
* Biểu đồ (Mϕo ): (H.6.2.11b )
* Biểu đồ(M∆o ): Lập sơ đồ chuyển vị.
4m
∆
2
3 3 / 2
Từ sơ đồ chuyển vị (H.6.2.11c), xác
4EJ
ϕ = 10
định được chuyển vị thẳng tương đối theo phương
vuông góc với trục thanh:
lAB
∆
= A'B'= ∆1.sin 450 + ∆2 .tg600
= 0,05464(m)
AB
ϕ
2EJ
ϕ = 5
∆
2
lAB
∆
= B'C'=
= 0,04(m)
BC
cos600
(Mϕo )
* Rời rạc hệ, tra bảng, vẽ được (M∆o )
+ Xác định số hạng tự do:
* R1Z = R1ϕ - R1∆
H.6.2.11b
Từ (Mϕo ) xác định được R1ϕ = -5
Từ (M∆o ) xác định được R1∆ = 26,666 - 40,98 = -14,314
Suy ra R1Z = -19,314
Thay vào phương trình chính tắc, giải ra được: Z1 = 9,657/EJ > 0
Vẽ biểu đồ (M ) = (M1 )Z1 + (Mϕo ) + (M∆o )
Biểu đồ lực cắt và lực dọc vẽ tương tự các ví dụ trước.
O≡A'
6EJ
lA2B
∆
= 40,98
AB
46,151
= 26,666
45°
60°
36,323
3EJ
lB2C
C'
∆
BC
36,323
ϕ
40,98
M
H.6.2.11c
(T.m)
(M∆o )
H.6.2.11d
B'
H.6.2.11e
∆
2
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 73
ß3. XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU ĐỘNG.
1. Chuyển vị tại các nút:
Đó chính là các chuyển vị Zk tương ứng tìm được khi giải hệ phương trình
chính tắc.
2. Chuyển vị tại các tiết diện bên trong phần tử:
Có thể được xác định theo 1 trong 3 cách sau:
a. Ngay từ đầu, coi tiết diện có chuyển vị cần tìm như 1 nút của hệ. Như vậy,
ta đưa bài toán xác định chuyển vị tại tiết diện bất kỳ về bài toán tìm chuyển vị tại
nút và thực hiện như đã nêu ở trên. Biện pháp này đơn giản nhưng làm tăng số
lượng ẩn số.
b. Sau khi giải bài toán, đã biết được nội lực và chuyển vị ở 2 đầu mỗi phần
tử, ta có thể xác định chuyển vị tại tiết diện bất kỳ bên trong phần tử theo các
phương pháp đã biết như phương pháp thông số ban đầu, cách xác định chuyển vị
trong chương chuyển vị…
c. Sau khi xác định được nội lực trong hệ siêu động, ta xem hệ là hệ siêu tĩnh
với nội lực đã biết và áp dụng cách xác định chuyển vị trong hệ siêu tĩnh như đã biết
trong chương phương pháp lực. Trong tính toán thường sử dụng cách này.
Ví dụ: Xác định độ võng tại tiết diện k của hệ trên hình vẽ (H.6.3.1a). Cho EJ
trên toàn hệ bằng 1000T.m2, chiều cao tiết diện các thanh h = 0,3m; hệ số dãn nở vì
nhiệt α = 1,2.105.0C-1; góc xoay ϕ = 0,005rad.
Z1
q
20°C
C
B
k
A
D
10°C
H.6.3.1a
H.6.3.1b
ϕ
3m
2m
2m
Z1 = 1
EJ
EJ
EJ
1. Vẽ biểu đồ mômen uốn:
a. Bậc siêu động:
n = n1 + n2 = 1 + 0 = 1
b. Hệ cơ bản và hệ phương trình chính
0,5EJ
tắc:
M 1
- Hệ cơ bản (H.6.3.1b)
- Hệ phương trình chính tắc:
r11.Z1 + R1P + R1t + R1Z = 0
0,5EJ
H.6.3.1c
c. Xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc:
- Vẽ các biểu đồ (M1 ), (M Po ), (Mto ),(MZo )
+ (Mto ) = (Mtoc ) + (M∆ot )
*(Mtoc ) : nguyên nhân tc trong thanh AC chỉ gây ra chuyển vị thẳng tương đối
theo phương vuông góc trục thanh của thanh BC. Dễ thấy:
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 74
10 + 20
∆lBC = α.lAC .tCAC = 1,2.10−5.4.
