Bài giảng Trường điện từ - Chương: Phương trình Laplace và Poisson
Laplace / Poisson
Chúng ta ñã hꢀc
• ðꢀi vꢁi vector ñiꢂn cꢃm D, ta có
ꢀ
ˆ
ˆ
ˆ
D = Dx x + Dy y + Dz z
ꢀ ꢀ
• D = ρv
Dz
ꢀ ꢀ
D =
ε
E
δx
– Ý nghĩa: Nꢄu thꢅ tích δv bao mꢆt ñiꢂn tích
δQ = ρvδv, thông lưꢇng tꢈnh ñi ra tꢉ ñiꢅm
bao bꢊi δv là mꢋt ñꢆ ñiꢂn tích ρv
δz
Dy
ρv
• Ta cũng ñã có cưꢌng ñꢆ ñiꢂn trưꢌng là
gradient cꢍa ñiꢂn thꢄ
ꢀ ꢀ
δy
Dx
E = − V
• Kꢄt hꢇp ta có
ꢀ ꢀ ꢀ
E = •
ꢀ
ꢀ ꢀ
Nꢁu ε không
thay ñꢂi theo
không gian
ρv
•
ε
ε
− V = ρv
• V = −
ε
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
1
Laplace / Poisson
Toán tꢃ Laplace
• Ta có thꢅ viꢄt lꢎi biꢅu thꢏc trên như sau:
ꢀ ꢀ
ρV
ε
2
• V = V = −
2
•
là toán tꢐ Laplace
• Xét trong hꢂ tꢑa ñꢆ vuông góc
ꢀ ꢀ ꢀ
( )
ꢀ
∂Fy
∂Fx
∂Fz
∂
∂
∂
ˆ
ˆ
divergence F = • F = + +
ˆ
grad = = x + y + z
∂x ∂y ∂z
∂x ∂y ∂z
ꢀ
∂V
∂x
∂V
∂y
∂V
∂z
∂
∂
∂
ˆ
x +
ˆ
y +
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
V =
z =
x + y + z V
∂x ∂y
∂z
ꢀ ꢀ
ꢀ
ꢀ
∂V
∂x
∂V
∂y
∂V
∂z
∂V
∂V
∂V
2V = • V = •
z = •
ˆ
x +
ˆ
y +
ˆ
x +
ˆ
y +
ˆ
ˆ
z
∂x
ꢁ
∂y
∂z
ꢁ
ꢁ
Xem là F
Xem là Fz
x
Xem là Fy
∂2V ∂2V ∂2V
∂ ∂V
∂ ∂V
∂ ∂V
=
+
+
=
+
+
∂x ∂x
∂y ∂y
∂z ∂z
∂x2 ∂y2 ∂z2
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
2
Laplace / Poisson
Các phương trình Possion và Laplace
• ðꢀi vꢁi mꢆt ñiꢂn môi ñꢒng nhꢓt, mꢀi quan hꢂ giꢔa ñiꢂn thꢄ và mꢋt
ñꢆ ñiꢂn tích ñưꢇc biꢅu diꢕn bꢖng phương trình Poisson
∂2V ∂2V ∂2V
ꢀ ꢀ
Nꢁu ε không
thay ñꢂi theo
không gian
ρv
ε
2
2V =
+
+
• V = V = −
∂x2 ∂y2 ∂z2
• Trong trưꢌng hꢇp mꢋt ñꢆ ñiꢂn tích = 0, ta thu ñưꢇc phương trình
Laplace (trưꢌng hꢇp ñꢗc biꢂt cꢍa phương trình Poisson)
2V = 0
– Tham khꢃo:
• Chú ý: Bây giꢌ chúng ta có thꢅ chuyꢅn ñꢘi cách thꢏc giꢃi quyꢄt
mꢆt bài toán tꢉ các phép tính tích phân sang phương pháp mꢁi
liên quan tꢁi viꢂc giꢃi các phương trình vi phân
– Mꢆt khi chúng ta xác ñꢈnh ñưꢇc
, chúng ta sꢙ xác ñꢈnh ñưꢇc
V r
ꢀ
tꢓt cꢃ các ñꢎi lưꢇng còn lꢎi vì ta có thꢅ tính
tꢉ V
E
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
3
Laplace / Poisson
Toán t
ꢃ
Laplace trong các h
