Giáo trình Cơ học lý thuyết - Chương 12: Các định lý tổng quát của động lực học

-148-

Ch−¬ng 12

C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t cña ®éng lùc häc

C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t cña ®éng lùc häc lµ hÖ qu¶ cña ®Þnh luËt c¬ b¶n cña

Niu-T¬n. Nã thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i l−îng do chuyÓn ®éng cña chÊt

®iÓm hay c¬ hÖ víi c¸c ®¹i l−îng ®o t¸c dông cña lùc.lªn chÊt ®iÓm hay c¬ hÖ

®ã. C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t cña ®éng lùc häc cho phÐp ta nghiªn cøu tÝnh chÊt

quan träng cña chuyÓn ®éng mµ kh«ng cÇn biÕt chi tiÕt chuyÓn ®éng ®ã. V× thÕ

nã cho phÐp ta gi¶i thuËn lîi mét sè bµi to¸n cña ®éng lùc häc ®Æc biÖt lµ bµi

to¸n vÒ ®éng lùc häc cña c¬ hÖ mµ nÕu ¸p dông ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®Ó gi¶i th×

sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n.

12.1. C¸c ®Æc tr−ng h×nh häc khèi cña c¬ hÖ vµ vËt r¾n.

Khi kh¶o s¸t ®éng lùc häc cña c¬ hÖ ng−êi ta ph¶i ®Ó ý ®Õn khèi l−îng cña

chóng vµ sù ph©n bè khèi l−îng Êy trong kh«ng gian. C¸c ®Æc tr−ng liªn quan

®Õn ph©n bè khèi l−îng cña c¬ hÖ hay vËt r¾n lµ khèi t©m vµ m« men qu¸n tÝnh.

12.1.1. Khèi t©m cña hÖ

XÐt hÖ N chÊt ®iÓm M₁, M₂,...M_ncã khèi l−îng m₁, m₂, ...m_.N. VÐc t¬ ®Þnh

r

vÞ chóng lµ: r ₁, r ₂,.... r _N.( H×nh 12.1) .Ta cã ®Þnh nghÜa sau:

Khèi t©m cña hÖ lµ ®iÓm C x¸c ®Þnh

r

z

r ₂

M₂

b»ng biÓu thøc:

M₁

C

N

r

m r

M_n

∑

k

r

k=1

r

r _{C r}

r _n

1

r _C=

;

M

O

(12-1)

y

N

x

Víi M = m .

∑

k

H×nh 12.1

k=1

ChiÕu biÓu thøc (12-1) lªn c¸c trôc

-149-

to¹ ®é oxyz (h×nh 10-1) ta ®−îc:

N

m x

∑

k

k=1

x_c=

y_C=

z_C=

M

N

m y

∑

k

k=1

(12-2)

M

N

m z

∑

k

k=1

M

Trong ®ã x_C, y_C, z_Clµ to¹ ®é khèi t©m C; x_k, y_k, z_klµ to¹ ®é cña chÊt ®iÓm

thø k trong c¬ hÖ. Tr−êng hîp ®Æc biÖt trong tr−êng träng lùc hÖ lµ vËt r¾n khèi

t©m sÏ trïng víi träng t©m cña vËt.

12.1.2. M« men qu¸n tÝnh cña vËt

12.1.2.1. M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét t©m

M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét t©m ký hiÖu lµ J_ob»ng tæng c¸c tÝch

sè gi÷a c¸c khèi l−îng cña mçi chÊt ®iÓm víi b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch gi÷a

chÊt ®iÓm ®ã víi ®iÓm O (h×nh 10-1)

N

J = m r²

(12-3)

∑

o

k k

k=1

12.1.2.2. M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét trôc

M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét trôc z ký hiÖu lµ J_zb»ng tæng c¸c

tÝch khèi l−îng m_kcña mçi chÊt ®iÓm trong vËt víi b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch d_k

tõ chÊt ®iÓm ®Õn trôc (h×nh 12-1).

N

J = m d²

(12-4)

∑

z

k

k=1

Gäi to¹ ®é c¸c chÊt ®iÓm M_ktrong hÖ to¹ ®é oxyz lµ x_k,y_k, z_kth× m« men

qu¸n tÝnh cña hÖ ®èi víi c¸c trôc to¹ ®é lµ ox, oy, oz vµ ®èi víi gèc to¹ ®é O viÕt

®−îc:

-150-

J = m (y²+ z²);

∑

x

k

J = m (x²+ z²);

∑

y

k

J = m (y²+ x²);

(12-5)

(12-6)

∑

z

k

J = m r²= m (x²+ y²+ z²).

∑

o

k

Tõ ®ã suy ra:

J_x+ J_y+ J_z= J_o.

