Phân tích kết cấu tấm composite nhiều lớp theo lý thuyết Layerwise biến dạng cắt bậc Cao Bằng phần tử es-mitc3
PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM COMPOSITE NHIỀU LỚP THEO LÝ THUYẾT
LAYERWISE BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO BẰNG PHẦN TỬ ES-MITC3
ANALYZE OF LAMINATED COMPOSITE STRUCTURE USING THE LAYERWISE
HIGH-ORDER SHEAR DEFORMATION THEORY BY AN ES-MITC3 ELEMENT
Đặng Hữu Lợi (1)
(1)Trường đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM
TÓM TẮT
Trong luận văn này, lý thuyết layerwise và kỹ thuật làm trơn trên cạnh ES-FEM (the
edge-based smoothed finite element method) bằng phần tử MITC3 được sử dụng để phân tích
tĩnh tấm composite nhiều lớp. Kỹ thuật nội suy các thành phần ten xơ MITC được sử dụng để
giải quyết hiện tượng khóa cắt “shear locking” khi tấm có chiều dày mỏng dần.
Về hiệu quả và độ chính xác kết cấu tấm composite nhiều lớp phân tích theo lý thuyết
layerwise biến dạng cắt bậc cao bằng phần tử ES-MITC3 được kiểm chứng thông qua các ví dụ
số phân tích cho bài toán của kết cấu tấm composite nhiều lớp.
Ngôn ngữ lập trình MATLAB được sử dụng để xây dựng và tính toán trong các ví dụ số. Kết
quả của phương pháp ES-MITC3 được tác giả lập bảng so sánh với lời giải giải tích và một số
lời giải bằng phương pháp số khác đã được công bố trước đây.
kết quả tính toán bằng PP PTHH còn phụ thuộc
vào nhiều điều kiện khác như mô hình toán học,
loại phần tử.... Vì vậy, việc phát triển các
phương pháp tính toán hiệu quả với độ tin cậy
cao trong phân tích kết cấu tấm composite
nhiều lớp luôn là một nhu cầu thiết yếu.
1. GIỚI THIỆU
Thông qua những phát minh sáng chế của
đội ngũ những nhà khoa học ngành công nghệ
vật liệu đã và đang dần thay đổi cuộc sống của
con người. Những vật liệu truyền thống với
những tính năng cơ học phổ thông đã không
đáp ứng được với sự phát triển của các công
nghệ chế tạo, xây dựng…. Chính vì vậy với
việc nghiên cứu chế tạo ra những vật liệu hỗ
hợp (vật liệu composite) với những tính năng
ứng dụng ưu việt là điều cần thiết để đáp ứng
cho sự phát triển của nhân loại. Vật liệu
composite được nhiều nhà khoa học phát triển
và sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành kỹ thuật
như: hàng không vũ trụ, hàng hải, cơ sở hạ tầng
dân dụng v.v…, bởi vì chúng có đặc tính cơ
học nổi trội là độ cứng và độ bền cao so với
trọng lượng thấp. Điều này đặc biệt có ý nghĩa
quan trọng trong các kết cấu làm việc chịu các
tải trọng lớn. Vì vậy để được những yếu tố cơ
học đặc biệt như trên thì đi kèm với sự phức
tạp về các phương pháp phân tích tính toán. Để
sử dụng các tấm composite có hiệu quả trong
thực tiễn thì việc cần thiết là phải phát triển các
lý thuyết phân tích thích hợp để dự đoán chính
xác hơn về các ứng xử về tĩnh học và động học
của chúng dưới tác dụng của các loại tải trọng
khác nhau. Trải qua nhiều thập kỷ phương pháp
phần tử hữu hạn (PP PTHH) đã gần như là
phương pháp số phổ biến và chiếm ưu thế
trong việc phân tích các kết cấu tấm, vỏ nói
chung và tấm composite nói riêng. Tuy nhiên,
Trải qua nhiều thập kỷ các lý thuyết cho
việc giải quyết ứng xử của tấm composite
nhiều lớp đã được các nhà nghiên cứu và giới
thiệu. Các lý thuyết này có thể phân thành
nhiều loại như sau: Lý thuyết lớp tương
đương (ESL), zig-zag (ZZ); Lý thuyết lớp
thông minh (LW)… [1]. Lý thuyết đàn hồi ba
chiều (3D) được Noor [2], [3] đưa ra nhằm để
cải thiện tính chính xác của ứng suất cắt ngang.
Trong lý thuyết đàn hồi 3D, mỗi lớp được mô
phỏng như một thể 3D và độ chính xác của ứng
suất cắt ngang được cải thiện một cách đáng kể.
Tuy nhiên việc sử dụng lý thuyết này vào thực
tiển gặp nhiều khó khăn do chi phí tính toán
tăng lên đáng kể. Vì vậy sự ra đời của lý thuyết
layerwise, Reddy [4] đã giải quyết được hai
vấn đề gặp phải là tăng độ chính hơn lý thuyết
lớp tương đương và giảm chi phí tính toán hơn
lý thuyết đàn hồi ba chiều. Vì vậy mục đích
việc phân tích ứng xử của tấm composite nhiều
lớp sẽ được tối ưu hơn.
Lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff –
Love (CLPT – Classic Laminate Plate Theory)
cho ra kết quả hợp lý đối với tấm mỏng. Nhưng
lý thuyết này lại bỏ qua các hiệu ứng cắt ngang
(biến dạng cắt thẳng góc γxz, γyz) mà các ứng
xử này sẽ lớn dần theo chiều dày của tấm và
tăng đến mức không thể bỏ qua. Do đó trong
quá trình mô phỏng tính toán cho tấm dày và
dày vừa phải cần bổ xung và phát triển thêm
các lý thuyết tính toán nhằm đạt mức tổng quát
hơn cho việc phân tích ứng xử kết cấu tấm vỏ.
Để khắc phục những hạn chế của CLPT và
kết hợp chính xác các hiệu ứng cắt ngang,
nhiều giả thuyết biến dạng cắt đã được phát
triển. Reissner và Mindlin [5] đề xuất đầu tiên
lý thuyết cắt biến dạng cắt bậc nhất (FSDT -
First order Shear Deformation Theories) trong
đó ứng suất cắt ngang được giả định không đổi
và do đó nó đòi hỏi việc sử dụng hệ số điều
chỉnh cắt để đáp ứng các điều kiện biên tự do
tại các bề mặt trên và dưới của tấm. Sự xuất
hiện của lý thuyết biến dạng cắt bậc cao
(HSDT - the Higher order Shear Deformation
Theories) phát triển bởi Reddy [6], Matsunaga
[7], Kant và Swaminathan [8], Liu và cộng sự
[9], Thái Hoàng Chiến và cộng sự [10],
Nguyễn Xuân Hùng và cộng sự [11] đã có thể
khắc phục được những hạn chế của FSDT. Lý
thuyết này bỏ qua yếu tố điều chỉnh biến dạng
cắt và cho ra ứng suất cắt ngang chính xác và
ổn định hơn. Từ đó đến nay nhiều nghiên cứu
về lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đã ra đời với
những cải tiến đáng kể [12]–[15].
