Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế
Bꢀ GIÁO DꢁC VÀ ðÀO TꢂO
TRƯꢃNG ðAꢄ HꢅC NÔNG NGHIꢆP HÀ NꢀI
PGS. TS. NGUYꢇN HꢈI THANH
CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN KINH Tꢉ
Giáo trình cho ngành Tin hꢊc và Công nghꢋ thông tin
HÀ NꢀI, 2008
MꢁC LꢁC
Trang
7
LꢌI NÓI ðꢍU
11
11
11
12
13
14
14
15
16
18
18
18
19
CHƯƠNG I. Mꢎ ðꢍU
1.CÁCPHƯƠNGPHÁPTOÁNKINHTꢀTRONG KINHTꢀTOÁN
1.1. Khái niꢃm vꢆ kinh tꢅ toán
1.2. Phân loꢁi các phương pháp toán kinh tꢅ
1.3. So sánh kinh tꢅ toán vꢇi kinh tꢅ lưꢈng
2. CÁC YꢀU Tꢁ CꢂA MÔ HÌNH KINH Tꢀ TOÁN
2.1. Khái niꢃm vꢆ mô hình kinh tꢅ
2.2. Biꢅn, hꢉng sꢊ và tham sꢊ
2.3. Các loꢁi phương trình
CHƯƠNG II. PHÂN TÍCH CÂN BꢏNG TĨNH
1. PHÂN TÍCH CÂN BꢃNG TRONG KINH Tꢀ
1.1. Khái niꢃm vꢆ trꢁng thái cân bꢉng
1.2. Mꢄt sꢊ ví dꢋ vꢆ phân tích cân bꢉng tĩnh
2. CÁC MÔ HÌNH TUYꢀN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH
CÂN BꢃNG TĨNH
21
21
23
25
30
34
34
34
35
38
39
2.1. Mô hình cân bꢉng thꢌ trưꢀng tꢍng quát
2.2. Mô hình thu nhꢎp quꢊc dân
2.3. Mô hình ñꢏu vào – ñꢏu ra Leontief
BÀI TꢄP CHƯƠNG II
CHƯƠNG III. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH
1. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH TRONG KINH Tꢀ
1.1. Khái niꢃm phân tích so sánh tĩnh
1.2. ðꢁo hàm và tꢊc ñꢄ biꢅn thiên cꢐa các biꢅn kinh tꢅ
1.3. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thꢌ trưꢀng riêng
1.4. Phân tích so sánh tĩnh mô hình thu nhꢎp quꢊc dân
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..2
1.5. Phân tích so sánh tĩnh mô hình cân ñꢊi liên ngành
40
2. PHÂN TÍCH SO SÁNH TĨNH CHO MÔ HÌNH KINH Tꢀ
TꢅNG QUÁT
42
42
44
47
54
57
58
61
2.1. Hꢃ sꢊ co giãn
2.2. Mꢄt sꢊ ví dꢋ tìm vi phân toàn phꢏn và ñꢁo hàm hàm ꢑn
2.3. Mô hình thꢌ trưꢀng tꢍng quát
2.4. Mô hình thu nhꢎp quꢊc dân tꢍng quát
2.5. Mꢄt sꢊ ñiꢒm hꢁn chꢅ cꢐa phân tích so sánh tĩnh
BÀI TꢄP CHƯƠNG III
CHƯƠNG IV. MꢀT Sꢐ MÔ HÌNH TꢐI ƯU TRONG KINH Tꢉ
1. PHÂN TÍCH CÂN BꢃNG THÔNG QUA MÔ HÌNH
TꢁI ƯU KHÔNG RÀNG BUꢆC
61
61
1.1. Mô hình tꢊi ưu mꢄt biꢅn không ràng buꢄc
1.2. Hàm tăng trưꢓng và tꢊc ñꢄ tăng trưꢓng cꢐa biꢅn kinh tꢅ 65
1.3. Phân tích cân bꢉng thông qua mô hình tꢊi ưu nhiꢆu biꢅn
không ràng buꢄc
68
2. PHÂN TÍCH CÂN BꢃNG THÔNG QUA MÔ HÌNH
TꢁI ƯU CÓ RÀNG BUꢆC
79
79
2.1. Phương pháp nhân tꢔ Lagrange
2.2. ðiꢆu kiꢃn ñꢁt tꢇi trꢁng thái cân bꢉng
2.3. Cꢕc ñꢁi hoá hàm thoꢖ dꢋng cꢐa ngưꢀi tiêu dùng
3. HÀM SꢇN XUꢈT VÀ VꢈNðꢉ PHÂNBꢅðꢊU VÀOTꢁIƯU
3.1. Các tính chꢗt cꢐa hàm ñꢘng cꢗp
3.2. Hàm sꢖn xuꢗt dꢁng Cobb – Douglas
3.3. Xác ñꢌnh các tꢍ hꢈp ñꢏu vào vꢇi chi phí tꢊi thiꢒu
3.4. Hàm sꢖn xuꢗt dꢁng CES
83
85
89
89
92
96
100
104
107
107
107
BÀI TꢄPCHƯƠNG IV
CHƯƠNG V. PHÂN TÍCH CÂN BꢏNG ðꢀNG
1. KHÁINIꢋMPHÂNTÍCHCÂNBꢃNGðꢆNG
1.1. Mꢄt sꢊ ñꢌnh nghĩa
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..3
1.2. Mꢄt sꢊ ꢙng dꢋng cꢐa phép tính tích phân và phương trình
vi phân
108
112
112
113
2. MÔHÌNHTĂNGTRƯꢌNGDOMAR
2.1. Phát biꢒu mô hình
2.2. Tìm ñưꢀng cân bꢉng bꢆn cho mô hình tăng trưꢓng Domar
3.PHÂNTÍCHCÂNBꢃNGðꢆNGðꢁIVꢍIGIÁCꢇTHꢎTRƯꢏNG 114
3.1. Bꢍ sung vꢆ phương trình vi phân tuyꢅn tính cꢗp mꢄt
3.2. Phát biꢒu mô hình cân bꢉng ñꢄng
114
115
117
118
118
3.3. Khꢖo sát tính ꢍn ñꢌnh ñꢄng cꢐa mꢙc giá cân bꢉng
4.MÔHÌNHTĂNGTRƯꢌNGSOLOW
4.1. Bꢍ sung thêm vꢆ phương trình vi phân cꢗp mꢄt
4.2. Tiꢅpcꢎnñꢌnh tính giꢖi phương trình vi phân phi tuyꢅncꢗp mꢄt 122
4.3. Phát biꢒu mô hình tăng trưꢓng Solow
4.4. Phân tích ñꢌnh tính trên biꢒu ñꢚ pha
4.5. Phân tích ñꢌnh lưꢈng
126
127
129
5. MÔHÌNHTHꢎTRƯꢏNGVꢍIKỲVꢐNGGIÁðƯꢑCDꢒBÁOTRƯꢍC 129
5.1. Bꢍ sung vꢆ phương trình vi phân tuyꢅn tính cꢗp hai
vꢇi hꢃ sꢊ hꢉng
129
5.2. Phát biꢒu mô hình
133
5.3. Xác ñꢌnh ñưꢀng biꢅn ñꢄng giá và ñiꢆu kiꢃn ꢍn ñꢌnh ñꢄng
134
6.MÔHÌNHKINHTꢀVĨMÔVꢉLꢓMPHÁTVÀTHꢈTNGHIꢋP
139
139
140
6.1. Phát biꢒu mô hình
6.2. Khꢖo sát ñưꢀng biꢅn ñꢄng lꢁm phát, giá cꢖ và thꢗt nghiꢃp
BÀITꢄPCHƯƠNGV
143
CHƯƠNG VI. ÁP DꢁNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
TRONG PHÂN TÍCH CÂN BꢏNG ðꢀNG
147
147
147
148
1. MꢆTSꢁDꢓNGPHƯƠNGTRÌNHSAIPHÂN
1.1. Khái niꢃm vꢆ phương trình sai phân
1.2. Phương trình sai phân tuyꢅn tính cꢗp mꢄt
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..4
1.3. Phương trình sai phân tuyꢅn tính cꢗp hai
150
152
1.4. Khꢖo sát tính ꢍn ñꢌnh cꢐa nghiꢃm cꢐa các phương trình
sai phân tuyꢅn tính cꢗp mꢄt và cꢗp hai
2.PHÂNTÍCHCÂNBꢃNGðꢆNGTRONGMꢆTSꢁMÔHÌNH