Trong kü thuËt ta tÝnh m« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét trôc theo

biÓu thøc:

J_z= M.ρ²

M lµ khèi l−îng cña vËt, ρ gäi lµ b¸n kÝnh qu¸n tÝnh cña vËt víi trôc z.

12.1.2.3. M« men qu¸n tÝnh cña mét sè vËt ®ång chÊt

- VËt lµ mét thanh máng ®ång chÊt

Gäi chiÒu dµi cña thanh lµ l, khèi l−îng cña nã lµ M. Chän trôc Ax däc

theo thanh (h×nh 12-2).

y

XÐt mét phÇn tö cña thanh cã

chiÒu dµi dx ë vÞ trÝ c¸ch A mét ®o¹n

x_R, cã khèi l−îng dm = ρ₁.dx ë ®©y

ρ₁lµ khèi l−îng riªng trªn mét ®¬n

vÞ chiÒu dµi cña thanh ρ = M/l

m_k

B

A

x

x_k

d_x

H×nh 12-2

D

A

BiÓu thøc m« men qu¸n tÝnh

y

cña thanh lÊy ®èi víi trôc Az vu«ng gãc víi

thanh t¹i A lµ:

x

dx

l³

1

l

J_Az

=

x²dm = ρ_ix²dx = ρ = Ml²

∫

0

3

B

C

x

(127)

H×nh 12.3

-151-

- VËt lµ mét tÊm ph¼ng h×nh ch÷ nhËt (h×nh 12-3)

Gäi c¸c c¹nh cña h×nh lµ a, b, khèi l−îng cña tÊm ph¼ng lµ M. Chia h×nh

thµnh nhiÒu gi¶i nhá song song víi trôc o mçi gi¶i cã bÒ réng lµ dx, cã m« men

1

qu¸n tÝnh ®èi víi trôc Ax lµ J_k= m a²(theo h×nh 12-3)

k

3

Trong ®ã m_klµ khèi l−îng cña gi¶i ®ang xÐt.

M« men qu¸n tÝnh cña c¶ h×nh ®èi víi trôc A_xlµ :

n

1

J = J =

m_ka²= a²m ;

∑

x

kx

k

_k=13

3

k=1

1

J_x= a²M

(12-8)

3

T−¬ng tù suy ra:

1

J_y= b²M

(12- 9)

y

R

x

3

- VËt lµ mét vµnh trßn ®ång chÊt

Gäi b¸n kÝnh vµ khèi l−îng cña vµnh lµ R vµ

M. TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña vµnh ®èi víi trôc

Cz vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña vµnh vµ ®i qua

t©m C. (h×nh 12-4).

C

H×nh 12.4

Ta cã:

y

R

n

J_cz= m r²= m R ²;

∑

k=1

k k

k

d_rk

k=1

n

x

J_cz= R ²m = MR ².

(12-10)

r_k

∑

k

O

k=1

C«ng thøc (12-10) còng dïng ®Ó tÝnh m«

men qu¸n tÝnh cña mét èng trôc trßn ®ång chÊt ®èi

víi trôc cña nã.

H×nh 12.5

-152-

- VËt lµ mét tÊm ph¼ng trßn ®ång chÊt

Gäi b¸n kÝnh vµ khèi l−îng cña tÊm lµ R vµ M. Ta cã thÓ tÝnh m« men

qu¸n tÝnh ®èi víi trôc Cz ký hiÖu lµ J_czvµ m« men qu¸n tÝnh ®èi víi trôc Cx hay

Cy trïng víi ®−êng kÝnh cña nã ký hiÖu lµ J_x, J_y.

Chia tÊm thµnh nhiÒu vµnh nhá cïng t©m C b¸n kÝnh mçi vµnh thø k lµ r_k.

BÒ réng cña mçi vµnh thø k lµ dr_k. Khèi l−îng cña líp vµnh thø k lµ :

m_k= ρ.2π.r_k.dr_k

M

πR ²

Trong ®ã ρ lµ khèi l−îng riªng cña tÊm trªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch ρ =

.

Theo c«ng thøc (12-10) m« men qu¸n tÝnh cña líp vµnh thø k nµy ®èi víi

trôc Cz viÕt ®−îc.

2

3

J^k= m_kr_k= 2πρ.r_kdr_k

cz

M« men qu¸n tÝnh cña c¶ tÊm ®èi víi tôc Cz viÕt ®−îc:

n

J = J^k= 2πρr³dr

∑

k=1

cz

k

k=1

R

1

hay: J_cz= 2πρr_k³dr_k= πρR⁴.

∫

o

2

Cuèi cïng ta cã:

1

J_cz= MR²

(12-11)

2

§Ó tÝnh J_czvµ J_cyta cã nhËn xÐt mäi ®iÓm cña tÊm cã z_x= 0, v× thÕ theo

(12-5) viÕt ®−îc:

n

J = m (y²+ z²) = m y²;

∑

cx

k

k=1

n

J = m (x²+ z²) = m x²;

∑

k=1

cy

k

k=1

-153-

n

J = m (x²+ y²).