ꢄ
t
ꢀa
ñꢅ khác nhau
ꢀ ꢀ
• F =
∂Fy
∂Fx
∂Fz
• Vuông góc
+
+
∂x ∂y ∂z
∂2V ∂2V ∂2V
ꢀ
∂V
∂x
∂V
∂y
∂V
∂z
2V =
+
+
ˆ
x +
ˆ
ˆ
V =
– Trꢆ:
y +
z
∂x2 ∂y2 ∂z2
ꢀ ꢀ
∂
ρ
∂
Fρ
∂ F
∂ F
( )
∂z
1
1
φ
z
iF =
+
+
ρ
ρ
ρ
∂φ
ꢀ
1 ∂
∂V
1 ∂2V ∂2V
∂V
1 ∂V
∂V
ˆ
ˆ
ρ
ˆ
z
V =
+
φ
+
2V =
ρ
θ
+
+
∂ρ
ρ
∂φ
∂z
ρ
∂ρ
∂ρ
ρ 2
∂
φ2 ∂z2
∂ r2 F
– Cꢇu:
ꢀ ꢀ
iF =
∂ F
∂ sin
θ
F
+
(
)
1
r2
1
1
r
φ
θ
+
∂r
r sin
∂
θ
r sin
θ
∂φ
ꢀ
∂V
∂r
1 ∂V
1 ∂V
ˆ
ˆ
ˆ
r +
V =
θ
+
φ
r ∂θ
r sinθ ∂φ
1 ∂
∂V
∂r
4
1
∂
∂V
1
∂2V
φ2
2V =
r2
+
sin
θ
+
r2 ∂r
r2 sin
θ
∂θ
∂θ
r2 sin2 θ
∂
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
© 2004, last update September 18, 2007
Laplace / Poisson
Mꢅt sꢈ lưu ý
• Các phương trình Laplace and Poisson là các phương trình vi
phân tꢉng phꢚn elliptic
– ðꢀi vꢁi dꢎng phương trình vi phân này, nꢄu ta có thꢅ tìm ñưꢇc
nghiꢂm thꢛa mãn các ñiꢜu kiꢂn bꢌ, thì nghiꢂm này là duy nhꢓt!!
– ðiꢜu này thꢝc sꢝ quan trꢑng vì mꢆt khi ta ñã tìm ñưꢇc nghiꢂm, ta
không cꢚn phꢃi tiꢄp tꢞc tìm các nghiꢂm khác!
• Nghiꢂm cꢍa phương trình Laplace, là các nghiꢂm khꢃ vi bꢋc 2,
ñưꢇc gꢑi là các hàm ñiꢜu hòa
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
5
Laplace / Poisson
Ví dꢆ vꢉ phương trình Laplace
• Các bài toán có vꢋt dꢟn trên các bꢌ phân cách thưꢌng dꢕ giꢃi
quyꢄt
– Các vꢋt dꢟn là ñꢠng thꢄ, tꢏc là, V = hꢖng sꢀ trên bꢜ mꢗt vꢋt dꢟn
– Vì vꢋy, ta có các ñiꢜu kiꢂn bꢌ Dirichlet (tꢏc là các giá trꢈ tꢎi các bꢜ
mꢗt phân cách ñưꢇc xác ñꢈnh rõ) cho vꢁi các bài toán này
• Dưꢁi ñây ta sꢙ giꢃi mꢆt sꢀ bài toán ñơn giꢃn
– Vꢁi các bài toán này, ta giꢃ thiꢄt rꢖng (vꢁi hy vꢑng tꢉ tính ñꢀi
xꢏng) nghiꢂm cꢍa bài toán biꢄn thiên theo mꢆt biꢄn sꢀ duy nhꢓt
– Ví dꢞ: cáp ñꢒng trꢞc ñꢗt dꢑc theo trꢞc z, có lꢁp ñiꢂn môi phân bꢀ
ñꢒng nhꢓt, không có ñiꢂn tích tꢝ do
• Trong hꢂ tꢑa ñꢆ cꢚu, nghiꢂm sꢙ không biꢄn thiên theo φ
• Nó chꢡ biꢄn thiên duy nhꢓt theo ρ
Vngoài
a
Vtrong
1 ∂
∂V
1 ∂2V ∂2V
1 ∂
∂V
2V =
ρ
+
+
2V =
ρ
b
ρ
∂ρ
∂ρ
ρ 2
∂
φ2 ∂z2
ρ
∂ρ
∂ρ
2V = 0
ꢁ
ꢁ
0
0
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
6
Laplace / Poisson