KINHTꢀ
154
154
155
156
2.1. Mô hình Cobweb cân bꢉng cung cꢏu
2.2. Mô hình thꢌ trưꢀng có hàng tꢚn kho
2.3. Mô hình thꢌ trưꢀng vꢇi giá trꢏn
3.MÔHÌNHTHUNHꢄPQUꢁCDÂN VꢍINHÂNTꢔTĂNGTꢁC
SAMUELSON
159
159
160
3.1. Phát biꢒu mô hình
3.2. Khꢖo sát tính ꢍn ñꢌnh ñꢄng cꢐa mô hình
4.MÔHÌNHKINHTꢀVĨMÔVꢉLꢓMPHÁTVÀTHꢈTNGHIꢋP
VꢍITHꢏIGIANRꢏIRꢓC
163
163
164
4.1. Phát biꢒu mô hình
4.2. Phân tích các ñưꢀng biꢅn ñꢄng cꢐa giá cꢖ và lꢁm phát
5.ÁPDꢕNGHꢋPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNVÀSAIPHÂNTRONG
PHÂNTÍCHKINHTꢀ
166
166
169
171
176
179
185
189
5.1. Hꢃ phương trình vi phân tuyꢅn tính cꢗp mꢄt
5.2. Hꢃ phương trình sai phân tuyꢅn tính cꢗp mꢄt
5.3. Mô hình cân ñꢊi liên ngành ñꢄng
5.4. Mô hình tương tác lꢁm phát và thꢗt nghiꢃp
5.5. Biꢒu ñꢚ pha hai biꢅn và ꢙng dꢋng
BÀITꢄPCHƯƠNGVI
TÀI LIꢆU THAM KHꢈO
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..5
LꢃI NÓI ðꢍU
Nhꢛng vꢗn ñꢆ kinh tꢅ trong các hoꢁt ñꢄng kinh tꢅ thưꢀng rꢗt ña
dꢁng và phꢙc tꢁp. Toán hꢂc là mꢄt công cꢋ hꢅt sꢙc hiꢃu quꢖ giúp cho
viꢃc phát biꢒu, phân tích và giꢖi quyꢅt các vꢗn ñꢆ như vꢎy mꢄt cách
chꢜt chꢝ và hꢈp lí, mang lꢁi các lꢈi ích thiꢅt thꢕc. Viꢃc biꢅt cách mô tꢖ
các vꢗn ñꢆ kinh tꢅ dưꢇi dꢁng mô hình toán hꢂc thích hꢈp, vꢎn dꢋng các
phương pháp toán hꢂc ñꢒ giꢖi quyꢅt chúng, phân tích và chú giꢖi cũng
như kiꢒm nghiꢃm các kꢅt quꢖ ñꢁt ñưꢈc mꢄt cách logic luôn là mꢄt yêu
cꢏu cꢗp thiꢅt ñꢊi vꢇi các chuyên gia làm viꢃc trong lĩnh vꢕc phân tích
kinh tꢅ. Trong các thꢎp kꢞ gꢏn ñây, nhiꢆu giꢖi Nobel kinh tꢅ ñưꢈc trao
cho các công trình có vꢎn dꢋng mꢄt cách mꢁnh mꢝ các lí thuyꢅt và
phương pháp toán hꢂc như tꢊi ưu hóa, lí thuyꢅt trò chơi, hꢃ phương
trình vi phân và sai phân, lí thuyꢅt xác suꢗt và thꢊng kê. Nhà kinh tꢅ
hꢂc ngưꢀi Na Uy Trygve Haavelmo, trong lꢟ nhꢎn giꢖi thưꢓng Nobel
kinh tꢅ năm 1989, ñã tꢠng phát biꢒu: “Nꢅu không có toán hꢂc kinh tꢅ
làm trung tâm cho các nghiên cꢙu kinh tꢅ hꢂc, môn khoa hꢂc kinh tꢅ có
thꢒ vꢡn chưa vưꢈt quá giꢇi hꢁn nhꢛng bài nói chuyꢃn chung chung
chꢘng có kꢅt quꢖ thꢕc sꢕ hꢛu ích nào”.
Hiꢃn nay, các môn hꢂc trang bꢌ kiꢅn thꢙc cơ sꢓ vꢆ kinh tꢅ – quꢖn lí
nói chung và các phương pháp toán hꢂc áp dꢋng trong phân tích kinh tꢅ
nói riêng ñưꢈc ñưa vào giꢖng dꢁy trong nhiꢆu chương trình ñào tꢁo ñꢁi
hꢂc trong và ngoài nưꢇc. ðꢊi vꢇi sinh viên các ngành Tin hꢂc, Công
nghꢃ thông tin và Toán – Tin ꢙng dꢋng, khꢊi kiꢅn thꢙc vꢆ kinh tꢅ – quꢖn
lí là thꢕc sꢕ cꢏn thiꢅt cho các cương vꢌ làm viꢃc sau này, ñꢜc biꢃt là
cương vꢌ CIO (Chief Information Officer – Giám ñꢊc Thông tin). Trong
chương trình ñào tꢁo ngành Tin hꢂc cꢐa Khoa Công nghꢃ thông tin,
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi, khꢊi kiꢅn thꢙc trên bao gꢚm Tꢊi
ưu hóa, Phân tích sꢊ liꢃu, Quꢖn trꢌ hꢂc, Vꢎn trù hꢂc và Các phương pháp
toán kinh tꢅ. Giáo trình “Các phương pháp toán kinh tꢅ” này vꢇi thꢀi
lưꢈng tꢠ 45 tꢇi 60 tiꢅt ñưꢈc biên soꢁn lꢏn ñꢏu vꢇi mꢋc ñích cung cꢗp cho
sinh viên năm thꢙ ba ngành Tin hꢂc mꢄt sꢊ kiꢅn thꢙc cơ bꢖn vꢆ các
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..6
phương pháp toán kinh tꢅ (mathematical methods for economics) ñưꢈc
ꢙng dꢋng rꢄng rãi trong phân tích các mô hình kinh tꢅ (economic
models).
Qua giáo trình này, sinh viên cꢏn nꢢm ñưꢈc mꢄt sꢊ mô hình kinh tꢅ
cơ bꢖn, biꢅt cách vꢎn dꢋng các phương pháp toán kinh tꢅ thích hꢈp ñꢒ
phân tích các mô hình ñó, biꢅt cách rút ra các kꢅt luꢎn phꢖn ꢖnh bꢖn
chꢗt cꢐa vꢗn ñꢆ kinh tꢅ ñưꢈc xem xét. Tꢠ ñó, sinh viên sꢝ tiꢅp thu ñưꢈc
các vꢗn ñꢆ kinh tꢅ cơ bꢖn làm cơ sꢓ cho viꢃc tiꢅp tꢋc tꢕ hoàn thiꢃn các
kiꢅn thꢙc vꢆ kinh tꢅ vi mô cũng như vĩ mô. Giáo trình cũng giúp cho sinh
viên ngành Tin hꢂc, Công nghꢃ Thông tin, Toán – Tin ꢙng dꢋng có mꢄt
cách tiꢅp cꢎn hꢃ thꢊng ñꢒ sau này có thꢒ xây dꢕng các hꢃ thꢊng xꢔ lí
thông tin và các phꢏn mꢆm tính toán trong lĩnh vꢕc Tin hꢂc kinh tꢅ. Như
vꢎy, ưu tiên cꢐa giáo trình là tꢎp trung trình bày mꢄt cách logic mꢄt sꢊ
phương pháp toán kinh tꢅ cơ bꢖn và các ꢙng dꢋng cꢐa chúng trong viꢃc
phân tích các loꢁi mô hình kinh tꢅ (các phương pháp khác ñưꢈc trình bày
trong các hꢂc phꢏn còn lꢁi cꢐa khꢊi kiꢅn thꢙc vꢆ kinh tꢅ – quꢖn lí thuꢄc
chương trình ñào tꢁo như ñã ñꢆ cꢎp trên ñây). ðây là mꢄt vꢗn ñꢆ mꢇi so
vꢇi các giáo trình vꢆ Toán kinh tꢅ ñã ñưꢈc biên soꢁn và giꢖng dꢁy tꢁi
mꢄt sꢊ trưꢀng ñꢁi hꢂc trong nưꢇc.