Sau đó, Bathe và Bucalem đã phát triển nó lên
phần tử tứ giác 9 nút và 16 nút (MITC9 và
MITC16) [22]. Bên cạnh thành công của
phương pháp phần tử hữu hạn với các phần tử
tứ giác thì việc xây dựng phương pháp phần tử
hữu hạn với các phần tử tam giác cũng đã và
đang được nghiên cứu ứng dụng do dễ dàng
chia lưới các kết cấu có hình dạng phức tạp.
Gần đây Kim và Bathe [23] đã phát triển và
nghiên cứu một phương pháp phần tử hữu hạn
hàm nội suy bậc cao kết hợp với phần tử 3 nút
nhằm làm tăng độ chính xác của kết quả phân
tích làm nên ưu điểm vượt trội của phần tử
MITC3.
2. Lý thuyết layerwise biến dạng cắt bậc
cao:
Được giới thiệu đầu tiên bởi Ahmad và
cộng sự [16] vào năm 1970, phần tử đẳng tham
số tứ giác với các xấp xỉ dạng C0 độc lập cho
chuyển vị và góc xoay. Phần tử này được biết
đến như các phần tử vỏ Reissner/Mindlin [17] -
[19]. Tuy nhiên, phần tử này luôn tồn tại biến
dạng cắt ngang nên sẽ xảy ra hiện tượng “khóa
cắt” (shear locking) khi chiều dày tấm giảm
dần.
Hình 1. Hình học ban đầu và hình học biến dạng
trên một cạnh của tấm với các lý thuyết tấm cổ
điển (CLPT), biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), và
biến dạng cắt bậc 3 (TSDT) [15]
2.1. Trường chuyển vị lý thuyết biến dạng cắt
bậc cao:
Bathe và Dvorkin [20] đề xuất phương
pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten xơ
(Mixed Interpolation Tensorial Components
viết tắt là MITC) vào năm 1980 đã giải quyết
được các vấn đề về “khóa cắt”. Các phương
pháp MITC rất hiệu quả trong giải quyết các
bài toán tấm vỏ và cho kết quả tin cậy. Từ khi
ra đời phương pháp MITC đã được sử dụng rất
thành công trong việc loại bỏ các hiện tượng
“khóa cắt” cho bài toán tấm/vỏ được phân tích
bằng phần tử tứ giác. Kỹ thuật này được Bathe
và Dvorkin đề xuất với phần tử tứ giác 4 nút và
phần tử 8 nút (MITC4 và MITC8) [20], [21].
J.N. Reddy [6] đã xây dựng trường
chuyển vị của lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc
cao dựa trên hàm xấp xỉ bậc 3 của chuyển vị
(Hình 1) như sau:
u(x, y, z) u0(x, y) z
x z2x x, y z3x x, y
(1)
v(x, y, z) v0(x, y) zy z2y x, y z3 x, y
y
(2)
(3)
w(x, y, z) w x, y
0
Trong đó:
4
w
x
2
x 0 x t2
x
;
(13)
(14)
3
u, v, w: là các chuyển vị theo phương x, y, z.
u0, v0, w0: là các chuyển vị theo phương x, y, z
tại mặt trung bình của tấm.
t
t
w
y
yz
y 2
y 3
y
t/2
2
2
x
,
y : lần lượt là các góc xoay quanh trục y và
x
,
y
,
x , y
Thay
(1) ta có:
ừa tìm được vào
trục x có chiều dương qui ước như Hình
4z3
3t2
4z3
3t2
4z3 w0
3t2 x
4z3 w0
3t2 y
(15)
u(x, y, z) u (x, y) z
x
y
0
(16)
(17)
v(x, y, z) v (x, y) z
0
w(x, y, z) w x, y
0
Commented [CDT1]:
Commented [CDT3]:
Commented [CDT2]:
Hình 2. Các chuyển vị u, v, w và các góc xoay
w0
x
w0
y
x
đặt
,
y
x ,y
.
(18)
Từ các phương trình (4)-(18) trường
chuyển vị (1) được viết lại như sau:
Từ điều kiện ứng suất tiếp thẳng góc bằng
không ở mặt trên và mặt dưới tấm ta xác định
4z3
3t2
4z3
3t2
4z3
3t2
4z3
3t2
x
,
y
,
x
,
được các hàm
y ta có:
x (19)
u(x, y, z) u (x, y) z
x
y
0
xz 0;
yz
0
zt/2
(4)
(2.2)
zt/2
Formatted: Centered, Indent: Left: 0", Line spacing: single
y (20)
(21)
v(x, y, z) v (x, y) z
0
xz G xz yz G yz
(5)
;
w(x, y, z) w x, y
0
Với
u w
z x
w
x
w
y
xz
x 2z
x
x 3z2
2.2. Trường chuyển vị lý thuyết layerwise
biến dạng cắt bậc cao:
v w
yz
y 2zy 3z2y
(7)
(8)
z x
Áp dụng lý thuyết layerwise cho tấm
composite nhiều lớp [26], giả sử phân tích tấm
3 lớp như Hình 3:
Các ứng suất (4) tương đương với:
2
Commented [CDT4]:
t
t
w
x
xz
xz
x 2
x 3
x
t/2
2
2
2
t
2
t
2
2
w
x
x 2
x 3
x
t/2
(9)
(10)
(11)
t
t
w
y
yz y 2 y 3
y
t/2
2
2
2
t
2
t
2
w
x
yz
y 2
y 3
y
t/2
x 0
Lấy (8) trừ (9) ta được:
x 0
Thay
vào (8) và (9) suy ra
Hình 3. Tấm composite nhiều lớp biến dạng cắt
bậc cao
4
w
x
x t2 x
(12)
3
Giả sử trường chuyển vị của lớp thứ 2 như sau:
Thực hiện tương tự với phương trình (10) và
(11) ta có:
3
2
3
2
3
4(z
)
4(z
)
t
t
3
2
2
2
2
u (x, y, z) u (x, y) z
x
4
4
2
2
0
x
3t22
3t22
2
3t22
2
3t22
t2
3
2
2