∑

cz

k

k=1

Tõ c¸c biÓu thøc trªn suy ra trong tr−êng hîp nµy:

J_cz= J_cx+ J_cy.

Do ®èi xøng nªn sù ph©n bè khèi l−îng cña tÊm ®èi víi trôc cx vµ cy hoµn

toµn nh− nhau. Ta cã:

J_cx= J_cy= J_cz/2= MR²/4.

(12-11)

C«ng thøc (10-11) còng cã thÓ tÝnh m« men qu¸n tÝnh cho vËt lµ mét trôc

trßn ®ång chÊt ®èi víi trôc cña nã.

12.1.2.4. M« men qu¸n tÝnh ®èi víi c¸c trôc song song.

-§Þnh lý Huy-Ghen: M« men qu¸n tÝnh cña mét vËt ®èi víi mét trôc z₁

nµo ®ã b»ng m« men qu¸n tÝnh cña nã ®èi víi trôc z song song víi trôc z₁®i qua

khèi t©m cña vËt céng víi tÝch khèi l−îng cña vËt víi b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch

gi÷a hai trôc.

J_z1= J_cz+ Md²

Chøng minh:

(12-12)

z

Theo ®Þnh nghÜa J = m d'²

(a)

z'

∑

z1

k

B

d_k

α_k

d

KÎ trôc cz song song víi z₁vµ ®i qua khèi

t©m c (h×nh 12-6)

M_k

d'_k

y_k

y

Ta cã:

x_k

C

2

d'_k= d_k+ d²- 2d_kdcosα_k.

Gäi to¹ ®é cña ®iÓm M_klµ x_k, y_k, z_k.

x

x_k= d_kcosα_ksuy ra:

2

d'_k= d_k+ d²- 2dx_k

H×nh 12.6

Thay kÕt qu¶ vµo biÓu thøc (a) sÏ ®−îc:

2

J = m (d + d²- 2x d) = m d + m d²- 2 m dx ),

∑

z1

k

-154-

2

trong ®ã: m d = J ;

∑

k

cz

m d²= Md²cßn

m dx = d m x = dMx

∑

k

C

Do gèc to¹ ®é trïng víi khèi t©m c nªn x_C=0.

m dx = 0 Cuèi cïng ®−îc: J_z1= J_cz+ Md².

Do ®ã:

∑

k

§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.

12.2. §Þnh lý ®éng l−îng vµ ®Þnh lý chuyÓn ®éng cña

khèi t©m

12.2.1. §Þnh lý ®éng l−îng

12.2.1.1. §éng l−îng cña chÊt ®iÓm vµ cña hÖ

r

§éng l−îng cña chÊt ®iÓm lµ mét ®¹i l−îng vÐc t¬ ký hiÖu lµ k b»ng tÝch

gi÷a khèi l−îng vµ vÐc t¬ vËn tèc cña chÊt ®iÓm.

r

k = m v.

(12-14)

r

§éng l−îng cña hÖ lµ ®¹i l−îng vÐc t¬ ký hiÖu K b»ng tæng h×nh häc

®éng l−îng c¸c chÊt ®iÓm trong hÖ.

n

r

K =

k =

m v .

(12-15)

∑

k

v

k

k=1

§¬n vÞ ®o ®éng l−îng lµ kgm/s

Ta còng cã thÓ biÓu diÔn ®éng l−îng cña hÖ qua khèi l−îng vµ vËn tèc

khèi t©m cña hÖ.

Tõ (12-1) suy ra:

r

m r = M r .

∑

k

c

§¹o hµm hai vÕ theo thêi gian nhËn ®−îc:

r

m v = Mv .

∑

k

o

§éng l−îng cña hÖ b»ng tÝch gi÷a khèi l−îng vµ vÐc t¬ vËn tèc khèi t©m

cña hÖ.

-155-

12.2.1.2. Xung l−îng cña lùc (xung lùc)

Lùc t¸c dông trong mét kho¶ng thêi gian nhá bÐ dt th× ®¹i l−îng vÐc t¬ ®o

b»ng tÝch gi÷a lùc víi kho¶ng thêi gian v« cïng bÐ ®ã lµ xung l−îng phÇn tö cña

r

lùc Fký hiÖu lµ ds = F.dt.

