Vận dụng tri thức hàm để giải quyết bài toán cực trị hình học và bài toán có nội dung thực tế trong chương trình Toán phổ thông
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 13 - 2019
ISSN 2354-1482
VẬN DỤNG TRI THỨC HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN
CỰC TRỊ HÌNH HỌC VÀ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TẾ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG
Đinh Quang Minh1
Nguyễn Thành Nhân2
TÓM TẮT
Tri thức hàm (TTH) là một nội dung tri thức toán học đặc biệt quan trọng,
xuyên suốt chương trình toán phổ thông từ bậc tiểu học cho đến trung học phổ
thông. Việc trang bị TTH cũng như các kỹ năng xử lý bài toán bằng TTH cho học
sinh là một nhiệm vụ quan trọng và cần thiết của giáo viên toán. Sử dụng TTH
không chỉ giúp học sinh giải quyết được các bài toán về hàm số mà còn là công cụ
hữu hiệu để giải quyết bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình; chứng minh bất đẳng thức (BĐT); tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một biểu
thức; xét tính đơn điệu của dãy số…[1]. Trong khuôn khổ bài viết này, chúng tôi
vận dụng TTH để tiếp cận và giải quyết bài toán cực trị trong hình học và bài toán
có nội dung thực tế. Chúng tôi phân tích kỹ con đường đi đến việc vận dụng TTH
vào giải toán, đồng thời cũng cho thấy ưu điểm nổi trội của việc sử dụng TTH để
đánh giá so sánh với dùng BĐT. Các kiến thức hàm mà chúng tôi sử dụng để tiếp
cận giải quyết là hàm số một biến số.
Từ khóa: Tri thức hàm,bất đẳng thức, đánh giá, khảo sát hàm
1. Vận dụng tri thức hàm vào
tiếp cận và giải quyết bài toán cực trị
hình học
học sinh đó là áp dụng bất đẳng thức
như thế nào, bởi đa số học sinh đều
không có được kỹ năng tốt khi làm
việc với BĐT. Do đó chúng tôi đưa ra
cách tiếp cận thứ hai đó là vận dụng
TTH vào giải lớp bài toán này.
1.1. Phương pháp giải theo hướng
vận dụng tri thức hàm
- Phân tích các yếu tố cố định, yếu
tố thay đổi trong mỗi bài toán;
- Chọn một yếu tố thay đổi làm
biến số, xác định được miền xác định
mà biến số nhận;
- Thiết lập được một hàm số biểu
diễn vấn đề toán học cần giải quyết
theo biến số đã chọn;
- Sử dụng các kiến thức đã biết
của hàm số để khảo sát và giải quyết
bài toán;
Bài toán cực trị trong hình học
xuất hiện nhiều trong các đề thi của
Kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia.
Đây là một nội dung của hình học
được khai thác ở mức độ vận dụng
cao, vì thế thường gây khó khăn cho
học sinh khi học cũng như khi làm bài
thi. Khó khăn của dạng bài toán này
đó là cách thức tiếp cận cũng như xử
lý số liệu để tìm kết quả. Thông
thường để xử lý kết quả thì có hai cách
khá phổ biến đó là sử dụng các BĐT
thông dụng để đánh giá, hai là sử dụng
TTH để khảo sát. Ưu điểm của việc sử
dụng BĐT là có thể cho kết quả nhanh
chóng. Nhưng khó khăn lớn nhất của
1Trường Đại học Đồng Nai
2Trường THPT Chuyên Hùng Vương,
Bình Dương
97
Email: [email protected]
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 13 - 2019
- Trả lời kết quả bài toán.
ISSN 2354-1482
x2
x2
9 x 3 2. Tuy nhiên
1.2. Một số ví dụ
4
4
rất ít học sinh biết đánh giá như vậy [1].
Ví dụ 1 (Đề thi THPTQG 2017- Mã
đề 102) [2]. Xét khối tứ diện ABCD có
cạnh AB x và các cạnh còn lại đều
Ví dụ 2 (TH&TT 04-2018) [3].