v (x, y, z) v0 (x, y)
y
y
2
(22)
3
2
3
2
4(z
)
4(z
)
2
2
2
2
v (x, y, z) v (x, y) z
y
0
y
3t22
3t22
3
3
3
3
t
4(z
)
4(z
)
3
3
3
3
3 y
z
y
y
(23)
(24)
2
3t32
3t32
2
w (x, y, z) w0 x, y
(29)
(30)
3
w (x, y, z) w0 x, y
Lớp thứ 1:
3
3
2.3. Trường biến dạng lý thuyết layerwise
t
t
2
2
4
4
t2
biến dạng cắt bậc cao:
2
2
3t22
1
2
2
u (x, y, z) u0 (x, y)
x
x
2
3t22
k
u
1
3
1
3
x
4(z
)
4(z
)
t
1
1
1
1
k
v
1 x z
x
k
3t12
3t12
x
xx
2
y
k
yy
(25)
k
0
v
x
w
x
w
y
k
k
ε
3
3
u
k
ε
k
xy
t
t
2
2
k
4
4
γ
y
(31)
t2
k
2
2
3t22
xz
1
2
2
v (x, y, z) v0 (x, y)
y
y
k
k
u
2
3t22
k
yz
z
k
k
v
1
3
1
3
4(z
)
4(z
)
t
1
1
1
1
1 y z
y
z
y
2
3t12
3t12
k
k
k
k
k
k
k
k
ε Lm Lb1 Lb2 Lb3 Lb4 Ls1 Ls2
Từ trường chuyển vị (22-30), ta có trường
biến dạng [12]:
1
w (x, y, z) w0 x, y
(27)
Lớp thứ 3:
3
Lớp thứ 1:
t
t
3
2
2
4
4
t2
2
3t22
2
3t22
3
2
2
u (x, y, z) u0 (x, y)
x
x
1
xx
2
1
yy
1
1
m
1
1
1
1
1
1
1
xy
ε
L Lb1 Lb2 Lb3 Lb4 Ls1 Ls2
3
3
3
3
t
4(z
)
4(z
)
3
3
3
3
1
xz
3 x
z
x
x
2
3t32
3t32
1
yz
(28)
(32)
T
u0 v0 v0 u0
1
Lm
0
0
(33)
x y x y
1
1
y
y
1
1
x
T
x
x
1
1
Lb1 z
0
0
(34)
y
x
y
1
2
Lớp thứ 2:
t1 x
2
t2 x
2
x
y
x
2
xx
1
2
y
t1
t2
2
yy
2
y
2
y
1
2
2
m
2
2
2
2
ε
L Lb3 Lb4 Ls1 Ls2 (40)
2
xy
Lb2
(35)
1
2
y
y
1
2
x
y
t1
x
t2
2
xz
2
y
x
2
x
2
yz
0
0
T
u0 v0 v0 u0
2
Lm
0
0
(41)
0
x y x y
2
2
x
x
T
2
2
2
2
x
x
y
y
x
x
2
2
Lb1 z
0
2
2
y
y
x
y
x
y
y
y
(42)
t2
1
Lb3
(36)
2
2
x
x
x
x
y
2
2
2
6
y
y
2
x
y
x
x
y
x
2
2
y
0
0
2
3
4(z
3t22
)
y
y
y
2
Lb4
2
2
y
2
2
x
x
1
1
x
x
x
y
x
y
x
x
1
1
y
y
0
0
1
3
4(z )
y
y
1
Lb4
(43)
3t12
1
1
y
y
1
1
x
x
T
w0
x
w0
y
2
2
2
2
x
y
y
Ls1 0
0
x
y
(44)
x
0
0
0
2
2
4(z
t22
)
T
2
2
2
2
x
x y
y
Ls2
0
0
0
(37)
(38)
(45)
T
w0
x
w0
y
1
1
1
Ls1 0
0
0
x
y
Lớp thứ 3:
1
2
4(z )
T
3
1
1
1
1
1
xx
Ls2
0
0
0
x
x y
y
t12
3
yy
(39)
3
3
m
3
3
3
3
3
3
3
xy
ε
L Lb1 Lb2 Lb3 Lb4 Ls1 Ls2
3
xz
3
yz
(46)
T
u0 v0 v u0
3
Lm
0
0
(47)
x y x y
T
2.4. Trường ứng suất lý thuyết layerwise biến
3
3
y
y
3
3
x
x
3
3
Lb1 z
0
0
dạng cắt bậc cao:
x
y
x
y
Quan hệ ứng suất biến dạng trong một lớp
composite của vật liệu trực hướng biểu diễn bởi
Hình 4 như sau [12]:
(48)
2
3
t2 x
2
t3 x
2
x
x
-
Ứng suất trong mặt phẳng:
2
3
y
y
t2
t3
k
k
xx
xx
2
y
2
y
Q
Q
Q
16
11
12
3
Lb2
k
k
Q
Q22 Q26 Với k=1,2, 3.
3
2
3
2
yy
21
yy
y
y
t3
x
t2
x
y
k
k
xy
xy
Q61 Q62 Q66
2
x
y
2
x
(54)
0
0
-
Ứng suất ngoài mặt phẳng:
(49)
k
yz
k
yz
2
2
x
x
Q
Q45
44
Với k=1, 2, 3. (55)
k
xz
k
xz
Q54 Q55
x
x
2
2
y
y
-
Ứng suất tổng trong tấm:
y
y
t2
3
Lb3
(50)
2
2
k
k
2
x
6
y
y
2
xx
xx
x
y
Q
Q
0
0
0
0
Q
16
11
12
k
yy
k
yy
x
y
x
Q21 Q22
Q26
0
k
yz
k
yz
0
0
0
0
0
0
Q44 Q45
Q54 Q55
k
k
xz
xz
0
3
3
x
x
y
x
x
y
k
Q61 Q62
0
0
Q66
k
xy
xy
Với k=1, 2, 3.
(56)
3
3
Trong đó các hằng số vật liệu:
3
3
4(z
)
y
y
y
3
E1
12E2
11221
Q44 G23
E2
11221
Lb4
3t32
3
3
Q
,
Q
Q22
,
3
3
x
x
11
12
y
11221
x
y
x
y
Q66 G Q55 G
Q
G26 0
,
,
,
12
13
16
(57)
là modul đàn hồi theo phương x, y
0
0
E
E
2
Với :
,
1
G12
G
G
,
,
23 là modul chống cắt theo
phương lần lượt là xy, xz, yz
ij
(51)
13
T
w0
x
w0
y
3
3
3
Ls1 0
0
0
x
y
là hệ số Poisson
(52)
3
2
4(z
)
T
3
3
3
3
3
Ls2
0
0
0
x x y y
t32
(53)
-
-
Lực tổng trong mặt phẳng:
k
k
Nxx
k
xx
t(k )
3
3
k
yy
N
N
dz
(60)
(61)
2
t(k )
yy
k1
k1
2
k
k
Nxy
xy
Mômen tổng ngoài mặt phẳng:
k
k
Mxx
M
Mxy
xx
zdz
t(k )
3
3
k
yy
k
2
M
t(k )
yy
k1
k1
2
k
k
xy
Hình 4. Tấm composite gia cường sợi một
phương với hệ tọa độ tổng thể Oxyz và hệ tọa độ
địa phương Ox1y1z1.
k
k
Mxx
xx
t(k )
3
3
k
k
z3dz (62)
2
Với lớp thứ k của tấm mối quan hệ giữa ứng
suất biến dạng có dạng:
M
Myy
Mxy
t(k )
yy
k1
k1
2
k
k
xy
k
k
xx
k
11
xx
Q
Qk
0
0
0
0
Qk
Q2k6
16
12
k
yy
k
yy
-
Lực tổng ngoài mặt phẳng
Q2k1 Q2k2
t(k )
k
k
xz
3
3
Q
k
yz
k
yz
x
2
0
0
0
0
Q4k4 Q4k5
Q5k4 Q5k5
0
Q
dz
(63)
(64)
t(k )
k
k
yz
Q
k1
k1
k
k
xz
xz
y
2
0
k
k
k
k
t(k )
k
xz
k
3
3
3
xy
xy
Q61 Q62
0
0
Q66
Qx
Q
z2dz
2
t(k )
k
yz
k
k1
k1
(58)
Qy
2
k
k
11
k
12
k
k
Q Q cos4 2 Q Q66 sin2 cos2 Q sin4
11
22
2.6. CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN
TẤM BIẾN DẠNG TRƠN ES-MITC3.
