Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Các phương trình Poisson & Laplace
Nguyễn Công Phương
Lý thuyết trường điện từ
Các phương trình Poisson & Laplace
Nội dung
I. Giới thiệu
II. Giải tích véctơ
III. Luật Coulomb & cường độ điện trường
IV. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
V. Năng lượng & điện thế
VI. Dòng điện & vật dẫn
VII. Điện môi & điện dung
VIII.Các phương trình Poisson & Laplace
IX. Từ trường dừng
X. Lực từ & điện cảm
XI. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell
XII. Sóng phẳng
XIII. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng
XIV.Dẫn sóng & bức xạ
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
2
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
3
Phương trình Poisson (1)
Luật Gauss:
.D = ρv
→ .D = .(
ε
E) = − .(
ε
V ) = ρv
D = ε0E
Gradient thế:
E = − V
→
(Phương trình Poisson)
∂V ∂V ∂V
V = ax + ay + az
∂x
∂y
∂z
∂Ay
∂Ax
∂Az
.A = + +
∂x ∂y ∂z
∂V
y
∂ ∂V ∂
∂ ∂V ∂2V ∂2V ∂2V
x
z
→ . V =
+
+
= + +
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x2 ∂y2 ∂z2
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
4
Phương trình Poisson (2)
ρv
ε
. V = −
∂2V ∂2V ∂2V
. V = + +
∂x2 ∂y2 ∂z2
2
(Hệ Descartes)
Đặt . =
(Hệ trụ)
(Hệ cầu)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
5
Ví dụ
Phương trình Poisson (3)
Tìm Laplacian của các trường vô hướng sau:
a) A = 2xy2z3
cos2
ϕ
b) B =
c) C =
ρ
20sin
r3
θ
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
6
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
7
Phương trình Laplace
∂2V ∂2V ∂2V
ρv
ε
Phương trình Poisson: 2V = + + = −
∂x2 ∂y2 ∂z2
ρv = 0
(Phương trình Laplace, hệ Descartes)
(Hệ trụ)
(Hệ cầu)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
8
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
9
Định lý nghiệm duy nhất (1)
∂2V ∂2V ∂2V
2V = + + = 0
∂x2 ∂y2 ∂z2
Giả sử phương trình Laplace có 2 nghiệm V1 & V2, :
2V = 0
2V2 = 0
1
2
→ (V −V2 ) = 0
1
Giả sử phương trình Laplace có điều kiện bờ Vb →V =V2b =Vb
1b
.(VD) = V ( .D) + D.( V )
V =V −V2
1
D = (V −V2 )
1
→ .[(V −V2 ) (V −V2 )] = (V −V2 )[ . (V1 −V2 )]+
1
1
1
+ (V −V2 ). (V1 −V2 )
1
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
10
Định lý nghiệm duy nhất (2)
.[(V −V2 ) (V1 −V2 )] = (V1 −V2 )[ . (V −V2 )]+ (V1 −V2). (V −V2 )
1
1
1
→ .[(V −V2 ) (V −V2 )]dv = (V −V2 )[ . (V1 −V2 )]dv +
1
1
1
∫
∫
V
V
+ (V −V2 ). (V −V2 )dv
1
1
∫
V
Định lý đive: ꢀ∫S ∫V
D.dS = .Ddv
→ .[(V −V ) (V −V )]dv = ꢀ∫S [(V −V ) (V −V )].dS
1
2
1
2
1b
2b
1b
2b
∫
V
V b =V2b =Vb
1
→ .[(V −V2 ) (V −V2 )]dv = 0
1
1
∫
V
→ 0 = (V −V2 )[ . (V −V2 )]dv + (V −V2 ). (V1 −V2 )dv
1
1
1
∫
∫
V
V
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
11
Định lý nghiệm duy nhất (3)
(V −V2 )[ . (V −V2 )]dv + (V −V2 ). (V −V2 )dv = 0
1
1
1
1
∫
∫
V
V
2
. (V −V2 ) = (V −V2 ) = 0
1
1
2
= (V −V ) dv
→ (V −V2 ). (V −V2 )dv = 0
1
2
1
1
∫
∫
V
V
2
(V −V ) ≥ 0
1
2
2
→ (V1 −V2 ) = 0
→ (V −V ) = 0
1
2
→V −V2 = const
∂V
V = ax + ay + az
∂x ∂y ∂z
∂V
∂V
1
V1 = V2
Tại biên giới V1 = Vb1, V2 = Vb2
→ const = Vb1 – Vb2 = 0