Chương I cꢐa giáo trình giꢇi thiꢃu tꢍng quan và ngꢢn gꢂn vꢆ lĩnh vꢕc
Kinh tꢅ toán (Mathematical Economics) và các phương pháp toán kinh tꢅ
cơ bꢖn thưꢀng ñưꢈc sꢔ dꢋng trong lĩnh vꢕc này, cũng như giꢇi thiꢃu vꢆ
các yꢅu tꢊ cơ bꢖn cꢐa mô hình kinh tꢅ toán. Chương II ñꢆ cꢎp tꢇi khái
niꢃm phân tích cân bꢉng kinh tꢅ bao gꢚm cân bꢉng tĩnh cũng như cân
bꢉng có mꢋc ñích và phương pháp ñꢁi sꢊ ma trꢎn ñꢒ phân tích mꢄt sꢊ mô
hình cân bꢉng kinh tꢅ như mô hình thꢌ trưꢀng, mô hình thu nhꢎp quꢊc dân
và mô hình ñꢏu vào – ñꢏu ra Leontief (còn gꢂi là mô hình cân ñꢊi liên
ngành). Các phương pháp toán kinh tꢅ như phép tính ñꢁo hàm, cũng như
mꢄt trong các công cꢋ mꢁnh và ñꢣp cꢐa toán hꢂc là ðꢌnh lí hàm ꢑn ñưꢈc
vꢎn dꢋng trong Chương III nhꢉm thꢕc hiꢃn viꢃc phân tích so sánh tĩnh cho
các mô hình thꢌ trưꢀng, mô hình cân ñꢊi liên ngành và mô hình thu nhꢎp
quꢊc dân tꢍng quát (bao gꢚm cꢖ thꢌ trưꢀng hàng hóa và thꢌ trưꢀng tiꢆn tꢃ).
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..7
Chương IV xem xét viꢃc vꢎn dꢋng mꢄt sꢊ phương pháp toán tꢊi ưu cơ bꢖn
không ràng buꢄc và ràng buꢄc dꢁng ñꢘng thꢙc ñꢒ phân tích các mô hình
tꢊi ưu trong kinh tꢅ, bao gꢚm các mô hình thꢌ trưꢀng ñꢄc quyꢆn và phân
biꢃt giá cꢖ, mô hình cꢕc ñꢁi hàm thꢤa dꢋng cꢐa ngưꢀi tiêu dùng, các mô
hình phân bꢍ ñꢏu vào tꢊi ưu vꢇi các dꢁng hàm sꢖn xuꢗt hiꢃu suꢗt không
ñꢍi, Cobb – Douglas, CES (Hꢃ sꢊ co giãn thay thꢅ không ñꢍi). Các
phương pháp giꢖi phương trình và hꢃ phương trình vi phân cũng như sai
phân ñưꢈc nghiên cꢙu trong Chương V và Chương VI ñꢒ thꢕc hiꢃn các
phân tích cân bꢉng ñꢄng trong các mô hình kinh tꢅ ñꢄng như mô hình tăng
trưꢓng Domar, mô hình tăng trưꢓng Solow, mô hình ꢍn ñꢌnh ñꢄng cꢐa giá
cꢖ thꢌ trưꢀng khi không có hoꢜc có kỳ vꢂng giá ñưꢈc dꢕ báo trưꢇc, mô
hình cân bꢉng ñꢄng lꢁm phát – giá cꢖ – thꢗt nghiꢃp, mô hình thu nhꢎp
quꢊc dân Samuelson, mô hình cân ñꢊi liên ngành ñꢄng. Mꢄt sꢊ nꢄi dung
cꢐa Chương V và Chương VI có thꢒ ñưꢈc lưꢈc bꢇt tùy theo thꢀi lưꢈng môn
hꢂc và trình ñꢄ tiꢅp thu cꢐa ngưꢀi hꢂc.
Khi biên soꢁn, chúng tôi luôn có mꢄt nguyꢃn vꢂng là làm sao viꢃc
trình bày các phương pháp toán kinh tꢅ ñưꢈc ñꢆ cꢎp tꢇi trong giáo trình
phꢖi cô ñꢂng và dꢟ hiꢒu, viꢃc ꢙng dꢋng các phương pháp này trong phân
tích các dꢁng mô hình kinh tꢅ phꢖi chꢜt chꢝ và logic. Chính vì vꢎy, các
phương pháp toán kinh tꢅ luôn ñưꢈc trình bày mꢄt cách cꢋ thꢒ và tương
ñꢊi hoàn chꢞnh thông qua các ví dꢋ tính toán và các mô hình kinh tꢅ tꢠ dꢟ
tꢇi khó. Phꢏn bài tꢎp giúp sinh viên cꢐng cꢊ các kiꢅn thꢙc ñã hꢂc và thꢕc
hành áp dꢋng các phương toán hꢂc trong phân tích mô hình kinh tꢅ.
Mꢄt sꢊ tài liꢃu ngưꢀi hꢂc có thꢒ tham khꢖo thêm là: Alpha C. Chiang,
Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book
Company, New York, 1984; Alpha C. Chiang – Kevin Wainwright,
Fundamental methods of mathematical economics, McGraw–Hill Book
Company, New York, 2005; Michael W. Klein, Mathematical methods for
economics, Addison-Wesley Higher Education Group, 2002; Hoàng ðình
Tuꢀn, Lí thuyꢅt mô hình toán kinh tꢅ (dành cho sinh viên ngành toán kinh
tꢅ và toán tài chính), Nxb. Khoa hꢂc và Kĩ thuꢎt, 2003; Nguyꢁn Quang
Dong – Ngô Văn Thꢂ – Hoàng ðình Tuꢀn, Giáo trình mô hình toán kinh
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..8
tꢅ (dành cho sinh viên ngành kinh tꢅ), Nxb. Giáo dꢋc, 2002; Tô Cꢃm Tú,
Mꢄt sꢊ phương pháp tꢊi ưu hóa trong kinh tꢅ, Nxb. Khoa hꢂc và Kĩ thuꢎt,
1997. Trong quá trình biên soꢁn giáo trình này, tác giꢖ chꢐ yꢅu dꢕa vào
các tài liꢃu tham khꢖo bꢉng tiꢅng Anh. Nhꢛng sinh viên khá có thꢒ tꢕ hꢂc
sâu thêm bꢉng cách thu thꢎp tài liꢃu liên quan qua nhiꢆu nguꢚn, ñꢜc biꢃt
trên Internet và viꢅt các tiꢒu luꢎn.