2.6.1. Phần tử tam giác 3 nút với phương
pháp MITC.
k
12
k
11
k
k
k
12
Q Q Q22 4Q66 sin2 Q cos4 sin4
k
k
k
12
k
Q Q Q 2Q66 sin
cos3
16
11
k
12
k
k
Q Q22 2Q66 sin3
cos
k
k
k
12
k
Q26 Q Q 2Q66 sin3 cos
11
k
12
k
k
Q Q22 2Q66 sin cos3
k
k
k
12
k
12
k
Q66 Q Q 2Q 2Q66 sin2 cos2
11
k
Q66 sin4 cos4
k
k
k
Q44 Q44 cos2 Q sin2
(59)
55
k
k
55
k
Q45 Q Q44 sin
cos
Hình 5. Phần tử tam giác trong hệ tọa độ tự
nhiên và hệ tọa độ quy chiếu.
k
k
55
k
Q Q cos2 Q44 sin2
55
2.5. Nội lực trong tấm:
Xét phần tử tam giác 3 nút như Hình 5.
Các đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử
được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng
[27].
Các thành phần nội lực trong tấm được xác
định bằng cách lấy tích phân theo chiều dày
tấm:
Ae diện tích của phần tử tam giác.
:
3
w N w
2.6.2. Quan hệ giữa các biến dạng và chuyển
vị của phần tử [12].
i
i
3
3
i1
(2)
xi
(3)
xi
x(2)
N
N
N
x(3)
N
N
N
i
i
i
i
3
i1
i1
x(1)
N
(1)
i
i
xi
3
3
i1
y(2)
y(3)
3
(2)
yi
(3)
yi
T
T
T
SI TdI
3
k
k
k
k
k
ε ε0
γ
BI
i1
i1
(1)
N
N
N
;
;
(1)
yi
(68)
y
3
3
I 1
i1
(2)
(2)
xi
(3)
(3)
xi
x
x
Với k=1, 2, 3.
i
i
3
i1
i1
(1)
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
(1)
T
x
i
xi
3
3
dI w xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi
i
i1
(2)
(2)
yi
(3)
(3)
yi
y
N
y
N
i
i
3
(69)
i1
i1
(1)
(1)
T
y
i
yi
k
k
k
k
k
BI Bb1I Bb2I Bb3I Bb4I
(70)
(71)
i1
(65)
T
k
k
k
SI Bs1I Bs2I
Trong đó:
Ni
Trong đó:
là các hàm dạng:
N1 1 ; N2
; N3
(66)
Lớp thứ 1:
wi
là chuyển vị thẳng theo phương z của
nút thứ i.
1
b1
1
1
1
B
Bb11 Bb12 Bb13
(72)
θxi, θyi lần lượt là góc xoay quanh trục y và
trục x.
βxi, βyi lần lượt là các hàm độ cong tại nút thứ i
của phần tử trong hệ trục Oxy.
0
0
0
b c
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
1
Bb11
0
d a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (73)
2A
e
d a b c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
c
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
1
Bb12
0
0
d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (74)
d
sin
2A
e
(x3,y3)
h=13
d
c
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3
0
0
0
b
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
1
Bb13
0
a
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (75)
2
2A
e
(x ,y2)
b
a
b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
1
1
1
1
1
(x ,y )
a
Bb2 Bb21 Bb22 Bb23
(76)
1
1
Hình 6. Tọa độ phần tử tam giác 3 nút
t1
t2
0
0
0
NI ,x
0
0
0 0
NI ,x
0
0
0 0 0 0 0 0
2
2
Gọi (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) lần lượt là tọa
độ của phần tử tam giác 3 nút trong hệ trục Oxy
(Hình 6). Đạo hàm của các hàm dạng Ni theo
biến x, y được xác định
t1
t2
1
Bb2I
NI ,y 0 0
NI ,x 0 0
NI ,y 0 0 0 0 0 0
NI ,x 0 0 0 0 0 0
2
t1
2
t2
t1
t2
NI ,y
NI ,y
2
2
2
2
1
c
b
2A
N1,x
b c ; N
; N3,x
;
2,x
(77)
2A
2A
e
e
e
1
1
1
1
Bb3 Bb31 Bb32 Bb33
(78)
1
d
2A
a
0
N1,y
d a ; N
; N3,y
2,y
2A
2A
e
e
e
0 0 0 0 0 NI ,x
NI ,x
0
0 0 0 0
t2
1
Bb3I
0 0 0 0 0
0
NI ,y
0
NI ,y 0 0 0 0
(67)
Với
6
0 0 0 0 0 NI ,y NI ,x NI ,y NI ,x 0 0 0 0
a x2 x1; b y2 y1; c y3 y1; d x3 x1
;
(79)
1
1
1
1
Bb4 Bb41 Bb42 Bb43
(80)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
c
0
0 0 0 0 0 0
1
0
0
0
NI ,x
0
NI ,x
0
0 0 0 0 0 0 0 0
2
Bb12
0
d 0 0 0 0 0 0
4
1
Bb4I
0
NI ,y
0
NI ,y 0 0 0 0 0 0 0 0
2A
e
3t12
0 0 0 0 0 d
c
0 0 0 0 0 0
NI ,y NI ,x NI ,y NI ,x 0 0 0 0 0 0 0 0
(92)
(81)
(82)
1
1
1
1
s13
0 0 0 0 0 b
0
0 0 0 0 0 0
Bs1 Bs11 Bs12
B
1
2
Bb13
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
a
0 0 0 0 0 0
(b c)(b c)
(d a)(b c)
2A
b c
A
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
e
e
a
b 0 0 0 0 0 0
1
6
6
Bs111
(93)
(94)
2A
(b c)(a d)
(d a)(a d)
e
d a A
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
Bb2 0
e
6
6
2
Bb3 0
(83)
(95)
(96)
bc c (b c)
ac
d
2
2
2
2
c
(b c) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Bb4 Bb41 Bb42 Bb43
1
2
2
3
2
6
Bs112
0 0 0 0 0 NI ,x
0
NI ,x
0
0 0 0 0
2A
bd
c
ad
d
e
d
(a d)
(a d) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4
3t12
2
Bb4I
0 0 0 0 0
0
NI ,y
0
NI ,y 0 0 0 0
2
6
2
6
(84)
0 0 0 0 0 NI ,y NI ,x NI ,y NI ,x 0 0 0 0
bc
b
bd
a
(97)
b
(b c)
(b c) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
2
6
2
6
Bs113
2
2
2
2
Bs1 Bs11 Bs12 Bs13
(98)
2A
ac
b
ad
a
e
a
(a d)
(a d) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(b c)(b c)
(d a)(b c)
2
6
2
6
0 0 0 0 b c
A
0 0 0 0 0 0
e
1
6
6
Bs211
(85)
1