Cho tam giác ABC vuông ở
AB 2AC
là một điểm thay đổi
trên cạnh BC . Gọi , K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của trên AB
và V tương ứng là thể
A
có
bằng 2 3. Tìm
x
để thể tích khối tứ
.
M
diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
H
A. x 6 B. x 2 2
C. x 14 D. x 3 2
M
,
.
AC . Gọi
V
Phân tích bài toán: Yếu tố thay đổi
là độ dài cạnh AB , độ dài các cạnh còn
lại đều cố định.
tích của vật thể tròn xoay tạo bởi tam
giác ABC và hình chữ nhật MHAK
khi quay quanh trục AB . Tính giá trị
Lời giải: Gọi M , H lần lượt là
V
V
lớn nhất của tỉ số thể tích
.
A
trung điểm của AB
và CD (H.1)
1
2
4
9
2
3
3
4
M
A.
B.
C.
D.
Ta có tam giác
x
2
ABC
,
ABD cân lần
Phân tích
C
B
D
lượt tại
C
và D .
bài toán:
H
a
Để tồn tại tứ
diện như thế thì
2
3
Yếu tố cố
định là tam
giác ABC nên
suy ra thể tích
M
C
K
A
x
H.1
α
0 x 6.Ta
có
B
2 a
H
x2
H.2
x 3
VABCD 2VBMCD 2.2VBMHC
9 f x
khối nón tròn xoay cũng là số không
đổi. Yếu tố thay đổi chính là độ dài
đoạn BM (H.2).
Ta có thể chọn độ dài đoạn BM làm
biến số để khảo sát hàm.
Lời giải:
Khảo
sát
hàm
x2
f x x 9 , 0 x 6 ta được
4
thể tích khối tứ diện lớn nhất bằng
Ta có:
3 3
2
2
, khi x 3 2.
x
2x
5
2
V π.MH .AH π
2a
. Do
5
Nhận xét: Nếu sử dụng BĐT
Cauchy, ta có thể đánh giá nhờ sử
dụng điểm rơi như sau
V
V
3
3
đó, T x
x2
x3
.
5a2
5 5a3
x 3
3
x2
2 3 x
x2
Xét
hàm
số
9
. . 9
3
3
4
3
2
4
3
f x
x2
x , x 0;a 5 .
5a2
5 5a3
2
2
2 3 1 x
3
x
3 3
2
. .
9
Dấu
4
4
4
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
98
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 13 - 2019
ISSN 2354-1482
2a 5
4
9
Ta được max f x f
.
Lời giải: Đoạn
OM x, 0 x 10
0;
5
3
nên hình vuông đáy có cạnh là x 2
Đoạn AM 10 x. (H.3a).
.
V
V
Vậy giá trị lớn nhất của tỉ số
bằng
Thể tích của khối chóp là:
4
9
2a 5
khi MB x
.
1
20
3
V SO.x2
x2 10 x
.
3
3
Nhận xét: Với bài toán này, khi
đánh
giá
3
hàm
Đến
đây
ta
xét
hàm
3
f x x2 10 x 0 x 10 .
f x
x2
x3 , chúng ta
Khảo sát hàm
5a2
5 5a3
ta được giá trị lớn nhất của f x đạt
vẫn có thể sử dụng BĐT Cauchy đánh
giá bằng cách viết lại:
được khi x 8.
3
Nhận xét: Để đánh giá hàm
f x
x2 2a 5 2x
10 5a3
f x x2 10 x ta có thể dùng BĐT
như sau:
3
3
3
2x2a 5 2x
Dấu đẳng
.
3
10 5a
f x x2 10 x
1
2
x.x.x.x 404x
2a 5
thức xảy ra khi và chỉ khi x
.
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và
64 2.