(12-17)

r

NÕu lùc F t¸c dông trong kho¶ng thêi gian h÷u h¹n tõ t_o®Õn t th× ®¹i

l−îng vÐc t¬ tÝnh b»ng tÝch ph©n c¸c xung lùc phÇn tö trong kho¶ng thêi gian ®ã

r

gäi lµ xung l−îng cña lùc F trong kho¶ng thêi gian tõ t_o®Õn t vµ ký hiÖu lµ s .

r

t

r

s = ds = Fdt

(12-18)

∫

to

r

Theo (10-18) nÕu lùc F = const th×:

r

s = F.τ

ë ®©y τ = t - t_o

12.2.1.3. §Þnh lü ®éng l−îng

§Þnh lý 12.1: §¹o hµm theo thêi gian ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm b»ng hîp

lùc c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm.

n

r

d

r

=

F

(12-19)

∑

(mv)

i

i=1

dt

Chøng minh: XÐt chÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng víi vËn tèc v

r

d−íi t¸c dông cña hÖ lùc (F₁, F₂,... F_n). Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n viÕt cho chÊt ®iÓm:

n

r

mW =

F

∑

i

i=1

r

dv

Thay W =

vµo biÓu thøc trªn sÏ ®−îc:

dt

n

r

d

r

mW = (mv) =

F

∑

i

dt

i=1

§Þnh lý ®−îc chøng minh.

BiÓu thøc (12-19) thùc chÊt lµ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n viÕt d−íi d¹ng ®éng

l−îng cho chÊt ®iÓm.

-156-

§Þnh lý 12.2: BiÕn thiªn ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm trong kho¶ng thêi gian

tõ t_o®Õn t₁b»ng tæng h×nh häc xung l−îng cña c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm

trong kho¶ng thêi gian ®ã.

n

r

S

_t1r

F dt =

r

mv - mv =

(12-20)

∑

1

o

k

∫

to

k=1

Chøng minh: Tõ ph−¬ng tr×nh (10-19) suy ra:

n

_t1r

r

d(mv) =

F_kdt

∑

∫

to

k=1

TÝch ph©n hai vÕ ph−¬ng tr×nh nµy t−¬ng øng víi c¸c cËn t¹i t_ovµ t₁sÏ cã:

n

r

_t1r

Fdt;

to

mv1

t1

r

d(mv) =

F dt =

∑

k

∫

mvo

to

k=1

n

r

S

r

mv - mv =

∑

1

o

k

k=1

§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.

§Þnh lý 12.3: §¹o hµm theo thêi gian ®éng l−îng cña hÖ b»ng vÐc t¬

chÝnh cña c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ.

r

N

r

dK

=

F

(12-21)

∑

ke

dt

k=1

Chøng minh: XÐt hÖ gåm N chÊt ®iÓm. Ký hiÖu hîp ngo¹i lùc vµ hîp néi

r

lùc ®Æt lªn chÊt ®iÓm thø k lµ F_kevµ F_ki.

Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc viÕt cho chÊt ®iÓm ®ã lµ:

r

m_k( W_k) = F_ke+ F_ki

(a)

ViÕt cho N chÊt ®iÓm cña hÖ ta sÏ cã N ph−¬ng tr×nh (a) nghÜa lµ k = 1...N

Céng vÕ víi vÕ cña N ph−¬ng tr×nh trªn víi nhau ta sÏ ®−îc:

N

r

m W = F +

F

∑

k

ke

ki

k=1

Theo ®Þnh luËt Niu T¬n c¸c lùc t¸c dông t−¬ng hç b»ng nhau vÒ ®é lín,

-157-

cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu v× vËy tæng h×nh häc c¸c néi lùc ( c¸c lùc t¸c

dông t−¬ng hç cu¶ c¸c chÊt ®iÓm trong hÖ) lu«n lu«n b»ng kh«ng.

r

Ta cã: F = 0

∑

ki

Cßn l¹i:

N

r

m W =

F

∑

k

ke

k=1

r

N

r

v

dv_k

r

d

Thay m W =

m

=

m v = K,

∑

k

dt

k=1

N

r

v

d

Ta cã: K = F .

∑

ke

dt

k=1

§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.

§Þnh lý 12.4: BiÕn thiªn ®éng l−îng cña hÖ trong kho¶ng thêi gian tõ t_o

®Õn t₁b»ng tæng h×nh häc xung l−îng c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ trong

kho¶ng thêi gian ®ã.

N

r

S

r

k - k =

(12-22)

∑

1

0

ke

k=1

Chøng minh:

Tõ ph−¬ng tr×nh (12-10) suy ra:

N

r

dk =

F dt

∑

ke

k=1

TÝch ph©n hai vÕ biÓu thøc nµy t−¬ng øng víi c¸c cËn t¹i thêi ®iÓm ®Çu vµ

cuèi sÏ ®−îc:

r

_t1r

F_kedt ;

to

t1

^k1dk =

F dt =

∑

∫

ke

∫

ko

to

r

k - k = s .

∑

1

o

ke

§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.