Nghiꢄm cꢊa phương trình Laplace: hꢄ ñꢋng trꢆc
• Ví dꢞ: Vꢁi cáp ñꢒng trꢞc dꢑc theo trꢞc z
Vngoài
– Trong hꢂ tꢑa ñꢆ cꢚu, nghiꢂm sꢙ không biꢄn thiên theo
φ
– Nó chꢡ biꢄn thiên duy nhꢓt theo
ρ
1 ∂
∂V
2V =
ρ
ρ
∂ρ
∂ρ
a
1 ∂
∂V
∂
∂V
Vtrong
ρ
= 0
ρ
= 0
b
ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
2V = 0
∂V
ρ
= A constant
V = Aln ρ + B
∂ρ
• Áp dꢞng các ñiꢜu kiꢂn bꢌ
Vngoꢀi = Aln b + B
B =Vngoꢀi − Aln b
– V = Vngoài tꢎi
ρ
= b
V = Aln a + B = Aln a +V − Aln b
Vtrong −Vngoꢀi
– V = Vtrong tꢎi
ρ
= a
trong
ngoꢀi
a
A =
= Aln
+V
ngoꢀi
b
a
ln
( )
b
ρ
ln
Vtrong −V
Vtrong −V
b
V =
ngoꢀi ln
ρ
( )
+ V −
ngoꢀi ln b
( )
V −Vngoꢀi = V −V
(
)
ngoꢀi
trong
ngoꢀi
a
a
a
ln
ln
ln
( )
( )
( )
b
b
b
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
7
Laplace / Poisson
Nghi
ꢄm phương trình Laplace: Vꢌt dꢍn hình “nêm”
Vñꢎnh
• Ví dꢞ: hai bꢃn mꢛng kim loꢎi, gꢚn như tiꢄp xúc
vꢁi nhau dꢑc theo trꢞc z, tꢎo thành mꢆt góc φ = α
2V = 0
– Trong hꢂ tꢑa ñꢆ trꢞ, V không biꢄn ñꢘi theo
ρ
– Nó chꢡ biꢄn ñꢘi theo
φ
1 ∂
∂V
1 ∂2V ∂2V
2V =
ρ
+
+
α
ρ
∂ρ
∂ρ
ρ 2
∂
φ2 ∂z2
Vñáy
ꢁ
ꢂꢃꢄꢃꢅ
0
0
z
1 ∂2V
∂2V
= 0
= 0
V = A
φ
+ B
ρ 2
∂
φ2
∂
φ2
– Áp dꢞng các ñiꢜu kiꢂn bꢌ
• V = Vñáy tꢎi φ = 0
V®¸y = B
V®Ønh = A
V®Ønh −V®¸y
= A
• V = V®Ønh t¹i φ = α
α
+V®¸y
α
φ
V = V −V
+V®¸y
(
)
®¸y
®Ønh
α
1 ∂V
V −V
ꢀ
1
®¸y
®Ønh
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ˆ
1 ∂V
∂V
∂V
E = −
φ
ˆ
ˆ
ˆ
ρ
ˆ
z
E = − V = −
+
φ
+
E = − V = −
φ
α
ρ
∂ρ
ρ
∂φ
∂z
ρ ∂φ
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
8
Laplace / Poisson
Nghi
ꢄm phương trình Laplace: Vꢌt dꢍn hình “nêm”
Vñꢎnh
• Ví dꢞ: khi α = π/2 , Vñáy = 0, Vñꢡnh = 1 volt
2V = 0
α
ꢀ
1 1
ˆ
E = −
φ
Vñáy
α ρ
z
φ
φ
V = V −V
+V®¸y
(
)
α
®¸y
®Ønh
Vôn
π
2
ꢀ ðưꢌng ñꢠng thꢄ là các
ñưꢌng thꢠng ñi qua gꢀc tꢑa ñꢆ
ꢀ
V −V
1
®¸y
®Ønh
φ
φ
ˆ
E = −
φ
V = 1Vôn
−
0Vôn
+
0Vôn
=
Vôn
(
)
α
ρ
π
2
π 2
ꢀ ðưꢌng sꢏc là các vòng tròn
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
9
Laplace / Poisson
Vꢌt dꢍn hình “nêm”
w
Vtop
φ
V = V −V
+V®¸y
(
)
®¸y
®Ønh
α
2V =
0
ꢀ
V −V
1
®¸y
®Ønh
ˆ
E = −
φ
l