Tuy nhiên với những điều chỉnh để
đánh giá được BĐT như thế là không
dễ dàng.
chỉ khi x 404x x 8 . Tuy
nhiên việc điều chỉnh để có thể dùng
được BĐT như trên là một khó khăn
với đa số học sinh [1].
Ví dụ 3. Cắt một miếng giấy hình
vuông và xếp lại thành hình chóp tứ
giác đều (tham khảo hình vẽ). Biết
Ví dụ 4. (Đề thi thử THPT Lê Quý
Đôn, Hà Nội 2018) [4]. Cho hình trụ có
cạnh hình vuông bằng 20cm
,
đáy là hai đường tròn tâm
O
và
OM x cm . Tìm x để hình chóp đều
O , bán kính đáy bằng chiều cao và
ấy có thể tích lớn nhất [4].
bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm
Phân tích bài toán: Yếu tố cố định
là độ dài cạnh hình vuông, yếu tố thay
đổi là độ dài đoạn OM. Do đó ta chọn
độ dài đoạn OM làm biến số để khảo
O
O
lấy điểm A, trên đường tròn tâm
lấy điểm B.Đặt
α
là góc giữa AB và
đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện
OO AB đạt giá trị lớn nhất. Hãy tính
sát bài toán.
S
tan α trong trường hợp đó.
A
S
M
1
2
A. tan α 2 . B. tan α
.
x
O
M
x
1
2
O
C. tan α
.
D. tan α 1
.
H.3b
H.3a
99
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 13 - 2019
ISSN 2354-1482
Phân tích bài
toán: Yếu tố cố định
là hình trụ, yếu tố
thay đổi là góc giữa
đường thẳng AB với
đáy của hình trụ
(H.4). Vì thế ta có
thể chọn biến là giá
trị lượng giác cot α
- Tiến hành mô hình hóa bài toán
thực tế dưới ngôn ngữ của toán học;
- Sử dụng các kiến thức toán học
đã biết để thiết lập được một hàm số
biểu diễn sự phụ thuộc giữa các yếu tố
của bài toán;
O'
A'
B
O
α
- Sử dụng tri thức hàm để khảo sát
bài toán;
H
A
B'
H.4
- Trả lại kết quả thực tế của bài toán.
2.2. Một số ví dụ
để
khảo
sát
hàm.
Lời giải: Kẻ đường sinh AA', BB' của
hình trụ. Khi đó BAB' α. Tính toán
chi tiết ta được
Ví dụ 5 (Đề thi THPTQG 2018-
Mã đề 101) [2]. Ông A dự định sử
dụng hết 6,5m2 kính để làm một bể cá
bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật
không nắp, chiều dài gấp đôi chiều
rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể có dung tích lớn
nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn
đến hàng phần trăm)?
1
2a3
VOO'AB
VOAB'.O'A'B
4cot2 α.cot α
Đặt t cot α, t 0 và xét hàm số
f t t 4t2 . Khảo sát hàm ta được
f t đạt giá trị lớn nhất tại t 2 .
3
2,26m3
3
3
A.
B.
C.
D.
1,33m
1,50m
1,61m
Do đó
cot α 2 nên suy ra
Phân tích bài toán: Yếu tố thay đổi
1
2
tan α
.
là ba kích thước của
hình hộp chữ nhật và
thể tích của khối hộp,
yếu tố cố định là tổng
diện tích của năm mặt
hình hộp. Tuy nhiên
các kích thước thay
đổi nhưng phụ thuộc
D'
C'
B'
A'
Nhận xét: Có thể dùng BĐT để
đánh giá hàm [1].
t2 4t2
f t t 4t2 t2 4t2
2.
D
x
C
2
2 x
H.5
A
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
t2 4t2 t 2 t 0 . Bài này
B
nếu biết dùng BĐT thì tốt hơn.
lẫn nhau. Do đó ta có thể chọn một
kích thước làm ẩn để khảo sát hàm.