Chý ý r»ng c¸c biÓu thøc (10-19); (10-20), (10-21) vµ (10-22) lµ c¸c biÓu

-158-

thøc vÐc t¬, nÕu chiÕu c¸c biÓu thøc nµy lªn ba trôc to¹ ®é oxyz ta sÏ ®−îc c¸c

biÓu thøc h×nh chiÕu t−¬ng øng ph¶n ¸nh sù biÕn thiªn ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm

vµ hÖ theo h−íng c¸c trôc to¹ ®é.

§Þnh luËt b¶o toµn ®éng l−îng cña hÖ

Tõ biÓu thøc (12-21) suy ra:

r

Khi F = 0 th× K = const.

∑

ke

Khi X = 0 th× K = const.

∑

k

x

NghÜa lµ khi vÐc t¬ chÝnh cña ngo¹i lùc hoÆc tæng h×nh chiÕu cña c¸c

ngo¹i lùc lªn mét trôc nµo ®ã b»ng kh«ng th× ®éng l−îng cña hÖ hoÆc h×nh chiÕu

®éng l−îng cña hÖ lªn trôc ®ã b¶o toµn.

Cuèi cïng chó ý r»ng trong c¸c biÓu thøc kh«ng cã néi lùc ®iÒu nµy chøng

tá néi lùc kh«ng cã t¸c dông lµm thay ®æi ®éng l−îng cña mét hÖ.

ThÝ dô 12-1: Mét h¹t ngò cèc cã träng l−îng P tr−ît trong r·nh n»m

nghiªng mét gãc α so víi ph−¬ng ngang. BiÕt hÖ sè ma s¸t gi÷a c¸c h¹t vµ r·nh

lµ f, vËn tèc ban ®Çu cña h¹t lµ v_o. TÝnh xem sau bao l©u th× vËn tèc h¹t t¨ng lªn

gÊp ®«i. (h×nh 12-7)

Bµi gi¶i

r

N

Xem h¹t nh− mét chÊt ®iÓm. Lùc t¸c dông

r

F_ms

lªn h¹t gåm träng l−îng P, lùc ma s¸t F_msvµ

ph¶n lùc ph¸p tuyÕn N.

r

P

ViÕt biÓu thøc h×nh chiÕu lªn trôc ox cña x

α

®Þnh lý ®éng l−îng ta cã:

H×nh 12.7

t

&

o

mx − mx = x =

(

Psin α − F_msdt

)

∑

1

i

∫

0

&

x₁= v;

x₀= v_o; F_ms= P.cosα.f

ta cã:

mv-mv_o= (Psinα-fPcosα)t.

Khi v = 2v_oth× thêi gian cÇn thiÕt lµ:

-159-

mv_o

v_o

t =

=

.

mgsin α − fmg cos α g(sin α − f cos α)

ThÝ dô 12-2: N−íc ch¶y ra tõ mét vßi víi vËn tèc u = 10m/s vµ ®Ëp th¼ng

gãc vµo mét t−êng ch¾n (h×nh 10-8). §−êng kÝnh miÖng vßi d = 4cm. X¸c ®Þnh

¸p lùc cña n−íc lªn t−êng. LÊy khèi l−îng

riªng cña n−íc lµ ρ = 1000kg/m³

d

Bµi gi¶i:

b₁

a₁

a

XÐt chuyÓn ®éng cña khèi n−íc aabc

(xem h×nh vÏ 12.8). Ngo¹i lùc t¸c dông lªn

hÖ gåm:

R

x

a

ut₁

c

c₁

Träng l−îng P, hîp lùc cña ¸p lùc t¹i

mÆt c¾t cña khèi n−íc vµ ¸p lùc do ph¶n lùc

cña t−êng lªn n−íc.

c₁

H×nh 12.8

Theo biÓu thøc (12-22) ta cã:

k - k = S

(a)

∑

1x

ox

kk

Gi¶ thiÕt sau thêi gian t₁khèi n−íc chuyÓn ®Õn vÞ trÝ a₁a₁b₁c₁. Tõ h×nh vÏ

ta thÊy phÇn n−íc cã ¶nh h−ëng ®Õn sù biÕn ®æi ®éng l−îng cña khèi n−íc lªn

ph−¬ng x lµ phÇn n»m trong ®o¹n aa₁. V× vËy cã thÓ thÊy:

k_1x- k_ox= -mu

ë ®©y m lµ khèi l−îng cña phÇn n−íc n»m trong ®o¹n aa₁

γ πd²

g 4

m =

ut₁

Cßn S lµ xung lùc cña c¸c lùc t¸c dông lªn khèi n−íc theo ph−¬ng x.

∑

x

NÕu gäi c¸c hîp lùc theo ph−¬ng x nµy lµ R_xta sÏ cã:

S = R t = Rt .