α
ρ
α
EtiÕpꢁtuyÕnꢁvíi = 0 = DtiÕpꢁtuyÕnꢁvíi
Vbottom
bÒꢁmÆtꢁvËtꢁdÉn
bÒꢁmÆtꢁvËtꢁdÉn
z-axis
Dtrùcꢁgiaoꢁvíi
bÒꢁmÆtꢁvËtꢁdÉn
= ρbÒꢁmÆt = ε Etrùcꢁgiaoꢁvíi
bÒꢁmÆtꢁvËtꢁdÉn
ꢀ
V®Ønh −V®¸y
1
Có giá trꢈ rꢓt lꢁn tꢎi
ρ = 0
ρbÒꢁmÆt
=
ε
E
= ε
mÆtꢁ®Ønh
α
ρ
V®Ønh −V®¸y
Q = l w ρbÒꢁmÆt
d
ρ
= l wε
dρ
1
∫
∫
0
0
α
ρ
Cũng có giá trꢈ rꢓt lꢁn
V®Ønh −V®¸y
w
= l
ε
ln
ρ
[ ]
0
α
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
10
Laplace / Poisson
Các phương trình Possion và Laplace
• Mꢀi quan hꢂ giꢔa ñiꢂn thꢄ và mꢋt ñꢆ ñiꢂn tích ñưꢇc mô tꢃ bꢖng
phương trình Poisson
ꢀ
ꢀ
ꢀ ꢀ
• V = V = −
ρv
ε
Nꢁu ε không biꢁn ñꢂi
2
• −
ε
V = ρv
theo không gian
∂2V ∂2V ∂2V
2V = + +
∂x2 ∂y2 ∂z2
• Trong trưꢌng hꢇp mꢋt ñꢆ ñiꢂn tích bꢖng 0, ta có phương trình
Laplace (mꢆt trưꢌng hꢇp ñꢗc biꢂt cꢍa phương trình Poisson)
2V = 0
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
11
Laplace / Poisson
Các phương pháp t
ꢂ
ng quát ñꢏ giꢐi phương trình
∂2V ∂2V ∂2V
Laplace
2V =
+
+
= 0
∂x2 ∂y2 ∂z2
• Phương pháp tách biꢄn sꢀ (separation of variables)
– Giꢃ sꢐ, chúng ta ñoán rꢖng nghiꢂm là mꢆt tích cꢍa 3 hàm sꢀ, mꢢi
hàm sꢀ có biꢄn chꢡ là mꢆt trong các tꢑa ñꢆ. Ví dꢞ trong hꢂ tꢑa ñꢆ
vuông góc, ta giꢃ thiꢄt:
V x, y, z = X x Y y Z z
∂2 X x Y y Z z
∂2 X x Y y Z z
∂2 X x Y y Z z
= 0
+
+
∂x2
∂y2
∂z2
d2 X x
d2 Y y
d2 Z z
= 0
Y y Z z
+ X x Z z
( ) ( )
+ X x Y y
( ) ( )
( ) ( )
dx2
dy2
dz2
d2 X x
d2 Y y
d2 Z z
= 0
1
Y y Z z
+ X x Z z
+ X x Y y
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
X Y Z
dx2
dy2
dz2
d2 X x
d2 Y y
Y dy2
d2 Z z
= 0
1
1
1
+
+
X
dx2
Z dz2
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
12
Laplace / Poisson
Phương pháp tách biꢁn sꢈ
– Ta có
d2 X x
d2 Y y
d2 Z z
= 0
1
1
1
+
+
X
dx2
Y dy2
Z dz2
ꢂꢃꢃꢄꢃꢃꢅ
ꢂꢃꢃꢄꢃꢃꢅ
ꢂꢃꢃꢄꢃꢃꢅ
h»ngꢁsè C1
h»ngꢁsè C3
h»ngꢁsè C2
– Víi
d2 Y y
Y dy2
d2 Z z
d2 X x
= C2
= C3
1
1
1
= C1
Z dz2
X
dx2
C1 + C2 +C3 = 0
• Tương tꢝ như vꢋy cho Y(y)
và Z(z)
X (x)= h»ngꢁsè + h»ngꢁsè exp ± C x
∑
1
i
i
i
• ðꢅ giꢃi quyꢄt mꢆt bài toán cꢞ thꢅ, ta cꢚn tìm các hꢖng sꢀ
• Áp dꢞng các ñiꢜu kiꢂn bꢌ!