“Các phương pháp toán kinh tꢅ” là mꢄt môn hꢂc vꢆ mꢜt lí thuyꢅt
ñang ñưꢈc tiꢅp tꢋc phát triꢒn, vꢆ mꢜt thꢕc hành ñang ngày càng có nhiꢆu
ꢙng dꢋng rꢄng rãi trong hꢏu hꢅt các lĩnh vꢕc phân tích kinh tꢅ, chꢢc
chꢢn sꢝ gây cho ngưꢀi hꢂc nhiꢆu hꢙng thú tìm tòi, sáng tꢁo. Khi ñꢅn
thăm Viꢃt Nam, nhà toán hꢂc và kinh tꢅ hꢂc Robert Aumann, ngưꢀi nhꢎn
giꢖi thưꢓng Nobel kinh tꢅ năm 2005 ñã nói: “Có mꢄt công thꢙc chung
trong các hoꢁt ñꢄng kinh tꢅ là tꢗt cꢖ mꢂi ngưꢀi sꢝ giàu có hơn nꢅu mꢥi
ngưꢀi ñꢆu ñưꢈc làm viꢃc theo khꢖ năng và sꢕ yêu thích cꢐa mình”.
Trong quá trình biên soꢁn, tuy rꢗt cꢊ gꢢng, nhưng có lꢝ tác giꢖ
không tránh khꢤi sai sót. Tác giꢖ xin chân thành cꢖm ơn các ý kiꢅn ñóng
góp chꢞnh sꢔa bꢖn thꢖo bài giꢖng môn hꢂc cꢐa các ñꢚng nghiꢃp và sinh
viên ngành Tin hꢂc các khóa K47, K48, K49 và K50 cꢐa Trưꢀng ðꢁi hꢂc
Nông nghiꢃp Hà Nꢄi, và luôn mong tiꢅp tꢋc nhꢎn ñưꢈc nhiꢆu góp ý cꢐa
các giꢖng viên và sinh viên, ñꢒ cho giáo trình ñưꢈc hoàn chꢞnh hơn,
chính xác hơn và sinh ñꢄng hơn.
Hà Nꢄi, ngày 19 tháng 8 năm 2008
Tác giꢄ
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..9
Chương I
Mꢎ ðꢍU
1. Các phương pháp toán kinh tꢑ trong kinh tꢑ toán
1.1. Khái niꢅm vꢆ kinh tꢇ toán
Không giꢖng như tài chính công hay thương mꢗi quꢖc tꢘ, kinh tꢘ toán
(mathematical economics) không phꢙi là lĩnh vꢚc riêng biꢛt cꢜa kinh tꢘ.
Có thꢝ coi kinh tꢘ toán là mꢞt cách tiꢘp cꢟn nhꢠm thꢚc hiꢛn các phân tích
kinh tꢘ. Trong kinh tꢘ toán, các nhà kinh tꢘ sꢡ dꢢng các kí hiꢛu toán hꢣc
ñꢝ phát biꢝu bài toán và dꢚa vào các ñꢤnh lí toán hꢣc ñꢝ suy luꢟn, áp dꢢng
và tiꢘp tꢢc phát triꢝn các phương pháp và kĩ thuꢟt toán hꢣc ñꢝ mô tꢙ và
phân tích các vꢥn ñꢦ kinh tꢘ. Nhà kinh tꢘ hꢣc ngưꢧi Mĩ Paul Samuelson
ñưꢨc coi là ngưꢧi ñꢩt nꢦn móng cho lĩnh vꢚc nghiên cꢪu và ꢪng dꢢng
kinh tꢘ toán.
Mꢞt sꢖ sách kinh tꢘ hꢣc ñꢗi cương hiꢛn nay vꢫn dùng các phương
pháp hình hꢣc trên mꢩt phꢬng (hay không gian hai chiꢦu) ñꢝ minh hꢣa
và rút ra các kꢘt luꢟn có tính chꢥt lí thuyꢘt. Trong khi ñó, ñꢝ nghiên cꢪu
các bài toán kinh tꢘ vꢭi nhiꢦu biꢘn kinh tꢘ cꢮn phꢙi có sꢚ hiꢝu biꢘt sâu
sꢯc vꢦ toán hꢣc. Kinh tꢘ toán cho phép mô tꢙ các vꢥn ñꢦ kinh tꢘ cꢮn
khꢙo sát vꢭi các công cꢢ toán hꢣc ña dꢗng như ñꢗi sꢖ ma trꢟn và
phương pháp giꢙi hꢛ phương trình tuyꢘn tính, phép tính ñꢗo hàm và tích
phân, phương trình vi phân và sai phân, các phương pháp tꢖi ưu hoá, lí
thuyꢘt trò chơi... Trong các phân tích kinh tꢘ, vi mô cũng như vĩ mô,
các phương pháp toán hꢣc này còn ñưꢨc gꢣi là các phương pháp toán
kinh tꢘ (mathematical methods for economics). Hiꢛn nay các phương
pháp toán kinh tꢘ ngày càng ñưꢨc sꢡ dꢢng rꢞng rãi vꢭi các kꢘt quꢙ nꢰi
bꢟt ñưꢨc công bꢖ trong các tài liꢛu chuyên khꢙo, các tꢗp chí chuyên
ngành kinh tꢘ và các tꢗp chí liên ngành khác.
Cꢮn nhꢥn mꢗnh rꢠng, dù có sꢡ dꢢng các phương pháp toán kinh tꢘ
hay không, quy trình cơ bꢙn cꢜa viꢛc phân tích kinh tꢘ vꢫn là căn cꢪ vào
các giꢙ thiꢘt, các ñꢤnh ñꢦ hay các nguyên lí ñꢝ ñưa ra các kꢘt luꢟn hay các
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..10
ñꢤnh lí thông qua mꢞt quá trình suy luꢟn hay lꢟp luꢟn. Nhưng khác vꢭi
các phân tích kinh tꢘ ñꢤnh tính, trong kinh tꢘ toán các giꢙ thiꢘt cũng như
các kꢘt luꢟn ñưꢨc phát biꢝu bꢠng các kí hiꢛu toán hꢣc cũng như các
phương trình toán hꢣc. Hơn nꢱa, các suy luꢟn hay lꢟp luꢟn ñưꢨc ñưa ra
dꢚa trên các ñꢤnh lí toán hꢣc. ðiꢦu này giúp cho quá trình suy luꢟn trꢲ
nên thuꢟn lꢨi và chꢩt chꢳ hơn, cũng như giúp cho viꢛc phát biꢝu các kꢘt
luꢟn trꢲ nên chính xác hơn.
Tóm lꢗi, các mꢩt mꢗnh cꢜa viꢛc sꢡ dꢢng kinh tꢘ toán trong các phân
tích kinh tꢘ là:
– Cho phép sꢡ dꢢng ngôn ngꢱ chính xác hơn.
– Cho phép sꢡ dꢢng các ñꢤnh lí toán hꢣc rꢥt ña dꢗng nhꢠm gia tăng
tꢖc ñꢞ suy luꢟn.
– Bꢯt buꢞc phꢙi phát biꢝu các giꢙ thiꢘt mꢞt cách rõ ràng, không hàm
chꢪa ꢴn ý, ña nghĩa, do ñó tránh ñưꢨc các giꢙ thiꢘt không mong muꢖn có
thꢝ phát sinh.
– Giúp xꢡ lí các bài toán kinh tꢘ nhiꢦu biꢘn mꢞt cách hiꢛu quꢙ trong
viꢛc phân tích kinh tꢘ vi mô cũng như vĩ mô.
Có thꢝ có ý kiꢘn (chꢬng hꢗn ý kiꢘn trưꢭc ñây cꢜa trưꢧng phái kinh tꢘ
hꢣc Vienna, Áo) cho rꢠng: Kinh tꢘ toán sꢡ dꢢng các suy luꢟn và các phân
tích có tính chꢜ quan và hình thꢪc dꢚa vào các ñꢤnh lí và phương pháp
toán hꢣc ñꢝ ñưa ra các kꢘt luꢟn nên ít có tính thꢚc tiꢵn. Tuy nhiên, ý kiꢘn
phê phán kiꢝu này không nên áp dꢢng ngay cꢙ ñꢖi vꢭi các lí thuyꢘt kinh
tꢘ nói chung, chꢪ không chꢶ ñꢖi vꢭi lí thuyꢘt kinh tꢘ toán. Thꢟt vꢟy, là sꢚ
khái quát hóa cꢜa thꢘ giꢭi thꢚc, mꢣi lí thuyꢘt nói chung vꢫn luôn chꢶ xét
tꢭi mꢞt sꢖ yꢘu tꢖ và mꢖi liên quan bꢙn chꢥt nhꢥt. Chꢬng hꢗn, không thꢝ
phê phán lí thuyꢘt vꢦ lꢨi nhuꢟn cꢜa công ty trong ñiꢦu kiꢛn cꢗnh tranh
hoàn hꢙo hay không hoàn hꢙo là không thꢚc tiꢵn, dù lí thuyꢘt này có
ñưꢨc ñưa ra dꢚa trên các công cꢢ toán hꢣc hay không.
1.2. Phân loꢈi các phương pháp toán kinh tꢇ
Viꢛc phân loꢗi các phương pháp toán kinh tꢘ là không ñơn giꢙn và
thꢟm chí còn chưa ñưꢨc thꢖng nhꢥt. Mꢢc ñích cꢜa giáo trình này, vꢭi
dung lưꢨng thꢧi gian tꢷ 45 tꢭi 60 tiꢘt, là nhꢠm giꢭi thiꢛu cho ngưꢧi hꢣc
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..11
làm quen vꢭi các phương pháp toán kinh tꢘ cơ bꢙn thưꢧng ñưꢨc áp dꢢng
trong kinh tꢘ toán trong khuôn khꢰ các công cꢢ toán hꢣc ñã nêu, bao gꢸm
ñꢗi sꢖ ma trꢟn, phép tính ñꢗo hàm và tích phân, mꢞt sꢖ phương pháp tꢖi
ưu, phương trình vi phân và sai phân. Các công cꢢ sâu sꢯc và phꢪc tꢗp
hơn cꢜa toán kinh tꢘ như quy hoꢗch phi tuyꢘn, quy hoꢗch ña mꢢc tiêu,
quy hoꢗch ñꢞng, phương trình tích phân, mô phꢹng ngꢫu nhiên, phân tích
Markov, lí thuyꢘt trò chơi, ... sꢳ không ñưꢨc ñꢦ cꢟp trong giáo trình này.
Cꢮn chú ý rꢠng, tuy các phương pháp toán xác suꢥt, toán thꢖng kê khi
áp dꢢng trong các phân tích kinh tꢘ cũng ñưꢨc coi là các phương pháp toán
kinh tꢘ, nhưng trong giáo trình này chúng ta cũng không ñꢦ cꢟp tꢭi. Các
phương pháp này thưꢧng ñưꢨc trình bày chi tiꢘt trong các môn hꢣc như
Kinh tꢘ lưꢨng (Econometrics), Vꢟn trù hꢣc (Operations Research), hay
Các phương pháp ñꢤnh lưꢨng trong quꢙn lí – kinh doanh (Quantitative
Methods for Management and Business). Ngoài ra, do thꢧi lưꢨng môn hꢣc,
giáo trình không giꢭi thiꢛu các phương pháp giꢙi tích ngꢫu nhiên là cơ sꢲ
cho môn hꢣc Tài chính toán (Mathematical Finance) có rꢥt nhiꢦu ꢪng
dꢢng trong phân tích tài chính. Khi nghiên cꢪu các phương pháp toán kinh
tꢘ ñưꢨc ñꢦ cꢟp tꢭi trong giáo trình, cꢮn tꢟp trung vào viꢛc nên sꢡ dꢢng
chúng như thꢘ nào trong phân tích các vꢥn ñꢦ kinh tꢘ, mà không nên quá
chú trꢣng vào cơ sꢲ toán hꢣc cꢜa các phương pháp này.
1.3. So sánh kinh tꢇ toán vꢉi kinh tꢇ lưꢊng
Thuꢟt ngꢱ “kinh tꢘ toán” và “kinh tꢘ lưꢨng” ñôi khi ñưꢨc sꢡ dꢢng
mꢞt cách nhꢮm lꢫn. Thꢟt ra, kinh tꢘ toán ñi sâu vào phân tích các mô
hình kinh tꢘ, các lí thuyꢘt kinh tꢘ bꢠng cách sꢡ dꢢng các công cꢢ toán
hꢣc. Trong khi ñó, kinh tꢘ lưꢨng lꢗi liên quan ñꢘn viꢛc ñꢤnh giá, ño lưꢧng
các sꢖ liꢛu kinh tꢘ hay các biꢘn kinh tꢘ, tꢪc là liên quan ñꢘn các nghiên
cꢪu dꢚa trên các khꢙo sát thꢚc nghiꢛm có sꢡ dꢢng các phương pháp
thꢖng kê vꢦ ưꢭc lưꢨng, kiꢝm ñꢤnh, dꢚ báo, phân tích hꢸi quy và phân tích
nhân tꢖ... Mꢞt trong nhꢱng ngưꢧi ñꢩt nꢦn móng cho lĩnh vꢚc nghiên cꢪu
và áp dꢢng kinh tꢘ lưꢨng là nhà kinh tꢘ hꢣc ngưꢧi Na Uy Ragnar Frisch.
Như vꢟy, kinh tꢘ toán có tính chꢥt suy luꢟn, lí thuyꢘt còn kinh tꢘ
lưꢨng có tính chꢥt quy nꢗp, thꢚc nghiꢛm. Tꢥt nhiên, các phân tích kinh tꢘ
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..12
dù là mang tính lí thuyꢘt hay mang tính thꢚc nghiꢛm ñꢦu quan trꢣng.
Chúng luôn là sꢚ bꢰ sung cꢮn thiꢘt cho nhau và làm tăng cưꢧng hiꢛu quꢙ
lꢫn nhau. Trưꢭc khi ñưꢨc ñưa vào áp dꢢng, các lí thuyꢘt cꢜa kinh tꢘ toán
cꢮn ñưꢨc kiꢝm ñꢤnh vꢦ tính phù hꢨp căn cꢪ các sꢖ liꢛu thꢚc nghiꢛm thu
ñưꢨc. Mꢩt khác, ñꢝ xác ñꢤnh ñưꢨc các hưꢭng nghiên cꢪu liên quan mꢞt
cách hꢨp lí, các khꢙo sát thꢖng kê trong kinh tꢘ lưꢨng sꢳ ñưꢨc tiꢘn hành
dꢚa trên mꢞt lí thuyꢘt kinh tꢘ chꢶ ñꢗo. Mꢖi liên quan này ñưꢨc thꢝ hiꢛn
khá rõ, chꢬng hꢗn, trong các nghiên cꢪu vꢦ hàm tiêu dùng tꢰng hꢨp và
nhiꢦu nghiên cꢪu kinh tꢘ khác.
2. Các yꢑu tꢒ cꢓa mô hình kinh tꢑ toán
2.1. Khái niꢅm mô hình kinh tꢇ
Như ñã trình bày trên ñây, mꢣi lí thuyꢘt kinh tꢘ là sꢚ khái quát hóa
cꢮn thiꢘt cꢜa thꢘ giꢭi thꢚc. ðꢝ nghiên cꢪu vꢦ mꢞt vꢥn ñꢦ kinh tꢘ thꢚc tꢘ,
không thꢝ xét ñꢸng thꢧi tꢥt các các yꢘu tꢖ cũng như các mꢖi liên quan nꢞi
tꢗi (ñiꢦu này quá phꢪc tꢗp, ñôi khi vưꢨt quá sꢚ hiꢝu biꢘt cꢜa chúng ta).
Hơn nꢱa, các yꢘu tꢖ hay các mꢖi liên quan cũng không phꢙi là có tꢮm
quan trꢣng như nhau cho viꢛc tìm hiꢝu bài toán kinh tꢘ ñꢩt ra. Bꢲi vꢟy,
bꢠng cách này hay cách khác, chúng ta cꢮn lꢚa chꢣn ra ñưꢨc các yꢘu tꢖ
và các mꢖi liên quan cơ bꢙn nhꢥt ñꢝ xem xét. Viꢛc lꢚa chꢣn như vꢟy
trong nhiꢦu trưꢧng hꢨp là khá nhꢗy cꢙm.
Mꢞt mô hình kinh tꢘ (economic model) là mꢞt khung lí thuyꢘt, là mꢞt
sꢚ diꢵn ñꢗt (hay mô tꢙ, thꢝ hiꢛn) có tính khái quát mꢞt vꢥn ñꢦ kinh tꢘ
thꢚc tꢘ. Khi xây dꢚng mô hình cꢮn chú trꢣng tính phù hꢈp, tính khꢖ thi,
tính thꢕc tiꢟn và tính mꢋc ñích. ðiꢦu này cho phép mô hình ñưꢨc ñꢦ xuꢥt
phù hꢨp vꢭi các ñꢩc ñiꢝm cơ bꢙn cꢜa vꢥn ñꢦ nghiên cꢪu và các thông tin
thu thꢟp ñưꢨc, ñꢸng thꢧi có thꢝ ñưꢨc phân tích bꢲi các phương pháp hay
công cꢢ thích hꢨp nhꢠm tìm hiꢝu và nhꢟn thꢪc thꢚc tiꢵn mꢞt cách sâu
sꢯc. Trên cơ sꢲ phân tích mô hình phꢙi ñưa ra ñưꢨc các tác ñꢞng ñiꢦu
khiꢝn hꢨp lí nhꢠm ñꢗt ñưꢨc các mꢢc tiêu ñꢦ ra.
Mꢞt mô hình kinh tꢘ có thꢝ chꢪa hoꢩc không chꢪa các yꢘu tꢖ toán
hꢣc, có thꢝ là mꢞt mô hình toán hꢣc hay không phꢙi là mꢞt mô hình toán
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..13
hꢣc. Nꢘu mꢞt mô hình kinh tꢘ là mô hình toán hꢣc thì nó còn ñưꢨc gꢣi là
mô hình kinh tꢘ toán (mꢞt sꢖ tác giꢙ gꢣi là mô hình toán kinh tꢘ). Mô
hình kinh tꢘ toán bao gꢸm các phương trình (các hꢛ thꢪc toán hꢣc nói
chung) mô tꢙ cꢥu trúc cꢜa mô hình. Các phương trình phꢙn ánh mꢖi liên
quan giꢱa các biꢘn kinh tꢘ dưꢭi dꢗng toán hꢣc mꢞt cách phù hꢨp vꢭi các
giꢙ thiꢘt cꢜa mô hình. Như vꢟy, các biꢘn, hꢠng sꢖ, tham sꢖ và các loꢗi
phương trình là các yꢘu tꢖ cơ bꢙn cꢜa mꢞt mô hình kinh tꢘ toán. Nhꢧ áp
dꢢng các phép toán, các ñꢤnh lí toán hꢣc, chúng ta sꢳ ñưa ra ñưꢨc các kꢘt
luꢟn ñưꢨc suy ra mꢞt cách logic tꢷ các giꢙ thiꢘt ñã nêu.
2.2. Biꢇn, hꢋng sꢌ và tham sꢌ
Biꢘn là mꢞt ñꢗi lưꢨng mà ñꢞ lꢭn và dꢥu cꢜa nó có thꢝ biꢘn thiên, tꢪc
là nó có thꢝ nhꢟn các giá trꢤ khác nhau. Chꢬng hꢗn, trong các phân tích
kinh tꢘ thưꢧng gꢩp các loꢗi biꢘn sau ñây:
– P: giá cꢙ (price),
– Π: lꢨi nhuꢟn (profit),
– R: doanh thu (revenue),
– C: chi phí (cost),
– Y: thu nhꢟp (income),
– ...
Trong các mô hình kinh tꢘ toán, các biꢘn ñưꢨc phân loꢗi như sau:
– Biꢅn nꢄi sinh. Nꢘu mꢞt mô hình kinh tꢘ ñưꢨc xây dꢚng mꢞt cách
chính xác thì thông qua viꢛc giꢙi quyꢘt mô hình có thꢝ xác ñꢤnh ñưꢨc các
giá trꢤ cꢜa mꢞt sꢖ biꢘn, chꢬng hꢗn như xác ñꢤnh ñưꢨc mꢪc giá cꢙ làm cân
bꢠng thꢤ trưꢧng hay mꢪc sꢙn phꢴm ñꢮu ra làm tꢖi ña hóa lꢨi nhuꢟn. Các
biꢘn như vꢟy ñưꢨc gꢣi là biꢘn nꢞi sinh, giá trꢤ cꢜa chúng ñưꢨc xác ñꢤnh
tꢷ các mꢖi liên quan nꢞi tꢗi cꢜa mô hình.
– Biꢅn ngoꢁi sinh. Biꢘn ngoꢗi sinh là các biꢘn vꢭi các giá trꢤ ñưꢨc
xác ñꢤnh bꢲi các yꢘu tꢖ, các lꢚc lưꢨng xuꢥt hiꢛn ngoài mô hình. Vì vꢟy,
ñꢞ lꢭn cꢜa các biꢘn ngoꢗi sinh ñưꢨc coi như các sꢖ liꢛu cho trưꢭc.
Mꢞt biꢘn kinh tꢘ có thꢝ là nꢞi sinh hay ngoꢗi sinh tùy theo mô hình
hay lí thuyꢘt kinh tꢘ ñang ñưꢨc xem xét. Chꢬng hꢗn, khi nghiên cꢪu mô
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..14
hình cân bꢠng thꢤ trưꢧng thì giá cꢙ P cꢜa mꢞt loꢗi hàng hóa là biꢘn nꢞi
sinh. Nhưng nꢘu nghiên cꢪu lí thuyꢘt vꢦ chi phí cꢜa ngưꢧi tiêu dùng thì P
lꢗi là biꢘn ngoꢗi sinh, vì P ñưꢨc coi là sꢖ liꢛu ñꢮu vào cho mô hình này.
Ngưꢨc lꢗi so vꢭi biꢘn, hꢠng sꢖ là mꢞt ñꢗi lưꢨng có giá trꢤ không thay
ñꢰi. Hꢠng sꢖ có thꢝ ñưꢨc kí hiꢛu bꢲi các sꢖ hoꢩc, mꢞt cách tꢰng quát
hơn, bꢲi các chꢱ. Trong các trưꢧng hꢨp khi hꢠng sꢖ ñưꢨc kí hiꢛu bꢲi các
chꢱ, chúng ta có các hꢠng sꢖ dꢗng tham sꢖ, còn ñưꢨc gꢣi mꢞt cách ngꢯn
gꢣn hơn là các tham sꢖ. Giá trꢤ cꢜa các tham sꢖ ñưꢨc coi là hꢠng sꢖ chꢶ
sau khi chúng ñưꢨc xác ñꢤnh.
Các tham sꢖ thưꢧng ñưꢨc kí hiꢛu bꢲi các chꢱ cái thưꢧng a, b, c hay
α, β, γ ... Còn các biꢘn nꢞi sinh ñưꢨc kí hiꢛu bꢲi các chꢱ in như P, Q, R,
C hay Π, Λ ... Biꢘn ngoꢗi sinh ñưꢨc phân biꢛt vꢭi biꢘn nꢞi sinh bꢲi chꢶ sꢖ
dưꢭi “0” , chꢬng hꢗn như P0, C0 ...
2.3. Các loꢈi phương trình
Mꢖi liên quan giꢱa các biꢘn, hꢠng hay tham sꢖ ñưꢨc thꢝ hiꢛn thông
qua các phương trình. Chúng ta xét các loꢗi phương trình thưꢧng gꢩp
trong mô hình kinh tꢘ như sau:
– Phương trình ñꢤnh nghĩa (definitional equation).
– Phương trình hành vi (behavioral equation).
– Phương trình cân bꢠng (equilibrium equation).
Phương trình ñꢤnh nghĩa là mꢞt ñꢬng thꢪc mà hai biꢝu thꢪc thay thꢘ
ꢲ hai vꢘ cꢜa nó có cùng mꢞt ý nghĩa. Như vꢟy, dꢥu “=” trong phương
trình ñꢤnh nghĩa phꢙi ñưꢨc hiꢝu như dꢥu ≡ (ñꢸng nhꢥt thꢪc).
Ví dꢔ 1. Lꢨi nhuꢟn ñưꢨc ñꢤnh nghĩa thông qua phương trình ñꢤnh
nghĩa sau: Π = R – C, tꢪc là lꢨi nhuꢟn thu ñưꢨc chính là phꢮn dôi ra cꢜa
doanh thu sau khi ñã trꢷ ñi chi phí.
Phương trình hành vi phꢙn ánh cách thꢪc mꢞt biꢘn thay ñꢰi phꢢ
thuꢞc vào sꢚ thay ñꢰi giá trꢤ cꢜa các biꢘn khác. Nó có thꢝ bao hàm các
hành vi có ý thꢪc cꢜa con ngưꢧi (chꢬng hꢗn, khi xét mꢖi liên quan cꢜa
tiêu dùng tꢰng hꢨp phꢢ thuꢞc vào thu nhꢟp quꢖc dân) hoꢩc các hành vi
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..15
vô thꢪc (chꢬng hꢗn, khi xem xét mꢖi liên quan giꢱa tꢰng chi phí sꢙn xuꢥt
và mꢪc sꢙn phꢴm ñꢮu ra). Tuy nhiên, ñꢝ thiꢘt lꢟp mꢞt phương trình hành
vi cꢮn tuân theo các giꢙ thiꢘt nhꢥt ñꢤnh. Như vꢟy, dꢥu “=” trong phương
trình hành vi phꢙi ñưꢨc hiꢝu như mꢞt mꢖi liên quan phꢢ thuꢞc.
Ví dꢔ 2. Xét các ví dꢢ sau ñây vꢦ phương trình hành vi vꢭi C là chi
phí và Q là mꢪc sꢙn phꢙm ñꢮu ra:
– Chi phí C = 75 + 10Q.
– Chi phí C = 110 + Q2.
Các ñiꢦu kiꢛn sꢙn xuꢥt ñưꢨc mô tꢙ trong hai phương trình trên là khác
nhau. Trong phương trình thꢪ nhꢥt chi phí cꢖ ñꢤnh là 75, còn trong
phương trình thꢪ hai chi phí cꢖ ñꢤnh là 110. Sꢚ biꢘn thiên cꢜa chi phí C
cũng là khác nhau trong hai phương trình trên. Trong phương trình thꢪ
nhꢥt khi Q tăng lên mꢞt ñơn vꢤ thì C tăng 10 ñơn vꢤ, còn trong phương
trình thꢪ hai khi Q tăng mꢞt ñơn vꢤ thì C tăng lên mꢞt lưꢨng là: (Q + 1)2 –
Q2 = 2Q + 1. Chꢬng hꢗn nꢘu Q tăng tꢷ 12 lên 13 thì C tăng lên 25 ñơn vꢤ.
Phương trình cân bꢠng mô tꢙ ñiꢦu kiꢛn cân bꢠng, nói ñúng hơn là các
ñiꢦu kiꢛn cꢮn thiꢘt ñꢝ ñꢗt tꢭi tình trꢗng cân bꢠng.
Ví dꢔ 3. Xét các ví dꢢ sau ñây vꢦ phương trình cân bꢠng:
– Qd = Qs: Lưꢨng cꢮu phꢙi bꢠng lưꢨng cung.
– S = I: Tꢰng tiꢘt kiꢛm phꢙi bꢠng tꢰng ñꢮu tư.
Phương trình thꢪ nhꢥt mô tꢙ ñiꢦu kiꢛn cân bꢠng trong mô hình thꢤ
trưꢧng, còn phương trình thꢪ hai mô tꢙ ñiꢦu kiꢛn cân bꢠng trong mô
hình thu nhꢟp quꢖc dân. Vꢦ bꢙn chꢥt, phương trình cân bꢠng khác vꢭi
phương trình ñꢤnh nghĩa và phương trình hành vi. Phương trình cân
bꢠng có mꢞt ý nghĩa quan trꢣng trong các phân tích kinh tꢘ ñꢝ tìm ra
các trꢗng thái cân bꢠng.
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..16
Chương II
PHÂN TÍCH CÂN BꢏNG TĨNH
1. Phân tích cân bꢕng trong kinh tꢑ
1.1. Khái niꢅm vꢆ trꢈng thái cân bꢋng
Cân bꢠng hay trꢗng thái cân bꢠng có thꢝ ñưꢨc hiꢝu là mꢞt tꢟp hꢨp có
cꢥu trúc cꢜa các biꢘn ñưꢨc lꢚa chꢣn, có liên quan nꢞi tꢗi và ñưꢨc ñiꢦu
chꢶnh thích hꢨp vꢭi nhau, sao cho trong mô hình mà chúng tꢗo nên,
khuynh hưꢭng thay ñꢰi không tiꢦm ꢴn mꢞt cách ñáng kꢝ.
Cꢢm tꢷ “các biꢘn ñưꢨc lꢚa chꢣn” ñưꢨc nêu trên có nghĩa là, theo sꢚ
lꢚa chꢣn cꢜa nhà phân tích kinh tꢘ, ñã có mꢞt sꢖ biꢘn không ñưꢨc ñưa
vào mô hình. Như vꢟy, trꢗng thái cân bꢠng chꢶ liên quan tꢭi các biꢘn
ñưꢨc lꢚa chꢣn và ñưꢨc ñưa vào xem xét mà thôi. Nꢘu mô hình ñưꢨc mꢲ
rꢞng ñꢝ bao gꢸm cꢙ các biꢘn khác thì có thꢝ trꢗng thái cân bꢠng trên sꢳ
không còn duy trì ñưꢨc nꢱa. Cꢢm tꢷ “có liên quan nꢞi tꢗi” có nghĩa là ñꢝ
ñꢗt tꢭi tình trꢗng cân bꢠng, các biꢘn ñưꢨc lꢚa chꢣn ñꢦu phꢙi ꢲ trong trꢗng
thái dꢷng. Hơn nꢱa trꢗng thái dꢷng cꢜa các biꢘn cũng phꢙi tương thích
vꢭi nhau. Nꢘu trái lꢗi, viꢛc mꢞt sꢖ biꢘn thay ñꢰi có thꢝ kéo theo viꢛc các
biꢘn khác thay ñꢰi theo phꢙn ꢪng dây chuyꢦn, do ñó trꢗng thái cân bꢠng
có thꢝ không còn tꢸn tꢗi nꢱa. Cꢢm tꢷ “tiꢦm ꢴn” “trong mô hình” nói lên
rꢠng trong trꢗng thái cân bꢠng, các trꢗng thái dꢷng cꢜa các biꢘn ñưꢨc
thiꢘt lꢟp dꢚa trên viꢛc cân bꢠng các biꢘn nꢞi sinh trong khi các biꢘn ngoꢗi
sinh ñưꢨc coi là không ñꢰi. Có thꢝ nói, trꢗng thái cân bꢠng là trꢗng thái
mà vꢭi giá trꢤ cho trưꢭc cꢜa các biꢘn ngoꢗi sinh, cꢜa các tham sꢖ, giá trꢤ
cꢜa các biꢘn nꢞi sinh ñưꢨc xác ñꢤnh và không thay ñꢰi theo thꢧi gian.
Như vꢟy, trꢗng thái cân bꢠng là tình trꢗng ñưꢨc ñꢩc trưng bꢲi viꢛc
không phát hiꢛn thꢥy có khuynh hưꢭng thay ñꢰi. Do ñó, phân tích cân bꢠng
ñꢝ tìm ra các trꢗng thái như vꢟy còn ñưꢨc gꢣi là phân tích tĩnh hay phân
tích cân bꢠng tĩnh (static – equilibrium). Tuy nhiên, viꢛc không phát hiꢛn
thꢥy có khuynh hưꢭng thay ñꢰi hay ñꢞng lꢚc thay ñꢰi không ñꢸng nghĩa
vꢭi viꢛc nhꢥt thiꢘt cꢮn coi tình trꢗng cân bꢠng là lí tưꢲng. ðꢖi vꢭi nhiꢦu
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..17
công ty, tình trꢗng cân bꢠng cung cꢮu hiꢛn tꢗi vꢦ sꢙn phꢴm có thꢝ cꢮn ñưꢨc
thay ñꢰi chꢪ không thꢝ coi là lí tưꢲng. Tình trꢗng cân bꢠng, bꢲi vꢟy, có thꢝ
ñưꢨc hiꢝu như tình huꢖng, mà các biꢘn nꢞi sinh có khuynh hưꢭng duy trì
chꢖng lꢗi các thay ñꢰi tꢷ phía ngoài, tꢷ phía các biꢘn ngoꢗi sinh.
Mꢞt kiꢝu cân bꢠng khác là cân bꢠng có mꢢc ñích (goal –
equilibrium), hay cân bꢠng tꢖi ưu, ñưꢨc phân tích thông qua các bài toán
tꢖi ưu. Trꢗng thái cân bꢠng như vꢟy có thꢝ ñưꢨc coi là lí tưꢲng, hay ít
nhꢥt ñưꢨc coi là trꢗng thái “mong muꢖn” trong ñiꢦu kiꢛn hiꢛn có. Trong
nhꢱng trꢗng thái cân bꢠng như vꢟy, các biꢘn ñưꢨc lꢚa chꢣn, có liên quan
nꢞi tꢗi vꢭi nhau và ñưꢨc ñiꢦu chꢶnh thích hꢨp vꢭi nhau, sao cho trong mô
hình mà chúng tꢗo nên, trꢗng thái lí tưꢲng hay mong muꢖn xꢙy ra. Trong
chương này, chúng ta sꢳ chꢶ giꢭi hꢗn trong viꢛc nghiên cꢪu cân bꢠng tĩnh
không có tính mꢢc ñích.
1.2. Mꢍt sꢌ ví dꢎ vꢆ phân tích cân bꢋng tĩnh
Trong các mô hình cân bꢠng tĩnh, bài toán ñꢩt ra là cꢮn xác ñꢤnh các
giá trꢤ cꢜa các biꢘn nꢞi sinh sao cho phương trình cân bꢠng cꢜa mô hình
ñưꢨc thꢹa mãn. Mꢞt khi các giá trꢤ ñó ñưꢨc xác ñꢤnh, trꢗng thái cân bꢠng
cũng sꢳ ñưꢨc thiꢘt lꢟp. Chúng ta hãy minh hꢣa vꢥn ñꢦ này qua mô hình
(tuyꢘn tính cũng như phi tuyꢘn) phân tích cân bꢠng thꢤ trưꢧng riêng, tꢪc
là cân bꢠng thꢤ trưꢧng ñꢖi vꢭi mꢞt mꢩt hàng.
Ví dꢔ 1. Mô hình tuyꢘn tính cân bꢠng thꢤ trưꢧng riêng.
Trong mô hình này chúng ta chꢶ xét mꢞt mꢩt hàng vꢭi các biꢘn: Qd là
lưꢨng cꢮu, Qs là lưꢨng cung và P là giá cꢙ cꢜa mꢩt hàng. Lúc ñó cꢮn xác
ñꢤnh nghiꢛm (P , Q ) sao cho Qd
trình tuyꢘn tính sau:
=
Qs
=
Q
và
P
thꢹa mãn hꢛ phương
Qd = Qs
(2.1)
Qd = a – bP
(vꢭi ñiꢦu kiꢛn a > 0, b > 0)
(vꢭi ñiꢦu kiꢛn c > 0, d > 0 ).
(2.2)
(2.3)
Qs = – c + dP
Trong hꢛ trên, phương trình (2.1) là phương trình cân bꢠng xác ñꢤnh
ñiꢦu kiꢛn cân bꢠng giꢱa cꢮu và cung. Phương trình (2.2) và (2.3) là các
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..18
phương trình hành vi mô tꢙ sꢚ biꢘn thiên cꢜa cꢮu và cung phꢢ thuꢞc vào
P. ðꢝ ñơn giꢙn, các mꢖi liên quan này ñưꢨc coi là tuyꢘn tính. Các tham
sꢖ a, b, c, d xác ñꢤnh các mꢖi liên quan này. Trong phương trình (2.3) ta
có Qs = – c + dP vꢭi c > 0, d > 0. ðiꢦu kiꢛn này có nghĩa là cung Qs chꢶ
xuꢥt hiꢛn (Qs > 0) mꢞt khi giá cꢙ P cꢜa mꢩt hàng vưꢨt qua mꢞt ngưꢺng
dương tꢖi thiꢝu P1 = c/d.
Nghiꢛm (
P
,
Q
) ñưꢨc gꢣi là trꢗng thái cân bꢠng, Qd
=
Qs
=
Q
là
mꢪc cân bꢠng cung cꢮu và
P
là mꢪc cân bꢠng giá. Trên hình II.1, nghiꢛm
(
P
,
Q
) chính là giao ñiꢝm cꢜa các ñưꢧng cꢮu và ñưꢧng cung.
Qd Qs
a
Qd = a – bP
Qs = –c + dP
Q
P,Q
O
P1
P
P
–c
Hình II.1
Dꢵ thꢥy rꢠng tꢷ hꢛ trên ñây ta có:
Q
Q
= a – b
P
= – c + d
P
.
Do ñó mꢪc cân bꢠng giá và mꢪc cân bꢠng cung cꢮu ñưꢨc xác ñꢤnh
như sau:
a + c
b + d
P =
ad − bc
b + d
Q
=
.
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..19
ðꢝ mô hình có ý ngh
ĩ
a th , các tham s
ꢚ
c t
ꢘ
ꢖ
a, b, c và d ñꢦu phꢙi lꢥy
giá tr ương và th a mãn
ꢤ
d
ꢹ
ñiꢦ
u kiꢛn ad – bc > 0.
Ví dꢔ 2. Mô hình phi tuyꢘn cân bꢠng thꢤ trưꢧng riêng.
Các mꢖi phꢢ thuꢞc cꢜa cꢮu hay cung vào giá cꢙ không nhꢥt thiꢘt phꢙi
là tuyꢘn tính. Nói chung, các mꢖi liên quan này là phi tuyꢘn. Xét ví dꢢ sau:
Qd = Qs
Qd = 4 – P2
Qs = 4P – 1.
Tꢷ ñó có phương trình P2 + 4P – 5 = 0. Trong hai nghiꢛm cꢜa
phương trình này: P 1 = 1 và P 2 = –5, chúng ta chꢶ lꢥy nghiꢛm P 1 = 1.
Thay vào, sꢳ tìm ñưꢨc Qd
=
Qs
=
Q
= 3. Hình II.2 minh hꢣa các ñưꢧng
cꢮu và ñưꢧng cung cũng như trꢗng thái cân bꢠng.
Qd Qs
4
Qs = 4P – 1
P,Q
3
Qd = 4 – P2
2
1
P
O
–1
Hình II.2
2. Các mô hình tuyꢑn tính trong phân tích cân bꢕng tĩnh
2.1. Mô hình cân bꢋng thꢏ trưꢐng tꢑng quát
Xét ví dꢢ ñơn giꢙn vꢦ mô hình cân bꢠng thꢤ trưꢧng tuyꢘn tính vꢭi hai
mꢩt hàng:
Trưꢀng ðꢁi hꢂc Nông nghiꢃp Hà Nꢄi – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tꢅ ..20
Tải về để xem bản đầy đủ
188 trang
12/01/2024
14440
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_cac_phuong_phap_toan_kinh_te.pdf