= 0,72mm
2
+ (M Zo ) = (Mϕo ) + (M ∆o )
Ở đây (M∆o ) không tồn tại.
1,35
1,35
20°C
10°C
0,54
(Mtoc )
M Po
6EJ
lB2C
∆
= 0,54
BC
H.6.3.1f
H.6.3.1d
5
α
h
(t2 − t1 )EJ = 0,8
(Mϕo )
(M ∆ot )
4EJ
ϕ
H.6.2.1e
.ϕ = 10
H.6.3.1g
lBC
- Xác định các hệ số: Từ các biểu đồ đã vẽ, tính được:
* r11 = 3EJ; R1P = -1,35;
* R1t = R1tC + R1∆t =
2,12
3,69
1,35
-0,54 - 0,8 = -1,34
* R1Z = R1ϕ = 5
Thay vào hệ phương trình:
1,57
0,415
M
3EJ.Z1 - 1,35 - 1,34 + 5 = 0
(T.m)
0,77
→ Z1 = −
9,075
EJ
H.6.3.1h
d. Vẽ biểu đồ mômen:
(M ) = (M1 )Z1 + (M Po ) + (MtoC ) + (M∆ot ) + (Mϕo )
2. Xác định độ võng tại k:
- Trạng thái "m" đã được giải với biểu đồ (M) ở trên
- Trạng thái "k" tạo trên hệ cơ bản của phương pháp lực và xác định (Mko ) ,
(N o ), (R jok )
k
- Độ võng tại k:
Pk = 1
Pk = 1
1
(M ok )
(N ok )
0,5
0,5
0
0
0,5
H.6.3.1l
H.6.3.1k
0,5
0,5
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 75
α
yk = (M ko )(M ) − ΣRjok .Z jm + Σ (t2 − t1 )Ω(M ko ) + ΣαtcΩ(Nko )
h
1 1.4 0,415 +1,57
α
0,3
1.4
2
=
.
.
− 0 +
(10 − 20).
+ 0
EJ 2
1,985 200α
2
=
−
= 0,1925(mm) > 0
EJ
3
Chuyển vị cùng chiều với Pk.
CƠ HỌC KẾT CẤU II
Page 76
ß4: TÍNH HỆ CÓ NÚT KHÔNG CHUYỂN VỊ THẲNG
CHỈ CHỊU TẢI TRỌNG LÀ CÁC LỰC TẬP TRUNG TẠI NÚT
Chẳng hạn hệ cho trên hình (H.6.4.1) là thỏa mãn yêu cầu bài toán.
H.6.4.1
H.6.4.2
H.6.4.3
Với những loại hệ này thì khi tạo hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị ta
chỉ đặt thêm các liên kết mômen. Mặc khác, tải trọng chỉ là những lực tập trung tại
nút nên biểu đồ (M Po ) không tồn tại và do đó RkP cũng không tồn tại.
Vậy hệ phương trình chính tắc tổng quát cho trường hợp này:
r Z + r Z + ...r Z = 0
11
1
12
2
1n
n
r Z + r Z + ...r Z = 0
21
1
22
2
2n
n
...
rn1Z1 + rn2 Z2 + ...rnn Zn = 0
Đây là hệ phương trình thuần nhất, đẳng cấp và người ta chứng minh chỉ có
nghiệm duy nhất Z1 = Z2 =... Zn = 0
Suy ra biểu đồ mômen của hệ:
(M ) = (M1 )Z1 + (M2 )Z2 + ...(Mn )Zn + (M Po ) sẽ không tồn tại
Suy ra biểu đồ lực cắt của hệ không tồn tại.
Nội lực trong hệ chỉ tồn tại lực dọc, hệ làm việc như 1 hệ dàn với các nút và
các ngàm được thay bằng các khớp lý tưởng (H.6.4.1c)
Kết luận: Khi tính hệ có nút không chuyển vị thẳng và chỉ chịu tải trọng là
các lực tập trung tại nút, ta có thể thay thế các nút và ngàm bằng các liên kết khớp
và tính toán như 1 hệ dàn thông thường.
Tải về để xem bản đầy đủ
24 trang
30940
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cơ học kết cấu II - Chương 6: Phương pháp chuyển vị", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_co_hoc_ket_cau_ii_chuong_6_phuong_phap_chuyen_vi.pdf