1
1
1
2A
(b c)(a d)
(d a)(a d)
e
B
Bs21
B
B
s2
s22
s23
0 0 0 0 d a A
0 0 0 0 0 0
e
6
6
(86)
(99)
1
2
4(z
)
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0 0 0 0 0 0 0 0
1
Bs21
bc c (b c)
ac
d
t12 2A
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
c
(b c) 0 0 0 0 0 0
e
1
2
2
3
2
6
Bs212
(87)
2A
bd
c
ad
d
e
0 0 0 0 d
0 0 0 0 b
(a d)
(a d) 0 0 0 0 0 0
1
2
4(z
)
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
(88)
1
Bs22
2
6
2
6
t12 2A
(100)
e
bc
b
bd
a
(b c)
(b c) 0 0 0 0 0 0
1
2
4(z
)
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
(89)
2
6
2
6
Bs213
1
Bs23
t12 2A
2A
ac
b
ad
a
e
e
0 0 0 0
2
a
(a d)
(a d) 0 0 0 0 0 0
2
6
2
6
(101)
(102)
2
2
2
Lớp thứ 2:
Bs2 Bs21 Bs22 Bs23
2
2
2
2
1
2
4(z )
1
0 0 0 0 0
1
0
0
1
0
0
1
0 0 0 0
0 0 0 0
(103)
0 0 0 0
0 0 0 0
(104)
Bb1 Bb11 Bb12 Bb13
(90)
2
Bs21
t12 2A 0 0 0 0 0
1
e
0 0 0 0 0 b c
0
0 0 0 0 0 0
1
2
4(z )
1
1
2
Bb11
0 0 0 0 0
0
d a 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
0
0
1
1
0
0
1
2
Bs22
t12 2A
2A
e
e
0 0 0 0 0 d a b c 0 0 0 0 0 0
(91)
1
2
4(z )
1
bc c (b c) ac
d
0 0 0 0 0
1
0
0
1
1
0
0
1
0 0 0 0
0 0 0 0
(105)
2
Bs23
0 0 0 0 0 0 0 0
c
(b c) 0 0
t12 2A 0 0 0 0 0
1
2
2
3
2
6
3
Bs12
e
2A
bd
c
ad
d
e
0 0 0 0 0 0 0 0 d
0 0 0 0 0 0 0 0 b
(a d)
(a d) 0 0
2
6
2
6
Lớp thứ 3:
(117)
bc
b
bd
a
3
3
3
3
(b c)
(b c) 0 0
Bb1 Bb11 Bb12 Bb13
(106)
0 0
1
2
6
2
6
3
Bs13
2A
ac
b
ad
a
e
0 0 0 0 0 0 0 0
a
(a d)
(a d) 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 b c
0
2
6
2
6
1
3
Bb11
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
d a 0 0
(118)
2A
e
1
3
3
3
3
Bs2
Bs21 Bs22 Bs23
0 0 0 0 0 0 0 0 0 d a b c 0 0
(119)
2A
4(z )
e
(107)
1
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
t12 2A 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
0
0
1
0
0
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
c
0
0 0
1
3
Bs21
1
3
Bb12
0
d 0 0
1
(120)
0
e
2A
e
0 0 0 0 0 0 0 0 0 d
c
0 0
1
2
4(z )
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
t12 2A 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
0
1
0
0
1
3
Bs22
(108)
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 b
0
0 0
e
1
3
Bb13
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
a
0 0 (109)
(121)
0
2A
1
2
4(z )
1
e
0 0 0 0 0 0 0 0 0
t12 2A 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
0
1
0
0
1
3
Bs23
a
b 0 0
1
3
3
3
3
e
Bb2 Bb21 Bb22 Bb23
(110)
(122)
t1
t2
Theo phần tử hữu hạn ta có ma trận độ cứng
0 0 0 0 0
NI ,x
0
0
0 0
NI ,x
0
0
0 0
phần tử
2
2
T
T
3
3
k
k
s
t1
t2
k
k
k
k
3
BI
D* BI d
SI
D* SI d
k
Bb2I 0 0 0 0 0
NI ,y 0 0
NI ,x 0 0
NI ,y 0 0 e
2
t1
2
t2
k1
k1
e
e
t1
t2
(123)
0 0 0 0 0
NI ,y
NI ,y
NI ,x 0 0
2
2
2
2
Trong đó:
T
k
k
k
k
k
(111)
(112)
BI Bb1I Bb2I Bb3I Bb4I (124)
3
Bb3 0
T
k
k
k
SI Bs1I Bs2I
3
3
3
3
Bb4 Bb41 Bb42 Bb43
(113)
(125)
k
A
Ab2 Ab2
A
0 0 0 0 0 0 0 0 0 NI ,x
0
NI ,x
0
b5
b3
4
3t12
3
Bb4I
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
NI ,y
0
NI ,y
k
Ab2 Ab1 Ab1 Ab4
D*
D*
Ab2 Ab1 Ab1
A
0 0 0 0 0 0 0 0 0 NI ,y NI ,x NI ,y NI ,x
b4
Ab5 Ab4 Ab4 Ab6
(114)
3
3
3
3
k
Bs1 Bs11 Bs12 Bs13
(115)
k
k
A
A
s2
s1
s
As2 As3
(126)
(b c)(b c)
(d a)(b c)
0 0 0 0 0 0 0 0 b c
A
0 0
e
1
6
6
Với:
Bs311
k
k
b1
k
b1
k
b1
k
b1
2A
(b c)(a d)
(d a)(a d)
, A , A , A , A , A
e
A
0 0
b1
b1
0 0 0 0 0 0 0 0 d a A
e
6
6
tk /2
k
1, z, z2 , z3, z4 , z6 Q dz i, j 1,2,6
(116)
ij
tk /2
tk /2
Để đơn giản hàm
được chọn là
x
k
s1
k
s2
k
s3
k
ij
A , A , A
1, z2, z4 Q dz i, j 4,5
một hàm hằng số trên miền trơn như sau:
tk /2
1
A
ed
x
(127)
ed
Và véc-tơ tải phần tử
Npd
x
(132)
ed
x
1N
3
f
(128)
0
e
e
ed
e
ed
Với: A
d
A
là diện tích của
e
2.6.3. Phương pháp phần tử hữu hạn trơn
ed
e1
ed
miền trơn
Need 1
ES- MITC3
đối với các cạnh biên.
Need 2
Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn,
các biến dạng được làm trơn trên các miền trơn
và dĩ nhiên việc tính toán ma trận độ cứng sẽ
phụ thuộc vào các miền trơn này. Theo phương
pháp PTHH trơn trên cạnh (ES-FEM) [13],
miền trơn này được xây dựng dựa trên cạnh
của phần tử sao cho
đối với các cạnh bên trong.
A
là diện tích của phần tử thứ e xung
quanh cạnh ed.
e
Từ phương trình (128) và (129) biến dạng
của phần tử trở thành:
1
ed
k
ε
ε d
(133)
ed
A
Ned
(ed), (i) ( j) 0, (i j)
ed
(129)
Với Ned là tổng số cạnh của tất cả các phần
tử trên miền khảo sát. Đối với phần tử tam giác
Ma trận quan hệ giữa biến dạng trơn và
chuyển vị được xác định bởi.