V =V2b =Vb
1b
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
12
Các phương trình Laplace & Poisson
1. Phương trình Poisson
2. Phương trình Laplace
3. Định lý nghiệm duy nhất
4. Giải phương trình Laplace
5. Giải phương trình Poisson
6. Nghiệm tích của phương trình Laplace
7. Phương pháp sai phân hữu hạn
8. Phương pháp phần tử hữu hạn
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
13
Giải phương trình Laplace (1)
Ví dụ 1
Giả sử V = V(x)
d2V
∂2V ∂2V ∂2V
→ = 0 →V = Ax + B
dx2
2V = + + = 0
∂x2 ∂y2 ∂z2
V = V
1
x=x
1
V = V2
x=x2
V −V2
1
A =
x − x2
V (x − x2 ) −V2 (x − x )
1
1
1
→V =
→
x − x2
V2 x1 −V x
1
1 2
B =
→
x − x2
V = 0
1
x=0
V = V0
x=d
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
14
Giải phương trình Laplace (2)
x
Ví dụ 1
V = V(x)
Mặt dẫn
x = d
x = 0
V0 x
V = 0 →V =
x=0
d
V =V0
x=d
E = − V
Mặt dẫn
V0
V
→ E = − ax
→ D = −
ε
0 ax
d
E
d
D =
ε
V0
V0
d
V
0 ax
→
ρS = DN = −ε
→ DN = −
ε
→ DS = D x=0 = −
ε
d
d
Q
−
ε
V0
V0S
→Q = ρS dS =
dS = −
ε
→ C =
∫S ∫S
d
d
V0
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
15
Giải phương trình Laplace (3)
Ví dụ 2
Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ)
1 ∂ ∂V
2
2
→
ρ
= 0
1 ∂ ∂V 1 ∂ V ∂ V
2V =
ρ
+
+ = 0
∂
ϕ 2 ∂z2
ρ
∂ρ
∂ρ
ρ
∂ρ
∂
ρ ρ 2
1 d dV
d dV
dV
→
ρ
= 0 →
ρ
= A
→
ρ
= 0
d
ρ
d
ρ
d
ρ
ρ
d
ρ
d
ρ
→V = Aln
ρ
+ B
V0
A =
→
V = Aln a + B =V0
ln a − lnb
V0 lnb
ρ
=a
→
V = Alnb + B = 0 (b > a)
ρ
=b
B = −
ln a − lnb
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
16
Giải phương trình Laplace (4)
Ví dụ 2
Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ)
2
2
→
1 ∂ ∂V 1 ∂ V ∂ V
+ = 0
ϕ 2 ∂z2
2V =
ρ
+
ρ
∂ρ
∂
ρ ρ 2
∂
V0
→ E = − V =
aρ
ρ
ε
ln(b/a)
V0
→ DN(
=
=
ρS
ρ
=a)
aln(b/a)
ε
V0 2
π
aL
Q
→ C = =
→ Q =
ρS dS =
∫
S
V0
aln(b/a)
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
17
z
Giải phương trình Laplace (5)
Ví dụ 3
Khe hở
Giả sử V = V(φ) (hệ trụ)
2
2
1 ∂ ∂V 1 ∂ V ∂ V
2V =
ρ
+
+ = 0
∂
ϕ 2 ∂z2
ρ
∂ρ
∂
ρ ρ2
1 ∂2V
∂2V
α
→V = A + B
ϕ
→
= 0 → = 0
ρ2
∂
ϕ 2
∂
ϕ 2
B = 0
→
V ϕ = B = 0
=0
→
V0
A =
V ϕ = A + B =V0
α
=α
α
→
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
18
Giải phương trình Laplace (6)
Ví dụ 4
Giả sử V = V(θ) (hệ cầu)
1 ∂ ∂V
1 ∂
∂V
1 ∂2V
2V =
r2
+
sin
θ
+
= 0
r2 ∂r ∂r r2 sinθ
∂θ
∂θ
r2 sin2 θ
∂
ϕ 2
1 ∂
∂V
→
sin
θ
= 0
r2 sinθ
∂θ
∂θ
∂
∂V
dV
→ sin
θ
= 0
→ sin
θ
= A
∂θ
∂θ
dθ
Giả sử r ≠ 0; θ ≠ 0; θ ≠ π
d
θ
θ
d
θ
→ dV = A
→ V = A
+ B = Aln tg + B
∫
sin
θ
2
sin
θ
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
19
Giải phương trình Laplace (7)
Ví dụ 4
θ
→ V = Aln tg + B
Giả sử V = V(θ) (hệ cầu)
α
2
V = V0
V
= 0
/ 2
θ
=π
Khe hở
V θ =V0 (
α
<
π
/2)
=
α
V = 0
θ
ln tg
V0
1 ∂V
2
→ E = − V = −
aθ = −
aθ
→ V =V0
α
α
r ∂θ
r sin
θ
ln tg
ln tg
2
2
ρS = DN = E = −
ε
V0
→
ε
α
r sin
α
ln tg
2
Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn
20
Tải về để xem bản đầy đủ
70 trang
12/01/2024
20840
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Các phương trình Poisson & Laplace", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_ly_thuyet_truong_dien_tu_cac_phuong_trinh_poisson.pdf