Học sinh tiến hành mô hình hóa bể cá
2. Vận dụng tri thức hàm vào
tiếp cận và giải quyết bài toán có nội
dung thực tế
2.1. Phương pháp giải theo hướng
vận dụng tri thức hàm
- Phân tích các dữ kiện của bài
toán để lọc ra những giả thiết quan
trọng sẽ sử dụng trong việc giải;
thành
hình
hộp
chữ
nhật
ABCD.A'B'C 'D' (H.5) để khảo sát.
Lời giải: Giả sử AB 2AD. Đặt
AD x x 0 . Khi đó AB 2x. Gọi
h
là chiều cao khối hộp.
100
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 13 - 2019
ISSN 2354-1482
6,52x2
6x
hình lăng trụ có chiều cao bằng chiều
Suy ra h
. Vì h 0
dài của tấm tôn. Hỏi x m bằng bao
nhiêu thì thể tích máng xối là lớn nhất.
13
2
nên 0 x
.
Thể tích khối hộp là
A.
C.
B.
D.
x 0,5m
x 0,4m
x 0,65m
x 0,6m
6,5x2x3
V x 2x2.h
.
Phân tích bài toán: Học sinh mô
hình hóa máng nước thành lăng trụ
đứng đặt nằm ngang (H.6c). Đáy của
hình lăng trụ là hình thang cân như giả
thiết cho. Yếu tố cố định là chiều cao
của lăng trụ cũng là chiều dài của cái
máng nước bằng 3m. Yếu tố thay đổi
là cạnh đáy lớn của hình thang.
3
f x 6,5x2x3
với
Khảo sát hàm
13
2
0 x
ta được thể tích V x lớn
13 39
nhất bằng
m3 1,50m3 đạt
54
39
được khi x
.
x
6
0,9m
0,3m
0,3m
Nhận xét: Nếu dùng BĐT ta có thể
3m
0,3m
đánh giá như sau
H.6a
H.6b
13
2
13
2
.
Đến
f x 2x
x
x
x
đây muốn đánh giá tiếp cần dùng hệ số
0,3m
0,3m
3m
b 13
c 13
bất định
cx .
f x 2ax
bx
H.6c
0,3
2
2
Lời giải: Gọi
là cạnh
x 0 x 0,9
Ta phải tìm được a,b,c để cho
đáy lớn của hình thang của đáy máng
xối nước. Thể tích máng xối là
2abc 0
đồng
thời
b 13
2
c 13
xảy ra tại
2ax
bx
cx
2
0,3 x 0,27 0,6x x2
.
V x
39
điểm rơi x
.
Rõ ràng việc nhìn
4
hàm
6
Khảo
sát
số
được điểm rơi như vậy là rất khó! Đó
chính là nhược điểm của BĐT so với
TTH.
f x 0,3 x 0,27 0,6x x2
ta thấy
giá trị lớn nhất của f x khi x 0,6
.
Ví dụ 6 (Đề thi thử trường THPT
Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai
2017) [4]. Để làm máng xối nước từ
một tấm tôn kích thước 0,9m x3m
người ta gấp tấm tôn đó như hình vẽ
biết mặt cắt của máng xối (bởi mặt
phẳng song song bởi hai mặt đáy) là
một hình thang cân và máng xối là một
Nhận xét: Ta có thể dùng BĐT để
đánh giá hàm số f x như sau [1]:
f x 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,9 x
1
3
0,3 x . 0,3 x . 0,3 x 2,73x
81
100 3
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
101
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 13 - 2019
và chỉ khi
Việc đánh giá như thế là không đơn
giản đối với đa số học sinh.
ISSN 2354-1482
.
0,3 x 2,73x x 0,6
Viết được phương trình của đường
parabol có cung AB. Sau đó chuyển bài
toàn về khảo sát khoảng cách từ tâm I
đến một điểm trên cung parabol AB. Để
các số liệu được gọn gàng, ta có thể
chọn đơn vị là 10m.