1
A
BI
SI
x
BI x d
ed
ed
3 nút miền trơn liên quan đến cạnh thứ
ed
ed
ed được tạo ra bằng cách kết nối hai nút cuối
của cạnh với trọng tâm của phần tử liền kề như
Hình 7.
(134)
1
x
SI x d
ed
ed
A
ed
Đối với phẩn tử tam giác 3 nút MITC3,
hàm dạng là tuyến tính. Do đó ma trận quan hệ
giữa biến dạng và chuyển vị là hằng số trên
phần tử. Vì vậy, ta có:
Need
k
Bb1I
x
A B
1
A
k
b1Ie
ed
e
ed
Hình 7. Phân chia tấm thành các miền phần tử
tam giác
e1
Need
k
Bb2I
x
x
x
A B
1
k
ed
ed
ed
ed
e
b2Ie
ed
A
e1
Từ việc sử dụng các miền trơn dựa trên
k
Need
cạnh phần tử, các biến dạng trơn ε
có thể
1
k
Bb3I
A B
k
e
b3Ie
k
A
xác định được từ sự tính toán các biến dạng
e1
k
tương ứng ε kết hợp với một thao tác làm
Need
k
Bb4I
A B
(135)
1
k
ed
trơn trên miền
ed:
liên quan đến cạnh thứ
e
b4Ie
ed
A
e1
Need
k
k
ε
ε x x d
(130)
k
Bs1I
x
A B
1
ed
s1Ie
e
ed
A
ed
e1
Need
Trong đó x là một hàm có chức năng
ed
Bs2I
x
A B
1
ed
s2Ie
ed
e
ed
A
làm trơn và thỏa mãn các điều kiện sau [28]:
e1
và
x 1
(131)
x 0
Trong đó:
ed
k
k
k
k
k
k
;
;
;
;
;
là
Bb1Ie Bb2Ie Bb3Ie Bb4Ie Bs1Ie Bs2Ie
100w a / 2,a / 2,0 t3E
các ma trận quan hệ biến dạng – chuyển
vị của phần tử thứ e xung quanh cạnh ed.
Ma trận độ cứng phần tử ES-MITC3:
Need
2
w
,
Pa4
x a / 2,a / 2,t / 2 t2
1x
2y
zx
,
pa2
k
k
e
e
e1
(136)
y a / 2,a / 2,t / 4 / 5 t2
Pa2
zx 0,a / 2,t / 2 t
3. VÍ DỤ SỐ
3.1. Bài toán số 1
xy a,a,t / 2 t2
,
xy
Pa2
Tấm được rời rạc bằng các phần tử tam
Pa
Xét tấm vuông composite kích thước
cạnh a, chiều dày t. Tấm bao gồm 3 lớp với
chiều dày tương ứng từng lớp t1 = 0.25t, t2 =
0.5t, t3 = 0.25t và hướng sợi [0o/90o/0o] như
Hình 3.1. Đặc trưng vật liệu của 1 lớp
giác 3 nút ES-MITC3 với các loại lưới NN
phần tử. Trong đó, N là số phần tử trên mỗi
cạnh của tấm. Kết quả độ võng không thứ
nguyên tại tâm tấm cho bởi phần tử ES-MITC3
ứng với các loại lưới và tỉ số a/t khác nhau
được so sánh với kết quả tham khảo trong Bảng
3.1-3.3 và Hình 3.2-3.6.
composite: E1 = 25E2, E2 = 1, G12 = G13
=
0.5E2, G23 = 0.2E2, 12 = 0.25. Tấm có 4 biên
tựa
đơn
và
chịu
tải
hình
sin
a
.x
.y
a
p sin
sin
.
Để so sánh với tài liệu tham khảo, độ
võng không thứ nguyên tại tâm tấm và ứng suất
không thứ nguyên được xác định bởi các
phương trình:
Hình 3.1. Tấm vuông composite [0o/90o/0o]
chịu tải sin [13]
Bảng 3.1. Độ võng không thứ nguyên tại tấm vuông [0o/90o/0o],
tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng hình sin.
Chia lưới NxN
N=12 N=16 N=20
Phương pháp
a/t
N=8
N=24
CS-DSG3[14]
ES-DSG3[13]
MITC3[27]
1.8632 1.8859 1.9086 1.9129 1.9172
1.9347 1.9311 1.9275 1.9263
4
Commented [TC5]: Trích dẫn TLTK
1.8769 1.9116 1.9241
1.9518 1.9464 1.944 1.9428 1.9422
0.6994 0.7117 0.724 0.7263 0.7286
1.93
1.9332
ES-MITC3
CS-DSG3[14]
ES-DSG3[13]
MITC3[27]
0.7181 0.7237 0.7292 0.7304
10
20
0.699 0.7171 0.7235 0.7266 0.7282
0.7241 0.7288 0.7303 0.7309 0.7313
0.4836 0.494 0.5044 0.5064 0.5083
ES-MITC3
CS-DSG3[14]
ES-DSG3[13]
MITC3[27]
0.494 0.5008 0.5075 0.509
0.4834 0.4987 0.5042 0.5067 0.5081
0.5001 0.5066 0.5087 0.5096 0.5102
0.4041 0.4159 0.4277 0.4296 0.4315
0.4054 0.4177 0.4299 0.4317
0.4046 0.4222 0.4277 0.4302 0.4315
0.4206 0.4291 0.4316 0.4327 0.4333
ES-MITC3
CS-DSG3[14]
ES-DSG3[13]
MITC3[27]
100
ES-MITC3
(a)
(b)
(c)
(d)
Hình 3.2. Độ võng tấm vuông [0o/90o/0o], tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng hình sin:
(a) a/t =4, (b) a/t =10, (c) a/t =20, (d) a/t =100.
Bảng 3.2. Độ võng và ứng suất không thứ nguyên của tấm composite nhiều lớp vuông
[0o/90o/0o] chịu tải trọng hình sin với lưới chia (NxN=24).
y
xy
x
zx
a/t
Phương pháp
w
Three strip[29]
HSDT[30]
1.8939 0.6806 0.6463 0.2109
1.8937 0.6651 0.6322 0.2064
0.045
0.044
FSDT[31]
1.71 0.4059 0.5765 0.1398 0.0308
1.8804 0.6665 0.6292 0.1415 0.0423
1.9024 0.6402 0.6241 0.2149 0.0437
Third-orde[32]
Layerwise[33]
Layerwise[34]
CS-DSG3[14]
MITC3[27]
4
1.9091 0.6429 0.6264 0.2173
0.044
1.9172 0.6364 0.6197 0.2151 0.0441
1.9332 0.6497 0.6579 0.1099 0.0455
ESL-ES-MITC3[15] 1.9203 0.7006 0.6251 0.2122 0.0454
ES-MITC3
Three strip[29]
HSDT[30]
1.9422 0.6527
0.7149 0.5589 0.3974 0.2697 0.0273
0.7147 0.5456 0.3888 0.264 0.0268
0.6628 0.4989 0.3615 0.1667 0.0241
0.7142 0.5464 0.438 0.3267 0.0264
0.7281 0.5469 0.3943 0.296 0.027
0.7303 0.5487 0.3966 0.2994 0.0273
0.7286 0.543 0.3927 0.2966 0.0271
0.7282 0.5448 0.3947 0.1468 0.0273
0.661 0.1098 0.0452
FSDT[31]
Third-orde[32]
Layerwise[33]
Layerwise[34]
CS-DSG3[14]
MITC3[27]
10
ESL-ES-MITC3[15] 0.7183 0.5558 0.3875 0.2821 0.0270
ES-MITC3
Three strip[29]
HSDT[30]
0.7313 0.5471 0.3963 0.1467 0.0271
0.5061 0.5523 0.311 0.2883 0.0233
0.506 0.5393 0.3043 0.2825 0.0228
0.4912 0.5273 0.2957 0.1749 0.0221
FSDT[31]
Third-orde[32]
Layerwise[33]
Layerwise[34]
CS-DSG3[14]
MITC3[27]
0.5074 0.5413
0.5107 0.5405 0.3045 0.3178 0.0229
0.5113 0.5407 0.3073 0.3073 0.023
0.5083 0.535 0.3042 0.3227 0.0229
0.5081 0.5354 0.3045 0.1593 0.0229
0.365 0.3744 0.0227
20
ESL-ES-MITC3[15] 0.5055 0.5385 0.3023 0.3043 0.0227
ES-MITC3
Three strip[29]
HSDT[30]
0.5102 0.5376 0.3057 0.1591 0.0228
0.4343 0.5507 0.2769 0.2948 0.0217
0.4343 0.5387 0.2708 0.2897 0.0213
FSDT[31]
Third-orde[32]
100 Layerwise[33]
Layerwise[34]
CS-DSG3[14]
MITC3[27]
0.4337 0.5382 0.2705
0.4535 0.5596 0.3427 0.4417 0.0229
0.4633 0.569 0.2784 0.1955 0.0236
0.4348 0.5391 0.2711 0.3359 0.0214
0.4315 0.5334 0.2683 0.3308 0.0213
0.4315 0.5335 0.2683 0.1687 0.0213
0.4333 0.5357 0.2694 0.1654 0.0212
0.178 0.0213
ES-MITC3
3.2. Bài toán số 2
Xét tấm vuông sandwich kích thước cạnh
a, chiều dày t. Tấm bao gồm 3 lớp 1 lõi 2 lớp vỏ
4
với chiều dày tương ứng từng lớp là tcore
=
t,
5
1
Hình 3.3. Tấm vuông sandwich chịu tải phân bố
đều [13]
tskin
=
t và hướng sợi [0o/0o/0o] như Hình 3.7.
10
Tấm chịu tải phân bố đều q=1 điều kiện biên tựa
Để so sánh với tài liệu tham khảo, độ võng
không thứ nguyên tại tâm tấm và ứng suất được
xác định bởi các phương trình:
đơn 4 cạnh.
Vật liệu:
0,999781 0,231192
0,231192 0,524886
0
0
0
0.999781
w w a / 2,a / 2,0
,
0
0
0
0
tq
Qcore
0
0
0
0
0
0
0,262931
0
1x
,
x a / 2,a / 2,t / 2
0
0
0,266810
0
q
0
0:159914
y a / 2,a / 2,2t / 5
2y
,
q
, R = 5, 10, 15.
Qskin RQcore
3x
,
1xz
x a / 2,a / 2,2t / 5
xz a,a,t / 2
q
q
Sử dụng phần tử ES-MITC3 ba nút 13 bậc
tự do để giải bài toán và so sánh với các phương
pháp khác. Kết quả so sánh được thể hiện trong
Bảng 3.4-3.7 và Hình 3.8-3.11.
(a)
(b)
(c)
Hình 3.4. Độ võng tấm sandwich vuông, tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng phân bố đều: (a)
R=5, (b) R=10, (c) R=15.
Bảng 3.3. Độ võng không thứ nguyên tấm sandwich vuông, tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng phân bố
đều.
Chia lưới NxN
Phương pháp
R
N=8
N=12
N=16
N=20
256.89635 257.6447
257.3833 257.9144
N=24
CS-DSG3[14]
MITC3[27]
248.116
248.364
252.132
254.3128
256.148
256.4084
5
EXACT[35]
ES-MITC3
CS-DSG3[14]
MITC3[27]
EXACT[35]
ES-MITC3
CS-DSG3[14]
MITC3[27]
EXACT[35]
ES-MITC3
258.97
254.333
153.31
153.402
159.38
157.173
117.417
117.483
121.72
120.43
258.97
257.067
155.5914
156.7531
159.38
258.97
258.97
258.97
257.9835
258.401
258.6256
157.8727 158.29995 158.7272
157.9418
159.38
158.4964
159.38
158.7989
159.38
10
15
158.4872
119.04665
119.857
121.72
158.9323
159.1363
159.2461
120.6762 120.98295 121.2897
120.7058
121.72
121.1027
121.72
121.3194
121.72
121.2073
121.4767
121.6008
121.6675
Bảng 3.5. Độ võng và ứng suất không thứ nguyên của tấm sandwich vuông, tựa đơn 4 cạnh chịu tải
trọng phân bố đều với lưới chia (NxN=24).
y
xy
x
zx
R
Phương pháp
w
Exact[35]
258.97
256.13
60.353
62.38
30.097
30.33
9.34
9.382
4.3641
3.089
HSDT[10]
FSDT[10]
236.1
61.87
29.32
9.899
3.313
Ferreira[36]
Third-order[32]
Layerwise[33]
Layerwise[34]
MITC3[27]
ES-MITC3
Exact[35]
258.74
59.21
29.59
9.122
3.593
256.2387
255.9197
258.1813
257.9144
258.6256
159.38
60.1834
59.6503
60.2973
59.9463
60.0744
65.332
64.65
30.1642
29.8296
30.1141
29.9783
30.0349
4.903
9.3716
9.2073
9.2928
9.2535
9.2734
4.903
4.2768
3.9773
4.0961
4.2379
4.2941
4.0959
3.147
5
HSDT[10]
152.33
33.97
5.131
FSDT[10]
131.095
159.402
154.249
157.3742
158.9237
158.7989
159.2461
121.72
67.8
32.08
4.424
3.152
Ferreira[36]
Third-order[32]
Layerwise[33]
Layerwise[34]
MITC3[27]
ES-MITC3
Exact[35]
64.16
42.9
4.772
3.518
65.2223
64.4828
65.9927
64.8684
65.0049
66.787
66.62
33.5663
33.1392
33.4149
33.3381
33.401
34.955
35.41
4.9848
4.8154
4.8537
4.845
3.1925
3.8447
3.9842
3.9817
4.0332
3.9638
3.035
10
4.8554
3.238
HSDT[10]
110.43
3.465
FSDT[10]
90.85
70.04
33.11
3.753
3.091
Ferreira[36]
Third-order[32]
Layerwise[33]
Layerwise[34]
121.821
114.3874
120.0769
121.3474
65.65
34.42
3.14
3.466
15
66.783
65.8418
66.4362
35.1057
34.6566
34.8805
3.3478
3.1684
3.1875
2.6115
3.7556
3.9062
MITC3[27]
121.3194
66.3008
34.9017
3.1916
3.8561
ES-MITC3
121.6675
66.4372
34.9685
3.1984
3.9052
Để so sánh với tài liệu tham khảo, độ
3.3. Bài toán số 3
võng không thứ nguyên tại tâm tấm và ứng suất
không thứ nguyên được xác định bởi các
phương trình:
100w a / 2,a / 2,0 t3E
2
w
,
pa4
Hình 3.5 Tấm vuông composite
[skin/core/skin] chịu tải sin [13]
x a / 2,a / 2,t / 2 t2
1x
,
pa2
y a / 2,a / 2,t / 4 / 5 t2
Xét tấm vuông sandwich kích thước cạnh
a, chiều dày t. Tấm bao gồm 3 lớp 1 lõi (core) 2
lớp vỏ (skin) với chiều dày tương ứng từng lớp
là t1=0.1t, t2=0.8t, t3=0.1t như Hình 3.12. Vật
2y
,
pa2
zx 0,a / 2,t / 2 t
zx
,
pa
xy a,a,t / 2 t2
liệu của lớp vỏ Es1 = 25E2, E2 = 1, G12 = G13
=
xy
pa2
0.5E2, G23 = 0.2E2, 12 = 0.25 và của lớp lõi E1 =
E2, E2 = 0.04, G12 = 0.016, G13 = G23 = 0.06, 12
Sử dụng phần tử ES-MITC3 ba nút 13 bậc
tự do để giải bài toán và so sánh với các phương
pháp khác. Kết quả so sánh được thể hiện trong
Bảng 3.8-3.11 và Hình 3.13-3.17.
=
0.25.
Tấm
.y
chịu
tải
sin
.x
p sin( ).sin(
)
điều kiện biên tựa đơn
a
a
4 cạnh.
Bảng 3.4. Độ võng không thứ nguyên tấm composite [skin/core/skin] vuông, tựa đơn 4 cạnh chịu tải
trọng hình sin.
Chia lưới NxN
Phương pháp
a/t
N=8
N=12
7.6638
7.5544
7.6718
2.19685
2.1658
2.1971
N=16
7.6613
7.5924
7.6595
2.198
N=20
7.6599
7.6103
7.6536
2.19855
2.1883
2.1998
N=24
7.6585
7.6201
7.6503
2.1991
2.1922
2.2003
ES-DSG3[13]
MITC3[27]
ES-MITC3
ES-DSG3[13]
MITC3[27]
ES-MITC3
7.6663
7.449
4
7.7035
2.1957
2.1231
2.1903
10
2.1811
2.199
ES-DSG3[13]
MITC3[27]
ES-MITC3
ES-DSG3[13]
MITC3[27]
ES-MITC3
1.2182
1.1667
1.2048
0.8833
0.8342
0.8656
1.2197
1.1994
1.2173
0.885
1.2212
1.2111
1.2213
0.8867
0.8786
0.8865
1.222
1.2165
1.2231
0.8876
0.8836
0.8887
1.2228
1.2195
1.2241
0.8885
0.8863
0.8898
20
100
0.8677
0.8815
(a)
(b)
(c)
(d)
Hình 3.6 Độ võng tấm composite [0o/core/0o] vuông, tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng hình
sin: (a) a/t = 4, (b) a/t = 10, (c) a/t = 20, (d) a/t = 100.
Bảng 3.5. Độ võng và ứng suất không thứ nguyên của tấm composite nhiều lớp vuông
[skin/core/skin] chịu tải trọng hình sin với lưới chia (NxN=24).
y
xy
x
zx
0.239
a/t
Phương pháp
Elasticity[36]
w
7.5962
1.556
0.2595
0.1072
FEMQ9-HOZT[37]
FEMQ9-HOZT[38]
MFEM3D-LW[39]
ES-DSG3[13]
7.6552
7.5822
-
1.5218
1.5306
1.57
0.2506
0.2581
0.26
0.252
0.2436
0.23
0.1156
0.1147
0.108
4
7.6585
7.6201
7.6503
2.2004
2.2002
2.1775
-
1.4624
1.5037
1.5096
1.1153
1.1483
1.1528
1.159
0.2484
0.2487
0.2495
0.1104
0.1086
0.1143
0.111
0.2352
0.2372
0.2386
0.3
0.1025
0.1052
0.1062
0.0527
0.057
MITC3[27]
ES-MITC3
Elasticity[34]
FEMQ9-HOZT[37]
FEMQ9-HOZT[38]
MFEM3D-LW[39]
ES-DSG3[13]
0.3158
0.3058
0.303
0.0575
0.055
10
2.1991
2.1922
2.1903
1.2264
1.2254
1.2121
-
1.1407
1.139
0.1083
0.1081
0.1085
0.07
0.2965
0.2973
0.2988
0.317
0.0506
0.0519
0.0528
0.0361
0.0392
0.0399
0.036
MITC3[27]
ES-MITC3
1.1436
1.11
Elasticity[34]
FEMQ9-HOZT[37]
FEMQ9-HOZT[38]
MFEM3D-LW[39]
ES-DSG3[13]
1.1055
1.1103
1.11
0.0694
0.0742
0.07
0.3342
0.3272
0.317
20
1.2228
1.2195
1.2241
0.8923
0.8917
0.8814
0.8885
0.8863
0.8898
1.1017
1.0983
1.1028
1.098
0.0692
0.0691
0.0693
0.055
0.3147
0.3145
0.3161
0.324
0.0351
0.0356
0.0365
0.0297
0.0324
0.0322
0.0316
0.0277
0.0289
MITC3[27]
ES-MITC3
Elasticity[34]
FEMQ9-HOZT[37]
FEMQ9-HOZT[38]
1.1093
1.0982
1.0904
1.0868
1.0912
0.0547
0.0592
0.0546
0.0544
0.0546
0.3412
0.3426
0.3241
0.3193
0.3212
100
ES-DSG3
MITC3[27]
ES-MITC3
cứu và phát triển để phân tích tĩnh kết cấu tấm
composite nhiều lớp. Kết quả phân tích được so
sánh với các lời giải của các nghiên cứu trước
đây.
4. KẾT LUẬN
Với những kết quả phân tích và so sánh như
trên luận văn có thể rút ra một số kết luận như
sau:
Kết quả phân tích cho thấy sự hội tụ nhanh khi
chia nhỏ phần tử với các bài toán tải trọng khác
nhau. Mức độ chính xác khá cao khi so sánh
với các phương pháp khác.
Lý thuyết layerwise biến dạng cắt bậc cao kết
hợp kỹ thuật khử khóa cắt phần tử MITC3 và
làm trơn trên cạnh ES-FEM đã được nghiên
Như vậy, phần tử ES-MITC3 phát triển cho lý
Tải về để xem bản đầy đủ
23 trang
12/01/2024
18680
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phân tích kết cấu tấm composite nhiều lớp theo lý thuyết Layerwise biến dạng cắt bậc Cao Bằng phần tử es-mitc3", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- phan_tich_ket_cau_tam_composite_nhieu_lop_theo_ly_thuyet_lay.pdf