∑

kx

x 1

1

Thay vµo biÓu thøc (a) c¸c kÕt qu¶ t×m ®−îc sÏ cã:

-160-

mu = Rt₁

R =

Nh− vËy ta t×m ®−îc ¸p lùc cña n−íc lªn t−êng còng b»ng R = 12,8kN cã

ph−¬ng vu«ng gãc víi t−êng theo chiÒu h−íng vµo mÆt t−êng.

12.2.2. §Þnh lý chuyÓn ®éng cña khèi t©m

- §Þnh lý 12.5:Khèi t©m cña hÖ chuyÓn ®éng nh− mét chÊt ®iÓm mang

khèi l−îng cña c¶ hÖ d−íi t¸c dông cña lùc b»ng vÐc t¬ chÝnh cña hÖ c¸c ngo¹i

lùc t¸c dông lªn hÖ.

n

r

MW =

F

(12-23)

∑

C

ke

i=1

Chøng minh: XÐt c¬ hÖ N chÊt ®iÓm cã khèi l−îng lµ m₁, m₂, ...m_NchuyÓn

r

®éng d−íi t¸c dông cña hÖ ngo¹i lùc F_1e, F_2e, ... F_Nevµ hÖ c¸c néi lùc F_1i, F_2i, ...

r

F_Ni. ë ®©y F_kevµ F_kilµ hîp lùc cña ngo¹i lùc vµ néi lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm

thø k.

Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng viÕt cho hÖ lµ:

n

r

m

(a)

∑

^kW = F +

F

∑

ke

ki

k=1

MÆt kh¸c tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh khèi t©m cña hÖ ta cã:

n

r

m = M r

∑

^kr_k

C

k=1

LÊy ®¹o hµm theo thêi gian hai vÕ ®−îc:

r

d²r_C

dt

d²r

dt

n

r

m

hay m W = MW

∑

k

= M

k

C

k=1

n

r

Thay vµo biÓu thøc (a) ë trªn vµ l−u ý r»ng

F = 0 ta cã:

∑

ki

k=1

n

r

MW =

F .

∑

C

ke

k=1

-161-

§Þnh lý ®−îc chøng minh.

Tõ ph−¬ng tr×nh vÐc t¬ (12-21) khi chiÕu lªn c¸c trôc to¹ ®é oxyz ta ®−îc

ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña khèi t©m viªt d−íi d¹ng sau:

d²X_C

dt²

d²Y_C

dt²

d²Z_C

dt²

n

M

= X ; M

=

Y ; M

=

Z .

(12-22)

∑

k

k=1

- §Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi t©m:

Tõ biÓu thøc (12-21) suy ra:

n

r

NÕu

F = 0 th× W = 0 vµ v = const.

∑

k

c

k=1

NghÜa lµ: nÕu vÐc t¬ chÝnh cña c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ b»ng kh«ng

th× chuyÓn ®éng khèi t©m cña hÖ ®−îc b¶o toµn. §©y lµ ®Þnh luËt b¶o toµn

chuyÓn ®éng cña khèi t©m.

T−¬ng tù tõ biÓu thøc (12-20) suy ra:

n

NÕu X = 0 th× W =0 vµ v = const.

∑

k

x

k=1

NghÜa lµ nÕu tæng h×nh chiÕu c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ lªn mét trôc x

nµo ®ã b»ng kh«ng th× chuyÓn ®éng cña khèi t©m theo trôc x ®ã ®−îc b¶o toµn.

§©y lµ ®Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi t©m theo mét trôc.

Chó ý trong c¸c ®Þnh lý vÒ chuyÓn ®éng cña khèi t©m kh«ng ®Ò cËp ®Õn

néi lùc v× vËy cã thÓ kÕt luËn néi lùc kh«ng lµm thay ®æi chuyÓn ®éng cña khèi

t©m.

Sau ®©y lµ mét vµi vÝ dô vËn dông ®Þnh lý chuyÓn ®éngcña khèi t©m vµ

®Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi l−îng.

ThÝ dô 12-3:

Träng t©m phÇn quay cña ®éng c¬ ®iÖn ®Æt lÖch t©m so víi trôc quay A

mét ®o¹n AB =a. Träng l−îng cña phÇn quay lµ P, träng l−îng cña vá ®éng c¬

(phÇn kh«ng quay) lµ Q. (h×nh 12-9)

-162-

T×m quy luËt chuyÓn ®éng cña phÇn vá ®éng

c¬ trªn sµn n»m ngang. Cho biÕt vËn tèc gãc

x

ϖ cña phÇn quay kh«ng ®æi.

NÕu ta cè

m

®Þnh vá ®éng c¬ trªn sµn b»ng bu l«ng D th×

lùc c¾t lªn bu l«ng ®−îc x¸c ®Þnh nh− thÕ nµo.

Coi ma s¸t gi÷a nÒn vµ ®éng c¬ kh«ng ®¸ng

kÕ.