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
13
Laplace / Poisson
Ví dꢆ
• Xét mꢆt ꢀng kim loꢎi dài có tiꢄt diꢂn ngang chꢔ nhꢋt
– Ba mꢗt cꢍa ꢀng ñưꢇc nꢀi ñꢓt, V = 0
– Mꢆt mꢗt có ñiꢂn thꢄ V = Vo
y
V = 0
y = b
– V chꢡ biꢄn thiên theo
x và y
∂2V ∂2V
2V =
+
= 0
∂2V ∂2V
+
∂x2 ∂y2
V = X x Y y
= 0
∂x2 ∂y2
x
x = d
V = 0
d2 X x
d2 X x
=
1
1
α 2
C1 + C2 = 0
= C1
= C2
dx2
X
dx2
X
d2 Y y
d2 Y y
= −α 2
1
C1 = −C2 = α 2
1
Y dy2
Y dy2
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
14
Laplace / Poisson
ꢑ
ng chꢒ
nhꢌt vꢓi các bꢉ mꢔt dꢍn ñiꢄn
y
V = 0
• Trưꢁc hꢄt, ta xét hàm Y(y)
y = b
∂2V ∂2V
d2 Y y
d2 Y
2V =
+
= 0
= −α 2
1
α 2Y = 0
∂x2 ∂y2
+
dy2
Y dy2
x
x = d
V = 0
Y y = Asin
α
y + Bcos
α y
V Y 0 = Bcos 0 = 0
• ðiꢜu kiꢂn bꢌ 1: V = 0 at y = 0
– ꢀ B = 0
V Y b = Asin
α
b = 0
• ðiꢜu kiꢂn bꢌ 2: V = 0 at y = b
– ꢀ
α = mπ/b
y
Y y = A sin m
π
m ( )
m
b
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
15
Laplace / Poisson
ꢑ
ng chꢒ
nh
ꢌ
t v
ꢓ
i các b
ꢉ
mꢔt dꢍn
ñi
ꢄn
y
y
m
π
V = 0
Y y = A sin m
π
α
=
m ( )
m
y = b
b
b
∂2V ∂2V
2V =
+
= 0
∂x2 ∂y2
• Bây giꢌ ta xét hàm X(x)
V = X x Y y
1 d2 X
X dx2
d2 X
dx2
α 2
−α
2 X = 0
x
=
x = d
V = 0
X x = C exp
α
x + Dexp −
α x
V X 0 = C + D = 0
• ðiꢜu kiꢂn bꢌ 1: V = 0 at x = 0
– ꢀ C = - D
x
x
x
X x = C exp
m
π
−
exp −m
π
= Cm sinh
m
π
m ( )
m
b
b
b
x
y
sin mπ
V x, y =V sinh m
π
( )
m
b
b
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
16
Laplace / Poisson
ꢑ
ng chꢒ
nh
ꢌ
t v
ꢓ
i các b
ꢉ
mꢔt dꢍn
ñi
ꢄn
y
x
y
π
V x, y =V sinh m
π
sin m
m nguyªn
V = 0
( )
m
b
b
y = b
∂2V ∂2V
2V =
+
= 0
∂x2 ∂y2
• Nghiꢂm này phꢃi thꢛa mãn ñiꢜu kiꢂn
ba mꢗt có V = 0
V = X x Y y
– Kiꢅm tra
x
0
y
x = d
V = 0
V x = 0, y =V sinh m
π
sin m
π
= 0
(
)
m
b
b
ꢂꢃꢃꢄꢃꢃꢅ
sinh 0 =0
( )
x
0
V x, y = 0 =V sinh m
π
π
sin m
π
= 0
= 0
(
)
m
b
b
x
b
b
V x, y = b =V sinh m
sin m
π
(
)
m
b
• Còn tꢎi x = d thì sao??