Ví dụ 7 (Đề thi thử Sở Giáo dục
và Đào tạo Thanh Hóa 2018) [4]. Một
cái ao có hình ABCDE như hình vẽ, ở
giữa ao có một mảnh vườn hình tròn
bán kính 10m, người ta muốn bắc một
cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn.
Tính gần đúng độ dài tối thiểu l của
cây cầu biết:
- Hai bờ AE, BC nằm trên hai
đường thẳng vuông góc với nhau, hai
đường thẳng này cắt nhau tại điểm O.
- Bờ AB là một phần đường parabol
có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng
là đường thẳng OA.
Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy
có trục Ox chứa điểm B,C, trục Oy
chứa điểm A,E (H.7b).
Ta gọi cây cầu là MN với điểm M
thuộc cung parabol còn điểm N nằm
trên đường tròn. Nhận thấy rằng ta luôn
có MN NI MI. Do đó nếu MI
ngắn nhất thì dẫn đến MN ngắn nhất do
NI không đổi. Do đó ta chuyển về
khảo sát độ dài MI thay vì khảo sát độ
dài MN. Điều này giúp ta tính toán đơn
giản do điểm I có tọa độ cụ thể.
Chọn hệ trục như vậy và chọn đơn
vị là 10m thì ta có điểm I 4;3 .
Phương trình của đường parabol chứa
cung AB là
- Độ dài đoạn OA,OB lần lượt là
40m,20m
- Tâm I của mảnh vườn cách
đường thẳng AE,BC lần lượt là
.
y 4 x2 , 0 x 2 .
Độ
40m,30m
.
dài đoạn thẳng IM là:
A.
m. B.
m.
l 25,7
l 17,7
2
2
IM 4 x 1 x2
x4 x2 8x 17.
C.
m. D.
m.
l 27,7
l 15,7
Phân tích bài toán: Đây là một bài
toán thực tế tính khoảng cách giữa hai
điểm. Để tiến hành mô hình hóa bài
toán (H.7a), học sinh cần chọn hệ trục
tọa độ phù hợp (H.7b).
Xét hàm số f x x4 x2 8x17
với x 0;2 . Khảo sát hàm f x ta
được giá trị nhỏ nhất xấp xỉ bằng 7,68
khi
x 1,3917.
Vậy
nên độ dài
min IM 7,68 2,77
IM 27,7m.
Suy
ra
Ta
MN IM IN 27,710 17,7m.
chọn đáp án A.
Nhận xét: Với bài toán này thì
dùng TTH để đánh giá dường như là
phương án lựa chọn duy nhất. Đây là
điểm mạnh mà BĐT không có được.
102
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 13 - 2019
ISSN 2354-1482
h 120 cm . Anh thợ mộc chế tác
khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng
khối trụ nội tiếp trong khối nón (như
Trên đây là một số ví dụ dẫn chứng
của việc vận dụng TTH vào giải quyết
một vấn đề toán học. Qua đó ta thấy
rằng sử dụng TTH giúp tiếp cận vấn đề
một cách nhanh chóng, đưa ra lời giải
chặt chẽ và gọn gàng. Đó là ưu điểm
nổi bật của TTH.
hình vẽ). Gọi
khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác
được. Tính [4].
V
là thể tích lớn nhất của
V
Bài 4. (Đề thi thử THPT Chuyên Lê
Qúy Đôn, Quảng Trị 2018) [4]. Bạn
Hoàn có một tấm bìa hình tròn như
hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó
thành một hình cái phễu hình nón. Khi
đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn
AOB rồi dán hai bán kính OA và OB
lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ
3. Một số bài tập đề nghị
(Đề thi thử THPT Chuyên
Bài 1.
Hùng Vương, Bình Dương 2018) [4].
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác
cố định. Trên đường thẳng d
XYZ
vuông góc với mặt phẳng (P) tại điểm
X và về hai phía của (P) ta lấy hai điểm
A,B thay đổi sao cho hai mặt phẳng
(AYZ) và (BYZ) luôn vuông góc với
nhau. Hỏi vị trí của A,B thỏa mãn điều
kiện nào sau đây thì thể tích khối tứ
diện ABYZ là nhỏ nhất.
không đáng kể). Gọi
x
là góc ở tâm
hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm
để thể tích phễu lớn nhất.
x
A. 10. B.
5
.
C. 69
.
D. 56
XB 2XA
A.
C.
B. XA 2XB
XA.XB YZ2
là trung điểm của
D.
AB
X
Bài 2. Một người muốn xây một
cái bể chứa nước, dạng một khối hộp
chữ nhật không nắp có thể tích bằng
Bài 5. (Đề thi thử trường THPT
Chuyên KHTN Hà
Nội 2017) [4]. Người
ta muốn thiết kế một
cái bể bằng kính
256
m3 , đáy bể là hình chữ nhật có
3(dm)
3
không có nắp với thể
tích bằng 72dm3 và
b(dm)
a(dm)
chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê
nhân công để xây bể là 500000
chiều cao là 3dm. Một vách ngăn cũng
bằng kính ở giữa chia bể cá thành hai
ngăn với các kích thước là a,b (đơn vị
dm) (tham khảo hình vẽ). Tính a,b để
bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả
tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm
kính như nhau và không ảnh hưởng đến
thể tích cái bể.
đồng/ m3 . Nếu người đó biết xác định
các kích thước của bể hợp lí thì chi phí
thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người
đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân
công xây dựng bể đó là bao nhiêu? [4].
S
Bài 3. Một khúc gỗ
có dạng khối nón có
A.
C.
; B.
; D.
a 24,b 24
a 3 2,b 4 2
a 3,b 8
a 4,b 6
bán
kính
đáy
O'
r 30 cm, chiều
cao
O
103
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 13 - 2019
TÀI LIỆU THAM KHẢO
ISSN 2354-1482
1. Đinh Quang Minh (2016), “Vận dụng tri thức hàm để giải một số bài toán ở
phổ thông”, Tạp chí khoa học - Đại học Đồng Nai, số 03-2016, tr. 103-113
2. Đề thi chính thức THPTQG năm 2017 và 2018, website:
https://toanmath.com, (26/6/2018)
3. Nguyễn Việt Hùng (2018), “Thử sức trước kỳ thi 2018 - Đề số 7”, Tạp chí
Toán học tuổi trẻ, số 490, tr. 34-37
4. Đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc năm 2017 và 2018,
THE APPLICATION OF FUNCTIONAL KNOWLEDGE IN
SOLVING MATHEMATIC PROBLEMS OF EXTREME POINTS IN
GEOMETRY AND PRACTICAL MATHEMATIC ISSUES ON
HIGH SCHOOL MATH CURRICULUM
ABSTRACT
Functional knowledge is a significantly important mathematic content, which is
taught throughout school curriculum from primary to high school level. The full
equipment with functional knowledge as well as its application in solving mathematic
problems for students is math teachers’ crucial and necessary mission. The use of
functional knowledge not only helps students deal with mathematic problems in
function, but also solve in equation, system of equations, inequality, find the maxima
and minima of expression, and prove monotonic sequences, etc. In the scope of this
study, the researchers applied functional knowledge to approach and solve
mathematic problems of extreme points in geometry and practical mathematic issues.
The researchers also had careful analysis in this application, as well as highlighting
its prominent advantages in order to compare with the use of inequalities. All
functional knowledge employed to approach these solutions is one-variable function.
Keywords: Functional knowledge; inequality; evaluating, interpreting functions
(Received: 1/10/2018, Revised: 22/2/2019, Accepted for publication: 7/5/2019)
104
8 trang
15/01/2024
17861
Free
Bạn đang xem tài liệu "Vận dụng tri thức hàm để giải quyết bài toán cực trị hình học và bài toán có nội dung thực tế trong chương trình Toán phổ thông", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- van_dung_tri_thuc_ham_de_giai_quyet_bai_toan_cuc_tri_hinh_ho.pdf