ω

B

P

r

A

r

Q

r

N

m₁

D

Bµi gi¶i:

1. Khi ®éng c¬ ®Ó tù do trªn sµn. Ngo¹i

lùc t¸c dông gåm träng l−îng P vµ Q cña

®éng c¬, ph¶n lùc ph¸p tuyÕn N cña sµn lªn

®éng c¬. C¸c lùc nµy ®Òu vu«ng gãc víi sµn nªn cã:

H×nh 12.9

X = 0. Theo ®Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi t©m ta cã

∑

k

v_{ox =}const.

Lóc ®Çu ®éng c¬ ®øng yªn nªn suy ra x_o= const.

Chän hÖ to¹ ®é sao cho khi ë thêi ®iÓm t nµo ®ã gãc quay ϕ = ωt cßn c¸c

®iÓm A vµ B cã c¸c to¹ ®é t−¬ng øng sau:

x_A= x; x_B= x + asinϕ.

Qx + P(x + a sin ϕ)

ta cã: x_C=

= 0

Q + P

Hay: Qx + Px + Pasinϕ = 0

P.a.ssin ϕ

Suy ra x =

P + Q

trªn sµn quanh vÞ trÝ ban ®Çu.

2. Khi cè ®Þnh ®éng c¬ trªn sµn b»ng bu l«ng D.

-163-

d²x_c

dt²

m

= R _x;

Qx_A+ Px_B

P + Q

ë ®©y : x_c=

.

V× vá ®éng c¬ cè ®Þnh nªn x_A= const = 0 cßn x_B= asinϕ.

Ta cã:

d²x_C

dt²

P + Q P

R_x= M

=

aω²sin ωt;

g P + Q

P

R_x= − aω²sin ωt;

g

dông mét lùc c¾t bu l«ng b»ng trÞ sè nh−ng ng−îc chiÒu víi R_x.

Lùc c¾t nµy sÏ lín nhÊt khi sinωt = 1 vµ b»ng Paω²/g, t−¬ng øng víi gãc

quay ϕ =90⁰.

ThÝ dô 12-4: Tay quay AB cã

chiÒu dµi r cã träng l−îng P quay

®Òu víi vËn tèc gãc ω vµ truyÒn

chuyÓn ®éng cho cu lÝt g¾n liÒn víi

pÝt t«ng D cã träng l−îng chung lµ

G. PÝt t«ng D chÞu t¸c ®éng lùc Q

a

y

ω

B

R_z

A

D a

Q

x

P

G

H×nh 12.10

theo ph−¬ng ngang (h×nh 12-10). X¸c ®Þnh ph¶n lùc R_xlªn gèi ®ì A theo ph−¬ng

lÝt mét ®o¹n a.

Bµi gi¶i:

XÐt c¬ hÖ gåm tay quay AB vµ côm cu lÝt pÝt t«ng. Bá qua ma s¸t ë c¸c

r

mÆt tr−ît, ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ gåm : träng l−îng P vµ G , ph¶n lùc t¹i gèi

r

®ì R _A. C¸c ph¶n lùc ph¸p tuyÕn ë mÆt tr−ît N₁, N₂vµ lùc Q . C¸c lùc P , G ,

-164-

r

d²X_c

dt²

M

= R _x− Q,

P

r

G

m₁= , x₁= cosωt

; m₂=

;

x₂= a rcosωt

g

2

g

P r

g 2

G

Suy ra:

Mx_c=

cosωt + (a + r cosωt)

g

d²X_o

dt²

Thay vµo biÓu thøc ta ®−îc:

rω²P

R_x= Q + M

;

Hay :

R_x= Q -

( + G)cosωt.

g 2

sè cùc ®¹i b»ng:

rω²P

( + G)

g 2

R_x= Q +

khi ϕ = ωt= 180⁰

12.3. §Þnh lý m« men ®éng l−îng

Trong phÇn nµy sÏ kh¶o s¸t mèi quan hÖ gi÷a ®¹i l−îng ®o chuyÓn ®éng

quay lµ m«men ®éng l−îng víi ®¹i l−îng ®o m« men lùc.

12.3.1. M« men ®éng l−îng

z lµ ®¹i l−îng ký hiÖu l_ohay l_zb»ng m« men cña vÐc t¬ ®éng l−îng chÊt ®iÓm Êy

r

l_o= m_o(m.v) = rxm.v;

(12-23)

(12-24)

r

l_z= m_z(m.v) = ±m.v'.h

r

Trong c¸c biÓu thøc (12-23), (12-24) th× m lµ khèi l−îng, v lµ vËn tèc

-165-

r

chÊt ®iÓm, v' lµ h×nh chiÕu cña v trªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc z. BiÓu thøc

(12-24) lÊy dÊu + khi nh×n tõ chiÒu d−¬ng cña trôc z sÏ thÊy v' cã chiÒu quay

vßng quanh z theo chiÒu ng−îc chiÒu k×m ®ång hå vµ lÊy dÊu - trong tr−êng hîp

ng−îc l¹i.