– ꢀ rõ ràng tꢎi d, V không có giá trꢈ Vo !!
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
17
Laplace / Poisson
ꢑ
ng chꢒ
nhꢌt vꢓi các bꢉ mꢔt dꢍn ñiꢄn
y
x
y
V = 0
V x, y =V sinh m
π
sin m
π
m nguyªn
( )
m
y = b
b
b
∂2V ∂2V
2V =
+
= 0
∂x2 ∂y2
• V vꢟn phꢃi thꢛa mãn ñiꢜu kiꢂn bꢌ tꢎi
x = d, tꢏc là: V(d, y) = Vo
V = X x Y y
x
• Thꢐ trưꢌng hꢇp xꢄp chꢒng
x = d
V = 0
∞
x
y
V x, y = V sinh m
π
sin m
π
m nguyªn
( )
(
)
∑
m
b
b
m=1
• Khi ñó, ta có thꢅ viꢄt ñiꢜu kiꢂn bꢌ như sau:
∞
d
b
y
sin mπ
V x = d, y = 0 =V = V sinh m
π
(
)
∑
o
m
b
m=1
∞
y
= c sin m
π
∑
m
b
m=1
• Vꢁi
d
b
cm =Vm sinh m
π
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
18
Laplace / Poisson
Chuꢕi Fourier
• Nꢄu f(
ξ
) là mꢆt hàm tuꢚn hoàn, xác ñꢈnh và khꢃ tích trong ñoꢎn [-L, L]
L
1
• Thì, chuꢢi Fourier cꢍa f(
ξ
) là
a0 =
am =
bm =
f χ dχ
( )
∫
2L −L
∞
ξ
ξ
L
f
ξ
( )
= a +
am cos m
π
+ bm sin mπ
1
χ
∑
0
f
χ
( )
cos m
π
dχ
L
L
m=1
∫
L −L
L
L
1
χ
• reference on Fourier series
f
χ
( )
sin m
π
dχ
∫
L −L
L
• Vì vꢋy, ta cꢚn xây dꢝng mꢆt hàm tuꢚn hoàn tꢉ hàm sꢀ V(d,y) như sau
V(x=d)
Vo
−V −b < y < 0
o
V x = d, y =
(
)
+Vo 0 < y < b
b
2b
y
-Vo
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
19
Laplace / Poisson
ꢑng chꢒ nhꢌt vꢓi các bꢉ mꢔt dꢍn ñiꢄn
y
• Trꢊ lꢎi bài toán chúng ta ñang xét,
vꢁi ñiꢜu kiꢂn bꢌ cho hàm xꢄp chꢒng
V = 0
y = b
∂2V ∂2V
2V =
+
= 0
– Tꢎi x = d, 0 < y < b : V = Vo và
∂x2 ∂y2
∞
y
d
b
V = c sin m
π
cm =Vm sinh m
π
∑
o
m
V = X x Y y
b
m=1
x
x = d
• Ta nhꢋn thꢓy
V = 0
– Biꢅu thꢏc này giꢀng mꢆt chuꢢi Fourier!
– Ta cꢚn tìm các hꢖng sꢀ trong chuꢢi cꢚn ñꢅ thꢛa mãn ñiꢜu kiꢂn bꢌ tꢎi
x = d
V(x=d)
Vo
b
2b
y
-Vo
EE 325, Dept. of ECE, Univ. of Texas at Austin
Dean P. Neikirk
©
2004, last update September 18, 2007
20
Tải về để xem bản đầy đủ
33 trang
25260
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Trường điện từ - Chương: Phương trình Laplace và Poisson", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_truong_dien_tu_chuong_phuong_trinh_laplace_va_pois.pdf