T−¬ng tù nh− m« men lùc dÔ dµng suy ra r»ng:

r

[

l_o

]

=

[

m_o(m.v)

]

= m_z.(m.v) = l_z.

z

NghÜa lµ: h×nh chiÕu trªn trôc z vÐc t¬ m« men ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm

lÊy ®èi víi mét ®iÓm trªn trôc b»ng m« men ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm ®èi víi

trôc ®ã.

NÕu biÓu diÔn m« men ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm ®èi víi 3 trôc to¹ ®é

oxyz lµ hµm theo to¹ ®é vµ h×nh chiÕu cña c¸c täa ®é lªn c¸c trôc ta cã:

r

i

r

j

r

k

r

l = m_o(m.v) = rxm.v = x

mx

y

z =m(yz-zy) i +m(zx-xz) j+m(xyx)k ;

mz

my

r

l_o= l_xi + l_yj+ l_zk .

Suy ra :

l_x= m(yz-zy);

l_y= m(zx-xz);

l_z= m(xy- yx).

(12-25)

§èi víi mét hÖ ta cã c¸c ®Þnh nghÜa sau:

n

r

l = m (m v ) = r xm v ;

(12-26)

(12-27)

∑

o

k

o

k

k=1

n

r

l = m (m v ) = l = ±m k v'

∑

z

k

kz

k

k=1

-166-

Khi hÖ lµ vËt r¾n quay quanh mét trôc z víi vËn tèc gãc ω (h×nh 12-11) ta

cã:

z

B

l_kz= ±r²m_kω.

k

Gäi ±ω = ω_zta cã :

ω

l_kz= r²m_kω_z.

k

r

r_k

r

m_kv _k

v _k

Thay vµo biÓu thøc (12-27) ta cã:

n

l =

r²m ω = ω . m r².

∑

z

zk

k

z

k

k=1

A

n

Thay m r²= J ta ®−îc:

H×nh 12.11

∑

k

z

k=1

J_z= J_z. ω_z

Th−êng ng−êi ta chän h−íng d−¬ng cña trôc quay ®Ó ω_z= ω khi ®ã ta cã:

l_z= J_z.ω (12-28)

12.3.2. §Þnh lý m« men ®éng l−îng

§Þnh lü 12-6: ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian m« men ®éng l−îng cña

®ã).

n

r

d r

r

m_o

(

mv

)

=

m

(

F

)

;

(12-29)

∑

o

z

i

dt

i=1

n

r

(

d

r

m_z

(

mv

m

F

(12-29)

∑

i

dt

i=1

r

Chøng minh: Gi¶ thiÕt chÊt ®iÓm chÞu t¸c dông cña c¸c lùc: F₁, F ,.. F_n.

2

Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc viÕt ®−îc:

n

r

mW = F .

∑

i

i=1

-167-

r

d(mv)

dt

Ta cã thÓ biÕn ®æi thµnh:

=

F .

∑

i

r

chÊt ®iÓm vµ l−u ý r»ng:

r

dr

r r

r

xm.v = vxmv = 0 vµ r xm v= m _o(m v) ta cã :

dt

r

n

r

d

(

mv

)

r d

= r

(

mv

)

dr

r

d r

r

r x

+

xmv =

(

rxmv

)

=

rF .

∑

i

dt

i=1

BiÓu thøc (12-29) ®· ®−îc chøng minh.

ChiÕu biÓu thøc (12-29) lªn trôc z ta sÏ ®−îc biÓu thøc (12-30).

§Þnh lý 12-7: ®¹o hµm theo thêi gian m« men ®éng l−îng cña hÖ ®èi víi

n

r

d

l = m (F );

(12-31)

(12-32)

∑

o

ke

dt

k=1

n

r

d

r

l = m (F );

∑

z

ke

dt

k=1

Chøng minh: XÐt c¬ hÖ cã N chÊt ®iÓm. T¸ch mét chÊt ®iÓm thø k ®Ó xÐt.

r

Gäi m_k, v_klµ khèi l−îng vµ vËn tèc cña nã; gäi F_ki, F_kelµ néi lùc vµ ngo¹i lùc

t¸c dông lªn chÊt ®iÓm. ¸p dông biÓu thøc (12-29) cho chÊt ®iÓm nµy ta cã:

r

d

r

l_ok= m_o

(

F_ki

)

+ m_o

(

F_ke

)

.

dt

Cho k tõ 1 ®Õn N ta ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng trªn. NÕu céng vÕ víi vÕ

hÖ ph−¬ng tr×nh tr×nh trªn ta ®−îc:

N

r

d

r

l =

m

(

F_ki

)

+

m

(

F_ke

)

.

∑

ok

o

_i=1dt

k=1

trong ®ã: